sigmoid 函数与 logit 函数互为反函数 - 把反函数理解成运算的撤销键（5）
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运算的撤销键
反函数把一个已经存在的对应关系反过来用，运算的逆操作，反函数就是这个运算的撤销键。
加法的逆运算是减法
乘法的逆运算是除法
平方的逆运算是开平方（在适当范围内）
指数的逆运算是对数
反函数就是想回到原来的数，该怎么做。
映射关系的逆转
函数本质上就是一个对应规则：给一个输入，按固定规则算出一个输出。
比如：输入年龄 → 输出对应的身高估计值；输入商品件数 → 输出总价。
反函数就是把这个对应规则整个反过来 ：
现在已知输出，反推出原来的输入是什么。
原来是A对应B，现在变成B对应A。
只要原来的对应是一一对应的（一个输入只对应一个输出，反过来也成立），这个逆转就是合法的。
自变量与因变量的角色互换
原来函数里，x是自变量（主动给的），y是因变量（被动算出来的）。
反函数就是让它们换个位置坐 ：原来的y变成新的自变量，原来的x变成新的因变量。
只是换了个名字和位置，对应关系本身没变，只是观察的角度反了过来。
具体例子
以最简单的一次函数 y=2x+3y = 2x + 3y=2x+3 为例。
这个函数的意思是：
给你一个数x，先乘2，再加上3，得到y。
现在反过来想：如果我知道了y，想求出原来的x是多少？
那就是：先把y减3，再除以2。
写成函数就是 x=y−32x = \frac{y-3}{2}x=2y−3。
习惯上我们把自变量还是写成x，所以反函数记作 f−1(x)=x−32f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}f−1(x)=2x−3。
映射逆转：原来"x对应2x+3"，现在"2x+3对应x"。
运算逆操作：先加3再乘2的逆操作，就是先减3再除以2。
角色互换：原来的y变成了新的x，原来的x变成了新的y。
求反函数的过程，就是把已经建立好的对应关系，用代数的方式反解出来。
已知结果，反推原因。
通常按三步来求反函数，每一步背后都有清晰的逻辑：
-
写出原函数关系
写成 y=f(x)y = f(x)y=f(x)。
这一步只是明确：现在有"输入→输出"的对应规则。
-
解出原来的输入
把 yyy 当成已知数，把 xxx 解出来，得到 x=g(y)x = g(y)x=g(y)。
这是整个过程的重要的地方。
其实是在做"逆运算"：把原函数里对 xxx 施加的所有操作，一步步反向撤销。
原来乘了2，现在就除以2
原来加了3，现在就减3
原来取了平方，现在就开平方（在合适的范围内）
这一步完成后，得到了从输出反推输入的规则。
- 互换变量名称
把 xxx 和 yyy 对调，习惯上写成 y=g(x)y = g(x)y=g(x) 或 f−1(x)=g(x)f^{-1}(x) = g(x)f−1(x)=g(x)。
这一步只是为了符合"自变量用 xxx、因变量用 yyy"的书写习惯，本质关系并没有改变。