四元数的学习理解

网上四元数相关的文章真的很抽象，包括 3Blue1Brown 大佬的四元数的可视化，我都没法理解四元数。但是看着四元数在计算机图形学以及动画、控制旋转等方面这么普及，不了解明白感觉很多 API 看到一头雾水，而且，不突破一下属实说不过去的。

本篇文章不会上来给一大堆公式，让人看到一头雾水。首先我们先问一个问题：

1. 欧拉角

我没有四元数之前，我都在用什么表示旋转？

Bingo！欧拉角。欧拉角的意思就是：绕 X / Y / Z 转多少度。

Pitch = 30°
Yaw   = 60°
Roll  = 10°

很好理解，但它有一个著名问题：万向锁 Gimbal Lock。所以游戏引擎内部经常不用欧拉角真正做旋转，而是用四元数。

我们先不看万向锁是什么，我们就假装它是一个问题。

2. 四元数

四元数长这样：Quaternion = (x, y, z, w)。

PS：你可能第一反应：四个数字跟旋转有毛关系？

核心来了，你可以把它理解成：旋转轴 + 旋转角度。

假设我要：绕 Y 轴，旋转 60°。我们拆一下信息：

旋转轴：Axis = (0, 1, 0)
角度：θ = 60°

那么对应的四元数实际上存的是：

x = Axis.x * sin(θ/2)
y = Axis.y * sin(θ/2)
z = Axis.z * sin(θ/2)
w = cos(θ/2)

等价于：

q = (0 * sin30°, 1 * sin30°, 0 * sin30°, cos30°)
  = (0, 0.5, 0, 0.866)

对，这就是一个四元数。

2.1 但他和欧拉角的区别呢？目前看着差不多感觉。

欧拉角是：X 轴转多少，Y 轴转多少，Z 轴转多少。

四元数更接近：我要围绕这根轴，整体旋转 θ 度。

------也就是：任意旋转 = 一根旋转轴 + 一个旋转角度。

四元数只是用一种很巧妙的数学方式，把 Axis + Angle 编码成 x、y、z、w。

2.2 为什么角度要 /2？（why？！）

四元数描述 3D 旋转的时候，数学结构天然使用"半角"。

就像透视投影，一开始也可以先接受：tan(FOV / 2)。这可不是设计者闲着蛋疼没事除 2，而是数学推导最终就长这样。（这块比较复杂，后面会详细讲！）

2.3 四元数的优势在哪里？！（凭什么代替我的欧拉角）

（1）万向死锁！！！！【最重要的原因】

欧拉角非常直观，大家一眼就能看出来每个轴转了多少。

四元数非常不直观。(0, 0.5, 0, 0.866) 放到代码里，我一个核桃脑袋能看懂这个是旋转多少么？显然是不可能的。但是四元数有个牛逼的地方，就是特别适合旋转插值。

2.4 那它到底怎么适合了？

假设一个人物现在朝前：

我做两个旋转：

旋转 A：向右转 90°

旋转 B：再抬头 30°

初始姿态
    ↓
旋转 A
    ↓
旋转 B
    ↓
最终姿态

如果用旋转矩阵，你其实已经知道它可以写成：Mfinal = MB * MA。

四元数形式和它完全一样：qfinal = qB * qA。

所以你第一层理解就这么简单：

四元数乘法，可以先把它当成旋转矩阵乘法：把两个旋转组合成一个新的旋转。

例如：（1）QuatA = 向右转 90 度；（2）QuatB = 抬头 30 度；（3）QuatResult = B * A。

这个 Result 本身又是一个四元数。于是原来两个操作：先转 A，再转 B，被压成了 Result 一个旋转。

2.4.1 可能会有同学问为什么不能直接把 xyz 加起来？

A = 绕 Y 轴转 90°，B = 绕 X 轴转 90°。

可能直觉觉得：旋转结果 = Y 90° + X 90°。

但 3D 旋转有一个很麻烦的特点：旋转顺序会影响结果。

例如：先向右转 90° 再向前翻 90°，和先向前翻 90° 再向右转 90°，明显结果是不一样的。

所以：qB * qA ≠ qA * qB。（也就是说四元数乘法不满足交换律）这里和矩阵是一样的。

2.4.2 那四元数乘法到底干了什么？

假设：qA = 旋转 A，qB = 旋转 B。每一个四元数背后其实都表示：旋转轴 + 旋转角度。

数学会重新计算出：qC → 一根新的旋转轴 + 一个新的旋转角度。

所以关键不是：

四元数把两个角度加起来。

而是：

四元数把两个连续旋转，重新合成为"一次等价旋转"。

2.4.3 Axis-Angle

我们想想为什么"一堆旋转"最后能变成"一根轴 + 一个角"？

因为在 3D 空间里，不管你先绕 X 转、再绕 Y 转、再绕 Z 转、再绕奇怪的轴转。

最终姿态，总能找到：某一根轴 Axis + 某一个角度 θ，一次旋转直接转过去。这就是所谓的 Axis-Angle。

2.5 那四元数怎么真正旋转一个 Vector？

我要让 Forward 被 q 旋转。数学上写：v′ = q * v * q⁻¹。（看到这个先别害怕。）

翻译成人话：原始向量 v → 套进去旋转 q → 得到旋转后的 v′。

这里的 q⁻¹ 是什么鬼？可以暂时理解成：

反向旋转。

例如：q 绕 Y +90°。那么：q⁻¹ 绕 Y -90°。

对于标准化四元数，它特别简单。

假设：q = (x, y, z, w)，它的共轭：q* = (-x, -y, -z, w)。

如果这个 Quaternion 长度为 1：q⁻¹ = q*。

所以比如：q = (0, 0.707, 0, 0.707) 代表绕 Y：+90°。

那么：q⁻¹ = (0, -0.707, 0, 0.707) 就是：-90°。

四元数反旋转 ≈ xyz 取负，w 不变。

为什么我要写 q * v * q⁻¹，而不是 q * v？

因为 Quaternion 和 Vector 本质不是一个东西。我们会偷偷把 Vector：v = (x, y, z)，变成一种特殊四元数：V = (x, y, z, 0)。【升维】

然后：V′ = q * V * q⁻¹，最终算出来：V′ = (x′, y′, z′, 0)。取前三个 (x′, y′, z′) 就是旋转后的向量。你暂时不用背乘法展开，只要知道：q → 夹住 Vector → q * V * q⁻¹，就完成旋转。

用过 UE 的同学都知道，我们平时在 UE 使用的旋转接口是：

FQuat Rotation;
FVector Forward = FVector::ForwardVector;
FVector NewForward = Rotation.RotateVector(Forward);

虽然表面看到：Rotation.RotateVector(Forward)；底层思想就是：q * V * q⁻¹。当然实际实现会做数学展开优化，不会傻乎乎真的创建三个 Quaternion 一顿乘。

2.6 万向死锁 Gimbal Lock

它本质特别简单：

欧拉角是"一根轴转完，再绕另一根轴转"。某些姿态下，两根旋转轴会重合，于是你少了一个自由度。

因为欧拉角的几个旋转轴是逐层旋转的。

注意：不是"旋转坏掉了！！！！！！！！"

万向锁不是说：

3D 世界突然不能旋转了。

而是：

你选择的 Euler Angle 这种表示方式，在这个姿态附近失去了一个独立旋转轴。

空间本身当然还是正常的。问题出在：Yaw → Pitch → Roll 这种"连续绕三个轴旋转"的表示法。

2.6.1 Quaternion 为什么没这个问题？

因为 Quaternion 根本不是这样描述旋转的。

Euler 是：

绕 X 转一点

再绕 Y 转一点

再绕 Z 转一点

它依赖：三个旋转轴，所以轴可能互相撞到一起。

但是 Quaternion 的想法是：不要给我三个连续旋转。直接告诉我：绕哪一根轴 Axis，转多少度 Angle。

还有就是很多同学认为**：Quaternion 有四个维度，所以比 Euler 多一个维度，因此没有 Gimbal Lock。**这句话是不对的！！！！！！！！！！！

Quaternion 虽然有 x、y、z、w 四个数，但表示 3D Rotation 时它通常是单位四元数：x² + y² + z² + w² = 1。所以这四个数字并不是四个随便变化的自由度。

3D Rotation 本质仍然只有：3 个自由度。

Quaternion 避免 Gimbal Lock 的原因不是"多一个数"，而是：

它没有使用 Euler Angle 那种三个连续旋转轴的参数化方式。

2.6.2 编辑器还是给我显示 Pitch / Yaw / Roll

还是因为 Quaternion 太反人类。

这个我们上面说过：(0.183, 0.423, -0.081, 0.883)，你能看出来角色朝哪吗？完全不能。所以编辑器上层显示还是欧拉角，但是实际运算还是会把欧拉角转换成四元数来处理。

3. Slerp（Spherical Linear Interpolation）球面线性插值

这是Quaternion 牛逼的地方。

假设人物：当前朝向 ↑，目标朝向 →。现在希望他慢慢转：↑ ↗ →。

最简单的想法可能是：CurrentRotation = Lerp(A, B, t)；但是对于 Rotation 来说，普通 Lerp 并不总是理想。Quaternion 有一个专门的东西：Slerp(A, B, t)，球面线性插值。

3.1不是哥们 ，Quaternion 和"球"有关系？

刚才我们说了，旋转 Quaternion 一般要求：x² + y² + z² + w² = 1。你有没有觉得很熟悉？

二维：x² + y² = 1，这不就是圆的公式么？！

三维：x² + y² + z² = 1，这不就是单位球么？！

x² + y² + z² + w²，那当然是四维球？！这就是很多人说四元数是 4 维的原因。

大家想看四维啥样子，可以去看四元数可视化。

如果不想看的同学也没事，你只要知道：所有合法单位 Quaternion，都在一个"四维单位球面"上。

所以现在有两个 Quaternion A、Quaternion B。可以想象成球面上的两个点：

Slerp 做的事情就是：

沿着球面，从 A 平滑地走向 B。

而不是直接穿球内部。常用的代码样子就是：

FQuat Result = FQuat::Slerp(A, B, t);

3.1.1 为啥这样特别适合旋转？

因为我们真正关心的是：旋转角度均匀变化。

例如角色转头：0°、20°、40°、60°、80°、90°。视觉上应该是匀速旋转。

Slerp 就正好保证：

沿旋转空间的最短圆弧进行插值，并且角速度保持比较自然的均匀变化。

所以动画、骨骼、IK、Camera 等场景都会用到它。

3.1.2 q 和 -q 为什么表示同一个旋转？

假设四元数：q = (x, y, z, w)。

其实就是：q = (Axis · sin(θ/2), cos(θ/2))。

比如：

绕 Y 轴旋转 60°：q = (0, 0.5, 0, 0.866)。

现在整体取反：-q = (0, -0.5, 0, -0.866)。

看起来完全不一样。但神奇的是：它俩表示同一个最终 3D 旋转。不是咋可能呢？！

莫慌！先用最简单的方法理解：

你可以想象一个圆。一个方向可以顺时针转 60°，也可以逆时针转 300°。

你会发现最后朝向一样。四元数里也有类似的"两个表示对应同一个旋转"的现象。

更加准确地说：

Quaternion 空间
      q  ●
         │
         │
         O
         │
         │
      -q ●  

q 和 -q 在四元数球面上是完全相反的两个点。但映射回现实中的 3D Rotation 时：

这叫：Double Cover（双重覆盖）。

为什么从公式上也成立？

还记得旋转 Vector：v′ = q * v * q⁻¹。现在把 q 全换成 -q：

(-q) * v * (-q)⁻¹
= (-q) * v * (-q⁻¹)
= q * v * q⁻¹

诶，又回来了：q * v * q⁻¹。

所以结果完全一样。

也就是说：q 旋转 Vector 和 -q 旋转 Vector，结果完全相同。

3.1.3 话说回来！那这个和 Slerp 有什么关系？

假设：A = 当前旋转，B = 目标旋转。

Quaternion 在球面上：

注意：B 和 -B 表示现实世界中完全一样的旋转。但是在 Quaternion 球面里，它们却位于相反的位置，于是问题出现了。假设 A 离 -B 很近：

A ●──● -B





     ● B

但你偏偏让 Slerp 去找 B。

那么它可能会：A → 绕球面走非常非常远 → B。

现实里：明明只需要转 20°，结果给你绕 340°。

所以要选最近的那个表示。

既然 B 和 -B 表示现实世界中完全一样的旋转，那我们当然应该选择：

离 A 更近的那个。

怎么知道谁更近？用 Dot(A, B) 四元数点积。不要拍，它和 Vector 点积思想完全一样。

点积的几何意义：说明两者在 Quaternion 球面上的夹角关系。

Dot < 0（夹角 > 90°）

A 和 B 离得比较远。

代码上：

if (Dot(A, B) < 0)
{
    B = -B;
}

变成：

原本：

A ● ---------------- ● B

实际上改成：

A ● ---- ● -B

然后从 A 到 -B 插值。因为：B == -B在最终旋转意义上完全一样。于是我们就能走最短路径。

3.1.4 Slerp 的核心

Quat Slerp(Quat A, Quat B, float t)

第一件事经常就是：

float Dot = dot(A, B);
if (Dot < 0)
{
    B = -B;
    Dot = -Dot;
}

这段以前如果你直接看源码，可能感觉莫名其妙：

为啥好端端把 Quaternion 乘 -1？

现在就知道了：q 和 -q 表示同一个 Rotation，选离 A 最近的那个表示，避免 Slerp 绕远路。

第二件事：真正的 Slerp 才开始。

假设四元数球面上，

           A ●
          /   .
         /     .
        /       .
       O ------- ● B

A 和 B 之间夹角叫 Ω。

Slerp 会让结果：

t = 0
A

t = 0.25
↓
t = 0.5
↓
t = 0.75
↓
t = 1
B

沿圆弧均匀运动。所以它叫：球面线性插值。

这里又有个特别容易混淆的地方：Slerp 和 Lerp 区别，可以直接想成：

Lerp

直接两点连直线，它会穿过球内部。

结果长度可能不再是 1：|q| != 1。

所以通常还要：Normalize()。这就得到：Nlerp= Normalized Lerp。

Slerp

则是：沿着球面圆弧走，所以更符合 Rotation 空间。

那是不是 Slerp 永远比 Nlerp 好？

其实很简单：Slerp 比 NSlerp 更贵，多了一些运算。仅此而已。