2024年408真题第41~47题汇总解析

第41题：判断有向图是否存在唯一拓扑序列

📝 题目

设计算法 int uniquely(MGraph G)，判定图G是否存在唯一的拓扑序列，是则返回1，否则返回0。图采用邻接矩阵存储。

c 复制代码

typedef struct {
    int numVertices, numEdges;
    char VerticesList[MAXV];
    int Edge[MAXV][MAXV];
} MGraph;

✅ 答案

c 复制代码

int uniquely(MGraph G) {
    int n = G.numVertices;
    int inDeg[MAXV] = {0};

    // 1. 统计入度
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
            if (G.Edge[i][j])
                inDeg[j]++;

    // 2. 共进行n步，每步必须恰好摘除一个入度为0的顶点
    for (int step = 0; step < n; step++) {
        int zeroCount = 0, zeroIdx = -1;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (inDeg[i] == 0) {
                zeroCount++;
                zeroIdx = i;
            }
        }
        if (zeroCount != 1)
            return 0;
        inDeg[zeroIdx] = -1;
        for (int j = 0; j < n; j++)
            if (G.Edge[zeroIdx][j])
                inDeg[j]--;
    }
    return 1;
}

💡 详细解释

核心定理 ：一个有向无环图（DAG）的拓扑序列唯一，当且仅当 在拓扑排序的每一步中，都恰好只有一个入度为0的顶点可供选择。

算法思路：

遍历邻接矩阵，统计每个顶点的入度（即对应列中1的个数）。
共进行n步（n为顶点数），每步统计当前入度为0的顶点个数。
若某一步零入度顶点数≠1，返回0：
- >1：表示有多个选择，拓扑序列不唯一。
- =0：表示剩余顶点形成环，拓扑排序无法完成。
若n步都恰好只有一个零入度顶点，返回1。

复杂度：时间O(n²)，空间O(n)。

📚 涉及知识点

知识点1：拓扑排序

定义：对有向无环图（DAG）的顶点进行线性排序，使得对每条边(u,v)，u在v之前。

Kahn算法（基于入度）：

统计所有顶点入度，将入度为0的顶点入队。
队头出队并输出，将其所有后继顶点入度减1。
若后继顶点入度变为0，则入队。
重复直到队列为空。若输出顶点数<n，则图中有环。

DFS算法：对每个顶点进行DFS，在回溯时将顶点加入栈，最终栈的逆序即为拓扑序列。

知识点2：拓扑序列唯一性判定

关键结论 ：拓扑序列唯一的充要条件是------在拓扑排序的每一步 ，入度为0的顶点有且仅有一个。

证明思路：

若某步有≥2个零入度顶点，选择其中任意一个都会得到不同的序列，故不唯一。
若某步零入度顶点数为0且尚有顶点未处理，说明存在环，拓扑排序失败。

知识点3：邻接矩阵存储

特点：

空间复杂度O(n²)，适合稠密图。
判断边(i,j)是否存在：O(1)。
统计某顶点入度：遍历第j列，O(n)。
统计某顶点出度：遍历第i行，O(n)。

第42题：二次探测法构造散列表

📝 题目

将关键字序列 20, 3, 11, 18, 9, 14, 7 依次存储到长度为11的散列表HT中。散列函数H(key) = (key×3) mod 11，冲突时探查地址序列为 Hₖ = (H₀ + k²) mod 11。

画出HT，计算装填因子。
给出查找关键字14的关键字比较序列。
查找关键字8失败时的散列地址。

✅ 答案

（1）散列表HT：

下标	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
关键字	11	---	14	7	---	20	9	---	---	3	18

装填因子 α = 7/11 ≈ 0.636

（2）查找14的关键字比较序列：3, 18, 14

（3）查找8失败时的散列地址：7

💡 详细解释

（1）构造过程：

关键字	H₀	探测过程	最终地址
20	5	位置5空	5
3	9	位置9空	9
11	0	位置0空	0
18	10	位置10空	10
9	5	冲突→H₁=(5+1)%11=6，空	6
14	9	冲突→H₁=10冲突→H₂=(9+4)%11=2，空	2
7	10	冲突→H₁=0冲突→H₂=(10+4)%11=3，空	3

（2）查找14：

H₀ = (14×3)%11 = 9 → 位置9存的是3（比较1次，冲突）
H₁ = (9+1)%11 = 10 → 位置10存的是18（比较2次，冲突）
H₂ = (9+4)%11 = 2 → 位置2存的是14（比较3次，匹配）

比较序列：3, 18, 14

（3）查找8失败：

H₀ = (8×3)%11 = 2 → 位置2存的是14（冲突）
H₁ = (2+1)%11 = 3 → 位置3存的是7（冲突）
H₂ = (2+4)%11 = 6 → 位置6存的是9（冲突）
H₃ = (2+9)%11 = 0 → 位置0存的是11（冲突）
H₄ = (2+16)%11 = 7 → 位置7为空，查找失败

失败地址：7

📚 涉及知识点

知识点1：散列函数

定义：将关键字映射到存储位置的函数H(key)。

常见构造方法：

除留余数法：H(key) = key mod p，p通常取不大于表长的最大素数。
直接定址法：H(key) = a×key + b。
数字分析法：分析关键字各位数字的分布，选取均匀的位作为散列地址。
平方取中法：取key²的中间几位作为散列地址。

本题：H(key) = (key×3) mod 11，属于除留余数法的变体。

知识点2：冲突处理------开放定址法

线性探测法：Hₖ = (H₀ + k) mod m，k=1,2,3,...

优点：实现简单。
缺点：容易产生堆积（聚集） 现象。

二次探测法：Hₖ = (H₀ + k²) mod m，k=1,2,3,...

优点：减少堆积现象。
缺点：不能保证探测到表中所有位置。

再散列法：Hₖ = (H₀ + k×H₂(key)) mod m。

关键注意 ：二次探测法中的k²是相对于初始地址H₀的增量，而非从当前位置累加。

知识点3：装填因子

定义：α = 表中记录数 / 散列表长度。

意义：α越大，冲突概率越高，查找效率越低。一般控制在0.5~0.75之间。

知识点4：查找失败的平均查找长度

查找失败时，需要探查到第一个空位置才能确认失败。ASL_失败 = 各初始地址探查到空位置的次数之和 / 散列函数取值个数。

第43题：RISC处理器指令格式与数据通路

📝 题目

计算机M字长32位，按字节编址，采用32位定长指令字。指令格式如下：

指令	IR $31:25$	IR $24:20$	IR $19:15$	IR $14:12$	IR $11:7$	IR $6:0$
add	0000000	rs2	rs1	000	rd	0110011
slli	0000000	shamt	rs1	010	rd	0010011
lw	imm $11:5$	imm $4:0$	rs1	010	rd	0000011

✅ 答案

（1） 最多32个通用寄存器；shamt占5位。

（2） ALUBsrc=0；F=1FDB9753H；OF=1，CF=1；无符号溢出根据CF判断。

（3） slli指令IR $31:25$ 固定为全0，Ext=0或1扩展结果相同。

（4） Ext=1（符号扩展）；ALUctr=000（加法）。

（5） 一定是lw指令（IR $6:0$ =0000011）；数据地址=FFFF9CD4H。

💡 详细解释

（1） rs1/rs2/rd各占5位，2⁵=32个寄存器。shamt占5位，因为32位字长最大移位31，需要5位表示。

（2） add指令两个操作数均来自寄存器，ALUBsrc=0选择寄存器B端。8765 4321H + 9876 5432H = 1 1FDB 9753H，低32位为1FDB9753H。两个操作数最高位均为1（负数），结果最高位为0，符号位改变，OF=1。最高位产生进位，CF=1。无符号溢出看CF。

（3） slli的IR $31:25$ =0000000，无论零扩展还是符号扩展，高位补的都是0，结果相同。

（4） lw的imm是补码偏移量，需要符号扩展，Ext=1。有效地址=R $rs1$ +imm，ALU执行加法，ALUctr=000。

（5） A040 A103H低7位=0000011=lw的opcode。imm=A04H，符号扩展为FFFFFA04H。FFFFA2D0H+FFFFFA04H=1 FFFF9CD4H，低32位为FFFF9CD4H。

📚 涉及知识点

知识点1：RISC指令格式

R型指令（add）：操作数均为寄存器，字段包括rs1、rs2、rd、funct3、funct7、opcode。

I型指令（slli、lw）：包含立即数字段，字段包括imm、rs1、funct3、rd、opcode。

关键：opcode决定指令大类，funct3/funct7区分同一大类中的不同指令。

知识点2：寄存器数量与字段位宽

n位字段可表示2ⁿ个寄存器。5位→32个寄存器。shamt位数由最大移位位数决定：32位字长→最大移位31→需5位。

知识点3：符号扩展与零扩展

符号扩展：高位补符号位，保持补码数值不变。用于有符号数运算。

零扩展：高位补0，用于无符号数运算。

lw的imm：补码表示的有符号偏移量，必须符号扩展。

知识点4：溢出标志

OF（有符号溢出） ：两个同号数相加，结果符号改变；或两个异号数相减，结果符号与减数相同。

CF（无符号进位/借位） ：最高位产生进位（加法）或借位（减法）。

判断规则：有符号溢出看OF，无符号溢出看CF。

知识点5：ALU控制信号

ALUctr=000→加法，001→减法，010→逻辑左移。根据指令功能选择。

第44题：C语句底层实现与存储管理

📝 题目

C语句 sum += a[i]; 对应指令序列：

assembly 复制代码

slli r4, r2, 2
add  r4, r3, r4
lw   r5, 0(r4)
add  r1, r1, r5

✅ 答案

（1） 数组a首地址：r3（03H）；变量i：r2（02H）；变量sum：r1（01H）。

（2） a $i$ 地址=0013 E004H；a $i$ 机器数=FFFF ECDCH；sum机器数=0000 000EH；页号=0013EH；至少2页。

（3） slli机器码=0021 2213H；short类型时汇编形式为 slli r4, r2, 1。

💡 详细解释

（1） slli r4,r2,2：r2左移2位（×4），对应int型数组索引i的字节偏移。add r4,r3,r4：r3+偏移=实际地址，r3是数组首地址。lw r5,0(r4)：读取a $i$ 。add r1,r1,r5：sum+=a $i$ ，r1是sum。

（2） i=5，r4=5<<2=20=14H。a $i$ 地址=0013 DFF0H+14H=0013 E004H。小端方式，地址0013 E004H处4字节为DC、EC、FF、FF，组合为FFFF ECDCH。sum=0000 1332H+FFFF ECDCH=1 0000 000EH，低32位0000 000EH。页大小4KB，页内偏移低12位。0013 E004H>>12=0013EH。首地址页号0013DH，末地址页号0013EH，跨2页。

（3） slli r4,r2,2：rd=4=00100，rs1=2=00010，shamt=2=00010，funct3=010，opcode=0010011。拼接：0000000 00010 00010 010 00100 0010011 = 0021 2213H。short占2字节，偏移=i×2，左移1位。

📚 涉及知识点

知识点1：C语句到汇编的映射

数组访问a $i$ ：

int型占4字节，a $i$ 地址 = 数组首地址 + i×4。
乘法通过左移实现：i×4 = i<<2。
基址加偏移寻址：lw rd, offset(rs1)，地址 = R $rs1$ +offset。

知识点2：小端存储

定义：低字节存放在低地址，高字节存放在高地址。

示例：32位数0xFFFFECDC在内存中（小端）：

地址	内容
低地址	DC
	EC
	FF
高地址	FF

大端：高字节在低地址，与小端相反。

知识点3：页式存储管理

页大小4KB = 2¹²字节：

页内偏移占低12位。
页号 = 虚拟地址 >> 12。
页内偏移 = 虚拟地址 & 0FFFH。

跨页判断：若数组首地址和末地址的页号不同，则数组跨多页。

知识点4：指令编码

按字段拼接：IR $31:25$ | IR $24:20$ | IR $19:15$ | IR $14:12$ | IR $11:7$ | IR $6:0$ ，每4位一组转十六进制。

知识点5：数据类型与偏移量

int（4字节）：偏移 = i×4 = i<<2。
short（2字节）：偏移 = i×2 = i<<1。
char（1字节）：偏移 = i。

第45题：页式虚拟存储管理地址转换

📝 题目

虚拟地址和物理地址均为32位，页表项4字节，页大小4MB。进程P页表起始虚拟地址B8C0 0000H，物理地址6540 0000H。访问虚拟地址1234 5678H缺页，处理后物理地址BAB4 5678H。

✅ 答案

问题	答案
页表项虚拟地址	B8C0 0120H
页表项物理地址	6540 0120H
页框号更新值	2EAH
页表所在页页号	2E3H
该页页表项虚拟地址	B8C0 0B8CH
该页表项页框号	195H

💡 详细解释

页大小4MB=2²²，页内偏移占低22位，页号占高10位。

（1） 虚拟地址1234 5678H高10位=048H。页表项虚拟地址=B8C0 0000H+048H×4=B8C0 0120H。物理地址=6540 0000H+048H×4=6540 0120H。物理地址BAB4 5678H高10位=2EAH。

（2） 页表起始虚拟地址B8C0 0000H高10位=2E3H。页表项虚拟地址=B8C0 0000H+2E3H×4=B8C0 0B8CH。物理地址6540 0000H高10位=195H。

📚 涉及知识点

知识点1：虚拟地址结构

32位虚拟地址 = 页号（高10位）+ 页内偏移（低22位）。

页号位数 = 32 - log₂(页大小) = 32 - 22 = 10位。

知识点2：页表项地址计算

页表项虚拟地址 = 页表起始虚拟地址 + 页号 × 页表项大小。

页表项物理地址 = 页表起始物理地址 + 页号 × 页表项大小。

关键：页表项大小通常为4字节，页号×4才是偏移量。

知识点3：页框号提取

物理地址 = 页框号（高10位）+ 页内偏移（低22位）。

页框号 = 物理地址 >> 22。

知识点4：多级页表

本题为单级页表。多级页表中，虚拟地址被划分为多个页号字段，每级页表分别索引。

第46题：进程同步与互斥

📝 题目

缓冲区B存放数据分组，操作C1（写入，B空时可执行）、C2（读出，B非空时可执行）、C3（修改，B非空时可执行）。

✅ 答案

（1） 是临界区。C1写入共享缓冲区B，并发执行会导致数据覆盖和状态不一致。

（2） semaphore S=0; P1：C1; signal(S); P2：wait(S); C2;

（3） semaphore mutex=1; P1：wait(mutex); C3; signal(mutex); P2：wait(mutex); C3; signal(mutex);

💡 详细解释

（1） 临界区判定三要素：共享资源、竞争条件、互斥需求。C1满足全部三要素。

（2） P1先写、P2后读，是同步问题。S初值=0，P2必须等待P1的signal。最少1个信号量。

（3） P1和P2各执行C3，无顺序要求，是互斥问题。mutex初值=1，保证互斥访问。

📚 涉及知识点

知识点1：临界区与互斥

临界区：访问共享资源的代码段，必须互斥执行。

互斥：任何时刻只允许一个进程进入临界区。

临界区管理四原则：空闲让进、忙则等待、有限等待、让权等待。

知识点2：信号量机制

wait(S)：S--；若S<0，阻塞。

signal(S)：S++；若S≤0，唤醒一个等待进程。

初值含义：

互斥信号量初值=1（临界区初始可用）。
同步信号量初值=0（等待方初始阻塞）。

知识点3：同步与互斥的区别

特征	同步	互斥
目的	保证执行顺序	保护共享资源
信号量初值	通常为0	通常为1
信号量数量	取决于同步点	通常1个
典型场景	生产者-消费者	临界区保护

知识点4：生产者-消费者模型

标准方案：

c 复制代码

semaphore empty = n;  // 空缓冲区数
semaphore full = 0;   // 满缓冲区数
semaphore mutex = 1;  // 互斥访问

关键：先同步（wait(empty/full)）再互斥（wait(mutex)），否则可能死锁。

第47题：路由协议（RIP、OSPF、BGP）

📝 题目

4个自治系统互连，AS1运行RIP，AS3内路由器数≤15，AS4内路由器数>20。外部网络136.5.16.0/20可通过AS2、AS3、AS4到达。

✅ 答案

问题	答案
（1）	OSPF
（2）	16
（3）	60s
（4）	R44→R13：eBGP，UPDATE报文；R13→R14/R15：iBGP
（5）	R14下一跳：R11；R15下一跳：R13

💡 详细解释

（1） AS4内路由器数可能超过20，超过RIP的15跳上限，必须选OSPF。

（2） 最多经过15个路由器，TTL每跳减1，到达时TTL≥1，初始TTL≥16。

（3） RIP每30s交换一次。0s交换初始向量，30s第1跳获得，60s第2、3跳获得。收敛时间60s。

（4） R44（AS4）与R13（AS1）不同AS→eBGP，通告路由用UPDATE。R13与R14/R15同AS→iBGP。

（5） BGP无策略时选AS路径最短。R14收到R11（3跳）和R13（3跳）并列，选R11。R15同理选R13。

📚 涉及知识点

知识点1：RIP协议

类型：距离向量协议。

度量：跳数，最大15，16为不可达。

交换周期：每30s与邻居交换完整路由表。

收敛：逐跳传播，收敛慢。

适用：小型网络。

知识点2：OSPF协议

类型：链路状态协议。

算法：Dijkstra最短路径。

度量：代价（带宽、延迟等），无跳数限制。

特点：支持区域划分、负载均衡、认证。

适用：大型网络。

知识点3：BGP协议

类型：路径向量协议。

会话类型：

eBGP：不同AS之间的BGP会话。
iBGP：同一AS内部不同BGP路由器之间的会话。

四种报文：

OPEN：建立对等体关系。
UPDATE：通告/撤销路由。
KEEPALIVE：周期性确认连通性。
NOTIFICATION：报告错误。

选路原则（无策略时）：优先AS路径最短。

知识点4：TTL

作用：防止分组在网络中无限循环。

规则：每经过一个路由器减1，减到0丢弃。

计算：初始TTL ≥ 路径最大跳数 + 1。

总结

题号	科目	分值	核心知识点
41	数据结构	13	拓扑排序唯一性判定
42	数据结构	10	二次探测法散列表
43	计算机组成	13	RISC指令格式与数据通路
44	计算机组成	10	C语句底层实现与存储管理
45	操作系统	7	页式虚拟存储地址转换
46	操作系统	8	进程同步与互斥信号量
47	计算机网络	9	RIP/OSPF/BGP路由协议

命题特点：

数据结构侧重算法设计与分析（拓扑排序、散列查找）。
计算机组成侧重指令系统与存储系统（RISC、页式管理）。
操作系统侧重内存管理与进程同步（地址转换、信号量）。
计算机网络侧重路由协议（RIP、OSPF、BGP的对比与选择）。