计算机图形学：几何表示

一、引言

在计算机图形学中，我们经常需要用数学方法描述一个物体的形状。例如，一个球体、一张曲面，或者一个复杂的三维模型，都可以通过不同的数学方式进行表示。

那么，如何用数学语言描述一个物体？

一种直观的想法是，直接记录物体表面上所有点的坐标。但对于复杂的三维物体来说，表面上的点可能非常多，直接存储所有点不仅占用空间，而且难以精确描述连续的曲面。

另一种思路是，不直接记录表面上的所有点，而是定义一个数学公式，通过这个公式来描述物体的形状。

根据描述物体的方式不同，我们可以将几何表示大致分为三类：

• 隐式表示（Implicit Representation）：通过数学方程或函数描述物体。

• 参数化表示（Parametric Representation）：通过参数和函数，将参数空间中的点映射到物体表面。

• 显式表示（Explicit Representation）：直接存储或构造物体的几何元素，例如点、曲线和网格。

这三种方法各有优缺点，适用于不同的场景。

二、隐式表示：用公式定义物体

2.1 什么是隐式表示？

隐式表示的核心思想是：不直接描述物体表面上的每一个点，而是定义一个函数，让满足特定条件的空间点构成物体表面。

以三维空间中的球体为例。

假设一个球体的球心位于原点，半径为 (r)，那么它的表面可以用以下方程描述：

x²+y²+z²=r²

这个方程并没有直接列出球面上有哪些点，而是规定了球面上所有点必须满足的条件。

例如，当 (r=1) 时：

x²+y²+z²=1

所有满足该方程的三维空间点连在一起，就构成了一个单位球的表面。

我们还可以进一步定义一个隐式函数：

f(x,y,z)= x²+y²+z²

通过判断函数值，可以区分点与球体之间的关系：

• (f(x,y,z)=0)：点位于球体表面。

• (f(x,y,z)<0)：点位于球体内部。

• (f(x,y,z)>0)：点位于球体外部。

这就是隐式表示的一个重要优势：判断一个点在物体内部、外部还是表面上，往往非常方便。

如果需要知道物体的点的具体位置，就会变的很麻烦了。

2.2 隐式表示的典型例子

1. CSG：构造实体几何

CSG（Constructive Solid Geometry，构造实体几何）是一种通过组合基本几何体来构造复杂物体的方法。

例如，我们可以使用一个立方体和一个球体构造新的物体，常见操作包括：

• 并集：将两个物体合并。

• 交集：保留两个物体共同占据的部分。

• 差集：从一个物体中减去另一个物体。

通过并集，交集，差集也就可以使用规律的几何物体来表示出不规则的物体。

2 SDF：有符号距离函数

SDF 的全称是 Signed Distance Function，即有符号距离函数。

它不仅可以判断点在物体内部还是外部，还可以描述点到物体表面的距离。

对于一个球体，可以定义：

d(x,y,z)=sqrt{x^2+y^2+z^2}-r

其中：

• d = 0：点在球面上。

• d < 0：点在球体内部。

• d > 0：点在球体外部。

对于球体而言，这个函数的绝对值就是点到球面的最短距离。

SDF 常用于实时渲染、光线步进、三维建模和几何融合等领域。

在几何融合中，SDF是一个非常重要的函数。

几何融合步骤：

第1步：定义两个物体的符号距离函数（SDF）

首先，分别定义物体 A 和物体 B 的符号距离函数。

• dA(p)：表示空间中的任意点 p 到物体 A 表面的符号距离。

• dB(p)：表示空间中的任意点 p 到物体 B 表面的符号距离。

这里的 SDF 是 Signed Distance Function 的缩写，中文称为符号距离函数。

通常情况下：

• 距离值小于 0，表示点在物体内部。

• 距离值等于 0，表示点位于物体表面。

• 距离值大于 0，表示点在物体外部。

例如，假设物体 A 是左侧的球体，物体 B 是右侧的球体。对于空间中的任意一个点 p，我们可以分别计算它相对于两个球体表面的符号距离，得到 dA(p) 和 dB(p)。

第2步：使用平滑融合函数（Smooth Union）

得到两个物体的 SDF 后，就可以通过布尔运算将它们合并。

普通并集：直接取最小值

计算公式：

dHard = min(dA, dB)

其中，min 表示取两个数中较小的值。

这种方法可以将两个物体合并成一个整体，但连接区域可能出现明显的拼接痕迹，缺少平滑过渡效果。

平滑并集：使用 Smooth Min 函数

计算公式：

dSmooth = smooth_min(dA, dB, k)

其中：

• dA：当前点到物体 A 的符号距离。

• dB：当前点到物体 B 的符号距离。

• k：平滑融合参数，用来控制融合区域的宽度。

• dSmooth：融合之后得到的符号距离值。

这里的 smooth_min 表示平滑最小值函数。与直接取最小值不同，它会在两个物体距离接近的区域，对距离值进行平滑混合，从而形成自然的过渡曲面。

参数 k 控制融合效果。通常来说，k 越大，平滑过渡区域越宽，两个物体看起来就越像橡皮泥一样自然地连接在一起。

需要注意，具体的融合效果还取决于所使用的 smooth_min 函数实现。

第3步：得到融合之后的整体 SDF 场

经过平滑并集运算后，整个三维空间中的每一个点都可以获得一个新的符号距离值（SDF），记作 dSmooth。

这个距离场描述了融合后物体的整体形状。

判断点的位置时，可以根据距离值的正负进行区分：

• dSmooth 小于 0：点位于融合物体内部。

• dSmooth 等于 0：点位于融合物体的表面，也就是需要渲染的曲面。

• dSmooth 大于 0：点位于融合物体外部。

因此，只需要找到整个三维空间中距离值等于 0 的位置，就可以提取融合后物体的表面，并进一步进行三维可视化或渲染。

三、参数化表示（Parametric Representation）

3.1 基本思想

参数化表示的核心思想是：通过参数和函数，直接生成物体表面上的点。

对于三维曲面，可以使用两个参数 u 和 v，定义三个坐标函数：

x=x(u,v)

y=y(u,v)

z=z(u,v)

因此，曲面可以表示为：

P(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))

通过函数将（u，v）和坐标（x，y，z）建立联系，只要给定参数 u 和 v，就可以计算出曲面上对应点的三维坐标。

当 u 和 v 在指定范围内变化时，生成的所有点就构成了一个曲面。

3.2 示例：马鞍面

例如，定义一个参数化曲面：

x=u

y=v

z=u^2-v^2

合起来就是：

P(u,v)=(u,v,u^2-v^2)

当 u 和 v 变化时，就会生成一个马鞍形曲面，也就是双曲抛物面。

这种曲面在一个方向向上弯曲，在另一个方向向下弯曲。

参数化表示的优势在于，我们可以通过调整参数范围、改变映射函数或采样参数空间，来生成和控制曲面的形状。

四、显式表示（Explicit Representation）

显式表示是指直接存储或构造几何元素来描述物体。

常见的例子包括点云、三角形网格、OBJ 文件和贝塞尔曲线。

4.1 点云（Point Cloud）

点云由大量离散的三维点构成。

每个点通常包含三个坐标，分别表示它在三维空间中的 x、y、z 位置。

例如，第 i 个点可以表示为：

pi = (xi, yi, zi)

整个点云可以表示为：

P = {p1, p2, ..., pn}

其中，n 表示点云中包含的点的总数，pi 表示第 i 个三维空间点。

例如，通过三维扫描设备扫描一个物体，就可以得到大量分布在物体表面附近的点。

这些点共同描述了物体的形状。

点云的优点是结构简单，能够直接记录采样数据。

但是，点云通常不包含明确的点与点之间的连接关系，因此它本身不一定构成完整的连续曲面。

4.2 OBJ 文件

OBJ 是一种常见的三维模型文件格式。

它可以存储：

• 顶点坐标。

• 纹理坐标。

• 顶点法线。

• 多边形面的顶点索引。

点云只记录点的位置，而三角形网格还会记录顶点之间的连接关系。

因此，网格能够更明确地描述物体表面的结构，方便渲染、纹理映射和几何编辑。

需要注意，OBJ 是一种文件格式，而不是一种独立的数学表示理论。

五、贝塞尔曲线（Bézier Curve）

5.1 基本思想

贝塞尔曲线是一种通过少量控制点来控制曲线形状的数学方法。

它广泛应用于计算机图形学、字体设计、矢量绘图和动画等领域。

贝塞尔曲线不需要直接存储曲线上的所有点，而是通过控制点和参数计算生成曲线。

5.2、贝塞尔曲线的基本性质

贝塞尔曲线不仅可以通过控制点灵活地控制曲线形状，还具有一些重要的数学性质。这些性质使它在计算机图形学、字体设计、矢量绘图和动画轨迹生成等领域得到了广泛应用。

1、端点插值性质

贝塞尔曲线一定经过起点和终点。

对于三次贝塞尔曲线，其起点和终点分别为：

起点：B(0) = P0

终点：B(1) = P3

其中，P0、P1、P2、P3 是三次贝塞尔曲线的四个控制点。

这说明，贝塞尔曲线的第一个控制点决定曲线的起点，最后一个控制点决定曲线的终点。

需要注意的是，中间的控制点 P1 和 P2 通常不在曲线上，而是用于控制曲线的形状和弯曲方向。

2、切线性质

贝塞尔曲线在起点和终点处的切线方向，可以通过相邻控制点的位置关系确定。

对于三次贝塞尔曲线：

起点处的导数：

B'(0) = 3 × (P1 - P0)

终点处的导数：

B'(1) = 3 × (P3 - P2)

从这两个公式可以看出：

• 起点处的切线方向由 P0 指向 P1 的方向决定。

• 终点处的切线方向由 P2 指向 P3 的方向决定。

因此，如果希望改变曲线起点附近的方向，可以调整 P1 的位置；如果希望改变曲线终点附近的方向，可以调整 P2 的位置。

这也是三次贝塞尔曲线能够灵活控制曲线形状的重要原因。

3、仿射变换性质

贝塞尔曲线具有仿射变换性质。

简单来说，如果对贝塞尔曲线的所有控制点进行相同的仿射变换，那么得到的新曲线，就等于对原来的曲线进行相同的变换。

常见的变换包括：

• 平移：改变曲线在空间中的位置。

• 旋转：改变曲线的朝向。

• 缩放：改变曲线的大小。

• 剪切：改变曲线的倾斜形状。

例如，将三次贝塞尔曲线的四个控制点全部向右移动一定距离，生成的曲线也会整体向右移动相同的距离。

因此，在图形变换过程中，我们不需要重新计算曲线的每一个点，只需要对控制点进行相应的变换即可。

5.3、二次贝塞尔曲线

二次贝塞尔曲线由三个控制点构成：

• P(0)：起点。

• P(1)：中间控制点。

• P(2)：终点。

• 其计算公式可以用普通文本表示为：

需要取一个时间 t ，这个 t 就表示曲线的 "进度条" ，可以通过进度条，用来取出曲线上面的一个点。

对于二次贝塞尔曲线来说，根据 t 在线段P0,P1上面进行插值求出插值点，在P1,P2同理求出插值点，在两个求出插值点上面再次进行插值，求出在 t 时刻的贝塞尔曲线的点。

最终可以得出下面公式：

B(t) = (1 - t)² × P(0) + 2 × (1 - t) × t × P(1) + t² × P(2)

其中，P(1) 用来控制曲线的弯曲程度和方向。

当中间控制点的位置发生变化时，曲线的形状也会随之改变。

二次贝塞尔曲线结构简单，适合描述较为简单的弧形。

5.3 三次贝塞尔曲线

三次贝塞尔曲线由四个控制点构成：

• P(0)：起点。

• P(1)：控制起点附近的曲线方向。

• P(2)：控制终点附近的曲线方向。

• P(3)：终点。

其计算公式可以用普通文本表示为：

B(t) = (1 - t)³ × P(0) + 3 × (1 - t)² × t × P(1) + 3 × (1 - t) × t² × P(2) + t³ × P(3)

与二次贝塞尔曲线相比，三次贝塞尔曲线多了一个控制点，因此可以更加灵活地调整曲线的形状。

在计算机图形学中，三次贝塞尔曲线应用非常广泛，例如字体轮廓、矢量图形、路径绘制和动画运动轨迹等。

5.4 为什么要使用分段贝塞尔曲线？

假设我们有很多数据点，希望曲线经过这些点。

如果直接把这些点当作一条贝塞尔曲线的控制点，曲线通常不会经过所有中间控制点。

而且，当控制点数量过多时，曲线的整体形状也会变得难以控制。

因此，实际应用中经常采用分段贝塞尔曲线。

例如，使用多段三次贝塞尔曲线连接一系列指定点，每段曲线都使用四个控制点。

这样既可以让曲线经过指定的连接点，又可以分别调整不同曲线段的形状。

但是，仅仅让相邻曲线段的端点重合，并不意味着曲线一定平滑。我们还需要考虑曲线的连续性。

六、贝塞尔曲线的连续性

当多段贝塞尔曲线连接在一起时，需要考虑连接处是否平滑。常见的连续性条件包括 C0 连续、C1 连续和 G1 连续。

它们的区别主要在于：连接处的位置是否重合，以及两侧曲线的切线方向和变化速度是否一致。

6.1 C0 连续：位置连续

C0 连续要求相邻曲线段的连接点重合。

假设第一段曲线为 B1，第二段曲线为 B2，那么需要满足：

B1(1) = B2(0)

其中，B1(1) 表示第一段曲线的终点，B2(0) 表示第二段曲线的起点。

这个条件说明，第一段曲线的终点必须与第二段曲线的起点处于同一个位置。

C0 连续只能保证曲线不会断开，但不能保证连接处没有尖角。因此，两段曲线虽然连接在一起，仍然可能看起来不够平滑。

6.2 C1 连续：一阶导数连续

C1 连续不仅要求相邻曲线段的位置连续，还要求连接处的一阶导数（切线的方向和大小）相同。

需要满足以下两个条件：

位置连续：

B1(1) = B2(0)

一阶导数连续：

B1'(1) = B2'(0)

这里的 B1'(1) 和 B2'(0) 分别表示第一段曲线终点处、第二段曲线起点处的导数。

可以将导数理解为曲线在某个位置的切向量，它能够反映曲线在该位置的切线方向和变化速度。

为了使两段曲线满足 C1 连续，需要满足以下条件：

第一，连接点重合：

P3 = Q0

第二，连接处的切向量（切线的方向和大小）相同：

P3 - P2 = Q1 - Q0

这意味着连接处两侧的切线方向相同，并且切向量的大小也相同。

因此，C1 连续能够让曲线在连接处具有更加平滑的过渡效果。

七、曲面细分

1、什么是曲面细分？

在计算机图形学中，曲面细分（Subdivision Surface）是一种通过不断细分多边形网格，并按照特定规则调整顶点位置，使模型逐渐变得平滑的技术。

它的基本思想是：

1. 拓扑细分：在原有网格的边或面上生成新顶点，并建立新的边和面。

2. 几何调整：根据细分规则计算新顶点的位置，同时更新旧顶点的位置。

3. 重复迭代：对细分后的网格再次执行上述过程，使模型逐渐逼近平滑曲面。

因此，曲面细分并不只是简单地增加三角形数量。若只把每个三角形切成四个更小的三角形，而不调整顶点位置，模型的表面通常仍然保持原来的形状。

真正让模型变得平滑的是顶点位置的重新计算。

2、Loop 细分：针对三角形网格

Loop Subdivision 是一种经典的三角形网格细分方法。

它的特点是：每个原始三角形被拆分成四个新的三角形，同时重新计算边上的新顶点和原始顶点的位置。

对于生成的点来说：

内部边的两个端点为 A、B，相邻三角形的另外两个顶点为 C、D：

vec3 edgePoint = 3.0 / 8.0 * (A + B)
               + 1.0 / 8.0 * (C + D);

生成边上新顶点之后，原来1个三角形就被切为了4个小三角形了。

对于本来存在的点来说：

图上面的白点为例，旧顶点的变化公式为：

n ：顶点的度，即与该顶点相连的边的数量

u ：权重系数

n = 3 ：u = 3/16

其他情况：u = 3/(8*n)

1 - n*u ：旧顶点自身保留的权重

P ：旧顶点的坐标

P_neighbors：所有直接相邻顶点的坐标

所以Loop细分也就是生成新顶点，调整旧顶点，重构三角形。

四、Catmull--Clark 细分

对于三角形和四边形都存在的网格，经典的细分方法是 Catmull--Clark Subdivision。

与 Loop 不同，Catmull--Clark 在每一轮细分中，会为每个原始面生成一个面点，为每条原始边生成一个边点，并更新每个原始顶点。

这里可能有点疑问：就是在光栅化之后，所有的网格都会变成了三角形，怎么还会有四边形的网格呢，对于网格细分的操作是在顶点着色器之后，光栅化之后实现的，在OpenGL里面也提供了一个glsl叫做几何着色器可以对视角转化后的顶点进行操作。

• Ordinary Vertex（普通顶点）：顶点度（Valence）等于 4，即有四条边与该顶点相连。这是规则四边形网格中典型的内部顶点。

• Extraordinary Vertex（奇异顶点）：顶点度不等于 4，即与该顶点相连的边数不是 4。图中原始网格的 5 个紫色圆点就是奇异顶点。

经过变化后的图形如下：

可以看到新增了一个面点，两个边点，和两个奇异点。

面点的计算：

计算方法：将该面所有顶点的坐标相加，再除以顶点数量。

公式：

边点的计算：

旧顶点的计算：

原始顶点也需要更新位置，而不是简单地保留在原处。

奇异顶点的数量不变，度数不变（还是原来那5个紫色点，没有新增奇异点），顶点和面片数量暴涨，网格变密，模型表面变得平滑。

Catmull-Clark 一轮细分可以记成一句话：先算面点，再算边点，最后更新旧顶点。

八、边坍缩

一、什么是边坍缩

边坍缩（Edge Collapse）是一种常见的三角形网格简化算法。

它的核心思想是：将一条边的两个端点合并为一个新顶点，同时删除退化的三角形，并更新周围网格的连接关系，从而减少模型的顶点数、边数和三角形数量。

二、二次误差度量

对于边的坍塌，不能随意选择，所以使用到二次误差度量。

也就是找到一个点，使得这个点与要坍缩的两个顶点所连接的各个面的平方和距离最小。

每个平面都像一个约束，新顶点偏离这些平面越多，误差通常就越大。 二次误差度量通过最小化所有相关平面的距离平方和，寻找一个整体上最合适的新顶点位置。

具体过程可以去了解，最后可以得出一个浮点数，浮点数越小说明这条边二次误差度量后的影响越小，还可以顺便算出来另外一个东西，也就是最新顶点坐标。

所以接下来就可以将所有的边记录一下二次误差度量，之后排序，将误差少的优先进行二次误差度量，直到只用规定的边来表示模型。

这里同时会出现一个问题，就是计算出每一条边的二次误差度量后，在我们进行边坍缩之后，会影响这条边附近的边。

可以使用小根堆+版本号解决：

给每条边维护一个版本号。

struct Edge {
    bool alive;
    int version;
    double cost;
};

将所有边的二次误差度量装入小根堆后，取出堆顶的边，更新边的顶点后，对边附近的其他会受影响的边重新计算二次误差度量，更新边的版本号，之后每一次取出边都与版本号比较，如果不一样，更改边的二次误差度量，重新插入小根堆中。

三、边坍缩的场景

对于游戏和实时渲染里面，很多时候，当照相机在远处的时候，模型是非常小的，也就不需要花费大量的面来构建模型，当照相机靠近的时候，根据照相机的距离来使用合适的面来构造模型。

一般来说，生成好的模型，在制作的时候就会提前用边坍缩的算法制作由不同面构成的模型，判断LOD来决定改用哪一套模型。

• LOD0：最高精度，物体离相机很近时用

• LOD1：面数减半，中等距离

• LOD2：面数更少，更远

• LOD3：极简模型，很远的时候渲染

每一级LOD模型，都是提前在软件里算好、导出。