参考
几何变换群、矩阵表示与埃尔朗根纲领
1. 埃尔朗根纲领
克莱因的埃尔朗根纲领给出了一个统一看待几何的方式：
几何 = 空间 + 变换群 + 变换群下的不变量
设空间为 X X X，变换群为 G G G，则 G G G 作用在 X X X 上：
G × X → X G\times X\to X G×X→X
几何研究的核心，就是研究在 G G G 的作用下保持不变的性质。
因此：
改变变换群，就得到不同的几何 \boxed{\text{改变变换群，就得到不同的几何}} 改变变换群，就得到不同的几何
变换群越大，保持不变的性质越少；变换群越小，通常保持不变的性质越多。
2. 几何变换为什么形成群
几何变换需要满足：
- 恒等变换存在；
- 两个变换可以复合；
- 每个变换都有逆变换；
- 复合满足结合律。
因此自然构成群。
设 g 1 , g 2 ∈ G g_1,g_2\in G g1,g2∈G，则
g 1 g 2 ∈ G g_1g_2\in G g1g2∈G
并且
g − 1 ∈ G , e ∈ G g^{-1}\in G,\qquad e\in G g−1∈G,e∈G
这意味着连续进行多个几何变换，本质上就是群乘法。
3. 矩阵就是变换群的一种表示
如果空间可以用向量描述，那么几何变换可以表示为矩阵。
群 G G G 到一般线性群 G L ( n ) GL(n) GL(n) 的映射
ρ : G → G L ( n ) \rho:G\to GL(n) ρ:G→GL(n)
若满足
ρ ( g 1 g 2 ) = ρ ( g 1 ) ρ ( g 2 ) \rho(g_1g_2) =\rho(g_1)\rho(g_2) ρ(g1g2)=ρ(g1)ρ(g2)
则称 ρ \rho ρ 是群表示。
因此：
几何变换群 ⟶ 矩阵群 \boxed{\text{几何变换群}\longrightarrow\text{矩阵群}} 几何变换群⟶矩阵群
这就是几何变换与矩阵之间的基本联系。
4. 欧氏几何
欧氏几何要求保持距离和角度。
允许的刚体变换为
x ′ = R x + t x'\!=Rx+t x′=Rx+t
其中
R ∈ O ( n ) , t ∈ R n R\in O(n),\qquad t\in\mathbb R^n R∈O(n),t∈Rn
因此欧氏群为
E ( n ) = O ( n ) ⋉ R n E(n)=O(n)\ltimes\mathbb R^n E(n)=O(n)⋉Rn
如果只考虑保持方向的旋转和平移，则得到特殊欧氏群
S E ( n ) = S O ( n ) ⋉ R n SE(n)=SO(n)\ltimes\mathbb R^n SE(n)=SO(n)⋉Rn
使用齐次坐标：
x ′ 1 \] = \[ R t 0 1 \] \[ x 1 \] \\begin{bmatrix} x'\\\\1 \\end{bmatrix} =\\begin{bmatrix} R\&t\\\\ 0\&1 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} x\\\\1 \\end{bmatrix} \[x′1\]=\[R0t1\]\[x1
其不变量包括：
距离、角度、长度、圆等 \boxed{\text{距离、角度、长度、圆等}} 距离、角度、长度、圆等
5. 仿射几何
仿射变换放宽了条件：
x ′ = A x + t , A ∈ G L ( n ) x'=Ax+t,\qquad A\in GL(n) x′=Ax+t,A∈GL(n)
对应仿射群
A f f ( n ) = G L ( n ) ⋉ R n Aff(n)=GL(n)\ltimes\mathbb R^n Aff(n)=GL(n)⋉Rn
仿射变换不再保持距离和角度，但保持：
共线性、平行性、维数、仿射组合关系 \boxed{ \text{共线性、平行性、维数、仿射组合关系} } 共线性、平行性、维数、仿射组合关系
例如一条直线经过仿射变换后仍然是一条直线，平行直线仍然平行。
6. 射影几何
继续扩大变换群，可以得到射影几何。
射影空间中的变换由
P G L ( n + 1 ) PGL(n+1) PGL(n+1)
描述。
齐次坐标下：
X ′ = H X X'=HX X′=HX
其中
H ∈ G L ( n + 1 ) H\in GL(n+1) H∈GL(n+1)
但齐次坐标只确定到非零比例，因此矩阵
H , λ H H,\quad \lambda H H,λH
表示同一个射影变换。
射影几何保持的主要结构是：
点、线、面的关联关系 \boxed{\text{点、线、面的关联关系}} 点、线、面的关联关系
例如：
点在线上 \text{点在线上} 点在线上
这一关系在射影变换下保持。
此外，射影几何中的重要不变量是交比。
7. 非欧几何
非欧几何同样可以放进这个框架。
双曲几何
双曲几何不是把欧氏空间中的距离公式简单修改一下，而是使用不同的空间和不同的变换群。
例如在双曲空间 H n \mathbb H^n Hn 中，研究保持双曲度量的变换：
I s o m ( H n ) Isom(\mathbb H^n) Isom(Hn)
其变换保持双曲距离：
d H ( g x , g y ) = d H ( x , y ) d_{\mathbb H}(gx,gy)=d_{\mathbb H}(x,y) dH(gx,gy)=dH(x,y)
因此：
双曲几何的核心是不变量变成双曲度量 \boxed{\text{双曲几何的核心是不变量变成双曲度量}} 双曲几何的核心是不变量变成双曲度量
在常见模型中，双曲空间可以嵌入更高维空间，并利用 Lorentz 型矩阵表示其等距变换。
椭圆几何
椭圆几何可以看作球面几何进一步商掉对径点后的几何。
其典型变换群与正交群有关，例如：
P O ( n + 1 ) PO(n+1) PO(n+1)
它保持相应的椭圆几何结构。
椭圆几何与双曲几何、欧氏几何共同体现了一个重要事实：
几何不一定建立在欧氏空间上 \boxed{ \text{几何不一定建立在欧氏空间上} } 几何不一定建立在欧氏空间上
空间本身以及允许的变换群都可以改变。
8. 各种几何统一起来
从埃尔朗根纲领看，可以得到一个非常清晰的层次：
| 几何 | 主要变换群 | 典型不变量 |
|---|---|---|
| 欧氏几何 | E ( n ) E(n) E(n) | 距离、角度 |
| 仿射几何 | A f f ( n ) Aff(n) Aff(n) | 共线、平行、仿射关系 |
| 射影几何 | P G L ( n + 1 ) PGL(n+1) PGL(n+1) | 关联关系、交比 |
| 双曲几何 | I s o m ( H n ) Isom(\mathbb H^n) Isom(Hn) | 双曲距离、角度 |
| 椭圆几何 | P O ( n + 1 ) PO(n+1) PO(n+1) 等 | 椭圆距离、关联关系 |
因此，不同几何之间并不是互相孤立的理论。
它们可以理解为：
空间 + 允许的变换 ⟹ 几何不变量 \boxed{ \text{空间} \quad+\quad \text{允许的变换} \quad\Longrightarrow\quad \text{几何不变量} } 空间+允许的变换⟹几何不变量
9. 变换矩阵的统一观点
设一个几何变换为 M M M。
换一个坐标系后，同一个抽象变换的矩阵表示会改变：
M ′ = T M T − 1 M' =TMT^{-1} M′=TMT−1
这就是共轭变换。
因此：
M ⟶ T M T − 1 M \quad\longrightarrow\quad TMT^{-1} M⟶TMT−1
并不是产生了一个新的几何变换，而是同一个变换在不同坐标表示下的矩阵。
这也是为什么相似矩阵具有相同的特征值、行列式、迹等性质：
M ′ = T M T − 1 M'=TMT^{-1} M′=TMT−1
所保持的量，本质上与"坐标无关的结构"有关。
10. 核心思想
埃尔朗根纲领最终把大量看似不同的几何统一成了一个问题：
研究一个变换群作用下保持不变的结构 \boxed{ \text{研究一个变换群作用下保持不变的结构} } 研究一个变换群作用下保持不变的结构
于是：
欧氏几何 → 欧氏变换群 仿射几何 → 仿射变换群 射影几何 → 射影变换群 双曲几何 → 双曲等距群 椭圆几何 → 椭圆几何变换群 \begin{aligned} \text{欧氏几何} &\rightarrow \text{欧氏变换群}\\ \text{仿射几何} &\rightarrow \text{仿射变换群}\\ \text{射影几何} &\rightarrow \text{射影变换群}\\ \text{双曲几何} &\rightarrow \text{双曲等距群}\\ \text{椭圆几何} &\rightarrow \text{椭圆几何变换群} \end{aligned} 欧氏几何仿射几何射影几何双曲几何椭圆几何→欧氏变换群→仿射变换群→射影变换群→双曲等距群→椭圆几何变换群
而矩阵表示则把这些抽象的群作用转化为可以直接计算的代数对象。
因此可以把整个观点浓缩为：
几何 = 空间 + 变换群 + 不变量 \boxed{ \text{几何} =\text{空间} + \text{变换群} + \text{不变量} } 几何=空间+变换群+不变量