【算法拾光】二分查找｜搜索插入位置 + x 的平方根

第一题：35. 搜索插入位置

题目分析

题目：给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。数组无重复元素。核心：有序数组，找第一个 >= target 的位置，属于二分查找左边界模型。边界注意：target 比所有数大，返回数组长度；比所有数小，返回 0。

算法原理

左边界二分模板：区间 [0, nums.size())，left < right。

若 nums[mid] >= target：答案在 mid 或者 mid 左边，收缩右边界 right = mid
若 nums[mid] < target：答案在 mid 右边，收缩左边界 left = mid + 1 循环结束，left == right，即为第一个 >= target 的下标。

代码编写

cpp 复制代码

int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size();
    while(left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] >= target) {
            right = mid;
        } else {
            left = mid + 1;
        }
    }
    return left;
}

总结

本题是二分左边界基础模板，适合 "找第一个满足条件的位置"，区间为左闭右开，循环条件固定 left < right。

第二题：69.x 的平方根

题目链接：69. x 的平方根 - 力扣（LeetCode）

题目分析

题目：给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的算术平方根。由于返回类型是整数，结果只保留整数部分，小数部分被舍去。核心：在 $0, x$ 区间二分，找最大的 mid 满足 mid * mid <= x。边界注意：防止 mid*mid 溢出，改用 mid <= x/mid 判断。

算法原理

找满足条件的最大值二分，区间 [0, x]，left <= right：

满足 mid <= x / mid：mid 是一个合法答案，记录 ans，继续向右尝试更大的值 left = mid + 1
不满足：mid 太大，向左收缩 right = mid - 1 循环结束，ans 保存最大合法值。

代码编写

cpp 复制代码

int mySqrt(int x) {
    int left = 0, right = x, ans = 0;
    while(left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if(mid <= x / mid) {
            ans = mid;
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    return ans;
}

总结

适合求 "最大满足条件的值"，用闭区间 + 记录答案的写法；乘法容易溢出时优先换成除法判断。