之前分析了偏度因子和每只股票相对等权股票池的多日滚动CAPM beta。
https://blog.csdn.net/liliang199/article/details/164087831
https://blog.csdn.net/liliang199/article/details/165293799
这里进一步基于代码，分析CAPM 残差特质偏度反转因子的计算逻辑。
1 计算分析
CAPM残差特质偏度反转因子的计算公式如下
这里使用彩票来类比少数的极端正收益。
CAPM市场残差偏度越正，对应股票越像彩票，预期收益可能越低；
所以，因子取负后值越高代表越不像彩票，这时预期收益反而可能越高。
这里首先示例其实现代码如何建模上述过程，然后依据代码依次对其建模计算过程进行分析。
1.1 代码示例
以下是idio_skewness_factor示例代码。
实现的是一个经典的横截面特质偏度因子(idiosyncratic skewness factor)，并且做了方向反转。
核心含义是：
过去一段时间 CAPM 市场残差偏度越正，股票越像彩票；
因子取负后，因子值越高代表越不像彩票，预期收益可能越高。
代码实现如下
def idio_skewness_factor(prices, window=60, min_periods=30):
"""Skewness of CAPM-market residuals, inverted (higher = less lottery).
Residual = logret_i - beta_i * (panel-EW log return), beta_i = 60d trailing
beta. Mirror of beta_neutral_test.compute_market_beta (same market proxy).
"""
ret = np.log(prices / prices.shift(1))
r_mkt = ret.mean(axis=1)
var_m = r_mkt.rolling(window, min_periods=min_periods).var()
beta = ret.rolling(window, min_periods=min_periods).cov(r_mkt).div(var_m, axis=0)
resid = ret - beta.multiply(r_mkt, axis=0)
skew = resid.rolling(window, min_periods=min_periods).skew()
return -skew1.2. 计算对数收益
计算对数收益的代码如下
ret = np.log(prices / prices.shift(1))
prices是资产价格面板，行是日期，列是股票。
这里计算每只股票的日对数收益：
对数收益具有可加性，常用于日频金融数据。
1.3 构造市场代理
这里进一步构造市场代理，示例代码如下。
r_mkt = ret.mean(axis=1)
具体为，对每一行求横截面平均，得到等权市场收益：
注意这里是 等权平均，不是市值加权。它代表一个等权市场组合的近似收益。
代码注释称为 panel-EW log return，即面板等权对数收益。
在实践中，可能需要依据实际情况使用更复杂收益，比如市值加权市场收益或指数收益。
1.4 滚动市场方差与滚动 Beta
进一步计算滚动市场方差与滚动 Beta。
var_m = r_mkt.rolling(window, min_periods=min_periods).var()
beta = ret.rolling(window, min_periods=min_periods).cov(r_mkt).div(var_m, axis=0)
1）对市场收益计算滚动方差：
2）对每只股票计算与市场收益的滚动协方差，再除以市场方差，得到滚动 CAPM Beta：
这是标准的市场模型斜率。
即使不显式加alpha，OLS斜率也等于协方差除以方差，所以beta估计本身不受截距项影响。
1.5 计算CAPM残差
进一步计算CAPM残差。
resid = ret - beta.multiply(r_mkt, axis=0)
对每只股票：
这是CAPM/市场模型残差，代表市场beta无法解释的特质收益。
严格说市场模型是：
省略了alpha，但偏度计算会先中心化，常数alpha不影响偏度，因此对最终偏度结果无影响。
1.6 计算残差滚动偏度
进一步计算计算残差滚动偏度
skew = resid.rolling(window, min_periods=min_periods).skew()
对每只股票的残差序列，在过去 60 日窗口内计算偏度：
参考之前文档，偏度定义如下
正偏表示右尾长，极端正收益多，像彩票。
负偏表示左尾长，极端负收益多，不像彩票。
1.7 因子方向反转
依据此前推理，负偏表示左尾长，极端负收益多，不像彩票，但此时预期收益可能越高。
所以对因子进行反转，最终返回CAPM残差特质偏度的反转因子。
return -skew
返回负的残差偏度：
因此，方向反转是为了让高因子值对应预期收益高，便于做多高因子、做空低因子。
因子值高 = 残差偏度为负 = 左偏 = 不像彩票。
因子值低 = 残差偏度为正 = 右偏 = 像彩票。
2 归纳总结
这里进一步从数理角度归纳和总结CAPM残差特质偏度反转因子。
2.1 数学建模
设股票在
日的因子为：
其中：
因子逻辑归纳如下
高：过去 60 日特质收益负偏，非彩票股。
低：过去 60 日特质收益正偏，彩票股。
优化预期是做多高F，做空低 F，捕捉特质偏度异象。
2.2 CAPM与特质风险
1）标准CAPM
标准CAPM 认为：
即只有系统性风险beta被定价。
在标准CAPM中，特质风险被认为可以通过分散化消除，因此不应获得风险溢价。
2）特质风险
代码先估计滚动beta，再计算残差：
这个残差就是CAPM无法解释的特质收益。
理论上，特质收益的均值应为零，且不应预测未来收益。
但行为金融和实证研究发现，特质收益的高阶矩，尤其是特质偏度，可能被定价。
2.3 偏度偏好与三阶矩CAPM
传统的均值-方差框架只考虑一、二阶矩。若引入三阶矩，投资者可能偏好正偏收益。
Kraus 和 Litzenberger(1976)提出三阶矩CAPM：
其中是协偏度。
一般投资者偏好正偏，则高偏度资产价格高、预期收益低，偏度与预期收益负相关。
Harvey和Siddique(2000)进一步发现条件协偏度对横截面收益有解释力。
代码计算的是CAPM残差偏度，即特质偏度，不是系统性协偏度。
特质偏度在完全市场不应定价，但在现实摩擦下可能被定价。
2.4 彩票偏好与特质偏度异象
行为金融的核心解释是，投资者喜欢正偏资产，因为它像彩票。
正偏资产：大部分时间小亏，偶尔大赚。
负偏资产：大部分时间小赚，偶尔大亏。
在前景理论下，投资者高估小概率大收益，愿意为彩票型股票支付溢价，其结果是
正特质偏度股票被过度需求，价格高，预期收益低。
负特质偏度股票被冷落，价格低，预期收益高。
从这个角度看，特质偏度与未来收益负相关。
因子取负后：，则
与未来收益正相关。
对应做多高F(负偏、非彩票），做空低(正偏、彩票）。
2.5 为什么特质偏度会被定价
理论上特质风险可分散，但现实中存在多种摩擦.
1）分散化不足，散户持有股票数量少，特质偏度进入其效用函数。
2）卖空限制，彩票型股票被高估后，难以通过卖空纠正。
3）套利限制，小盘、低流动性、高换手股票套利成本高。
4）博彩偏好，投资者主动追求正偏收益。
5）杠杆约束，想博取高收益但不能加杠杆，于是买正偏股票。
7）信息不对称，正偏股票常伴随故事、题材、成长期权特征。
因此，正特质偏度股票容易被高估，负特质偏度股票被低估。
2.6 与MAX/IVOL/协偏度的区别
1）MAX 异象
过去一个月最大日收益，是正偏的简单代理。高 MAX 未来收益低。
2）IVOL 异象
高特质波动率股票未来收益低(Ang 等，2006）。
偏度与波动率相关，但偏度是方向性高阶矩。
3）协偏度
资产收益与市场收益平方的协方差，属于系统性偏度。特质偏度是CAPM残差的偏度。
本代码用 CAPM 残差，剥离市场 beta，更接近特质偏度。
3 组合含义
组合构建的典型做法是
1）每月末计算过去 60 日残差偏度。
2）取负得到因子值。
3）横截面排序，分 5 组或 10 组。
4）做多最高组（负偏、非彩票）。
5）做空最低组（正偏、彩票）。
6）持有下一个月，等权或市值加权。
另外，特质偏度因子常与以下暴露相关：
Beta
市值
行业
动量
短期反转
特质波动率
MAX
流动性
价格水平
实际使用时应做横截面标准化、去极值、行业市值中性、beta 中性，
甚至对 IVOL 和 MAX 中性，以提取纯特质偏度溢价。
reference
skewness收益偏度取负因子背后逻辑的探索
https://blog.csdn.net/liliang199/article/details/164087831
滚动CAPM贝塔的代码示例和分析