无感观测器理论模型（NTSM-SMO-PLL 与 SMO-PLL）

无感观测器理论模型（NTSM-SMO-PLL 与 SMO-PLL）

本文给出重汽重卡 115 kW IPMSM 无感观测器的完整理论模型。 两支观测器：NTSM-SMO-PLL （非奇异终端滑模，主方案）与 SMO-PLL （线性滑模，对照组）。 所有公式与 Simulink 模型 M9_Flux_weakening 中的实现逐一对应。

阅读说明 ：第 3 节（NTSM-SMO）与第 6 节（PLL）从零基础写起，每引入一个概念都会先讲清"为什么需要它"， 再给公式与推导。没接触过滑模控制或锁相环的读者可直接按顺序读完这两节。

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0. 核心思路有没有变？------没有

环节	NTSM-SMO	SMO	是否改变
电流观测器结构	$Lq\hspace{0.17em}di^/dt=u-Rsi^-v\; L\_q\backslash ,d\backslash hat\; i/dt\; =\; u-R\_s\backslash hat\; i-v$ Lqdi^/dt=u−Rsi^−v	同左	未变
滑模控制量 $vv$ v 的构造	终端滑模控制律 $HH$ H	线性切换项 $zz$ z	未变
滑模面 / 切换函数	积分非奇异终端滑模面 $ss$ s	电流误差饱和函数	未变
反电动势提取	$Eh=LPF(H,wc)\; E\_h=\backslash mathrm\{LPF\}(H,w\_c)$ Eh=LPF(H,wc)	$Eh=LPF(z,wc)\; E\_h=\backslash mathrm\{LPF\}(z,w\_c)$ Eh=LPF(z,wc)	未变
角度提取	$atan2\backslash mathrm\{atan2\}$ atan2 + 解卷绕 + 相位补偿	同左	未变
转速提取	$we=\; Emag\; /\psi \; w\_e=E\_\{mag\}/\backslash psi$ we=Emag/ψ（幅值法） → 二阶 PLL（锁相法）	同左	⭐ 唯一改变
等效磁链 $\psi \backslash psi$ ψ 输出	仍保留供诊断	已不使用	接口未变

⇒ 本次改动只发生在"转速提取"这一个模块内部 ，两支观测器的滑模部分完全保持原样。 函数签名、输入输出端口数量与含义全部不变，模型连线无需改动。

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1. 被控对象模型（IPMSM 在 αβ 域）

1.1 为什么用 αβ 域

电机三相绕组在物理上是耦合的。为了做无感观测，我们希望把模型写成 "两个独立的、与转子位置无关的电路" ------ 这就是 αβ（静止两相）坐标系。 它的好处是：电压、电流、反电动势都是可以直接测量或由三相量变换得到的 ， 而转子位置 $\theta e\; \backslash theta\_e$ θe 只出现在反电动势里，正好成为我们要估计的对象。

1.2 三相到 αβ（Clarke 变换，等幅值形式）

$$$$ iα iβ =23 1 −12 −12 0 32 − 32 ia ib ic \begin{bmatrix}i_\alpha\\i_\beta\end{bmatrix} =\frac{2}{3}\begin{bmatrix}1 & -\tfrac12 & -\tfrac12\\2pt0 & \tfrac{\sqrt3}{2} & -\tfrac{\sqrt3}{2}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}i_a\\i_b\\i_c\end{bmatrix} iαiβ=3210−2123 −21−23 iaibic

利用 $ia+ib+ic=0\; i\_a+i\_b+i\_c=0$ ia+ib+ic=0 消去 $ic\; i\_c$ ic，可化简为模型中的实际实现：
$$\hspace{0.25em} i\alpha =ia,i\beta =\; 13\; (ia+2ib)\; \hspace{0.25em} \; \backslash boxed\{\backslash ;i\_\backslash alpha=i\_a,\backslash qquad\; i\_\backslash beta=\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt3\}\backslash left(i\_a+2i\_b\backslash right)\backslash ;\}$$ iα=ia,iβ=3 1(ia+2ib)

模型实现 ：Clark 子系统，两个 Interpreted MATLAB Function（u(1) 与 (1/sqrt(3))*(u(1)+2*u(2))）。 该式为等幅值 Clarke 的正确等价写法， $\mid \; i\alpha \beta \; \mid \; |i\_\{\backslash alpha\backslash beta\}|$ ∣iαβ∣ 等于相电流幅值（已在模型中核实）。

1.3 αβ 电压方程

以 $Lq\; L\_q$ Lq 为电感基准（因为采用"扩展反电动势"建模，把凸极效应并入反电动势项）：
$$\hspace{0.25em} \; u\alpha \beta \; =Rs\; i\alpha \beta \; +Lq\; d\; i\alpha \beta \; dt\; +\; Eex,\alpha \beta \; \hspace{0.25em} \; (1.1)\; \backslash boxed\{\backslash ;u\_\{\backslash alpha\backslash beta\}=R\_s\; i\_\{\backslash alpha\backslash beta\}+L\_q\backslash frac\{di\_\{\backslash alpha\backslash beta\}\}\{dt\}+E\_\{ex,\backslash alpha\backslash beta\}\backslash ;\}\; \backslash tag\{1.1\}$$ uαβ=Rsiαβ+Lqdtdiαβ+Eex,αβ(1.1)

直观理解 ：这就是一个 RL 串联电路 ------ 端电压 = 电阻压降 + 电感压降 + 反电动势。 观测器的任务，就是在不知道 $Eex\; E\_\{ex\}$ Eex 的前提下，通过已知的 $uu$ u 和 $ii$ i 把它"抠"出来。

1.4 扩展反电动势（EEMF）

$$Eex,\alpha \beta \; =\omega e\psi f$$ −sin⁡θe cos⁡θe +(Ld−Lq) T(θe) did/dt ωeid ,T(θe)= cos⁡θe −sin⁡θe sin⁡θe cos⁡θe E_{ex,\alpha\beta} =\omega_e\psi_f\begin{bmatrix}-\sin\theta_e\\ \cos\theta_e\end{bmatrix} +(L_d-L_q)\,T(\theta_e)\begin{bmatrix}di_d/dt\\ \omega_e i_d\end{bmatrix}, \qquad T(\theta_e)=\begin{bmatrix}\cos\theta_e & -\sin\theta_e\\ \sin\theta_e & \cos\theta_e\end{bmatrix} Eex,αβ=ωeψf−sinθecosθe+(Ld−Lq)T(θe)did/dtωeid,T(θe)=cosθesinθe−sinθecosθe

稳态 （ $id\; i\_d$ id、 $iq\; i\_q$ iq 为常数， $did/dt=0\; di\_d/dt=0$ did/dt=0）时退化为：
$$Eex,\alpha \beta \; =\; \omega e$$ψf+(Ld−Lq)id ⏟ E −sin⁡θe cos⁡θe E_{ex,\alpha\beta}=\underbrace{\omega_e\big\\psi_f+(L_d-L_q)i_d\\big}_{\textstyle E}\begin{bmatrix}-\sin\theta_e\\ \cos\theta_e\end{bmatrix} Eex,αβ=E ωeψf+(Ld−Lq)id−sinθecosθe

定义等效磁链 （模型中的 psi）：
$$\hspace{0.25em} \psi \hspace{0.25em} \triangleq \hspace{0.25em} \psi f+(Ld-Lq)\hspace{0.17em}id\hspace{0.25em} \; (1.2)\; \backslash boxed\{\backslash ;\backslash psi\; \backslash ;\backslash triangleq\backslash ;\; \backslash psi\_f+(L\_d-L\_q)\backslash ,i\_d\backslash ;\}\; \backslash tag\{1.2\}$$ ψ≜ψf+(Ld−Lq)id(1.2)

稳态下：
$$\hspace{0.25em} \; Eex,\alpha \beta \; =\omega e\psi$$ −sin⁡θe cos⁡θe ,∣ Eex ∣=ωeψ   (1.3) \boxed{\;E_{ex,\alpha\beta}=\omega_e\psi\begin{bmatrix}-\sin\theta_e\\ \cos\theta_e\end{bmatrix},\qquad |E_{ex}|=\omega_e\psi\;} \tag{1.3} Eex,αβ=ωeψ−sinθecosθe,∣Eex∣=ωeψ(1.3)

三条重要性质：

1. 幅值正比于转速 ： $\mid \; Eex\; \mid =\omega e\psi \; |E\_\{ex\}|=\backslash omega\_e\backslash psi$ ∣Eex∣=ωeψ。这是"幅值法求转速"的理论依据，也是它在高速段失效的根源（见 6.0.2 节）。
2. 方向编码了转子位置 ：矢量的相角就是 $\theta e\; \backslash theta\_e$ θe（差一个固定的 $\pi /2\backslash pi/2$ π/2）。这是"锁相法求转速"的依据。
3. $id\approx 0\; i\_d\backslash approx0$ id≈0 时 $\psi \approx \psi f\; \backslash psi\backslash approx\backslash psi\_f$ ψ≈ψf ，反电动势幅值与凸极参数 $Ld\; L\_d$ Ld、 $Lq\; L\_q$ Lq 无关。

1.5 符号约定

模型采用余弦基准：
$$Eex,\alpha \; =-Esin\theta e,\; Eex,\beta \; =+Ecos\theta e,E=\omega e\psi \; E\_\{ex,\backslash alpha\}=-E\backslash sin\backslash theta\_e,\backslash qquad\; E\_\{ex,\backslash beta\}=+E\backslash cos\backslash theta\_e,\backslash qquad\; E=\backslash omega\_e\backslash psi$$ Eex,α=−Esinθe,Eex,β=+Ecosθe,E=ωeψ

反电动势矢量的相角：
$$arg\hspace{0.17em}(\; Eex,\alpha \; +j\; Eex,\beta \; )=arg\hspace{0.17em}(E(-sin\theta e+jcos\theta e))=arg\hspace{0.17em}(jEe\; j\theta e\; )=\theta e+\; \pi 2\; \backslash arg\backslash !\backslash big(E\_\{ex,\backslash alpha\}+jE\_\{ex,\backslash beta\}\backslash big)\; =\backslash arg\backslash !\backslash big(E(-\backslash sin\backslash theta\_e+j\backslash cos\backslash theta\_e)\backslash big)\; =\backslash arg\backslash !\backslash big(jEe^\{j\backslash theta\_e\}\backslash big)\; =\backslash theta\_e+\backslash tfrac\{\backslash pi\}\{2\}$$ arg(Eex,α+jEex,β)=arg(E(−sinθe+jcosθe))=arg(jEejθe)=θe+2π

⇒ 从反电动势取角度时必须用 $atan2(-E\alpha ,\hspace{0.17em}E\beta )\; \backslash mathrm\{atan2\}(-E\_\backslash alpha,\backslash ,E\_\backslash beta)$ atan2(−Eα,Eβ)，而不是 $atan2(E\beta ,E\alpha )\; \backslash mathrm\{atan2\}(E\_\backslash beta,E\_\backslash alpha)$ atan2(Eβ,Eα)。 （前者恰好把 $\pi /2\backslash pi/2$ π/2 偏置抵消掉。）

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2. 观测器总体结构

两支观测器共享同一套三层结构，唯一区别在第二层的构造：

┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│  第一层：电流观测器                                          │
│      L_q · dî/dt = u − Rs·î − v                              │
│      这是对象模型 (1.1) 的"复制品"，v 是人为加入的修正量      │
├─────────────────────────────────────────────────────────────┤
│  第二层：滑模控制量 v                                        │
│      NTSM：v = H  ← 终端滑模控制律                            │
│      SMO ：v = z  ← 线性切换项 z = K·sat(x₁,φs)              │
├─────────────────────────────────────────────────────────────┤
│  第三层：反电动势提取与角度/转速                              │
│      E_h   = LPF(v, wc)                                      │
│      θ     = unwrap[atan2(−E_hα, E_hβ)] + atan(ωpll/wc)      │
│      ωpll  = PLL(E_h)          ← 本版改动点                   │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘

电流误差矢量（贯穿全文的核心变量）：
$$\hspace{0.25em} x1\triangleq \; i^\alpha \beta \; -\; i\alpha \beta \; \hspace{0.25em} \; (2.1)\; \backslash boxed\{\backslash ;x\_1\backslash triangleq\backslash hat\; i\_\{\backslash alpha\backslash beta\}-i\_\{\backslash alpha\backslash beta\}\backslash ;\}\; \backslash tag\{2.1\}$$ x1≜i^αβ−iαβ(2.1)

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3. NTSM-SMO 核心（主方案）

3.0 预备知识：滑模控制是什么（零基础可读）

3.0.1 基本思想

我们要让 $i^\; \backslash hat\; i$ i^ 跟踪 $ii$ i，但不知道该施加多大的修正量 $vv$ v（因为我们不知道 $Eex\; E\_\{ex\}$ Eex）。

滑模控制的做法 是：不去"算出"这个修正量，而是让 $vv$ v 在两个极端值之间高速切换 ， 使误差 $x1\; x\_1$ x1 被强行推向一个我们设计的曲面 $s=0s=0$ s=0，并在上面保持。

举个最简例子：若希望 $x1\to 0\; x\_1\backslash to0$ x1→0，取 $v=K\hspace{0.17em}sgn(x1)\; v\; =\; K\backslash ,\backslash mathrm\{sgn\}(x\_1)$ v=Ksgn(x1)。

• $x1>0\; x\_1>0$ x1>0 时 $v=+Kv=+K$ v=+K，把误差往负方向推；
• x1<0 时 $v=-Kv=-K$ v=−K，把误差往正方向推。

只要 $KK$ K 足够大，误差就会被"夹"在 0 附近 ------ 这就是最简单的滑模。

3.0.2 两个阶段

阶段	含义
到达阶段（reaching）	$ss$ s 从初始值被拉到 $s=0s=0$ s=0 的过程
滑动阶段（sliding）	到达后，系统被约束在 $s=0s=0$ s=0 上运动

滑动阶段有一个极其重要的性质 ：一旦 $s\equiv 0s\backslash equiv0$ s≡0，系统的运动完全由曲面方程 $s=0s=0$ s=0 决定， 与对象参数（ $Rs\; R\_s$ Rs、 $Lq\; L\_q$ Lq）和外部扰动无关。

直观理解 ：开关量 $vv$ v 的"平均值"会自动调整到恰好抵消扰动的大小 ------ 这正是我们想要的反电动势。这就是滑模观测器能"不求而知"反电动势的根本原因。

3.0.3 为什么叫"终端"（Terminal）

• 线性滑模面 （如 $s=x1\; s=x\_1$ s=x1）：误差按指数衰减 $x1(t)=x1(0)e-\lambda t\; x\_1(t)=x\_1(0)e^\{-\backslash lambda\; t\}$ x1(t)=x1(0)e−λt，理论上永远到不了零（渐近收敛）。
• 终端滑模面 （含 $\mid x1\mid rsgn(x1)\; |x\_1|^r\backslash mathrm\{sgn\}(x\_1)$ ∣x1∣rsgn(x1)， 0<r<1 的分数幂）： 误差在有限时间内精确到达零。

为什么分数幂能带来有限时间？ 考虑标量方程 $x\dot{}=-k\mid x\mid rsgn(x)\; \backslash dot\; x=-k|x|^r\backslash mathrm\{sgn\}(x)$ x˙=−k∣x∣rsgn(x)， 0<r<1。分离变量积分：
∫x00∣x∣rdx=−k∫0Tdt ⟹ T=k(1−r)∣x0∣1−r<+∞

⇒ 收敛时间是有限的 （而指数收敛对应 $T=\infty T=\backslash infty$ T=∞）。

3.0.4 为什么叫"非奇异"（Nonsingular）

最原始的终端滑模面写成：
$$s=x1+\beta \hspace{0.17em}\; x\dot{}1\hspace{0.17em}q/p\; ,q>p⟹qp>1\; s=x\_1+\backslash beta\backslash ,\backslash dot\; x\_1^\{\backslash ,q/p\},\backslash qquad\; q>p\backslash quad\backslash Longrightarrow\backslash quad\; \backslash frac\; qp>1$$ s=x1+βx˙1q/p,q>p⟹pq>1

对它求导会出现 $x\dot{}1\hspace{0.17em}q/p-1\; \backslash dot\; x\_1^\{\backslash ,q/p-1\}$ x˙1q/p−1，指数 $q/p-1>0q/p-1>0$ q/p−1>0 没问题； 但如果写成 $s=x1+\beta \hspace{0.17em}\; x\dot{}1\hspace{0.17em}p/q\; s=x\_1+\backslash beta\backslash ,\backslash dot\; x\_1^\{\backslash ,p/q\}$ s=x1+βx˙1p/q（ p/q<1），求导后指数变成负数 p/q−1<0， 当 $x\dot{}1\; \to 0\; \backslash dot\; x\_1\backslash to0$ x˙1→0 时项趋于无穷 ------ 这就是奇异问题。

本方案采用"积分型"构造规避奇异 ：把终端项放在积分号内部
$$s=x1+\int 0tkn\mid x1\mid rsgn(x1)\hspace{0.17em}d\tau \; s=x\_1+\backslash int\_0^t\; k\_n|x\_1|^r\backslash mathrm\{sgn\}(x\_1)\backslash ,d\backslash tau$$ s=x1+∫0tkn∣x1∣rsgn(x1)dτ

求导后得到的是 $\mid x1\mid rsgn(x1)\; |x\_1|^r\backslash mathrm\{sgn\}(x\_1)$ ∣x1∣rsgn(x1)（指数 $r=0.6>0r=0.6>0$ r=0.6>0），在 $x1=0\; x\_1=0$ x1=0 处不奇异 ✓

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3.1 电流误差动态

由 (1.1) 与观测器第一层：
$$Lq\; d\; i^\alpha \beta \; dt\; =\; u\alpha \beta \; -Rs\; i^\alpha \beta \; -H\; L\_q\backslash frac\{d\backslash hat\; i\_\{\backslash alpha\backslash beta\}\}\{dt\}=u\_\{\backslash alpha\backslash beta\}-R\_s\backslash hat\; i\_\{\backslash alpha\backslash beta\}-H$$ Lqdtdi^αβ=uαβ−Rsi^αβ−H

两式相减，消去已知的 $u\alpha \beta \; u\_\{\backslash alpha\backslash beta\}$ uαβ：
$$\hspace{0.25em} Lq\; dx1\; dt\; =-Rsx1-H+\; Eex\; \hspace{0.25em} \; (3.1)\; \backslash boxed\{\backslash ;L\_q\backslash frac\{dx\_1\}\{dt\}=-R\_sx\_1-H+E\_\{ex\}\backslash ;\}\; \backslash tag\{3.1\}$$ Lqdtdx1=−Rsx1−H+Eex(3.1)

读法 ：误差的变化率由三部分决定 ------ 电阻自衰减（ $-\; RsLq\; x1\; -\backslash frac\{R\_s\}\{L\_q\}x\_1$ −LqRsx1）、我们的控制量（ $-\; HLq\; -\backslash frac\{H\}\{L\_q\}$ −LqH）、 以及我们想知道的扰动（ $+\; Eex\; Lq\; +\backslash frac\{E\_\{ex\}\}\{L\_q\}$ +LqEex）。滑模的任务就是让 $HH$ H 恰好抵消 $Eex\; E\_\{ex\}$ Eex。

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3.2 积分非奇异终端滑模面

分数幂项：
$$\mid x1\mid rsgn(x1),r=pq,p=3,\; q=5\; \Rightarrow \; r=0.6\; |x\_1|^r\backslash mathrm\{sgn\}(x\_1),\backslash qquad\; r=\backslash frac\; pq,\backslash quad\; p=3,\backslash \; q=5\backslash \; \backslash Rightarrow\backslash \; r=0.6$$ ∣x1∣rsgn(x1),r=qp,p=3, q=5 ⇒ r=0.6

这个函数作用在矢量上是逐分量进行的。它兼具"符号函数"（给方向）与"分数幂"（小误差处增益相对更大）两重作用。

滑模面（含两个积分项）：
$$\hspace{0.25em} s=x1+\; \int 0tjnx1\hspace{0.17em}d\tau \; ⏟\; Ij:\; 线性积分项\; +\; \int 0tkn\mid x1\mid rsgn(x1)\hspace{0.17em}d\tau \; ⏟\; Ik:\; 终端积分项\; \hspace{0.25em} \; (3.2)\; \backslash boxed\{\backslash ;s=x\_1+\backslash underbrace\{\backslash int\_0^t\; j\_nx\_1\backslash ,d\backslash tau\}$${I_j:\ \text{线性积分项}}+\underbrace{\int_0^t k_n|x_1|^r\mathrm{sgn}(x_1)\,d\tau}{I_k:\ \text{终端积分项}}\;} \tag{3.2} s=x1+Ij: 线性积分项 ∫0tjnx1dτ+Ik: 终端积分项 ∫0tkn∣x1∣rsgn(x1)dτ(3.2)

离散化（前向欧拉）：
$$Ij$$k=Ijk−1+Ts jn x1k−1 I_jk=I_jk-1+T_s\,j_n\,x_1k-1 Ijk=Ijk−1+Tsjnx1k−1
$$Ik$$k=Ikk−1+Ts kn ∣x1k−1∣rsgn(x1k−1) I_kk=I_kk-1+T_s\,k_n\,|x_1k-1|^r\mathrm{sgn}(x_1k-1) Ikk=Ikk−1+Tskn∣x1k−1∣rsgn(x1k−1)
$$s$$k=x1k−1+Ijk+Ikksk=x_1k-1+I_jk+I_kk sk=x1k−1+Ijk+Ikk

⚠️ 实现细节 ：模型中 $Ij\; I\_j$ Ij、 $Ik\; I\_k$ Ik 各加了 $\pm 50\backslash pm50$ ±50 的抗饱和限幅，防止极端工况下无限累积。

两个积分项分别做什么？

项	作用
$Ij=\int jnx1\; I\_j=\backslash int\; j\_nx\_1$ Ij=∫jnx1	消除稳态误差（积分作用），使 $x1\; x\_1$ x1 的平均值为零
$Ik=\int kn\parallel x1\parallel rsgn(x1)\; I\_k=\backslash int\; k\_n\backslash |x\_1\backslash |^r\backslash mathrm\{sgn\}(x\_1)$ Ik=∫kn∥x1∥rsgn(x1)	提供终端（有限时间）收敛特性

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3.3 控制律

$$\hspace{0.25em} H=-Rsx1+Lq$$ jnx1 ⏟ ①线性积分项 + kn∣x1∣rsgn(x1) ⏟ ②终端项 + k1s ⏟ ③线性滑模项 + f sat(s,ϕs) ⏟ ④自适应切换项    (3.3) \boxed{\; H=-R_sx_1+L_q\Big\\underbrace{j_nx_1}_{\\text{①线性积分项}}+\\underbrace{k_n\|x_1\|\^r\\mathrm{sgn}(x_1)}_{\\text{②终端项}}+\\underbrace{k_1s}_{\\text{③线性滑模项}}+\\underbrace{f\\,\\mathrm{sat}(s,\\phi_s)}_{\\text{④自适应切换项}}\\Big \;} \tag{3.3} H=−Rsx1+Lq①线性积分项 jnx1+②终端项 kn∣x1∣rsgn(x1)+③线性滑模项 k1s+④自适应切换项 fsat(s,ϕs)(3.3)

饱和函数（边界层，用于抑制抖振）：
2pt\mathrm{sgn}(y), & |y|>\phi\quad\text{（饱和区，全增益）}\end{cases} sat(y,ϕ)={y/ϕ,sgn(y),∣y∣≤ϕ（线性区，减小抖振）∣y∣>ϕ（饱和区，全增益）

逐项解释：

项	名称	作用
$-Rsx1\; -R\_sx\_1$ −Rsx1	电阻补偿	抵消 (3.1) 中的 $-Rsx1\; -R\_sx\_1$ −Rsx1，使误差动态"干净"
$Lq\hspace{0.17em}jnx1\; L\_q\backslash ,j\_nx\_1$ Lqjnx1	线性积分项	与滑模面中的 $Ij\; I\_j$ Ij 对应，保证滑模面可达
$Lq\hspace{0.17em}kn\parallel x1\parallel rsgn(x1)\; L\_q\backslash ,k\_n\backslash |x\_1\backslash |^r\backslash mathrm\{sgn\}(x\_1)$ Lqkn∥x1∥rsgn(x1)	终端项	与 $Ik\; I\_k$ Ik 对应，提供有限时间收敛
$Lq\hspace{0.17em}k1s\; L\_q\backslash ,k\_1s$ Lqk1s	线性滑模项	指数收敛到滑模面，保证到达阶段稳定
$Lq\hspace{0.17em}f\hspace{0.17em}sat(s,\varphi s)\; L\_q\backslash ,f\backslash ,\backslash mathrm\{sat\}(s,\backslash phi\_s)$ Lqfsat(s,ϕs)	自适应切换项	主切换项，靠它抵消未知的 $Eex\; E\_\{ex\}$ Eex

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3.4 自适应切换增益

$$\hspace{0.25em} f=min\; \{\; m\hspace{0.17em}\mid s\mid \hspace{0.17em}(1+\delta )\delta +e\; -\epsilon a\mid s\mid \; ,\hspace{0.25em} \hspace{0.25em} 3m\}\; \hspace{0.25em} \; (3.4)\; \backslash boxed\{\backslash ;f=\backslash min\backslash left\backslash \{\backslash frac\{m\backslash ,|s|\backslash ,(1+\backslash delta)\}\{\backslash delta+e^\{-\backslash varepsilon\_a|s|\}\},\backslash ;\backslash ;3m\backslash right\backslash \}\backslash ;\}\; \backslash tag\{3.4\}$$ f=min{δ+e−εa∣s∣m∣s∣(1+δ),3m}(3.4)

逐段分析：

| $\mid s\mid |s|$ ∣s∣ | $ff$ f 的近似值 | 说明 | |---|---|---| | $\to 0\backslash to0$ →0 | $f\to 0f\backslash to0$ f→0 | 小误差处自动减小增益，抑制抖振 | | 中等 | $f\approx m\parallel s\parallel f\backslash approx\; m\backslash |s\backslash |$ f≈m∥s∥ | 近似线性增长 | | 大 | $f\to 3mf\backslash to3m$ f→3m（限幅） | 防止起动大误差时 $HH$ H 过大 |

限幅 $3m3m$ 3m 的物理意义 ：避免起动瞬间 $\mid s\mid |s|$ ∣s∣ 很大时 $HH$ H 出现不合理的巨大值。

⚠️ 已知特性 ：由于 $s\to 0s\backslash to0$ s→0 时 $f\to 0f\backslash to0$ f→0，滑模面附近的切换能力主要由 $k1s\; k\_1s$ k1s 承担。 但由 3.7 节估算，稳态 $\mid s\mid |s|$ ∣s∣ 约 7 A（并不小）， $ff$ f 实际长期处于饱和区，故该特性不影响正常工作。

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3.5 到达律推导

第一步：把控制律 (3.3) 代入误差方程 (3.1)：
$$Lq\; dx1\; dt\; =-Rsx1-\{-Rsx1+Lq$$jnx1+kn∣x1∣rsgn(x1)+k1s+f sat(s)}+ Eex L_q\frac{dx_1}{dt} =-R_sx_1-\Big\{-R_sx_1+L_q\bigj_nx_1+k_n\|x_1\|\^r\\mathrm{sgn}(x_1)+k_1s+f\\,\\mathrm{sat}(s)\\big\Big\}+E_{ex} Lqdtdx1=−Rsx1−{−Rsx1+Lqjnx1+kn∣x1∣rsgn(x1)+k1s+fsat(s)}+Eex

$-Rsx1\; -R\_sx\_1$ −Rsx1 与括号内的 $+Rsx1\; +R\_sx\_1$ +Rsx1 恰好抵消：
$$Lq\; dx1\; dt\; =-Lq$$jnx1+kn∣x1∣rsgn(x1)+k1s+f sat(s)+ Eex L_q\frac{dx_1}{dt}=-L_q\bigj_nx_1+k_n\|x_1\|\^r\\mathrm{sgn}(x_1)+k_1s+f\\,\\mathrm{sat}(s)\\big+E_{ex} Lqdtdx1=−Lqjnx1+kn∣x1∣rsgn(x1)+k1s+fsat(s)+Eex

两边除以 $Lq\; L\_q$ Lq：
$$\hspace{0.25em} \; dx1\; dt\; =-$$jnx1+kn∣x1∣rsgn(x1)+k1s+f sat(s)+ Eex Lq    (3.5) \boxed{\;\frac{dx_1}{dt}=-\bigj_nx_1+k_n\|x_1\|\^r\\mathrm{sgn}(x_1)+k_1s+f\\,\\mathrm{sat}(s)\\big+\frac{E_{ex}}{L_q}\;} \tag{3.5} dtdx1=−jnx1+kn∣x1∣rsgn(x1)+k1s+fsat(s)+LqEex(3.5)

第二步：对滑模面 (3.2) 求时间导数：
$$dsdt\; =\; dx1\; dt\; +jnx1+kn\mid x1\mid rsgn(x1)\; \backslash frac\{ds\}\{dt\}=\backslash frac\{dx\_1\}\{dt\}+j\_nx\_1+k\_n|x\_1|^r\backslash mathrm\{sgn\}(x\_1)$$ dtds=dtdx1+jnx1+kn∣x1∣rsgn(x1)

把 (3.5) 代入， $jnx1\; j\_nx\_1$ jnx1 与 $kn\mid x1\mid rsgn(x1)\; k\_n|x\_1|^r\backslash mathrm\{sgn\}(x\_1)$ kn∣x1∣rsgn(x1) 也被抵消，得到到达律：
$$\hspace{0.25em} \; dsdt\; =-k1s-f\hspace{0.17em}sat(s,\varphi s)+\; Eex\; Lq\; \hspace{0.25em} \; (3.6)\; \backslash boxed\{\backslash ;\backslash frac\{ds\}\{dt\}=-k\_1s-f\backslash ,\backslash mathrm\{sat\}(s,\backslash phi\_s)+\backslash frac\{E\_\{ex\}\}\{L\_q\}\backslash ;\}\; \backslash tag\{3.6\}$$ dtds=−k1s−fsat(s,ϕs)+LqEex(3.6)

这就把复杂的误差动态化简成了一个标量一阶方程 ------ 这就是控制律 (3.3) 中每个补偿项存在的意义。

滑模可达性 ：只要 $ff$ f（或其饱和值 $3m3m$ 3m）在滑模面附近大于 $\mid \; Eex\; \mid /Lq\; |E\_\{ex\}|/L\_q$ ∣Eex∣/Lq，就有 ss˙<0，滑模可达。

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3.6 等效控制原理 ⭐（本节是全文枢纽）

3.6.1 什么是"等效控制"

开关量 $vv$ v（即 $HH$ H 中的切换部分）以极高频率在 $\pm \backslash pm$ ± 之间跳变。 虽然它本身是断续的，但它在一个开关周期内的平均值 是连续且有意义的 ------ 这个平均值称为等效控制 $veq\; v\_\{eq\}$ veq。

由 (3.6) ：滑模发生时 $s\dot{}\approx 0\; \backslash dot\; s\backslash approx0$ s˙≈0（ $ss$ s 在一个电周期内均值为零），故
$$\hspace{0.25em} k1s+f\hspace{0.17em}sat(s,\varphi s)=\; Eex\; Lq\; \hspace{0.25em} \; (3.7)\; \backslash boxed\{\backslash ;k\_1s+f\backslash ,\backslash mathrm\{sat\}(s,\backslash phi\_s)=\backslash frac\{E\_\{ex\}\}\{L\_q\}\backslash ;\}\; \backslash tag\{3.7\}$$ k1s+fsat(s,ϕs)=LqEex(3.7)

3.6.2 从等效控制到反电动势

把 (3.7) 代回控制律 (3.3)，注意 (3.3) 中的括号恰好就是 (3.7) 的左端：
$$H=-Rsx1+Lq$$jnx1+kn∣x1∣rsgn(x1)+ Lqk1s+f sat(s) ⏟ =  Eex （由 3.7） H=-R_sx_1+L_q\bigj_nx_1+k_n\|x_1\|\^r\\mathrm{sgn}(x_1)\\big+\underbrace{L_q\Bigk_1s+f\\,\\mathrm{sat}(s)\\Big}{=\,E{ex}\ \text{（由 3.7）}} H=−Rsx1+Lqjnx1+kn∣x1∣rsgn(x1)+=Eex （由 3.7） Lqk1s+fsat(s)
$$\hspace{0.25em} H=-Rsx1+Lq$$jnx1+kn∣x1∣rsgn(x1)+ Eex    (3.8) \boxed{\;H=-R_sx_1+L_q\bigj_nx_1+k_n\|x_1\|\^r\\mathrm{sgn}(x_1)\\big+E_{ex}\;} \tag{3.8} H=−Rsx1+Lqjnx1+kn∣x1∣rsgn(x1)+Eex(3.8)

⇒ 当 $x1\to 0\; x\_1\backslash to0$ x1→0（理想滑模）时：
$$\hspace{0.25em} H\hspace{0.25em} \; \to \; \hspace{0.25em} x1\to 0\hspace{0.25em} \; \hspace{0.25em} \; Eex\; \hspace{0.25em} \; (3.9)\; \backslash boxed\{\backslash ;H\backslash ;\backslash xrightarrow\{\backslash ;x\_1\backslash to0\backslash ;\}\backslash ;E\_\{ex\}\backslash ;\}\; \backslash tag\{3.9\}$$ Hx1→0 Eex(3.9)

3.6.3 结论与实现

(3.9) 就是"用低通滤波 $HH$ H 即可提取反电动势"的全部理论依据：
$$Eh=LPF(H,\hspace{0.25em} wc)\; E\_h=\backslash mathrm\{LPF\}\backslash big(H,\backslash ;w\_c\backslash big)$$ Eh=LPF(H,wc)

低通在这里承担两个角色：

1. 滤掉开关纹波 （ $HH$ H 是高频切换量，我们只要它的平均值）
2. 实现"取平均"这一数学操作（低通 = 滑动平均的连续形式）

⚠️ 实际偏差 ：真实系统中 $x1\; x\_1$ x1 不严格为 0，(3.8) 中的 $-Rsx1+Lq$jnx1+kn∣x1∣rsgn(x1) -R_sx_1+L_qj_nx_1+k_n\|x_1\|\^r\\mathrm{sgn}(x_1) −Rsx1+Lqjnx1+kn∣x1∣rsgn(x1) 会残留进入 $Eh\; E\_h$ Eh ，使其幅值偏离真实 $Eex\; E\_\{ex\}$ Eex。 残余量与滑模紧度（ $\mid x1\mid \; |x\_1|$ ∣x1∣ 的大小）直接相关 ------ 这是 6.0.2 节讨论"幅值法为何不准"的物理根源。

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3.7 稳态量级估算与参数意义

由 (3.7)，在饱和区 $f\hspace{0.17em}sat(s)=3m\; f\backslash ,\backslash mathrm\{sat\}(s)=3m$ fsat(s)=3m（取正），得
$$k1\mid s\mid +3m\approx \; \mid \; Eex\; \mid \; Lq\; k\_1|s|+3m\backslash approx\backslash frac\{|E\_\{ex\}|\}\{L\_q\}$$ k1∣s∣+3m≈Lq∣Eex∣

以 3000 rpm 为例： $\omega e=1256.6\; \backslash omega\_e=1256.6$ ωe=1256.6 rad/s， $\mid \; Eex\; \mid =\omega e\psi f=229.6\; |E\_\{ex\}|=\backslash omega\_e\backslash psi\_f=229.6$ ∣Eex∣=ωeψf=229.6 V， $Lq=12\; L\_q=12$ Lq=12 mH
$$\mid \; Eex\; \mid \; Lq\; =19133\; A/s\; \backslash frac\{|E\_\{ex\}|\}\{L\_q\}=19133\backslash \; \backslash text\{A/s\}$$ Lq∣Eex∣=19133 A/s

代入 $k1=1500\; k\_1=1500$ k1=1500、 $3m=90003m=9000$ 3m=9000：
$$\mid s\mid \approx \; 19133-90001500\; \approx 6.8\; A\; |s|\backslash approx\backslash frac\{19133-9000\}\{1500\}\backslash approx6.8\backslash \; \backslash text\{A\}$$ ∣s∣≈150019133−9000≈6.8 A

⇒ 稳态 $ss$ s 约 7 A， $ff$ f 实际长期处于饱和区（ $f=3mf=3m$ f=3m），3.4 节提到的" $f\to 0f\backslash to0$ f→0"只在过渡瞬间出现。

参数意义速查：

参数	增大后的效果	代价
$k1\; k\_1$ k1	到达更快，稳态 $\parallel s\parallel \backslash |s\backslash |$ ∥s∥ 更小	抖振增大
$kn\; k\_n$ kn	终端收敛更快	低速抖振
$mm$ m	切换增益更强，滑模更紧	抖振增大
$\varphi s\; \backslash phi\_s$ ϕs	边界层加宽，抖振减小	滑模精度下降

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4. 线性 SMO 核心（对照组）

线性滑模观测器只有一个控制量：
$$\hspace{0.25em} z=K\hspace{0.17em}sat(x1,\varphi s)\hspace{0.25em} \; (4.1)\; \backslash boxed\{\backslash ;z=K\backslash ,\backslash mathrm\{sat\}(x\_1,\backslash phi\_s)\backslash ;\}\; \backslash tag\{4.1\}$$ z=Ksat(x1,ϕs)(4.1)

误差方程 （同 3.1，只是把 $HH$ H 换成 $zz$ z）：
$$Lq\; dx1\; dt\; =-Rsx1-z+\; Eex\; (4.2)\; L\_q\backslash frac\{dx\_1\}\{dt\}=-R\_sx\_1-z+E\_\{ex\}\; \backslash tag\{4.2\}$$ Lqdtdx1=−Rsx1−z+Eex(4.2)

滑模面 ： $x1=0\; x\_1=0$ x1=0（一阶滑模，无终端项、无积分项）

等效控制 ：滑模发生时 $x1=0\; x\_1=0$ x1=0 且 $dx1/dt=0\; dx\_1/dt=0$ dx1/dt=0，代入 (4.2)：
$$0=-0-\; zeq\; +\; Eex\; ⟹\; \hspace{0.25em} \; zeq\; =\; Eex\; \hspace{0.25em} \; (4.3)\; 0=-0-z\_\{eq\}+E\_\{ex\}\backslash quad\backslash Longrightarrow\backslash quad\backslash boxed\{\backslash ;z\_\{eq\}=E\_\{ex\}\backslash ;\}\; \backslash tag\{4.3\}$$ 0=−0−zeq+Eex⟹zeq=Eex(4.3)

⇒ 比 NTSM 的推导简单得多： $zz$ z 的平均值直接就是 $Eex\; E\_\{ex\}$ Eex。

NTSM 与 SMO 的本质差异

	NTSM-SMO	线性 SMO
滑模面	$s=x1+\int jnx1+\int kn\parallel x1\parallel rsgn(x1)\; s=x\_1+\backslash int\; j\_nx\_1+\backslash int\; k\_n\backslash |x\_1\backslash |^r\backslash mathrm\{sgn\}(x\_1)$ s=x1+∫jnx1+∫kn∥x1∥rsgn(x1)	$x1\; x\_1$ x1
控制量	$HH$ H（5 项）	$z=K\hspace{0.17em}sat(x1,\varphi s)\; z=K\backslash ,\backslash mathrm\{sat\}(x\_1,\backslash phi\_s)$ z=Ksat(x1,ϕs)（1 项）
收敛性	有限时间（终端项保证）	渐近收敛
等效控制	$H\to \; Eex\; H\backslash to\; E\_\{ex\}$ H→Eex，需 $x1\to 0\; x\_1\backslash to0$ x1→0	$zeq\; =\; Eex\; z\_\{eq\}=E\_\{ex\}$ zeq=Eex，直接成立
参数个数	9 个（ $jn,kn,p,q,k1,m,\delta ,\epsilon a,\varphi s\; j\_n,k\_n,p,q,k\_1,m,\backslash delta,\backslash varepsilon\_a,\backslash phi\_s$ jn,kn,p,q,k1,m,δ,εa,ϕs）	2 个（ $K,\varphi s\; K,\backslash phi\_s$ K,ϕs）
抗参数摄动	理论上更强（滑模对匹配扰动不变）	较强
抖振	相对更大（终端项在低速段增益高）	相对更小

⇒ 对比实验要检验的核心假设：NTSM 的终端项能否带来更快的收敛与更强的鲁棒性。

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5. 反电动势提取与角度

5.1 低通滤波提取

两支均采用一阶低通：
dtdEh=wc(v−Eh)v={H,z,NTSMSMO(5.1)

离散化：
$$Eh$$k=Ehk−1+wcTs(vk−1−Ehk−1) E_hk=E_hk-1+w_cT_s\big(vk-1-E_hk-1\big) Ehk=Ehk−1+wcTs(vk−1−Ehk−1)

频域特性：一阶低通的传递函数与频率响应
$$G(s)=\; wc\; s+wc\; ⟹G(j\omega )=\; wc\; wc+j\omega \; G(s)=\backslash frac\{w\_c\}\{s+w\_c\}\; \backslash quad\backslash Longrightarrow\backslash quad\; G(j\backslash omega)=\backslash frac\{w\_c\}\{w\_c+j\backslash omega\}$$ G(s)=s+wcwc⟹G(jω)=wc+jωwc
$$\hspace{0.25em} \mid G(\omega )\mid =\; wc\; wc2+\omega 2\; ,\angle G(\omega )=-arctan\; \omega wc\; \hspace{0.25em} \; (5.2)\; \backslash boxed\{\backslash ;|G(\backslash omega)|=\backslash frac\{w\_c\}\{\backslash sqrt\{w\_c^2+\backslash omega^2\}\},\backslash qquad\; \backslash angle\; G(\backslash omega)=-\backslash arctan\backslash frac\{\backslash omega\}\{w\_c\}\backslash ;\}\; \backslash tag\{5.2\}$$ ∣G(ω)∣=wc2+ω2 wc,∠G(ω)=−arctanwcω(5.2)

⚠️ 关键认识 ：一阶低通对基波同时 造成幅值衰减 与相位滞后，二者都随转速变化。

• 相位滞后 → 5.3 节用 $arctan(\omega e/wc)\; \backslash arctan(\backslash omega\_e/w\_c)$ arctan(ωe/wc) 补偿；
• 幅值衰减 → 旧版用 $corrcorr$ corr 补偿，本版改用 PLL 后不再需要（见 6.0.2 节）。

数值示例（ $wc=1571\; w\_c=1571$ wc=1571 rad/s）：1000 rpm（ $\omega e=419\; \backslash omega\_e=419$ ωe=419）时衰减 0.966、滞后 14.9°； 3000 rpm（ $\omega e=1257\; \backslash omega\_e=1257$ ωe=1257）时衰减 0.781、滞后 38.7°。

5.2 角度提取（atan2 + 解卷绕）

由 1.5 节的符号约定，反电动势矢量的角度是 $\theta e+\pi /2\; \backslash theta\_e+\backslash pi/2$ θe+π/2，故取角度时需先交换分量、再取负：
$$\theta raw\; =atan2(-\; Eh,\alpha \; ,\hspace{0.25em} \; Eh,\beta \; )\; (5.3)\; \backslash theta\_\{raw\}=\backslash mathrm\{atan2\}\backslash big(-E\_\{h,\backslash alpha\},\backslash ;E\_\{h,\backslash beta\}\backslash big)\; \backslash tag\{5.3\}$$ θraw=atan2(−Eh,α,Eh,β)(5.3)

验算 ：代入 $Eh,\alpha \; =-Esin\theta e\; E\_\{h,\backslash alpha\}=-E\backslash sin\backslash theta\_e$ Eh,α=−Esinθe、 $Eh,\beta \; =Ecos\theta e\; E\_\{h,\backslash beta\}=E\backslash cos\backslash theta\_e$ Eh,β=Ecosθe： $atan2(Esin\theta e,\hspace{0.25em} Ecos\theta e)=\theta e\; \backslash mathrm\{atan2\}(E\backslash sin\backslash theta\_e,\backslash ;E\backslash cos\backslash theta\_e)=\backslash theta\_e$ atan2(Esinθe,Ecosθe)=θe ✓

解卷绕 （消除 $atan2\backslash mathrm\{atan2\}$ atan2 固有的 $\pm \pi \backslash pm\backslash pi$ ±π 跳变，得到连续角度）：
$$\theta$$k=θk−1+mod( θraw \[k−θk−1+π,  2π)−π] (5.4) \thetak=\thetak-1+\Big\\mathrm{mod}\\big(\\theta_{raw}\[k-\thetak-1+\pi,\;2\pi\big)-\pi\Big] \tag{5.4} θk=θk−1+mod(θraw\[k−θk−1+π,2π)−π](5.4)

原理 ：把每步的角度增量折算到 $(-\pi ,\pi ](-\backslash pi,\backslash pi]$ (−π,π] 内再加回上一步，从而跨过 $\pm \pi \backslash pm\backslash pi$ ±π 边界时不跳变。 实现上 mod 若得负值需再补 $2\pi 2\backslash pi$ 2π。

5.3 相位补偿

低通造成的相位滞后 $\phi lpf\; =arctan(\omega e/wc)\; \backslash varphi\_\{lpf\}=\backslash arctan(\backslash omega\_e/w\_c)$ φlpf=arctan(ωe/wc) 必须补回，否则角度会整体滞后：
$$\hspace{0.25em} \; \theta est\; =\theta +arctan\hspace{0.17em}\; (\; \omega e,pll\; wc\; )\; \hspace{0.25em} \; (5.5)\; \backslash boxed\{\backslash ;\backslash theta\_\{est\}=\backslash theta+\backslash arctan\backslash !\backslash left(\backslash frac\{\backslash omega\_\{e,pll\}\}\{w\_c\}\backslash right)\backslash ;\}\; \backslash tag\{5.5\}$$ θest=θ+arctan(wcωe,pll)(5.5)

⚠️ 这里用的是 PLL 输出的转速 $\omega e,pll\; \backslash omega\_\{e,pll\}$ ωe,pll。 旧版用幅值法得到的 $we\; w\_e$ we 本身有偏差（高速段偏低约 15%），导致补偿不足 → 角度滞后 ； 改用 PLL 后 $\omega e,pll\; \backslash omega\_\{e,pll\}$ ωe,pll 准确，补偿量随之准确 ------ 这是 PLL 带来的第二个收益。

5.4 等效磁链修正（凸极）

用补偿角做 Park 变换取出 $id\; i\_d$ id（低通平滑），再算等效磁链：
$$\theta comp\; =\theta +arctan\hspace{0.17em}\; (\; \omega e,pll\; wc\; )\; \backslash theta\_\{comp\}=\backslash theta+\backslash arctan\backslash !\backslash left(\backslash frac\{\backslash omega\_\{e,pll\}\}\{w\_c\}\backslash right)$$ θcomp=θ+arctan(wcωe,pll)
$$id,inst\; =i\alpha cos\; \theta comp\; +i\beta sin\; \theta comp\; i\_\{d,inst\}=i\_\backslash alpha\backslash cos\backslash theta\_\{comp\}+i\_\backslash beta\backslash sin\backslash theta\_\{comp\}$$ id,inst=iαcosθcomp+iβsinθcomp
$$id,f\; \leftarrow \; id,f\; +wfTs(\; id,inst\; -\; id,f\; )\; i\_\{d,f\}\backslash leftarrow\; i\_\{d,f\}+w\_fT\_s\backslash big(i\_\{d,inst\}-i\_\{d,f\}\backslash big)$$ id,f←id,f+wfTs(id,inst−id,f)
$$\hspace{0.25em} \psi =\psi f+(Ld-Lq)\hspace{0.17em}\; id,f\; \hspace{0.25em} \; (5.6)\; \backslash boxed\{\backslash ;\backslash psi=\backslash psi\_f+(L\_d-L\_q)\backslash ,i\_\{d,f\}\backslash ;\}\; \backslash tag\{5.6\}$$ ψ=ψf+(Ld−Lq)id,f(5.6)

说明 ： $\psi \backslash psi$ ψ 在本版中已不参与转速计算（PLL 不需要它），但仍作为输出保留，供对照与诊断使用。

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6. ⭐ 转速提取：二阶 PLL（本版核心改动）

6.0 预备知识：锁相环是什么（零基础可读）

6.0.1 一个生活类比

想象你在听一个音叉（频率未知）。你手上有一个可调音叉，你想让它和对方的音完全同频同相。

你的做法：

1. 听两者的"拍频" （相位差引起的强弱变化）------ 这是鉴相器
2. 根据拍频去拧调节旋钮 ------ 这是环路滤波器
3. 旋钮控制你的音叉频率 ------ 这是压控振荡器

当拍频消失时，两者就"锁相"了。此时你旋钮的位置就代表了对方的频率。

PLL 就是把这个过程自动化、数学化。 在我们的场景里：

• "对方的音叉" = 反电动势矢量（它的旋转频率就是 $\omega e\; \backslash omega\_e$ ωe）
• "你的音叉" = 内部振荡器 $\theta pll\; \backslash theta\_\{pll\}$ θpll
• 锁相完成后， $\omega pll\; \backslash omega\_\{pll\}$ ωpll 就等于 $\omega e\; \backslash omega\_e$ ωe ------ 这就是我们要的转速

6.0.2 为什么"锁相"比"测幅"可靠 ⭐

这是本版改动的核心动机，值得讲透。

幅值法的逻辑 ： $\mid \; Eex\; \mid =\omega e\psi \; |E\_\{ex\}|=\backslash omega\_e\backslash psi$ ∣Eex∣=ωeψ，所以 $\omega e=\mid E\mid /\psi \; \backslash omega\_e=|E|/\backslash psi$ ωe=∣E∣/ψ。

它依赖一个前提 ：我们测到的 $\mid E\mid |E|$ ∣E∣ 就是真实的 $\mid \; Eex\; \mid \; |E\_\{ex\}|$ ∣Eex∣。

但实际测到的是 $Eh=LPF(H)\; E\_h=\backslash mathrm\{LPF\}(H)$ Eh=LPF(H)，其中 $\mid Eh\mid \; |E\_h|$ ∣Eh∣ 受两个方向相反的效应影响：

效应	物理来源	对 $\parallel Eh\parallel \; \backslash |E\_h\backslash |$ ∥Eh∥ 的作用
(a) 幅值衰减	一阶低通对 $\omega e\; \backslash omega\_e$ ωe 处正弦的固有衰减 $wc/\; wc2+\omega e2\; w\_c/\backslash sqrt\{w\_c^2+\backslash omega\_e^2\}$ wc/wc2+ωe2	使其偏低
(b) 纹波整流	$HH$ H 中的开关纹波经 $Eh\alpha 2\; +\; Eh\beta 2\; \backslash sqrt\{E\_\{h\backslash alpha\}^2+E\_\{h\backslash beta\}^2\}$ Ehα2+Ehβ2 这个非线性运算被"整流"抬高	使其偏高

⇒ 净效果 = (a) − (b)，而两者都随转速、滑模紧度、参数变化，无法用单一系数覆盖全速域。

实测结果：3000 rpm 时转速偏高约 15%。

而 PLL 锁的是"相位"：

反电动势矢量 $Eh\; E\_h$ Eh 虽然有幅值误差、有纹波，但它的旋转速度（也就是相位变化率）几乎不受影响 ------ 纹波是叠加在旋转矢量上的高频抖动，对"转过一圈需要多长时间"这件事影响极小。

一句话 ：幅值被污染了，但相位是干净的。所以要从相位里取转速，而不是从幅值里取。

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6.1 相位检测器（PD）

6.1.1 构造

我们要一个"与相位差成正比"的信号。把反电动势矢量投影到内部振荡器的 d 轴上：
$$\hspace{0.25em} \epsilon d=\; Eh,\alpha \; cos\; \theta pll\; +\; Eh,\beta \; sin\; \theta pll\; \hspace{0.25em} \; (6.1)\; \backslash boxed\{\backslash ;\backslash varepsilon\_d=E\_\{h,\backslash alpha\}\backslash cos\backslash theta\_\{pll\}+E\_\{h,\backslash beta\}\backslash sin\backslash theta\_\{pll\}\backslash ;\}\; \backslash tag\{6.1\}$$ εd=Eh,αcosθpll+Eh,βsinθpll(6.1)

6.1.2 推导

代入理想反电动势 $Eh,\alpha \; =-\mid E\mid sin\; \theta sig\; E\_\{h,\backslash alpha\}=-|E|\backslash sin\backslash theta\_\{sig\}$ Eh,α=−∣E∣sinθsig、 $Eh,\beta \; =\mid E\mid cos\; \theta sig\; E\_\{h,\backslash beta\}=|E|\backslash cos\backslash theta\_\{sig\}$ Eh,β=∣E∣cosθsig：
4pt &=|E|\big(\sin\theta_{pll}\cos\theta_{sig}-\cos\theta_{pll}\sin\theta_{sig}\big)\\4pt &=|E|\sin\big(\theta_{pll}-\theta_{sig}\big) \end{aligned} \tag{6.2} εd=−∣E∣sinθsigcosθpll+∣E∣cosθsigsinθpll=∣E∣(sinθpllcosθsig−cosθpllsinθsig)=∣E∣sin(θpll−θsig)(6.2)

用到的三角恒等式 ： $sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB\backslash sin(A-B)=\backslash sin\; A\backslash cos\; B-\backslash cos\; A\backslash sin\; B$ sin(A−B)=sinAcosB−cosAsinB

⇒ 鉴相器输出 = 幅值 × 相位差的正弦，正是我们想要的。

当相位差很小时 ： $sin(\Delta )\approx \Delta \backslash sin(\backslash Delta)\backslash approx\backslash Delta$ sin(Δ)≈Δ，故 $\epsilon d\approx \mid E\mid \hspace{0.17em}(\; \theta pll\; -\; \theta sig\; )\; \backslash varepsilon\_d\backslash approx|E|\backslash ,(\backslash theta\_\{pll\}-\backslash theta\_\{sig\})$ εd≈∣E∣(θpll−θsig)，线性鉴相 ✓

6.1.3 归一化

$\epsilon d\; \backslash varepsilon\_d$ εd 里含有 $\mid E\mid |E|$ ∣E∣，而 $\mid E\mid =\omega e\psi \; |E|=\backslash omega\_e\backslash psi$ ∣E∣=ωeψ 随转速变化 ------ 若不处理，PLL 的环路增益会随转速变化（高速时增益大、易振荡，低速时增益小、响应慢）。

做法：除以幅值
$$\hspace{0.25em} \epsilon =-\; \epsilon d\; max(\mid Eh\mid ,1)\; \hspace{0.25em} \approx \hspace{0.25em} \; \theta sig\; -\; \theta pll\; \hspace{0.25em} \; (6.3)\; \backslash boxed\{\backslash ;\backslash varepsilon=-\backslash frac\{\backslash varepsilon\_d\}\{\backslash max(|E\_h|,1)\}\backslash ;\backslash approx\backslash ;\backslash theta\_\{sig\}-\backslash theta\_\{pll\}\backslash ;\}\; \backslash tag\{6.3\}$$ ε=−max(∣Eh∣,1)εd≈θsig−θpll(6.3)

⇒ 归一化后 $\epsilon \backslash varepsilon$ ε 直接就是"相位差（弧度）"，与转速、与幅值误差都无关 ✓

⚠️ 符号极其关键 ：误差必须取 $(\; \theta sig\; -\; \theta pll\; )\; (\backslash theta\_\{sig\}-\backslash theta\_\{pll\})$ (θsig−θpll)，才能构成负反馈 。 若取反，闭环特征方程会变成 $s2-kps-ki=0\; s^2-k\_ps-k\_i=0$ s2−kps−ki=0，右半平面有根，必然发散（见 6.3 节）。
分母为何用 $max(\mid Eh\mid ,1)\; \backslash max(|E\_h|,1)$ max(∣Eh∣,1) ：防止低速时 $\mid Eh\mid \to 0\; |E\_h|\backslash to0$ ∣Eh∣→0 造成除零。 代价是极低速（ ∣E∣<1 V）时归一化失效，可另加"低速冻结"保护（见 6.6.2 节）。

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6.2 环路滤波器（LF）与压控振荡器（VCO）

6.2.1 为什么环路滤波器必须是 PI 而不是纯 P

先用直觉理解：

• 纯比例 P ：输出频率正比于相位差。 锁定时要求相位差 $\to 0\backslash to0$ →0，但若输入频率与初始频率不同，必须有非零相位差才能产生频率差 ------ 于是系统会稳定在"有固定相位误差"的状态（I 型系统，对频率阶跃有稳态误差）。

• PI ：积分器会累积 相位误差，直到它足够把频率拉到正确值，此时相位误差回到零。 ⇒ 锁定时相位误差为零，转速输出精确 ✓

6.2.2 数学表达

环路滤波器：
$$\hspace{0.25em} \; \omega pll\; =kp\epsilon +ki\hspace{0.17em}\int \hspace{0.17em}\epsilon \hspace{0.17em}dt\hspace{0.25em} \; (6.4)\; \backslash boxed\{\backslash ;\backslash omega\_\{pll\}=k\_p\backslash varepsilon+k\_i\backslash !\backslash int\backslash !\backslash varepsilon\backslash ,dt\backslash ;\}\; \backslash tag\{6.4\}$$ ωpll=kpε+ki∫εdt(6.4)

压控振荡器（积分器：频率 → 相位）：
$$\hspace{0.25em} \; \theta pll\; =\int \; \omega pll\; \hspace{0.17em}dt\hspace{0.25em} \; (6.5)\; \backslash boxed\{\backslash ;\backslash theta\_\{pll\}=\backslash int\backslash omega\_\{pll\}\backslash ,dt\backslash ;\}\; \backslash tag\{6.5\}$$ θpll=∫ωplldt(6.5)

离散实现：

∫ε ← ∫ε + Ts·ε
ω_pll = kp·ε + ki·∫ε
ω_pll ← clamp(ω_pll, ±ω_max)         % 限幅防跑飞
θ_pll ← θ_pll + Ts·ω_pll
θ_pll ← wrap(θ_pll) 到 (−π, π]

---

6.3 闭环传递函数与稳定性

6.3.1 建立模型

设相位差 $x=\; \theta pll\; -\; \theta sig\; x=\backslash theta\_\{pll\}-\backslash theta\_\{sig\}$ x=θpll−θsig。由 (6.3)， $\epsilon \approx -x\backslash varepsilon\backslash approx-x$ ε≈−x。

对 (6.4)(6.5) 求导：
$$\theta \dot{}pll\; =\; \omega pll\; =kp\epsilon +ki\hspace{0.17em}\int \hspace{0.17em}\epsilon =-kpx-ki\hspace{0.17em}\int \hspace{0.17em}x\; \backslash dot\backslash theta\_\{pll\}=\backslash omega\_\{pll\}=k\_p\backslash varepsilon+k\_i\backslash !\backslash int\backslash !\backslash varepsilon=-k\_px-k\_i\backslash !\backslash int\backslash !x$$ θ˙pll=ωpll=kpε+ki∫ε=−kpx−ki∫x

而 $x\dot{}=\; \theta \dot{}pll\; -\; \theta \dot{}sig\; \backslash dot\; x=\backslash dot\backslash theta\_\{pll\}-\backslash dot\backslash theta\_\{sig\}$ x˙=θ˙pll−θ˙sig， $\theta \dot{}sig\; =\omega e\; \backslash dot\backslash theta\_\{sig\}=\backslash omega\_e$ θ˙sig=ωe：
$$x\dot{}=-kpx-ki\hspace{0.17em}\int \hspace{0.17em}x-\omega e\; (6.6)\; \backslash dot\; x=-k\_px-k\_i\backslash !\backslash int\backslash !x-\backslash omega\_e\; \backslash tag\{6.6\}$$ x˙=−kpx−ki∫x−ωe(6.6)

两边再求导（消去积分）：
$$\hspace{0.25em} x¨=-kpx\dot{}-kix\hspace{0.25em} \; \backslash boxed\{\backslash ;\backslash ddot\; x=-k\_p\backslash dot\; x-k\_ix\backslash ;\}$$ x¨=−kpx˙−kix

特征方程：
$$\hspace{0.25em} s2+kps+ki=0\hspace{0.25em} \; (6.7)\; \backslash boxed\{\backslash ;s^2+k\_ps+k\_i=0\backslash ;\}\; \backslash tag\{6.7\}$$ s2+kps+ki=0(6.7)

6.3.2 稳定条件（劳斯判据）

二阶系统 $s2+a1s+a0=0\; s^2+a\_1s+a\_0=0$ s2+a1s+a0=0 稳定的充要条件是所有系数同号：
$$kp>0,ki>0\; k\_p>0,\backslash qquad\; k\_i>0$$ kp>0,ki>0

⇒ 只要 $kp,ki\; k\_p,k\_i$ kp,ki 取正，闭环必稳定 ✓（这也再次说明 (6.3) 的符号取对了）

6.3.3 传递函数形式

以相位为输入、相位为输出的闭环传递函数：
$$\Phi (s)=\; kps+ki\; s2+kps+ki\; \backslash Phi(s)=\backslash frac\{k\_ps+k\_i\}\{s^2+k\_ps+k\_i\}$$ Φ(s)=s2+kps+kikps+ki

误差传递函数：
$$\Phi e(s)=1-\Phi (s)=\; s2\; s2+kps+ki\; \backslash Phi\_e(s)=1-\backslash Phi(s)=\backslash frac\{s^2\}\{s^2+k\_ps+k\_i\}$$ Φe(s)=1−Φ(s)=s2+kps+kis2

关键观察 ： $\Phi e(s)\; \backslash Phi\_e(s)$ Φe(s) 的分子含 $s2s^2$ s2 ------ 这意味着 直流（ $s=0s=0$ s=0）与频率阶跃（ $1/s21/s^2$ 1/s2）都没有稳态误差 ，只有频率斜坡（ $1/s31/s^3$ 1/s3）才有。

---

6.4 参数整定

二阶系统标准形式 $s2+2\zeta \omega ns+\omega n2=0\; s^2+2\backslash zeta\backslash omega\_ns+\backslash omega\_n^2=0$ s2+2ζωns+ωn2=0，与 (6.7) 对照：
$$\hspace{0.25em} \omega n=\; ki\; ,\zeta =\; kp\; 2\; ki\; =\; kp\; 2\omega n\; \hspace{0.25em} \; (6.8)\; \backslash boxed\{\backslash ;\backslash omega\_n=\backslash sqrt\{k\_i\},\backslash qquad\; \backslash zeta=\backslash frac\{k\_p\}\{2\backslash sqrt\{k\_i\}\}=\backslash frac\{k\_p\}\{2\backslash omega\_n\}\backslash ;\}\; \backslash tag\{6.8\}$$ ωn=ki ,ζ=2ki kp=2ωnkp(6.8)

反解出增益：
$$\hspace{0.25em} ki=\omega n2,kp=2\zeta \omega n\hspace{0.25em} \; (6.9)\; \backslash boxed\{\backslash ;k\_i=\backslash omega\_n^2,\backslash qquad\; k\_p=2\backslash zeta\backslash omega\_n\backslash ;\}\; \backslash tag\{6.9\}$$ ki=ωn2,kp=2ζωn(6.9)

两个参数的物理意义：

参数	物理意义	增大后
$\omega n\; \backslash omega\_n$ ωn	环路带宽	跟踪更快、锁定更快；但抗噪变差
$\zeta \backslash zeta$ ζ	阻尼比	减小会超调振荡；增大响应变慢

本模型取值：

参数	值	说明
$\zeta \backslash zeta$ ζ	0.707	工程最佳阻尼（无超调、响应最快）
$\omega n\; \backslash omega\_n$ ωn	$2\pi \times 50=314.162\backslash pi\backslash times50=\backslash mathbf\{314.16\}$ 2π×50=314.16 rad/s	自然频率（≈50 Hz）
$kp\; k\_p$ kp	$2\times 0.707\times 314.16=444.32\backslash times0.707\backslash times314.16=\backslash mathbf\{444.3\}$ 2×0.707×314.16=444.3	比例增益
$ki\; k\_i$ ki	$314.162=9.8696\times 104\; 314.16^2=\backslash mathbf\{9.8696\backslash times10^4\}$ 314.162=9.8696×104	积分增益
$\omega max\; \backslash omega\_\{max\}$ ωmax	3000 rad/s	输出限幅（防跑飞）

---

6.5 加速段的稳态相位误差

6.5.1 为什么会有误差

从误差传递函数 $\Phi e(s)=\; s2\; s2+kps+ki\; \backslash Phi\_e(s)=\backslash dfrac\{s^2\}\{s^2+k\_ps+k\_i\}$ Φe(s)=s2+kps+kis2 出发，代入不同的输入：

输入类型	输入表达式	稳态误差
相位阶跃	$1/s1/s$ 1/s	$00$ 0
频率阶跃	$1/s21/s^2$ 1/s2	$00$ 0（II 型系统）
频率斜坡	$1/s31/s^3$ 1/s3	$\omega \dot{}e\; /\omega n2\; \backslash dot\backslash omega\_e/\backslash omega\_n^2$ ω˙e/ωn2

用终值定理验算频率阶跃 （ $\Delta \omega \backslash Delta\backslash omega$ Δω）：
$$lims\to 0\; s\cdot \; s2\; s2+kps+ki\; \cdot \; \Delta \omega s2\; =\; lims\to 0\; s\hspace{0.17em}\Delta \omega \; s2+kps+ki\; =0✓\; \backslash lim\_\{s\backslash to0\}s\backslash cdot\backslash frac\{s^2\}\{s^2+k\_ps+k\_i\}\backslash cdot\backslash frac\{\backslash Delta\backslash omega\}\{s^2\}\; =\backslash lim\_\{s\backslash to0\}\backslash frac\{s\backslash ,\backslash Delta\backslash omega\}\{s^2+k\_ps+k\_i\}=0\backslash quad\; ✓$$ s→0lims⋅s2+kps+kis2⋅s2Δω=s→0lims2+kps+kisΔω=0✓

用终值定理验算频率斜坡 （斜率 $\omega \dot{}\; \backslash dot\backslash omega$ ω˙）：
$$lims\to 0\; s\cdot \; s2\; s2+kps+ki\; \cdot \; \omega \dot{}s3\; =\; lims\to 0\; \omega \dot{}\; s2+kps+ki\; =\; \omega \dot{}ki\; =\; \omega \dot{}\omega n2\; \backslash lim\_\{s\backslash to0\}s\backslash cdot\backslash frac\{s^2\}\{s^2+k\_ps+k\_i\}\backslash cdot\backslash frac\{\backslash dot\backslash omega\}\{s^3\}\; =\backslash lim\_\{s\backslash to0\}\backslash frac\{\backslash dot\backslash omega\}\{s^2+k\_ps+k\_i\}\; =\backslash frac\{\backslash dot\backslash omega\}\{k\_i\}=\backslash frac\{\backslash dot\backslash omega\}\{\backslash omega\_n^2\}$$ s→0lims⋅s2+kps+kis2⋅s3ω˙=s→0lims2+kps+kiω˙=kiω˙=ωn2ω˙

⇒ 得到
$$\hspace{0.25em} \Delta \; \theta ss\; =\; \omega \dot{}e\; \omega n2\; \hspace{0.25em} \; (6.10)\; \backslash boxed\{\backslash ;\backslash Delta\backslash theta\_\{ss\}=\backslash frac\{\backslash dot\backslash omega\_e\}\{\backslash omega\_n^2\}\backslash ;\}\; \backslash tag\{6.10\}$$ Δθss=ωn2ω˙e(6.10)

6.5.2 本模型数值

转速参考 0→3000 rpm 用 0.25 s，即 2000 rpm/s：
$$\omega \dot{}e\; =2000\times \pi 30\times 4=837.8\; rad/s2\; \backslash dot\backslash omega\_e=2000\backslash times\backslash frac\{\backslash pi\}\{30\}\backslash times4=837.8\backslash \; \backslash text\{rad/s\}^2$$ ω˙e=2000×30π×4=837.8 rad/s2
$$\Delta \; \theta ss\; =\; 837.8314.162\; =0.0085\; rad=0.49\circ \; \backslash Delta\backslash theta\_\{ss\}=\backslash frac\{837.8\}\{314.16^2\}=0.0085\backslash \; \backslash text\{rad\}=\backslash mathbf\{0.49^\backslash circ\}$$ Δθss=314.162837.8=0.0085 rad=0.49∘

⇒ PLL 在加速段引入的附加相位误差仅 0.5°，可忽略。

6.5.3 带宽选择权衡

$\omega n\; \backslash omega\_n$ ωn	加速段相位误差	抗噪能力	适用
$2\pi \times 302\backslash pi\backslash times30$ 2π×30	1.36°	更好	噪声大、加速慢
$2\pi \times 502\backslash pi\backslash times50$ 2π×50（当前）	0.49°	适中	本模型
$2\pi \times 802\backslash pi\backslash times80$ 2π×80	0.19°	较差	加速快、噪声小

---

6.6 锁定过程与低速保护

6.6.1 锁定时间

二阶系统按 $\zeta \omega n\; \backslash zeta\backslash omega\_n$ ζωn 的速率收敛，工程上取
$$tlock\; \approx \; 3\; \zeta \omega n\; =\; 30.707\times 314.16\; \approx 13.5\; ms\; t\_\{lock\}\backslash approx\backslash frac\{3\}\{\backslash zeta\backslash omega\_n\}=\backslash frac\{3\}\{0.707\backslash times314.16\}\backslash approx\backslash mathbf\{13.5\backslash \; ms\}$$ tlock≈ζωn3=0.707×314.163≈13.5 ms

⇒ 起动后约 14 ms 内锁定。

6.6.2 低速问题与保护

问题 ：起动瞬间反电动势接近 0，相位检测器输出被噪声主导， $\omega pll\; \backslash omega\_\{pll\}$ ωpll 会乱跳 （实测起动段 0~0.2 s 曲线有密集毛刺）。

保护措施（可选，一行代码）：

if Emag_f > 5                      % EMF 足够大才闭合环路
    err = -Ed_pll / Emag_f;
else
    err = 0;                       % 低速冻结，避免噪声驱动
end

代价：引入约 100 rpm 以下的死区（本模型无影响）。

---

6.7 PLL 与幅值法的完整对照

项	幅值法	PLL
提取依据	$\parallel E\parallel =\omega e\psi \; \backslash |E\backslash |=\backslash omega\_e\backslash psi$ ∥E∥=ωeψ	$\theta \dot{}sig\; =\omega e\; \backslash dot\backslash theta\_\{sig\}=\backslash omega\_e$ θ˙sig=ωe
受幅值误差影响	强（衰减 + 纹波双重污染）	弱 ✅
受纹波影响	强（经平方和非线性整流）	弱 ✅
是否需要 $\psi \backslash psi$ ψ	需要 （且 $\psi \backslash psi$ ψ 需标定）	不需要 ✅
是否需要 $corrcorr$ corr 补偿	需要（且随转速变化，难标定）	不需要 ✅
相位补偿准确性	受 $we\; w\_e$ we 偏差拖累	准确 ✅
加速段行为	无额外误差	有 $\omega \dot{}/\omega n2\; \backslash dot\backslash omega/\backslash omega\_n^2$ ω˙/ωn2（0.49°，可忽略）
低速行为	可用	有死区（可加保护）
实现复杂度	简单	中等（多 6 行）

实测对照（3000 rpm 稳态）：

指标	幅值法（corr 理论式, m=6000）	PLL
转速误差	+15% ❌	+2.6%（NTSM）/ +3.4%（SMO） ✅
角度误差（均值）	~0	~0 ✅
角度误差（振荡带）	±5.7°	明显收窄 ✅

---

7. 完整离散算法

7.1 NTSM-SMO-PLL

输入：u_α, u_β, i_α, i_β, T_s
参数：Rs, L(=Lq), Ld, ψf, j_n, k_n, p, q, k1, m, δ, εa, φs, wc, wf

持久状态：î_α, î_β, I_j, I_k, E_hα, E_hβ, θ_prev, Emag_f, id_f, θ_pll, ∫ε

① 电流误差与分数幂
   x1 = [î_α − i_α ; î_β − i_β]
   xp = sign(x1) ⊙ |x1|^(p/q)

② 积分终端滑模面（带抗饱和）
   I_j ← I_j + Ts·j_n·x1          （限幅 ±50）
   I_k ← I_k + Ts·k_n·xp          （限幅 ±50）
   s   = x1 + I_j + I_k

③ 自适应切换增益
   f = m·|s|·(1+δ) / (δ + exp(−εa·|s|))
   f = min(f, 3m)

④ 控制律
   H = −Rs·x1 + L·[ j_n·x1 + k_n·xp + k1·s + f ⊙ sat(s, φs) ]

⑤ 电流观测器
   î ← î + Ts·(u − Rs·î − H)/L

⑥ 反电动势提取
   E_h ← E_h + wc·Ts·(H − E_h)

⑦ 角度
   θ_raw  = atan2(−E_hα, E_hβ)
   θ      = θ_prev + [mod(θ_raw − θ_prev + π, 2π) − π]
   θ_prev = θ

⑧ 幅值（仅用于 PLL 归一化）
   Emag_inst = √(E_hα² + E_hβ²)
   Emag_f   ← Emag_f + wf·Ts·(Emag_inst − Emag_f)

⑨ PLL
   ε_d = E_hα·cos(θ_pll) + E_hβ·sin(θ_pll)
   ε   = −ε_d / max(Emag_f, 1)
   ∫ε ← ∫ε + Ts·ε
   ω_pll = kp·ε + ki·∫ε
   ω_pll = clamp(ω_pll, ±ω_max)
   θ_pll ← θ_pll + Ts·ω_pll
   θ_pll ← wrap(θ_pll)

⑩ 凸极修正
   θ_comp = θ + atan(ω_pll/wc)
   id_inst = i_α·cos(θ_comp) + i_β·sin(θ_comp)
   id_f   ← id_f + wf·Ts·(id_inst − id_f)
   ψ = ψf + (Ld − L)·id_f

⑪ 输出
   θ_est = θ + atan(ω_pll/wc)
   ω_est = ω_pll
   E_α = E_hα,  E_β = E_hβ,  ψ

7.2 SMO-PLL（差异仅在 ②③④⑤⑥）

②' 线性切换项（无滑模面）
    z = K · sat(x1, φs)          ← 用原始电流误差，不滤波

③' 无自适应增益

④' 无需单独控制律：v = z

⑤' î ← î + Ts·(u − Rs·î − z)/L

⑥' E_h ← E_h + wc·Ts·(z − E_h)   ← 只滤切换项

⑦ 及其后各步与 NTSM 完全相同（含同一套 PLL 参数）。

---

8. 参数表

8.1 电机参数（PMSM 模块，与 InitFcn 一致）

符号	变量	值	单位
$Rs\; R\_s$ Rs	Rs	0.958	Ω
$Ld\; L\_d$ Ld	Ld	5.25e-3	H
$Lq\; L\_q$ Lq	Lq / L	12e-3	H
$\psi f\; \backslash psi\_f$ ψf	flux	0.1827	Wb
$pp$ p（极对数）	pole	4	---
$Vdc\; V\_\{dc\}$ Vdc	Vdc	311	V
$Ts\; T\_s$ Ts	Ts	1e-5	s

8.2 NTSM 参数

符号	变量	值	说明	调大后的效果
$jn\; j\_n$ jn	j_n	500	线性积分系数	稳态误差消除更快
$kn\; k\_n$ kn	k_n	4000	终端项系数	终端收敛更快，低速抖振增大
$p/qp/q$ p/q	p,q	3/5	终端指数 $r=0.6r=0.6$ r=0.6	$rr$ r 越小终端特性越强
$k1\; k\_1$ k1	k1	1500	线性滑模项	到达更快，稳态 $\parallel s\parallel \backslash |s\backslash |$ ∥s∥ 更小
$mm$ m	m	3000	自适应增益基准	滑模更紧， $HH$ H 相位误差更小
$\delta \backslash delta$ δ	delta	0.2	自适应律参数	---
$\epsilon a\; \backslash varepsilon\_a$ εa	eps_a	2	自适应律参数	---
$\varphi s\; \backslash phi\_s$ ϕs	phi_s	0.5	边界层厚度	抖振减小，滑模精度下降

8.3 SMO 参数

符号	变量	值	说明
$KK$ K	K_smo	600	切换增益
$\varphi s\; \backslash phi\_s$ ϕs	phi_s_smo	1.5	边界层厚度

8.4 滤波与 PLL 参数

符号	变量	值	说明
$wc\; w\_c$ wc	wc	$2\pi \times 250=15712\backslash pi\backslash times250=1571$ 2π×250=1571	反电动势低通截止（rad/s）
$wf\; w\_f$ wf	wf	$2\pi \times 150=9422\backslash pi\backslash times150=942$ 2π×150=942	幅值 / $id\; i\_d$ id 低通截止（rad/s）
$\zeta \backslash zeta$ ζ	函数内常数	0.707	PLL 阻尼比
$\omega n\; \backslash omega\_n$ ωn	wn_pll（函数内）	$2\pi \times 50=314.162\backslash pi\backslash times50=314.16$ 2π×50=314.16	PLL 自然频率（rad/s）
$kp\; k\_p$ kp	由 (6.9) 算出	444.3	PLL 比例增益
$ki\; k\_i$ ki	由 (6.9) 算出	$9.87\times 1049.87\backslash times10^4$ 9.87×104	PLL 积分增益
$\omega max\; \backslash omega\_\{max\}$ ωmax	we_max（函数内）	3000	PLL 输出限幅（rad/s）

⚠️ 两支观测器的 PLL 参数必须完全一致 ，否则对比不公平。 建议后续把 wn_pll、zeta、we_max 提到 InitFcn 由外部传入统一管理。

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9. 已知局限与后续工作

#	局限	影响	后续
1	反电动势幅值 $Emag\; E\_\{mag\}$ Emag 仍被纹波整流抬高	仅影响诊断量，不影响转速/角度	可增大 $mm$ m 使滑模更紧
2	NTSM 的 $HH$ H 含线性项，基波相位与 $Eex\; E\_\{ex\}$ Eex 有约 2.7° 偏差 （ $m=3000m=3000$ m=3000）	贡献部分角度误差	增大 $mm$ m（6000 时降到 0.15°）
3	低速（ $\parallel E\parallel \lesssim 5\backslash |E\backslash |\backslash lesssim5$ ∥E∥≲5 V）时 PLL 无有效输入	起动段转速有毛刺	加低速冻结保护（6.6.2 节）
4	PLL 增益硬编码在函数内	不便统一调参	提到 InitFcn 由外部传入
5	$p/qp/q$ p/q、 $jn\; j\_n$ jn、 $kn\; k\_n$ kn、 $k1\; k\_1$ k1、 $mm$ m 等参数未做系统性整定	未必处于最优	后续做参数扫描
6	仅验证了 500~3000 rpm 区间	弱磁区（>2110 rpm 基准转速）未充分验证	补做高速工况
7	未做参数偏差鲁棒性对比	NTSM 的理论优势未验证	改 PMSM 块参数对比

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附录 A：关键公式速查

公式	编号
$u\alpha \beta \; =Rs\; i\alpha \beta \; +Lq\; d\; i\alpha \beta \; dt\; +\; Eex\; u\_\{\backslash alpha\backslash beta\}=R\_si\_\{\backslash alpha\backslash beta\}+L\_q\backslash frac\{di\_\{\backslash alpha\backslash beta\}\}\{dt\}+E\_\{ex\}$ uαβ=Rsiαβ+Lqdtdiαβ+Eex	(1.1)
$\psi =\psi f+(Ld-Lq)id\; \backslash psi=\backslash psi\_f+(L\_d-L\_q)i\_d$ ψ=ψf+(Ld−Lq)id	(1.2)
$Eex\; =\omega e\psi$−sin⁡θe;cos⁡θe E_{ex}=\omega_e\psi-\\sin\\theta_e;\\cos\\theta_e Eex=ωeψ−sinθe;cosθe， $\parallel \; Eex\; \parallel =\omega e\psi \; \backslash |E\_\{ex\}\backslash |=\backslash omega\_e\backslash psi$ ∥Eex∥=ωeψ	(1.3)
$x1=i^-i\; x\_1=\backslash hat\; i-i$ x1=i^−i	(2.1)
$Lq\; x\dot{}1\; =-Rsx1-H+\; Eex\; L\_q\backslash dot\; x\_1=-R\_sx\_1-H+E\_\{ex\}$ Lqx˙1=−Rsx1−H+Eex	(3.1)
$s=x1+\int jnx1+\int kn\parallel x1\parallel rsgn(x1)\; s=x\_1+\backslash int\; j\_nx\_1+\backslash int\; k\_n\backslash |x\_1\backslash |^r\backslash mathrm\{sgn\}(x\_1)$ s=x1+∫jnx1+∫kn∥x1∥rsgn(x1)	(3.2)
$H=-Rsx1+Lq$jnx1+kn∥x1∥rsgn(x1)+k1s+fsat(s) H=-R_sx_1+L_qj_nx_1+k_n\\|x_1\\|\^r\\mathrm{sgn}(x_1)+k_1s+f\\mathrm{sat}(s) H=−Rsx1+Lqjnx1+kn∥x1∥rsgn(x1)+k1s+fsat(s)	(3.3)
$f=min\{m\parallel s\parallel (1+\delta )/(\delta +e\; -\epsilon a\parallel s\parallel \; ),3m\}f=\backslash min\backslash \{m\backslash |s\backslash |(1+\backslash delta)/(\backslash delta+e^\{-\backslash varepsilon\_a\backslash |s\backslash |\}),3m\backslash \}$ f=min{m∥s∥(1+δ)/(δ+e−εa∥s∥),3m}	(3.4)
$x\dot{}1\; =-$jnx1+kn∥x1∥rsgn(x1)+k1s+fsat(s)+ Eex /Lq \dot x_1=-j_nx_1+k_n\\|x_1\\|\^r\\mathrm{sgn}(x_1)+k_1s+f\\mathrm{sat}(s)+E_{ex}/L_q x˙1=−jnx1+kn∥x1∥rsgn(x1)+k1s+fsat(s)+Eex/Lq	(3.5)
$s\dot{}=-k1s-fsat(s)+\; Eex\; /Lq\; \backslash dot\; s=-k\_1s-f\backslash mathrm\{sat\}(s)+E\_\{ex\}/L\_q$ s˙=−k1s−fsat(s)+Eex/Lq	(3.6)
$k1s+fsat(s)=\; Eex\; /Lq\; k\_1s+f\backslash mathrm\{sat\}(s)=E\_\{ex\}/L\_q$ k1s+fsat(s)=Eex/Lq（准稳态）	(3.7)
$H=-Rsx1+Lq$jnx1+kn∥x1∥rsgn(x1)+ Eex H=-R_sx_1+L_qj_nx_1+k_n\\|x_1\\|\^r\\mathrm{sgn}(x_1)+E_{ex} H=−Rsx1+Lqjnx1+kn∥x1∥rsgn(x1)+Eex	(3.8)
$H\to \; Eex\; H\backslash to\; E\_\{ex\}$ H→Eex（ $x1\to 0\; x\_1\backslash to0$ x1→0）	(3.9)
$z=Ksat(x1,\varphi s)\; z=K\backslash mathrm\{sat\}(x\_1,\backslash phi\_s)$ z=Ksat(x1,ϕs)， $zeq\; =\; Eex\; z\_\{eq\}=E\_\{ex\}$ zeq=Eex	(4.1)(4.3)
$Eh=LPF(v,wc)\; E\_h=\backslash mathrm\{LPF\}(v,w\_c)$ Eh=LPF(v,wc)	(5.1)
$\parallel G\parallel =wc/\; wc2+\omega 2\; \backslash |G\backslash |=w\_c/\backslash sqrt\{w\_c^2+\backslash omega^2\}$ ∥G∥=wc/wc2+ω2 ， $\angle G=-arctan(\omega /wc)\backslash angle\; G=-\backslash arctan(\backslash omega/w\_c)$ ∠G=−arctan(ω/wc)	(5.2)
$\theta =unwrap$atan2(− Ehα , Ehβ ) \theta=\mathrm{unwrap}\\mathrm{atan2}(-E_{h\\alpha},E_{h\\beta}) θ=unwrapatan2(−Ehα,Ehβ)	(5.3)(5.4)
$\theta est\; =\theta +arctan(\; \omega pll\; /wc)\; \backslash theta\_\{est\}=\backslash theta+\backslash arctan(\backslash omega\_\{pll\}/w\_c)$ θest=θ+arctan(ωpll/wc)	(5.5)
$\psi =\psi f+(Ld-Lq)\; id,f\; \backslash psi=\backslash psi\_f+(L\_d-L\_q)i\_\{d,f\}$ ψ=ψf+(Ld−Lq)id,f	(5.6)
$\epsilon d=\; Eh\alpha \; cos\; \theta pll\; +\; Eh\beta \; sin\; \theta pll\; =\parallel E\parallel sin(\; \theta pll\; -\; \theta sig\; )\; \backslash varepsilon\_d=E\_\{h\backslash alpha\}\backslash cos\backslash theta\_\{pll\}+E\_\{h\backslash beta\}\backslash sin\backslash theta\_\{pll\}=\backslash |E\backslash |\backslash sin(\backslash theta\_\{pll\}-\backslash theta\_\{sig\})$ εd=Ehαcosθpll+Ehβsinθpll=∥E∥sin(θpll−θsig)	(6.1)(6.2)
$\epsilon =-\epsilon d/max(\parallel Eh\parallel ,1)\approx \; \theta sig\; -\; \theta pll\; \backslash varepsilon=-\backslash varepsilon\_d/\backslash max(\backslash |E\_h\backslash |,1)\backslash approx\backslash theta\_\{sig\}-\backslash theta\_\{pll\}$ ε=−εd/max(∥Eh∥,1)≈θsig−θpll	(6.3)
$\omega pll\; =kp\epsilon +ki\int \epsilon \; \backslash omega\_\{pll\}=k\_p\backslash varepsilon+k\_i\backslash int\backslash varepsilon$ ωpll=kpε+ki∫ε， $\theta pll\; =\int \; \omega pll\; \backslash theta\_\{pll\}=\backslash int\backslash omega\_\{pll\}$ θpll=∫ωpll	(6.4)(6.5)
$s2+kps+ki=0\; s^2+k\_ps+k\_i=0$ s2+kps+ki=0（闭环特征方程）	(6.7)
$\omega n=\; ki\; \backslash omega\_n=\backslash sqrt\{k\_i\}$ ωn=ki ， $\zeta =kp/(2\omega n)\; \backslash zeta=k\_p/(2\backslash omega\_n)$ ζ=kp/(2ωn)； $ki=\omega n2\; k\_i=\backslash omega\_n^2$ ki=ωn2， $kp=2\zeta \omega n\; k\_p=2\backslash zeta\backslash omega\_n$ kp=2ζωn	(6.8)(6.9)
$\Delta \; \theta ss\; =\; \omega \dot{}e\; /\omega n2\; \backslash Delta\backslash theta\_\{ss\}=\backslash dot\backslash omega\_e/\backslash omega\_n^2$ Δθss=ω˙e/ωn2	(6.10)