Qwt7的曲线渲染平滑实现：高斯卷积、Savitzky-Golay 回归与特征保护

曲线渲染平滑：高斯卷积、Savitzky-Golay 回归与特征保护

QWT7.4.2增加了曲线平滑的功能，这里记录一下原理，项目地址位于：

• github : https://github.com/czyt1988/QWT
• gitee : https://gitee.com/czyt1988/QWT

摘要 ------ 降采样解决的是"点太多画不动"，平滑解决的是"画出来像噪声"。上一篇文章的结论在这里变成前提：MinMax 桶降采样刻意保留每个桶的极值 ，因此随机抖动的极值也全部幸存------实测 100,000 点频谱在 900×500 画布上经降采样后，噪声带平均厚度仍有 65 像素行。QWT7.4 的渲染平滑在绘制管线的折线上直接施加低通滤波：高斯加权卷积 与 Savitzky-Golay 局部多项式回归 ，两者只修改 $yy$ y 坐标、不触碰采样数据。本文从偏差-方差分解出发，完整推导两种核的数学结构（含 Savitzky-Golay 的矩条件、 $p=2p=2$ p=2 与 $p=3p=3$ p=3 等价的奇偶论证、以及"噪声增益等于核中心系数"的恒等式），随后剖析第三块拼图------特征保护：用宽基线 + MAD 稳健噪声估计 + 软阈值混合，把被滤波器削平的峰谷恢复到原始位置与高度。全部性质附数值实验验证与完整代码实践。
核心结论

• 高斯核（ $\sigma =w/4\backslash sigma\; =\; w/4$ σ=w/4）噪声抑制最强（ $w=15w=15$ w=15 时残余噪声为输入的 28.6%），但对窄峰的衰减有闭式解： $b/\; b2+\sigma 2\; b/\backslash sqrt\{b^2+\backslash sigma^2\}$ b/b2+σ2 ------一个 $\sigma =3.75\backslash sigma=3.75$ σ=3.75 的核会把宽度 $b=3b=3$ b=3 点的峰削去 35% 的高度
• Savitzky-Golay 核是"中心点处局部多项式最小二乘"的等价卷积形式：任意 $pp$ p 阶多项式零失真通过（多项式保持定理），因此保峰能力远强于高斯，代价是残余噪声高约 36%（同窗口下 $g=0.389\; \backslash sqrt\{g\}=0.389$ g =0.389 vs $0.2870.287$ 0.287）
• 特征保护把"线性的、无差别的衰减"变成"非线性的、有选择的保留"：默认 $\tau =3\backslash tau\; =\; 3$ τ=3 时，窄峰峰顶与深谷谷底的像素行与未平滑渲染逐行一致，而噪声带从 65.4 px 收敛到 6.1 px（高斯 + LTTB，900×500 画布实测）

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1. 引言：降采样为什么去不掉噪声

从上篇文章的命题 1（全局极值保留）可以立即推出一个反直觉的结论：

推论（噪声幸存） 若输入包含随机抖动，则抖动在每个桶内几乎必然产生极值；MinMax 桶保留每桶极值 ⇒ 抖动的极值被完整保留。降采样后的折线不是"更干净"，而是"更少的点、同样的毛刺"。

实测（与前篇相同的 100,000 点频谱、900×500 画布、MinMax 桶降采样）：折线的列包络平均厚度 65.4 像素行------以 1 像素宽的画笔绘制时，这是一条 60 多像素宽的"噪声带"。

为什么不在数据层平滑？两个理由：

1. 数据是资产 。采样数据要用于分析、导出、与其他工具互操作；渲染平滑去掉了毛刺，但 data() 里的原始值分毫未动。
2. 渲染层平滑是可逆的。它作用于每次绘制的折线，窗口以"渲染点"计而不是以"采样"计------缩放时窗口的视觉效果恒定（第 6 节论证）。在数据层做固定窗口平滑，放大后平滑强度会发生变化。

Fitted 属性也救不了场：它是插值 （样条穿过每一个点），插值精确复现噪声而不是滤除它。真正需要的是一个低通滤波器。

2. 问题形式化

2.1 信号模型

设降采样后的折线为 $(xi,\; y^i\; )\; (x\_i,\; \backslash hat\{y\}\_i)$ (xi,y^i)（ $yy$ y 是像素行），假设
$$y^i\; =f(xi)+\epsilon i,\epsilon i\sim N(0,\sigma 2),i.i.d.\; \backslash hat\{y\}\_i\; =\; f(x\_i)\; +\; \backslash varepsilon\_i,\; \backslash qquad\; \backslash varepsilon\_i\; \backslash sim\; \backslash mathcal\{N\}(0,\; \backslash sigma^2),\; \backslash quad\; \backslash text\{i.i.d.\}$$ y^i=f(xi)+εi,εi∼N(0,σ2),i.i.d.

其中 $ff$ f 是"真实形状"（光滑、低频）， $\epsilon \backslash varepsilon$ ε 是渲染噪声（抖动、毛刺）。目标是估计 $f^=(\; y^1\; ,...,\; y^n\; )\; \backslash hat\{f\}\; =\; (\backslash hat\{y\}$1, \ldots, \hat{y}n) f^=(y^1,...,y^n)，使均方误差最小。对任意估计器有偏差-方差分解
$$E$$(f\^−f)2 = (Ef\^−f) 2 ⏟偏差2 + Var⁡f\^ ⏟ 方差 \mathbb{E}\left (\\hat{f} - f)\^2 \\right = \underbrace{\left( \mathbb{E}\\hat{f} - f \right)^2}{\text{偏差}^2} + \underbrace{\operatorname{Var}\\hat{f}}{\text{方差}} E(f\^−f)2=偏差2 (Ef\^−f)2+方差 Varf\^

• 偏差来自"过度平滑"：峰被削矮、形状变圆------这是不可逆的数据失真；
• 方差来自"欠平滑"：噪声残余------这是视觉上的毛刺。

两种核分别对应两种权衡：高斯把方差压到最低（偏差更大），Savitzky-Golay 把偏差压到最低（方差更大）。特征保护（第 5 节）则试图同时消除两者：对噪声区取低方差估计，对特征区取零偏差估计。

2.2 线性平移不变滤波器

两类核都属于线性平移不变（LSI）滤波器，输出是输入的卷积：
$$f^i\; =\; \sum j=-mm\; cj\hspace{0.17em}\; y^i+j\; ,m=\; w-12\; \backslash hat\{f\}$$i = \sum{j=-m}^{m} c_j\, \hat{y}_{i+j}, \qquad m = \frac{w-1}{2} f^i=j=−m∑mcjy^i+j,m=2w−1

其中 $ww$ w 为奇数窗口。两个基本约束：

1. 直流增益为 1 （常数信号不变）： $\sum jcj=1\; \backslash sum\_j\; c\_j\; =\; 1$ ∑jcj=1；
2. 零相位 （不引入水平偏移）：核对称 $c-j\; =cj\; c\_\{-j\}\; =\; c\_j$ c−j=cj。

零相位意味着频响为实值偶函数： $H(\omega )=c0+2\; \sum j=1m\; cjcos(j\omega )H(\backslash omega)\; =\; c\_0\; +\; 2\backslash sum\_\{j=1\}^m\; c\_j\; \backslash cos(j\backslash omega)$ H(ω)=c0+2∑j=1mcjcos(jω)，对输入没有相位失真------峰的位置（保持在其 $xx$ x 处）只可能被削矮，不可能被平移。

2.3 频域视角

低通滤波的频响刻画：低于截止频率的成分近似不变（ $\mid H\mid \approx 1|H|\; \backslash approx\; 1$ ∣H∣≈1），高于截止频率的成分被衰减。两个常用标量：

• 噪声增益 $g=\sum jcj2\; g\; =\; \backslash sum\_j\; c\_j^2$ g=∑jcj2：白噪声经滤波后方差变为 $\sigma 2g\backslash sigma^2\; g$ σ2g（零相位对称核、i.i.d. 假设下由卷积的直接计算得到）。剩余噪声标准差 $\sigma g\; \backslash sigma\backslash sqrt\{g\}$ σg 是"噪声抑制"的定量指标；
• -3 dB 截止频率 ： $\mid H(fc)\mid =1/2\; |H(f\_c)|\; =\; 1/\backslash sqrt\{2\}$ ∣H(fc)∣=1/2 。

两个指标描述同一枚硬币的两面：截止越早（ $fc\; f\_c$ fc 小），噪声增益越低。

3. 高斯核平滑（GaussianSmoothing）

3.1 定义

连续高斯核与 QWT7 的离散化：
$$G\sigma (t)=\; 1\; 2\pi \; \hspace{0.17em}\sigma \; \hspace{0.17em}e-t2/2\sigma 2,cj=\; e-j2/2\sigma 2\; \sum k=-mm\; e-k2/2\sigma 2\; ,\sigma =max\; (1,\; w4)\; G\_\{\backslash sigma\}(t)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\backslash ,\backslash sigma\}\backslash ,\; e^\{-t^2\; /\; 2\backslash sigma^2\},\; \backslash qquad\; c\_j\; =\; \backslash frac\{e^\{-j^2\; /\; 2\backslash sigma^2\}\}\{\backslash sum\_\{k=-m\}^\{m\}\; e^\{-k^2\; /\; 2\backslash sigma^2\}\},\; \backslash qquad\; \backslash sigma\; =\; \backslash max\backslash left(1,\backslash \; \backslash frac\{w\}\{4\}\backslash right)$$ Gσ(t)=2π σ1e−t2/2σ2,cj=∑k=−mme−k2/2σ2e−j2/2σ2,σ=max(1, 4w)

分母归一化保证直流增益 1。窗口宽度 $w=4\sigma w\; =\; 4\backslash sigma$ w=4σ 意味着窗口覆盖 $\pm 2\sigma \backslash pm\; 2\backslash sigma$ ±2σ------高斯主体（占全部质量的 95.4%）都在窗内，截断误差可忽略。

3.2 频域性质

连续高斯核的傅里叶变换仍是高斯（高斯是傅里叶变换的不动点族）：
$$F$$Gσ (f)=e−2π2σ2f2 \mathcal{F}\left G_\\sigma \\right(f) = e^{-2\pi^2 \sigma^2 f^2} FGσ(f)=e−2π2σ2f2

因此 -3 dB 截止频率有闭式解：
$$fc=\; ln2\; 2\pi \sigma \; \approx 0.1325\sigma \; f\_c\; =\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{\backslash ln\; 2\}\}\{2\backslash pi\; \backslash sigma\}\; \backslash approx\; \backslash frac\{0.1325\}\{\backslash sigma\}$$ fc=2πσln2 ≈σ0.1325

实测（离散核，第 7 节）： $w=15w=15$ w=15（ $\sigma =3.75\backslash sigma=3.75$ σ=3.75）时 $fc=0.0394\; f\_c\; =\; 0.0394$ fc=0.0394 周期/点，与闭式解 0.0353 吻合（离散化的截断让截止略微后移）。为什么研究它 ：把 1 个"折线点"想成 1 个像素列， $fc=0.0394\; f\_c\; =\; 0.0394$ fc=0.0394 意味着周期短于约 25 个像素列的结构都会被打薄------这就是"高斯平滑会让窄峰变圆"的定量来源。

3.3 峰值衰减定理：闭式解

定理（峰值衰减） 设信号峰是宽度为 $bb$ b（标准差）的高斯凸包 $f(t)=h\hspace{0.17em}e-t2/2b2f(t)\; =\; h\backslash ,\; e^\{-t^2/2b^2\}$ f(t)=he−t2/2b2，经过标准差 $\sigma \backslash sigma$ σ 的高斯核卷积后仍是高斯，宽度相加、面积守恒：
$$f\ast G\sigma (t)=h\cdot \; b\; b2+\sigma 2\; \cdot exp\hspace{0.17em}\; (-\; t22(b2+\sigma 2)\; )\; f\; *\; G\_\backslash sigma\; (t)\; =\; h\; \backslash cdot\; \backslash frac\{b\}\{\backslash sqrt\{b^2\; +\; \backslash sigma^2\}\}\; \backslash cdot\; \backslash exp\backslash !\backslash left(\; -\backslash frac\{t^2\}\{2(b^2+\backslash sigma^2)\}\; \backslash right)$$ f∗Gσ(t)=h⋅b2+σ2 b⋅exp(−2(b2+σ2)t2)

证明 ：两个高斯卷积=积的核（ $e-u2/2b2e-(t-u)2/2\sigma 2e^\{-u^2/2b^2\}\; e^\{-(t-u)^2/2\backslash sigma^2\}$ e−u2/2b2e−(t−u)2/2σ2 配方法）即得------方差相加 $b2+\sigma 2b^2\; +\; \backslash sigma^2$ b2+σ2，归一化常数按 $1\; 2\pi \; b2+\sigma 2\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\backslash pi\}\backslash sqrt\{b^2+\backslash sigma^2\}\}$ 2π b2+σ2 1 收缩。面积（ $\int f=\; 2\pi \; bh\; \backslash int\; f\; =\; \backslash sqrt\{2\backslash pi\}\; b\; h$ ∫f=2π bh）在卷积下不变，于是高度按宽度比收缩。 $\square \backslash square$ □

推论（峰值保持率）
$$R(b)=\; b\; b2+\sigma 2\; R(b)\; =\; \backslash frac\{b\}\{\backslash sqrt\{b^2\; +\; \backslash sigma^2\}\}$$ R(b)=b2+σ2 b

数值（ $w=15w\; =\; 15$ w=15， $\sigma =3.75\backslash sigma\; =\; 3.75$ σ=3.75）：

峰宽 $bb$ b（点）	高斯实测	理论	SG $p=2p=2$ p=2	SG $p=4p=4$ p=4
1	0.270	0.258	0.368	0.551
2	0.493	0.471	0.667	0.868
3	0.653	0.625	0.847	0.968
5	0.828	0.800	0.965	0.997
8	0.923	0.906	0.993	1.000
12	0.964	0.955	0.999	1.000

宽带为 1--3 点的窄峰（即第 4 节要保护的"特征"）被高斯核削去 35%--73% 的高度------不加以保护时，窄峰不是变圆，而是明显变矮。这就是为什么平滑必须搭配特征保护（第 5 节）。

3.4 尺度空间解释

高斯卷积还等价于热扩散方程的一个时间步。设 $u(t,s)u(t,\; s)$ u(t,s) 满足
$$\partial u\partial s\; =12\; \partial 2u\partial t2\; ,u(t,0)=f(t)\; \backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; s\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash frac\{\backslash partial^2\; u\}\{\backslash partial\; t^2\},\; \backslash qquad\; u(t,\; 0)\; =\; f(t)$$ ∂s∂u=21∂t2∂2u,u(t,0)=f(t)

则 $u(t,s)=f\ast \; Gs\; (t)u(t,\; s)\; =\; f\; *\; G\_\{\backslash sqrt\{s\}\}(t)$ u(t,s)=f∗Gs (t)------对 $ff$ f 做标准差 $s\; \backslash sqrt\{s\}$ s 的高斯卷积，正好是"把信号演化到尺度 $ss$ s"。这个视角给出了高斯平滑的深层身份：它是尺度空间滤波 ，与图像处理中的金字塔、边缘检测的尺度空间理论一脉相承。而 QWT7 的 $\sigma =w/4\backslash sigma\; =\; w/4$ σ=w/4 只是固定选取了一个演化时间。

3.5 边界处理：镜像延拓

折线两端没有邻居，需要延拓。QWT7 采用镜像反射 （qwtReflectIndex）：索引出界时按边界点反射
i<lo⇒i′=2⋅lo−i,i≥hi⇒i′=2(hi−1)−i

以边界采样点本身为轴反射（不复制边界点），等价于对信号做偶延拓 ： $y-k\; =yk\; y\_\{-k\}\; =\; y\_k$ y−k=yk。偶延拓在边界处导数为零（Neumann 边界条件），因此平滑后的折线在两端保持水平切线、不会产生阶跃伪影。含 NaN 的点会把折线切段 （qwtConvolvePolyline），每段独立卷积；短于窗口的碎段原样通过，不被扭曲。

3.6 计算

直接卷积 $O(n\cdot w)O(n\; \backslash cdot\; w)$ O(n⋅w)。高斯核无特殊结构可复用前缀和（与箱式不同），但 $nn$ n 是降采样后的折线长度（通常数千）， $w\le 31w\; \backslash le\; 31$ w≤31，开销可忽略；实测 100,000 点频谱完整重绘 ≈ 0.1 ms 量级（第 7 节）。核在每次重绘时重新生成（方差随窗口变化），成本同样可忽略。

4. Savitzky-Golay 核平滑（SavitzkyGolaySmoothing）

4.1 历史与直觉

Savitzky 与 Golay 1964 年在 Analytical Chemistry 上提出"用滑动窗口最小二乘多项式拟合代替直接卷积"的方法，是光谱学的经典平滑工具。本质洞察 ：对每个窗口，用阶数为 $pp$ p 的多项式在最小二乘意义下拟合全部 $ww$ w 个点，取多项式在窗口中心 的值作为输出。拟合是线性的 ⇒ 整个操作等价于一个固定核的卷积------系数只依赖 $(w,p)(w,\; p)$ (w,p)，与数据无关，可以预先算好。

4.2 数学推导：从最小二乘到卷积核

在窗口 $$−m,m-m, m −m,m 内拟合 $pp$ p 阶多项式
$$g(t)=\; \sum k=0p\; aktkg(t)\; =\; \backslash sum\_\{k=0\}^\{p\}\; a\_k\; t^k$$ g(t)=k=0∑paktk

最小二乘目标：
$$J(a)=\; \sum j=-mm\; (\; y^i+j\; -\; \sum k=0p\; akjk)\; 2\; J(\backslash mathbf\{a\})\; =\; \backslash sum\_\{j=-m\}^\{m\}\; \backslash left(\; \backslash hat\{y\}$${i+j} - \sum{k=0}^p a_k j^k \right)^2 J(a)=j=−m∑m(y^i+j−k=0∑pakjk)2

令 $y=(\; y^i-m\; ,...,\; y^i+m\; )\top \; \backslash mathbf\{y\}\; =\; (\backslash hat\{y\}${i-m}, \ldots, \hat{y}{i+m})^\top y=(y^i−m,...,y^i+m)⊤，设计矩阵为 Vandermonde 矩阵 $V\in Rw\times (p+1)V\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^\{w\; \backslash times\; (p+1)\}$ V∈Rw×(p+1)：
V= (−m)0⋮m0(−m)1⋮m1⋯⋯(−m)p⋮mp

法方程 $V\top Va=V\top yV^\backslash top\; V\; \backslash mathbf\{a\}\; =\; V^\backslash top\; \backslash mathbf\{y\}$ V⊤Va=V⊤y 给出 $a=(V\top V)-1V\top y\backslash mathbf\{a\}\; =\; (V^\backslash top\; V)^\{-1\}\; V^\backslash top\; \backslash mathbf\{y\}$ a=(V⊤V)−1V⊤y。窗口中心的输出是 $g(0)=a0=e1\top ag(0)\; =\; a\_0\; =\; \backslash mathbf\{e\}\_1^\backslash top\; \backslash mathbf\{a\}$ g(0)=a0=e1⊤a，即
$$f^i\; =\; e1\top (V\top V)-1V\top \; ⏟\; =\hspace{0.17em}c\top \; y⟹c\top =e1\top (V\top V)-1V\top \; \backslash hat\{f\}\_i\; =\; \backslash underbrace\{\backslash mathbf\{e\}$$1^\top (V^\top V)^{-1} V^\top}{=\, \mathbf{c}^\top} \mathbf{y} \qquad\Longrightarrow\qquad \mathbf{c}^\top = \mathbf{e}_1^\top (V^\top V)^{-1} V^\top f^i==c⊤ e1⊤(V⊤V)−1V⊤y⟹c⊤=e1⊤(V⊤V)−1V⊤

结论：SG 平滑 = 卷积核 $c\backslash mathbf\{c\}$ c 的卷积 。核只依赖 $(w,p)(w,\; p)$ (w,p)。

QWT7 的实现（qwtSavitzkyGolayKernel）走法方程的矩形式：定义窗口矩
$$\mu k=\; \sum j=-mm\; jk,k=0,...,2p\; \backslash mu\_k\; =\; \backslash sum\_\{j=-m\}^\{m\}\; j^k,\; \backslash qquad\; k\; =\; 0,\; \backslash ldots,\; 2p$$ μk=j=−m∑mjk,k=0,...,2p

则 $(V\top V\; )kl\; =\; \mu k+l\; (V^\backslash top\; V)${kl} = \mu{k+l} (V⊤V)kl=μk+l（Hankel 矩阵），右端为 $e1\; \backslash mathbf\{e\}\_1$ e1，解线性方程组 $(V\top V)a=e1(V^\backslash top\; V)\backslash mathbf\{a\}\; =\; \backslash mathbf\{e\}$1 (V⊤V)a=e1 后回代：
$$cj=\; \sum k=0p\; akjk,j=-m,...,m\; c\_j\; =\; \backslash sum$${k=0}^{p} a_k j^k, \qquad j = -m, \ldots, m cj=k=0∑pakjk,j=−m,...,m

4.3 矩条件：奇偶分解与 $p=2=p=3p=2\; =\; p=3$ p=2=p=3

对称窗口的奇次矩为零： $\mu 1=\mu 3=\cdots =0\; \backslash mu\_1\; =\; \backslash mu\_3\; =\; \backslash cdots\; =\; 0$ μ1=μ3=⋯=0。因此 $V\top VV^\backslash top\; V$ V⊤V 的偶/奇系数块解耦 ；右端 $e1\; \backslash mathbf\{e\}\_1$ e1 只落在偶块，于是 $a\backslash mathbf\{a\}$ a 中所有奇次系数为零：SG 核总是偶对称（零相位）。

更妙的推论：$p=2p=2$ p=2 与 $p=3p=3$ p=3 给出完全相同的核 （只要 $w\ge 5w\; \backslash ge\; 5$ w≥5）------三次项系数为零，多一个自由度并不会被使用。实测核（ $w=9w=9$ w=9， $p=2p=2$ p=2 与 $p=3p=3$ p=3 逐系数一致，见实验模块）。同理 $p=0,1p=0,1$ p=0,1 都给出移动平均核（一次项在中心点求值为零）。

显式核 （取 $w=5w=5$ w=5， $p=2p=2$ p=2）：矩 $\mu 0=5,\; \mu 2=10,\; \mu 4=34\; \backslash mu\_0=5,\backslash \; \backslash mu\_2=10,\backslash \; \backslash mu\_4=34$ μ0=5, μ2=10, μ4=34，法方程
5010010010034 a0a1a2 = 100 ⟹a0=3517,a1=0,a2=−71
$$c=135\hspace{0.17em}(-3,\; 12,\; 17,\; 12,\; -3)\; \backslash mathbf\{c\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{35\}\backslash ,(-3,\backslash \; 12,\backslash \; 17,\backslash \; 12,\backslash \; -3)$$ c=351(−3, 12, 17, 12, −3)

即文献中著名的最小平滑核 $$−3,12,17,12,−3/35-3,12,17,12,-3/35 −3,12,17,12,−3/35。一般窗口的核由第 4.2 节的矩方程数值求解（ $O(p3)O(p^3)$ O(p3) 高斯消元，对 $p\ll wp\; \backslash ll\; w$ p≪w 可忽略）。

4.4 多项式保持定理

定理（多项式保持） 设输入是 $pp$ p 阶多项式 $f(i)=\; \sum k\le p\; \beta kikf(i)\; =\; \backslash sum\_\{k\backslash le\; p\}\; \backslash beta\_k\; i^k$ f(i)=∑k≤pβkik（窗口内任意），SG( $w,pw,\; p$ w,p) 输出与输入逐点相同。

证明 ： $ff$ f 本身能被窗口内的 $pp$ p 阶多项式精确表示 ⇒ 最小二乘残差为零 ⇒ $g\equiv fg\; \backslash equiv\; f$ g≡f，中心点值 $g(0)=f(0)g(0)\; =\; f(0)$ g(0)=f(0)。 $\square \backslash square$ □

推论（峰形保持） 峰顶局部可用 Taylor 展开近似为二次函数：
$$f(t)\approx f(0)+\; f\prime \prime (0)2\; t2（一阶项为零，峰顶是临界点）f(t)\; \backslash approx\; f(0)\; +\; \backslash frac\{f\text{'}\text{'}(0)\}\{2\}\; t^2\; \backslash qquad\backslash text\{（一阶项为零，峰顶是临界点）\}$$ f(t)≈f(0)+2f′′(0)t2（一阶项为零，峰顶是临界点）

于是 SG( $p=2p=2$ p=2) 对峰顶附近的局部形状零失真------这正是它比高斯核保峰的原因（3.3 节的表：同窗口下宽度 3 点的峰，高斯削 35%，SG 只削 15%，阶数提高到 4 时几乎无衰减）。

4.5 噪声增益恒等式

SG 的噪声增益有一个漂亮的闭式：

命题 对 SG 核， $\sum jcj2=c0\; \backslash sum\_j\; c\_j^2\; =\; c\_0$ ∑jcj2=c0（核系数的平方和等于中心系数）。

证明 ： $c=V(V\top V)-1e1\backslash mathbf\{c\}\; =\; V\; (V^\backslash top\; V)^\{-1\}\; \backslash mathbf\{e\}\_1$ c=V(V⊤V)−1e1，于是
$$\sum jcj2=c\top c=e1\top (V\top V)-1V\top V(V\top V)-1e1=e1\top (V\top V)-1e1=a0=c0\; \backslash sum\_j\; c\_j^2\; =\; \backslash mathbf\{c\}^\backslash top\; \backslash mathbf\{c\}\; =\; \backslash mathbf\{e\}\_1^\backslash top\; (V^\backslash top\; V)^\{-1\}\; V^\backslash top\; V\; (V^\backslash top\; V)^\{-1\}\; \backslash mathbf\{e\}\_1\; =\; \backslash mathbf\{e\}\_1^\backslash top\; (V^\backslash top\; V)^\{-1\}\; \backslash mathbf\{e\}\_1\; =\; a\_0\; =\; c\_0$$ j∑cj2=c⊤c=e1⊤(V⊤V)−1V⊤V(V⊤V)−1e1=e1⊤(V⊤V)−1e1=a0=c0

其中第二步用到 $(V\top V)-1V\top V=I(V^\backslash top\; V)^\{-1\}\; V^\backslash top\; V\; =\; I$ (V⊤V)−1V⊤V=I。 $\square \backslash square$ □

数值验证（实验）： $w=5w=5$ w=5： $0.485714=17/350.485714\; =\; 17/35$ 0.485714=17/35； $w=15,\; p=2w=15,\backslash \; p=2$ w=15, p=2： $c0=0.151131\; c\_0\; =\; 0.151131$ c0=0.151131。由此得到残留噪声的闭式： $Var(f^)=c0\sigma 2\; \backslash operatorname\{Var\}(\backslash hat\; f)\; =\; c\_0\; \backslash sigma^2$ Var(f^)=c0σ2------SG 的中心系数直接告诉你能剩下多少噪声。

4.6 频率响应与低频平坦度

由矩条件可推出频响的低频展开。记核的第 $kk$ k 阶矩 $\nu k=\sum jcjjk\; \backslash nu\_k\; =\; \backslash sum\_j\; c\_j\; j^k$ νk=∑jcjjk，多项式保持等价于 $\nu k=\; \delta k0\; \backslash nu\_k\; =\; \backslash delta\_\{k0\}$ νk=δk0（ $0\le k\le p0\; \backslash le\; k\; \backslash le\; p$ 0≤k≤p）。于是
$$H(\omega )=\sum jcje-i\omega j=\; \sum k\ge 0\; (-i\omega )kk!\; \nu k=1+\; \sum k\ge p+1\; (-i\omega )kk!\; \nu kH(\backslash omega)\; =\; \backslash sum\_j\; c\_j\; e^\{-i\backslash omega\; j\}\; =\; \backslash sum\_\{k\backslash ge\; 0\}\; \backslash frac\{(-i\backslash omega)^k\}\{k!\}\; \backslash nu\_k\; =\; 1\; +\; \backslash sum\_\{k\; \backslash ge\; p+1\}\; \backslash frac\{(-i\backslash omega)^k\}\{k!\}\; \backslash nu\_k$$ H(ω)=j∑cje−iωj=k≥0∑k!(−iω)kνk=1+k≥p+1∑k!(−iω)kνk

对称性使得 $p+1p+1$ p+1 阶项（奇次）为零，因此对偶数 $pp$ p：
$$H(\omega )=1-\; \nu p+2\; (p+2)!\; \hspace{0.17em}\omega p+2+O(\omega p+4)H(\backslash omega)\; =\; 1\; -\; \backslash frac\{\backslash nu\_\{p+2\}\}\{(p+2)!\}\backslash ,\backslash omega^\{p+2\}\; +\; O(\backslash omega^\{p+4\})$$ H(ω)=1−(p+2)!νp+2ωp+2+O(ωp+4)

即 SG 的频响在低频段"平坦到 $p+1p+1$ p+1 阶" ------这正是多项式保持定理在频域的化身：低频成分（宽峰、趋势）无损通过，直到 $fp+2f^\{p+2\}$ fp+2 阶偏差才出现。

两种核与移动平均（box）的定量对比（ $w=15w\; =\; 15$ w=15，实测）：

核	$g\; \backslash sqrt\{g\}$ g （残留噪声比）	-3 dB 截止（周期/点）
移动平均（= SG $p=0,1p=0,1$ p=0,1）	0.258	0.0295
高斯	0.287	0.0394
SG $p=2,3p=2,3$ p=2,3	0.389	0.0717
SG $p=4p=4$ p=4	0.475	0.1119

结论 ：同窗口下，SG 的截止频率几乎是高斯的两倍------它保留了更多高频（峰形），代价是残余噪声高约 36%。把窗口加大即可补回噪声抑制（ $w=31w=31$ w=31 时 SG 的 $g=0.270\; \backslash sqrt\{g\}\; =\; 0.270$ g =0.270）。

5. 特征保护：非线性后处理

任何线性低通滤波器都会衰减比窗口更窄的特征（3.3 节的衰减公式是它的固定代价）。特征保护（setSmoothPreserveThreshold()，默认开启）是一个非线性后处理：先把被削矮的峰、被填平的谷识别出来，再恢复到原始位置与高度。

5.1 算法流程

基线 。单遍框式均值（box）前后两次（近似高斯核、 $O(n)O(n)$ O(n)），窗口 $wb=max(61,6w)\; w\_b\; =\; \backslash max(61,\; 6w)$ wb=max(61,6w) 足够宽，能跟随"整体形状"（慢变包络），但不跟随窄特征。数学上是信号与三角核（两次 box 卷积 = Bartlett 核）的卷积。

噪声尺度：MAD 。残差绝对值的中位数：
$$\sigma ^=\; mediani\; \mid yi-Bi\mid \; \backslash hat\{\backslash sigma\}\; =\; \backslash operatorname*\{median\}\_i\; \backslash left|\; y\_i\; -\; B\_i\; \backslash right|$$ σ^=imedian∣yi−Bi∣

中位数使估计对特征（离群点）稳健：占比少于 50% 的尖峰完全不影响它------这正是"噪声带有多宽"的稳健度量。对纯高斯噪声， $median\mid \epsilon \mid =0.6745\sigma \backslash operatorname\{median\}|\backslash varepsilon|\; =\; 0.6745\backslash sigma$ median∣ε∣=0.6745σ，因此阈值 $\tau \sigma ^\; \backslash tau\; \backslash hat\{\backslash sigma\}$ τσ^ 对应约 $0.6745\tau \sigma 0.6745\backslash tau\backslash sigma$ 0.6745τσ。默认 $\tau =3\backslash tau\; =\; 3$ τ=3 对应约 $2.02\sigma 2.02\backslash sigma$ 2.02σ：在纯噪声零假设下，只有约 4.3% 的点会超过阈值被误判为特征。

软阈值混合。对每个点：
2pt \dfrac{|d_i| - \tau\hat{\sigma}}{0.2\,\tau\hat{\sigma}} & \tau\hat{\sigma} < |d_i| < 1.2\,\tau\hat{\sigma} \\2pt 1 & |d_i| \ge 1.2\,\tau\hat{\sigma} \end{cases} \qquad\qquad \tilde{y}_i = \hat{y}_i + w_i\,(y_i - \hat{y}_i) wi=⎩ ⎨ ⎧00.2τσ^∣di∣−τσ^1∣di∣≤τσ^τσ^<∣di∣<1.2τσ^∣di∣≥1.2τσ^y~i=y^i+wi(yi−y^i)

• $wi=0\; w\_i\; =\; 0$ wi=0：噪声点------取平滑值（方差最低）；
• $wi=1\; w\_i\; =\; 1$ wi=1：特征核心点------完全恢复原始值（零偏差）；
• 0<wi<1：过渡带，平滑混合避免硬切换产生台阶。

5.2 数学性质

1. 逐点不可微、整体连续 ：权重是 $\mid di\mid \; |d\_i|$ ∣di∣ 的分段线性函数 ⇒ 输出对输入连续，但阈值两侧的一阶行为不同------这是有意为之：把"被噪声掩盖的小波动"与"超过噪声幅度数倍的结构"用幅度阈值区分。
2. 估计器家族 ：它属于收缩估计器 （shrinkage）： $y~i\; \backslash tilde\{y\}\_i$ y~i 是 $y^i\; \backslash hat\{y\}\_i$ y^i 与 $yi\; y\_i$ yi 的凸组合，收缩量随 $\mid di\mid \; |d\_i|$ ∣di∣ 单调。思想上与 Donoho 的小波软阈值去噪、鲁棒回归中的 Huber 函数同源------都是用"偏离程度"决定"信任程度"。
3. 与中值/双边滤波的关系 ：像素域的去噪常用中值滤波或双边滤波（空间近邻 + 值域相似加权）。本方案把"值域相似"换成"偏离宽基线"的显式度量，代价是一个 $O(n)O(n)$ O(n) 的基线计算，换来对特征精确恢复（而不是近似保留）。
4. 阈值 $1.21.2$ 1.2 是软边 ：源码中过渡带上限取 $1.2\tau \sigma ^\; 1.2\backslash tau\backslash hat\{\backslash sigma\}$ 1.2τσ^（qwt_curve_smoothing.cpp），其动机是让权重从 0 到 1 的过渡宽度与阈值本身成比例------阈值越大，过渡区越宽，越不容易产生孤立的不连续点。

5.3 参数语义与失效模式

$\tau \backslash tau$ τ	行为
0（关闭）	纯线性低通：峰谷按 3.3 节的公式衰减
1	只保护最显著的峰；多数噪声点仍被平滑（残余毛刺较多）
3（默认）	超过约 $2\sigma 2\backslash sigma$ 2σ 的结构全保留；噪声带收敛为细线
6	中等尖峰也被吸收进平滑；浅特征开始被削

失效模式：① 当噪声尺度被低估（如数据强相关而非 i.i.d.）时，median|d| 偏小 ⇒ 阈值过低 ⇒ 更多噪声点被"恢复"，保护失效；② 基线窗口 $wb\; w\_b$ wb 内若存在宽于基线的真实凸起（如慢变的驼峰），基线会跟随它 ⇒ 驼峰不被当作特征 ⇒ 被平滑 ⇒ 驼峰变矮------这是设计使然（"基线跟随的才是背景"），但使用者应知悉；③ 过渡带内的相邻点权重不同，可能形成肉眼难辨的细微波纹（实测中过渡带只涉及约 1%--2% 的点）。

6. 渲染管线中的位置与顺序

三个设计决策及其理由：

1. 在降采样之后。 平滑的输入是降采样折线（≈ 4W 点），不是原始数据。这使窗口以"渲染点"计，产生一个优雅的性质：缩放不变性 。设缩放因子 $\alpha \backslash alpha$ α（可见数据范围缩小），折线点数按 $\alpha \backslash alpha$ α 增长，窗口覆盖的 $xx$ x 跨度按 $\alpha \backslash alpha$ α 缩小------ $\sigma =w/4\backslash sigma\; =\; w/4$ σ=w/4 在屏幕空间恒定，因此"平滑多少"不随缩放改变。若在数据域平滑，放大后同样的窗口将覆盖更宽的数据区间、把特征也抹平。

2. 只修改 $yy$ y。 卷积作用于值域； $xx$ x 坐标原样拷贝。这保证了每个特征的水平位置逐像素精确 ------峰不会左右漂移。同时避免了水平平滑可能造成的折线自交（ $xx$ x 非单调化）。

3. 在拟合器之前。 Fitted 样条拿到的是已去噪的折线；插值不再放大噪声（插值复现噪声，见第 1 节）。两者可组合。

该步骤与降采样一样是无状态、可重入的：多线程绘制（QwtPlotDirectPainter、后台打印）无需额外同步。

7. 实验

7.1 端到端测量

采用 examples/2D/curvesmoothing 的同一数据生成器（100,000 点：慢变包络 + 驼峰 + 三个窄峰 + $\sigma =0.15\backslash sigma=0.15$ σ=0.15 白抖动 + 1% 向上尖刺 + 0.8% 向下跌落 + 一个确定的深谷），管线 = MinMax 桶降采样 → 平滑（900×500 画布，像素行度量）：

配置	噪声带平均厚度 (px)	窄峰峰顶行	深谷谷底行
仅降采样（默认）	65.4	0.0	499.0
高斯 $w=15,\; \tau =3w=15,\backslash \; \backslash tau=3$ w=15, τ=3	6.1	0.0	499.0
高斯 $w=15,\; \tau =0w=15,\backslash \; \backslash tau=0$ w=15, τ=0（纯低通）	4.1	38.5	369.0
SG $w=15,\; p=2,\; \tau =3w=15,\backslash \; p=2,\backslash \; \backslash tau=3$ w=15, p=2, τ=3	11.3	0.0	499.0

三组关键读数：

1. 噪声带 65.4 → 6.1 px（纯低通时甚至 4.1 px）：毛刺收敛为细线；
2. 峰顶行 0.0 / 谷底行 499.0 在 τ=3 时与未平滑渲染逐行一致：特征保护完全恢复了被削矮的部分（对照 τ=0：峰顶掉到 38.5 行、谷底升到 369 行------高度损失 38.5 行与 130 行）。这与示例文档记录的"峰损失 26 px、谷损失 63 px"（900 px 画布）同一现象；
3. SG 的残余噪声带 11.3 px > 高斯的 6.1 px ：方向与理论 $g\; \backslash sqrt\{g\}$ g 之比（0.389/0.287 = 1.36）一致，实测 1.85× 更大，数值差异来自尖刺/抖动非纯高斯 + 包络统计。

7.2 理论预测 vs 实测

量	理论	实测
高斯核残余噪声比 $g\; \backslash sqrt\{g\}$ g （w=15）	0.287	0.286 ± 0.001（Monte Carlo）
SG 噪声增益恒等式 $g=c0\; g\; =\; c\_0$ g=c0（w=15, p=2）	0.151131	0.151131
-3dB 截止（高斯 w=15）	0.0353	0.0394
峰保持率 $R(3)R(3)$ R(3)（高斯 w=15）	0.625	0.653

（Monte Carlo：40,000 点高斯白噪声经核卷积后标准差比，100% 重合于理论曲线，见图 残余噪声 vs 窗口：理论曲线与 Monte Carlo 实测点完全重合。）

所有脚本与数值在 docs/assets/algorithms/（smoothing_experiment.py、figures.py）可复现。

8. 代码实践

8.1 API

接口	默认	含义
setSmoothAlgorithm()	NoSmoothing	GaussianSmoothing / SavitzkyGolaySmoothing
setSmoothWindow()	9	窗口内折线点数；奇数 ≥ 3，偶数自动进位
setSmoothPolynomialOrder()	3	SG 多项式阶数，钳制在 $1...w-21\; \backslash ldots\; w-2$ 1...w−2
setSmoothPreserveThreshold()	3.0	特征保护阈值（×噪声尺度）；0 = 关闭

8.2 完整示例

#include <qwt_plot.h>
#include <qwt_plot_curve.h>
#include <qwt_point_data.h>

#include <QApplication>
#include <cmath>
#include <random>

// 1. 生成与示例同构的频谱样本：包络 + 窄峰 + 白抖动
QVector<QPointF> makeSpectrum(int n)
{
    std::mt19937 rng(0xC0FFEE);
    std::normal_distribution<double> jitter(0.0, 0.15);

    QVector<QPointF> v;
    v.reserve(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        double y = 1.0 + 0.3 * std::sin(i / 8000.0);
        y += 3.0 * std::exp(-0.5 * std::pow((i - 30000.0) / 5000.0, 2));
        y += 5.0 * std::exp(-0.5 * std::pow((i - 15000.0) / 300.0, 2));  // 窄峰
        y += jitter(rng);                                                // 像素级噪声
        v += QPointF(i, y);
    }
    return v;
}

// 2. 两条曲线：默认渲染 vs 平滑渲染
QwtPlotCurve* makeCurve(QwtPlot* plot, const QVector<QPointF>& samples,
                        QwtPlotCurve::SmoothAlgorithm algo)
{
    QwtPlotCurve* curve = new QwtPlotCurve();
    curve->setSamples(samples);
    curve->setPaintAttribute(QwtPlotCurve::FilterPointsLTTB, true);   // 降采样

    if (algo != QwtPlotCurve::NoSmoothing) {
        curve->setSmoothAlgorithm(algo);
        curve->setSmoothWindow(15);          // 高斯：σ = 3.75
        curve->setSmoothPolynomialOrder(3);  // 仅 SG 生效（2 与 3 等价）
        curve->setSmoothPreserveThreshold(3.0);
    }
    curve->attach(plot);
    return curve;
}

int main(int argc, char** argv)
{
    QApplication app(argc, argv);

    const QVector<QPointF> samples = makeSpectrum(100000);

    QwtPlot plot;
    plot.resize(900, 500);

    QwtPlotCurve* plain = makeCurve(&plot, samples, QwtPlotCurve::NoSmoothing);
    QwtPlotCurve* smooth = makeCurve(&plot, samples, QwtPlotCurve::GaussianSmoothing);
    plain->setPen(QColor("#888888"));
    smooth->setPen(QColor("#1f77b4"));

    plot.replot();
    plot.show();
    return app.exec();
}

效果 ：左曲线呈现 60 多像素厚的噪声带；右曲线噪声带收敛为 ~6 px 的细线，而三个窄峰的峰顶像素行与左曲线完全相同------数据 data() 未被动过一字。

8.3 参数选择指南

目标	建议
常规去噪（频谱、采集信号）	高斯， $w=9...21w\; =\; 9\backslash ldots\; 21$ w=9...21， $\tau =3\backslash tau\; =\; 3$ τ=3
保留窄峰形状	SG， $p=2p\; =\; 2$ p=2（= 3），窗口加大到 21--31 补噪声抑制
纯低通（不需要保特征）	$\tau =0\backslash tau\; =\; 0$ τ=0：峰谷会按 $R(b)R(b)$ R(b) 衰减，请先量好你的峰宽
噪声很强、峰很弱	先 FilterPointsPixel 再平滑（噪声带压到 2.7 px 量级，见示例文档）
交互式调参	examples/2D/curvesmoothing：右侧面板随时切换算法/窗口/阶数/阈值并可跑 50 次 replot 基准

"窗口的度量单位" 窗口以折线点计，不是采样点：降采样后折线 ≈ 4W 点，即窗口 15 覆盖约 4 个像素列的水平跨度。缩放时该跨度随像素比例伸缩------平滑强度在屏幕空间恒定（第 6 节）。

9. 小结

• 降采样保留极值 ⇒ 噪声幸存；渲染平滑在绘制管线中以低通滤波消除噪声，不修改采样数据。
• 高斯核 ： $\sigma =w/4\backslash sigma=w/4$ σ=w/4 的加权滑动平均，噪声抑制最强（ $g=0.287\; \backslash sqrt\{g\}=0.287$ g =0.287@w15），峰衰减有闭式 $R(b)=b/\; b2+\sigma 2\; R(b)=b/\backslash sqrt\{b^2+\backslash sigma^2\}$ R(b)=b/b2+σ2 。
• SG 核 ：局部多项式最小二乘的等价卷积，多项式保持定理保证峰形不塌（ $p=2p=2$ p=2 下宽度 3 点的峰衰减少于 15%），代价是残余噪声高约 36%；矩条件给出 $p=2=p=3p=2=p=3$ p=2=p=3 与恒等式 $g=c0\; g=c\_0$ g=c0。
• 特征保护 ：宽基线 + MAD 噪声尺度 + 软阈值混合，把"无差别衰减"变成"按偏离程度有选择的恢复"；默认 $\tau =3\backslash tau=3$ τ=3 时峰顶/谷底逐行复原，噪声带 65.4 → 6.1 px（实测）。
• 整个步骤无状态、可重入、 $O(nw)O(nw)$ O(nw) 且 $n\approx 4Wn\; \backslash approx\; 4W$ n≈4W------100,000 点频谱上完整重绘仍约 0.1 ms。

10. 参考文献

1. Savitzky, A., Golay, M. J. E. Smoothing and Differentiation of Data by Simplified Least Squares Procedures. Analytical Chemistry, 36(8), 1627--1639, 1964.
2. Steinarsson, S. Downsampling Time Series for Visual Representation. MSc thesis, University of Iceland, 2013.
3. Donoho, D. L. De-noising by soft-thresholding. IEEE Transactions on Information Theory, 41(3), 613--627, 1995.
4. Witkin, A. Scale-space filtering. IJCAI, 1983.
5. QWT7 源码：src/plot/qwt_curve_smoothing.cpp（核、卷积、特征保护）、src/plot/qwt_plot_curve.cpp（管线、drawLines）。
6. QWT7 示例：examples/2D/curvesmoothing（100,000 点噪声频谱平滑对比）。

d Least Squares Procedures.* Analytical Chemistry, 36(8), 1627--1639, 1964. 7. Steinarsson, S. Downsampling Time Series for Visual Representation. MSc thesis, University of Iceland, 2013.

8. Donoho, D. L. De-noising by soft-thresholding. IEEE Transactions on Information Theory, 41(3), 613--627, 1995.
9. Witkin, A. Scale-space filtering. IJCAI, 1983.
10. QWT7 源码：src/plot/qwt_curve_smoothing.cpp（核、卷积、特征保护）、src/plot/qwt_plot_curve.cpp（管线、drawLines）。
11. QWT7 示例：examples/2D/curvesmoothing（100,000 点噪声频谱平滑对比）。

QWT7项目地址位于：

• github : https://github.com/czyt1988/QWT
• gitee : https://gitee.com/czyt1988/QWT