sigmoid 函数与 logit 函数互为反函数 - 为什么 对数与指数互为逆运算（1）

sigmoid 函数与 logit 函数互为反函数 - 为什么 对数与指数互为逆运算（1）

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1. 指数运算相关术语

对于乘方运算：

ab=N\boldsymbol{a^b = N}ab=N

底数 ：aaa 是乘方运算的底数，即被重复相乘的数；

指数 ：bbb 是指数，表示底数相乘的次数（扩展到实数域后表示幂次）；

幂 ：运算结果 NNN 叫做底数 aaa 的 bbb 次幂。

例：23=82^3 = 823=8 中，2是底数，3是指数，8是2的3次幂。

2. 对数运算相关术语

对数是指数的逆运算，定义为：

若 ab=Na^b = Nab=N（a>0a>0a>0 且 a≠1a\neq1a=1，N>0N>0N>0），则 bbb 叫做以 aaa 为底 NNN 的对数 ，记作：

log⁡aN=b\boldsymbol{\log_a N = b}logaN=b

底数 ：aaa 是对数的底数，对应指数运算的底数；

真数 ：NNN 是真数，对应指数运算的幂（运算结果），真数必须大于0；

对数 ：bbb 就是对数的值，本质就是指数运算里的指数。

例：log⁡28=3\log_2 8 = 3log28=3 中，2是底数，8是真数，3是对数；对应指数式 23=82^3=823=8。

特别地，以自然常数 eee 为底的对数称为自然对数 ，记作 ln⁡(N)\ln(N)ln(N)，即 ln⁡(N)=log⁡eN\ln(N) = \log_e Nln(N)=logeN。

3. 对数与指数互为逆运算的推导

逆运算的核心是：两种运算先后作用于同一个数，结果等于原数。我们从定义出发严格推导：

（1）指数套对数：alog⁡aN=N\boldsymbol{a^{\log_a N} = N}alogaN=N

设 b=log⁡aNb = \log_a Nb=logaN，根据对数的定义，它对应的指数式为：

ab=Na^b = Nab=N

将 b=log⁡aNb = \log_a Nb=logaN 代入上式，直接得到：

alog⁡aN=Na^{\log_a N} = NalogaN=N

含义：先对 NNN 取以 aaa 为底的对数，再取 aaa 的这么多次方，结果回到原数 NNN。

（2）对数套指数：log⁡a(ab)=b\boldsymbol{\log_a (a^b) = b}loga(ab)=b

对于指数式 ab=Na^b = Nab=N，根据对数的定义，写成对数式为：

log⁡aN=b\log_a N = blogaN=b

将 N=abN = a^bN=ab 代入上式，直接得到：

log⁡a(ab)=b\log_a (a^b) = bloga(ab)=b

含义：先取 aaa 的 bbb 次方，再对结果取以 aaa 为底的对数，结果回到原指数 bbb。

相同底数下，指数运算和对数运算互为逆运算，先后作用会相互抵消。