单调队列优化 DP
0. 定位
单调队列优化 DP，解决的是这样一类问题：
状态转移的「决策集合」是一个随主状态单调滑动的窗口 ，且决策的优劣可以提前与主状态 i 解耦 。满足这两点时，原本 O(nm) 的枚举被改为 O(n)。
1. 朴素形态与优化动机
几乎所有这类 DP 都长这样：
dp[i] = opt_{j ∈ [L(i), R(i)]} ( dp[j] + w(j, i) )L(i), R(i)是决策j的合法区间；- 若区间长度有界（如
R(i) − L(i) ≤ m），朴素枚举为O(nm)。
优化的目标只有一个：在每个 i 用 O(1) 取出窗口内最优的 j。
2. 单调队列的本质原理
2.1 它是什么
一个队首到队尾保持单调性的双端队列：
- 求区间最小 → 维护递增队列（队首最小）；
- 求区间最大 → 维护递减队列（队首最大）。
它能以 O(1) 均摊的代价，维护一个滑动窗口的最值。
2.2 它为什么能优化 DP
关键不在「队列」本身，而在决策的支配关系：
- 处理到
i时，把候选决策j依次加入队列； - 若新决策
j₂比旧决策j₁（j₁ < j₂）更优 ，且j₂比j₁更晚离开窗口 （窗口右移，后进入者更晚被淘汰），那么j₁在j₂存活期间永远不可能再成为最优 → 永久淘汰j₁； - 于是队列里始终只保留「仍可能最优」的候选，且按优劣单调排列，队首即当前窗口最优。
注：这就是「单调」的真正含义：维护的不是值的大小，而是候选决策的优劣序。只要「更优且更晚淘汰 → 永久支配」成立，结构就成立。
2.3 可分离性（拆项）
要让「j 的优劣」独立于 i，必须能把代价写成：
dp[j] + w(j, i) = f(j) + g(i)f(j) 只与决策 j 有关，g(i) 只与主状态 i 有关。这样窗口内比较的始终是 f(j)，与 i 无关，才塞得进单调队列。
3. 适用条件（判定法则）
必须同时满足以下三点才可用：
- 决策区间单调滑动 ：
L(i), R(i)随i非降（典型如定长窗口[i − m, i − 1]）。 - 目标可分离 ：
w(j, i)能拆成f(j) + g(i)（或更一般、对j单调可比的形式）。 - 可比较性 ：比较两个决策
j₁ < j₂的优劣时，结论不依赖i（即f(j₂) ≤ f(j₁)一旦成立便恒成立）。
不满足反例 ：w(j, i) = j · i（交叉项，优劣随 i 翻转）→ 单调队列无能为力，需斜率优化或分治优化。
4. 通用形态与模板
形式化结论：
若 dp[i] = g(i) + opt{ f(j) }, j ∈ 滑动窗口
则 用单调队列在窗口内维护 f(j)，队首即 opt。最小模板（求 min，递增队列）：
dq = 双端队列，存 j 的下标
for i = 1 .. n:
while dq 队首越出窗口: pop_front()
dp[i] = g(i) + f(dq.front())
while dq 非空 且 f(i) <= f(dq.back()): pop_back() # 支配淘汰
dq.push_back(i)（求 max 改递减队列、比较符号反转即可。）
5. 经典模型精析
模型 A ｜ 连续区间「至少选 1」
- 代表：烽火传递、绿色通道。
- 建模 ：
dp[i] = cost[i] + min{ dp[j] }，j ∈ [i − m, i − 1]（第i个必选，上一个被选者在窗口内）。 - 优化关键 ：窗口内只比
dp[j]，与i无关 → 递增队列维护dp[j]，O(n)。答案为最后m个dp的最小值。
模型 B ｜ 连续区间「至多选 k」
- 代表：修剪草坪（USACO）。
- 建模 ：前缀和
s，dp[i] = max( dp[i−1], s[i] + max{ dp[j] − s[j] } )，j ∈ [i − k, i − 1]（选i且被选段长 ≤ k）。 - 优化关键 ：把前缀和
s[i]拆出（只与i有关），窗口内只比dp[j] − s[j]→ 递减队列，O(n)。与 A 对偶。
模型 C ｜ 二维滑窗最值
- 代表：理想的正方形。
- 建模：正方形最值 = 行方向滑窗后再列方向滑窗。
- 优化关键 ：一维滑窗做两次（先每行、再每列），将
n×n区域最值降到O(ab)。本质是「单调队列在二维的两次投影」。
模型 D ｜ 多重背包
- 代表：多重背包的单调队列优化。
- 建模 ：
dp[r + t·w] = max_m ( dp[r + m·w] − m·v ) + t·v，按j mod w分组。 - 优化关键 ：余数固定后，体积按步长
w等距，窗口宽度c + 1滑动；维护dp[r + m·w] − m·v的递减队列，把O(V·c)降到O(V)。
6. 本质再认识
- 它 ≠ 单调栈：栈处理「固定方向第一个极值」（端点不回退）；队列处理「两端都会动的窗口」。DP 优化里九成是队列。
- 它 ≠ 斜率优化 ：斜率优化处理
a(i)·b(j) + c(j)这类交叉线性项（需凸包）；单调队列处理「可加性分离」项。两者都依赖「决策优劣可提前排序」。 - 边界意识 ：答案取段、窗口端点 ------错一处即 WA。编码前务必先写清「
j的合法范围」。
7. 一句话总结
单调队列优化 DP = 决策窗口单调滑动 × 代价可加性分离。
把只与
j有关的f(j)塞进双端队列，用支配关系淘汰永不为最优的旧决策，每个i在O(1)取最优。
部分内容由 AI 润色