约定记号
- \(\operatorname{popcnt(s)}\)：01 串 \(s\) 中 1 的个数
- 对于 01 串 \(s,t\)：\(s\subseteq t\Longleftrightarrow s\operatorname{and} t=s\)
题目
给定正整数 \(n\ge 5\)，设所有长度为 \(n\) 的 01 串集合为 \(U\)。设 \(A\subseteq U\)，如果 \(A\) 同时满足：
- \(\forall a\in A,\operatorname{popcnt}(a)=4\)
- \(\forall b\in \{u\in U|\operatorname{popcnt}(u)=2\},\exists a\in A,b\subseteq a\)
则称 \(A\) 具有性质 \(P\)。
Subtask 1
当 \(n=8\) 时若集合 \(A\) 具有性质 \(P\)，求 \(A\) 中元素个数最小值。
我们尝试先证一个足够紧的下界，然后构造出下界。
注意到 \(1\) 个 \(a\) 最多覆盖 \(C_4^2=6\) 个 \(b\)，共 \(C_8^2=28\) 种 \(b\)。得到下界 \(\lceil28/6\rceil=5\)。
这还不够紧。我们考虑维护一个初始为 \(0\) 的数组 \(cnt\)。每当一个 \(b\) 被一个 \(a\) 覆盖就在两个为 \(1\) 位置上各 \(+1\)。
每个 \(b\) 至少被覆盖一次，最后 \(cnt\) 至少是 \((7,7,7,7,7,7,7,7)\)。
注意到每个 \(a\) 都会在对应 \(4\) 个位置各 \(+3\)。因此最终 \(cnt\) 数组至少是 \((9,9,9,9,9,9,9,9)\)，考虑总和得到下界 \(\lceil72/12\rceil=6\)。
给出一组构造：
\A_0=\\left\\{ \\begin{aligned} \&\\texttt{11110000},\\\\ \&\\texttt{00001111},\\\\ \&\\texttt{11001100},\\\\ \&\\texttt{11000011},\\\\ \&\\texttt{00111100},\\\\ \&\\texttt{00110011} \\end{aligned} \\right\\} \\
可以看成用 \(6\) 个 \(4\) 阶完全图覆盖 \(8\) 阶完全图。
可以看成是 \(8\) 个维度两两分组，然后 \(4\) 个组两两连边。
性质 1
每个维度恰好被覆盖 \(3\) 次。
由于 \(cnt_i\ge 9\)，而总和 \(=72\)，\(cnt\) 数组最终一定等于 \((9,9,9,9,9,9,9,9)\)，因此每维恰好被覆盖三次。
性质 2
如果 \(A\) 满足性质 \(P\)，那么 \(\{\operatorname{not} a|a\in A\}\) 满足性质 \(P\)。
我们考察每个 \(b\) 的两个 \(\texttt{1}\) 对应的两列，必然形如：
\\\begin{aligned} \&\\texttt{11}\\\\ \&\\texttt{1?}\\\\ \&\\texttt{1?}\\\\ \&\\texttt{0?}\\\\ \&\\texttt{0?}\\\\ \&\\texttt{0?} \\end{aligned} \\
由于第二列恰好有 \(3\) 个 \(\texttt{1}\)，因此一定有一行为 \(\texttt{00}\)，取反后变成 \(\texttt{11}\)。证毕。
Subtask 2
设 \(\sigma\) 为一个 \(1\sim 8\) 的排列。对于任意长 \(8\) 的 01 串 \(s=s_1s_2\dots s_8\)，定义 \(\sigma(s)=s_{\sigma(1)}s_{\sigma(2)}\dots s_{\sigma(8)}\)。
我们定义等价关系 \(\cong\)：\(A_1\cong A_2\Longleftrightarrow \exists \sigma, \{\sigma(a)|a\in A_1\}=A_2\)。不难验证自反性、对称性、传递性。
找出所有等价类。
写程序暴力枚举得到共 \(3\) 个等价类，代表元素：
\A_0=\\left\\{ \\begin{aligned} \&\\texttt{11110000},\\\\ \&\\texttt{00001111},\\\\ \&\\texttt{11001100},\\\\ \&\\texttt{11000011},\\\\ \&\\texttt{00111100},\\\\ \&\\texttt{00110011} \\end{aligned} \\right\\}, A_1=\\left\\{ \\begin{aligned} \&\\texttt{11110000},\\\\ \&\\texttt{00001111},\\\\ \&\\texttt{11001100},\\\\ \&\\texttt{10100011},\\\\ \&\\texttt{00111100},\\\\ \&\\texttt{01010011} \\end{aligned} \\right\\}, A_2=\\left\\{ \\begin{aligned} \&\\texttt{11110000},\\\\ \&\\texttt{11001100},\\\\ \&\\texttt{11000011},\\\\ \&\\texttt{00101011},\\\\ \&\\texttt{00011110},\\\\ \&\\texttt{00110101} \\end{aligned} \\right\\} \\