一、常见的进制
| 进制 | 基数 | 数字符号 | 前缀/后缀 |
|---|---|---|---|
| 二进制 | 2 | 0, 1 | 0b（如 0b1010） |
| 八进制 | 8 | 0~7 | 0o 或 0（如 0o17） |
| 十进制 | 10 | 0~9 | 无 |
| 十六进制 | 16 | 0~9, A~F | 0x（如 0x1F） |
二、各进制转十进制
方法：按权展开求和
对于任意 R 进制数，第 i 位的权是 R的 i 次方（整数部分从右往左，i 从 0 开始）
例 1：二进制 1011 → 十进制
1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8+0+2+1 = 11（二进制对应底数是 2）
例 2：十六进制 2F → 十进制
2×16¹ + 15×16⁰ = 32+15 = 47（十六进制对应底数是 16）
例 3：带小数 101.11（二进制）→ 十进制
1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ + 1×2⁻¹ + 1×2⁻² = 4+0+1+0.5+0.25 = 5.75
例 4：八进制 257 → 十进制
2×8² + 5×8¹ + 7×8⁰ = 128 + 40 + 7 = 175（八进制对应底数是 8）
例 5：带小数的八进制 257.25 → 十进制
整数部分：2×8² + 5×8¹ + 7×8⁰ = 128+40+7 = 175
小数部分：2×8⁻¹ + 5×8⁻² = 2×0.125 + 5×0.015625 = 0.25 + 0.078125 = 0.328125
合并结果：257.25₍₈₎ = 175.328125₍₁₀₎
例 6：十进制 257 → 十进制 （说明"十进制本身就是按权展开的结果"）
2×10² + 5×10¹ + 7×10⁰ = 200 + 50 + 7 = 257
其他根据 R 进制对应底数是 R，以此类推。
三、十进制转其他进制
1. 整数部分：除R取余，逆序排列
例1：十进制 45 → 二进制
45 ÷ 2 = 22 ... 余 1
22 ÷ 2 = 11 ... 余 0
11 ÷ 2 = 5 ... 余 1
5 ÷ 2 = 2 ... 余 1
2 ÷ 2 = 1 ... 余 0
1 ÷ 2 = 0 ... 余 1
从下往上读余数：101101
例 2：十进制 45 → 八进制
45 ÷ 8 = 5 ... 余 5
5 ÷ 8 = 0 ... 余 5
从下往上读余数：55
验证：5×8¹ + 5×8⁰ = 40 + 5 = 45
例 3：十进制 45 → 十六进制
45 ÷ 16 = 2 ... 余 13（即 D）
2 ÷ 16 = 0 ... 余 2
从下往上读余数：2D
验证：2×16¹ + 13×16⁰ = 32 + 13 = 45
例 4：十进制 200 → 八进制
2. 小数部分：乘R取整，顺序排列
例：十进制 0.625 → 二进制
0.625 × 2 = 1.25 → 取整 1
0.25 × 2 = 0.5 → 取整 0
0.5 × 2 = 1.0 → 取整 1
小数部分变为 0，转换结束。
从上往下读整数：0.101 ( 小数转出来的 101 本身也是一个二进制数，如果不加小数点，它会被理解成整数101（十进制 5），而不是 0.101（十进制 0.625）。)
例 2：十进制 0.625 → 八进制
0.625 × 8 = 5.0 → 取整 5
小数部分变为 0，转换结束。
从上往下读整数：0.5
验证：5×8⁻¹ = 5×0.125 = 0.625
例 3：十进制 0.625 → 十六进制
0.625 × 16 = 10.0 → 取整 10（即 A）
小数部分变为 0，转换结束。
从上往下读整数：0.A
验证：10×16⁻¹ = 10×0.0625 = 0.625
例 4：十进制 0.1 → 八进制（用于展示除不尽、无限循环的情况）
0.1 × 8 = 0.8 → 取整 0
0.8 × 8 = 6.4 → 取整 6
0.4 × 8 = 3.2 → 取整 3
0.2 × 8 = 1.6 → 取整 1
0.6 × 8 = 4.8 → 取整 4
0.8 × 8 = 6.4 → 取整 6 ← 开始循环
...
结果：0.063146...（无限循环，无法精确表示）
3. 整数部分和小数部分要拼回去，小数点不能丢
示例1：十进制数 45.625 转二进制
45.625
├── 整数部分 45 → 除2取余逆读 → 101101
└── 小数部分 0.625 → 乘2取整顺读 → 101
最后拼起来：
45.625₍₁₀₎ = 101101.101₍₂₎
注：这里的(10) 和 (2 ) 对应 十进制 和 二进制
示例2：十进制数 45.625 转八进制
45.625
├── 整数部分 45 → 除8取余逆读 → 55
└── 小数部分 0.625 → 乘8取整顺读 → 5
最后拼起来：
45.625₍₁₀₎ = 55.5₍₈₎
验证：5×8¹ + 5×8⁰ + 5×8⁻¹ = 40 + 5 + 0.625 = 45.625
示例3：十进制数 45.625 转十六进制
45.625
├── 整数部分 45 → 除16取余逆读 → 2D
└── 小数部分 0.625 → 乘16取整顺读 → A
最后拼起来：
45.625₍₁₀₎ = 2D.A₍₁₆₎
验证：2×16¹ + 13×16⁰ + 10×16⁻¹ = 32 + 13 + 0.625 = 45.625
整数部分
... 2² 2¹ 2⁰
↑ ↑ ↑
高位 低位
越往左，权越大。所以除基取余时，先得到的余数是低位，要逆序读才能得到正确结果。
小数部分2⁻¹ 2⁻² 2⁻³ ...
↑ ↑ ↑
高位 低位
越往左，权越大 ；越往右，权越小。所以第一个乘出来的整数，对应的是 2⁻¹ 位，也就是小数点后第一位。
0.101₍₂₎ = 1×2⁻¹ + 0×2⁻² + 1×2⁻³ = 0.5 + 0 + 0.125 = 0.625
四、二进制与八进制、十六进制的快速转换
这是最常用的技巧，因为 8=2³，16=2⁴。
二进制 ↔ 八进制（3 位一组）
例：二进制 10110101 → 八进制
从右往左每 3 位分组，不足补 0：
010 110 101
2 6 5
结果：265
二进制 ↔ 十六进制（4 位一组）
例：二进制 10110101 → 十六进制
从右往左每 4 位分组：
1011 0101
B 5
结果：B5
反向转换
例 1：八进制 72 → 二进制
7 → 111
2 → 010
结果：111010（去掉前导 0 为 111010）
验证：7×8¹ + 2×8⁰ = 56 + 2 = 58
111010₍₂₎ = 32+16+8+0+2+0 = 58
例 3：十六进制 3A → 二进制
3 → 0011
A → 1010
结果：00111010（去掉前导 0 为 111010）
验证：3×16¹ + 10×16⁰ = 48 + 10 = 58
111010₍₂₎ = 32+16+8+0+2+0 = 58
五、常用对照表
| 十进制 | 二进制 | 八进制 | 十六进制 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 0 | 0 |
| 1 | 0001 | 1 | 1 |
| 2 | 0010 | 2 | 2 |
| 3 | 0011 | 3 | 3 |
| 4 | 0100 | 4 | 4 |
| 5 | 0101 | 5 | 5 |
| 6 | 0110 | 6 | 6 |
| 7 | 0111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
六、总规律
任何进制转十进制，本质都是一句话：
每一位数字 × 这一位的权重，然后全部加起来。
权重怎么来？
-
整数部分：从右往左，第 0 位、第 1 位、第 2 位......
-
小数部分：从左往右，第 -1 位、第 -2 位、第 -3 位......
对于 R 进制：
第 i 位的权重 = Rⁱ
所以：
十进制值=∑(该位数字 × Rⁱ)
一、二进制
二进制基数 R = 2。
权重：
| 位置 | 权重 |
|---|---|
| 整数第0位 | 2⁰ = 1 |
| 整数第1位 | 2¹ = 2 |
| 整数第2位 | 2² = 4 |
| 整数第3位 | 2³ = 8 |
| 小数第1位 | 2⁻¹ = 0.5 |
| 小数第2位 | 2⁻² = 0.25 |
1. 只有整数部分
例：二进制 101
从右往左写权重：
二进制： 1 0 1
位置： 2 1 0
权重： 4 2 1
计算：
1×4+0×2+1×1=4+0+1=5
所以：
101₍₂₎ = 5₍₁₀₎
原始过程：
最右边是第0位，权重 2⁰ = 1
中间是第1位，权重 2¹ = 2
最左边是第2位，权重 2² = 4
是 1 就加对应权重，是 0 就不加
2. 只有小数部分
例：二进制 0.101
从小数点后第一位开始：
二进制： 0 . 1 0 1
位置： -1 -2 -3
权重： 0.5 0.25 0.125
计算：
1×0.5+0×0.25+1×0.125=0.5+0+0.125=0.625
所以：
0.101₍₂₎ = 0.625₍₁₀₎
原始过程：
小数点后第1位，权重 2⁻¹ = 0.5
小数点后第2位，权重 2⁻² = 0.25
小数点后第3位，权重 2⁻³ = 0.125
仍然是：数字 × 权重，然后相加
3. 整数部分 + 小数部分
例：二进制 101.101
拆成两半：
整数部分：
101₍₂₎ = 4 + 0 + 1 = 5
小数部分：
0.101₍₂₎ = 0.5 + 0 + 0.125 = 0.625
合起来：
101.101₍₂₎ = 5.625₍₁₀₎
原始过程：
二进制： 1 0 1 . 1 0 1
位置： 2 1 0 -1 -2 -3
权重： 4 2 1 0.5 0.25 0.125
计算：
1×4+0×2+1×1+1×0.5+0×0.25+1×0.125=4+0+1+0.5+0+0.125=5.625
二、八进制
八进制基数 R = 8。
权重：
| 位置 | 权重 |
|---|---|
| 整数第0位 | 8⁰ = 1 |
| 整数第1位 | 8¹ = 8 |
| 整数第2位 | 8² = 64 |
| 整数第3位 | 8³ = 512 |
| 小数第1位 | 8⁻¹ = 0.125 |
| 小数第2位 | 8⁻² = 0.015625 |
例：八进制 2571. 只有整数部分
从右往左：
八进制： 2 5 7
位置： 2 1 0
权重： 64 8 1
计算：
2×64+5×8+7×1=128+40+7=175
所以：
257₍₈₎ = 175₍₁₀₎
2. 只有小数部分
例：八进制 0.25
八进制： 0 . 2 5
位置： -1 -2
权重： 0.125 0.015625
计算：
2×0.125+5×0.015625=0.25+0.078125=0.328125
所以：
0.25₍₈₎ = 0.328125₍₁₀₎
3. 整数部分 + 小数部分
例：八进制 257.25
整数部分：
257₍₈₎ = 175₍₁₀₎
小数部分：
0.25₍₈₎ = 0.328125₍₁₀₎
合起来：
257.25₍₈₎ = 175.328125₍₁₀₎
三、十进制
十进制基数 R = 10。
其实我们平时写的十进制数，本身就是按权展开的结果。
权重：
| 位置 | 权重 |
|---|---|
| 整数第0位 | 10⁰ = 1 |
| 整数第1位 | 10¹ = 10 |
| 整数第2位 | 10² = 100 |
| 小数第1位 | 10⁻¹ = 0.1 |
| 小数第2位 | 10⁻² = 0.01 |
例：十进制 2571. 只有整数部分
十进制： 2 5 7
权重： 100 10 1
计算：
2×100+5×10+7×1=200+50+7=257
2. 只有小数部分
例：十进制 0.25
十进制： 0 . 2 5
权重： 0.1 0.01
计算：
2×0.1+5×0.01=0.2+0.05=0.25
四、十六进制
十六进制基数 R = 16。
数字：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
其中：
A = 10
B = 11
C = 12
D = 13
E = 14
F = 15
权重：
| 位置 | 权重 |
|---|---|
| 整数第0位 | 16⁰ = 1 |
| 整数第1位 | 16¹ = 16 |
| 整数第2位 | 16² = 256 |
| 整数第3位 | 16³ = 4096 |
| 小数第1位 | 16⁻¹ = 0.0625 |
| 小数第2位 | 16⁻² = 0.00390625 |
例：十六进制 2F1. 只有整数部分
先转换字母：
F = 15
从右往左：
十六进制： 2 F
位置： 1 0
权重： 16 1
数字： 2 15
计算：
2×16+15×1=32+15=47
所以：
2F₍₁₆₎ = 47₍₁₀₎
2. 只有小数部分
例：十六进制 0.8
十六进制： 0 . 8
位置： -1
权重： 0.0625
数字： 8
计算：
8×0.0625=0.5
所以：
0.8₍₁₆₎ = 0.5₍₁₀₎
3. 整数部分 + 小数部分
例：十六进制 2F.8
整数部分：
2F₍₁₆₎ = 47₍₁₀₎
小数部分：
0.8₍₁₆₎ = 0.5₍₁₀₎
合起来：
2F.8₍₁₆₎ = 47.5₍₁₀₎