一、停时是什么
停时的定义只有一行。设 TTT 是非负整数值的随机变量，{Yn,n≥0}\lbrace Y_n, n \ge 0 \rbrace{Yn,n≥0} 是随机序列，若对每个 n≥0n \ge 0n≥0 都有
{T=n}∈Fn\lbrace T = n \rbrace \in F_n{T=n}∈Fn
则称 TTT 是 {Yn}\lbrace Y_n \rbrace{Yn} 的停时。FnF_nFn 由 Y0,Y1,...,YnY_0, Y_1, \ldots, Y_nY0,Y1,...,Yn 生成，nnn 越大，FnF_nFn 里的东西越多。这一串 σ\sigmaσ 域是一层一层加上去的：到第 nnn 步为止观测到的全部信息都在 FnF_nFn 里，第 nnn 步以后的事一概不在。
条件写的是 {T=n}\lbrace T = n \rbrace{T=n}，与 {T≤n}∈Fn\lbrace T \le n \rbrace \in F_n{T≤n}∈Fn 等价，因为 {T≤n}\lbrace T \le n \rbrace{T≤n} 就是 {T=0}\lbrace T = 0 \rbrace{T=0} 到 {T=n}\lbrace T = n \rbrace{T=n} 的并。它的意思可以直说：停没停，到第 nnn 步就能判断，不许看以后。
最朴素的例子是两人赌博。甲有 100 元，乙有 90 元，每次押 10 元，公平赌博，输的人把钱给赢的人。TTT 定义为其中一个人赢光对方的钱。这个 TTT 是停时：每局结束，双方的钱数当场就知道，谁光了谁没光也当场就知道，不需要等以后。
反过来，「整场里赢钱最多的那一局」不是停时。要打完所有局才排得出名次，第 nnn 局结束的时候不知道它是不是最后那个答案。
赌博这个例子的好处是钱的总数不变。甲的钱数是鞅，输赢对称，均值一直是 100。停时定在谁先光，既满足可测性，又有明确的物理含义：停下来的那一刻，一个人的钱正好是 190，另一个正好是 0。后面验定理的时候可以直接拿这个模型算，不必另找例子。
再把例子缩小到硬币。甲有两个硬币，乙有三个，一次押一个，TTT 是其中一人输光。第一次赌不可能停下来，因为输一次只是少一个硬币。所以 P(T=0)=0P(T = 0) = 0P(T=0)=0，P(T=1)=0P(T = 1) = 0P(T=1)=0。停时的取值可以从中间某个数才开始有概率，前面一段全是零。这个特点和后面讲的条件有关系：TTT 的分布不是从 0 开始平铺的，它有一块够不着的区间。
实际应用里定义停时，往往跳过可测性这一步。算法跑到满足精度就停，检测器等到门限就停，交易碰到止损就停，这些都是当场可判的时刻，日常说话不追究「当场可判」，数学上必须写出来，因为后面所有的条件期望都建立在它上面。
两条基本性质直接可用：TTT 与 σ\sigmaσ 都是停时，则 T+σT + \sigmaT+σ、T∧σT \wedge \sigmaT∧σ、T∨σT \vee \sigmaT∨σ 也都是停时。后面反复出现的 T∧nT \wedge nT∧n 就是其中最不起眼的一个，取值不超过 nnn。
二、为什么要把固定的 n 换掉
因为鞅里那个 nnn 是个死数。
鞅的性质是均值不变，EXn=EX0E X_n = E X_0EXn=EX0，对每一个 nnn 都成立。这个性质是从条件期望一层层推下来的：E(Xk+1∣Y0,...,Yk)=XkE(X_{k+1} | Y_0,\ldots,Y_k) = X_kE(Xk+1∣Y0,...,Yk)=Xk，两边取期望得 EXk+1=EXkE X_{k+1} = E X_kEXk+1=EXk，从第 0 步推到第 nnn 步，就有了 EXn=EX0E X_n = E X_0EXn=EX0。整条链子上 nnn 是一个固定的整数，写在纸上不动。
均值不变就是这个东西的全部内容。它不说 XnX_nXn 会收敛，也不说 XnX_nXn 的分布长什么样，只说它的均值固定在出发点。一个性质只管一件事，能推出来的结论本来就有限。
真正关心的时候，往往不是第 nnn 步的值，而是停下来那一刻的值。什么时候下判决，什么时候收手，什么时候终止迭代，都是看情况定的，事先排不出来。把固定 nnn 换成随机变量 TTT，问一句：EXT=EX0E X_T = E X_0EXT=EX0 还成立吗。
对 T∧nT \wedge nT∧n 成立，而且不用加任何条件。T∧nT \wedge nT∧n 只取 0,1,...,n0,1,\ldots,n0,1,...,n，是有界停时，把鞅每一步的增量加起来就消掉了，与 TTT 的分布无关。观测到第 nnn 步为止，XT∧nX_{T \wedge n}XT∧n 的均值仍然是 EX0E X_0EX0，一分不差。
对 TTT 就不一定了。
这里还有一个容易忽略的地方。XTX_TXT 是跟着 TTT 取值的随机变量，它的分布和 XnX_nXn 的分布不一样，EXTE X_TEXT 也不是 EXnE X_nEXn 的某种极限。要谈它的期望，先得让 {T=n}\lbrace T = n \rbrace{T=n} 在第 nnn 步就定下来，这样 XT∧nX_{T \wedge n}XT∧n 才是逐时刻能观察的量，条件期望才有东西可依。定义里那条可测性要求，就是为这件事服务的。
证法也因此定了下来。T∧nT \wedge nT∧n 的情形是免费的，先从它拿到 EXT∧n=EX0E X_{T \wedge n} = E X_0EXT∧n=EX0；再让 nnn 增大，看 EXT∧nE X_{T \wedge n}EXT∧n 能不能推到 EXTE X_TEXT。前一步是基础，后一步靠尾巴收敛逼过去。定理的证明顺序就是这么排的，先有界、后无界。
整件事可以说成一句：把固定的指标换成一个停时，均值还保不保。停时定理的全部内容就是回答这一句，条件是用来兜住那个「还保」的。
三、换不动的是那条尾巴
把 T∧nT \wedge nT∧n 与 TTT 的差别摆出来。给定观测到第 nnn 步，TTT 的取值只有两类：小于等于 nnn，和大于 nnn。第一类里 T∧n=TT \wedge n = TT∧n=T，取的是终点值；第二类里 T∧n=nT \wedge n = nT∧n=n，取的是当前值。
T∧n=TI{T≤n}+nI{T>n}T \wedge n = T I_{\lbrace T \le n \rbrace} + n I_{\lbrace T > n \rbrace}T∧n=TI{T≤n}+nI{T>n}
第一类是已经停下来的路径，第二类是还没停下来的路径。第二类就是那条尾巴。
用赌博的例子算这笔账。观测 20 局，{T≤20}\lbrace T \le 20 \rbrace{T≤20} 与 {T>20}\lbrace T > 20 \rbrace{T>20} 都能确定，{T=21}\lbrace T = 21 \rbrace{T=21} 定不下来，因为要看第 21 局的结果。而 {T≤20}\lbrace T \le 20 \rbrace{T≤20} 的概率小于一，补集概率不为零。那些路径到第 20 局还在赌，钱数停在半路上，既没到 0，也没到 190。
所以这些路径上 XT∧20X_{T \wedge 20}XT∧20 取得的是 X20X_{20}X20，不是 XTX_TXT。EXT∧20E X_{T \wedge 20}EXT∧20 把两类路径的值混在一起，一类是终点值，一类是半路值，平均下来不等于 EXTE X_TEXT。
EXT∧n=EX0E X_{T \wedge n} = E X_0EXT∧n=EX0 与 EXT=EX0E X_T = E X_0EXT=EX0 是两个式子，前者无条件成立，后者有条件。混起来的根源就是没把 T∧nT \wedge nT∧n 与 TTT 分开。分开之后只剩一个问题：那条尾巴什么时候消失。
尾巴消失的情形有一种最干脆：TTT 有上界。有上界就有某个 NNN，超过 NNN 之后 T>nT > nT>n 的概率是零，尾巴从某一项起恒为零，条件自动满足。相反的情形是 TTT 可能取无穷，尾巴永远留着一块概率，怎么加条件都压不下去，这时候定理就用不了。
还有一种看法，把停时看成对纵坐标的处理。TTT 取值 0,1,2,...0,1,2,\ldots0,1,2,...，XTX_TXT 就以相应的概率取到某个 XkX_kXk。特别地，当 XT=cX_T = cXT=c 时，可以在不同的离散轨迹里找到穿过 y=cy = cy=c 这条水平线的那一点。ccc 取不同的值，纵坐标被划成不同的格点，对应不同的水平线。
这个看法解释了为什么停时定理关心的是 XTX_TXT 的分布而不是 TTT 的分布。停时不是盯住时间轴上的一个刻度，而是盯住纵坐标上的一条水平线；轨迹什么时候碰到这条线，那个时刻就是 TTT。换个说法，停时是对纵坐标的观察处理技术。
四、三个条件是怎么搬进定理的
目标是 EXT=EX0E X_T = E X_0EXT=EX0。既然 T∧nT \wedge nT∧n 与 TTT 只差一条尾巴，就把尾巴单独写出来。
先把 XTX_TXT 按 T≤nT \le nT≤n 与 T>nT > nT>n 分两段
XT=XTI{T≤n}+XTI{T>n}X_T = X_T I_{\lbrace T \le n \rbrace} + X_T I_{\lbrace T > n \rbrace}XT=XTI{T≤n}+XTI{T>n}
第一段里 T≤nT \le nT≤n，所以 XT=XT∧nX_T = X_{T \wedge n}XT=XT∧n。再把指示函数换成 1−I{T>n}1 - I_{\lbrace T > n \rbrace}1−I{T>n}
XTI{T≤n}=XT∧n(1−I{T>n})=XT∧n−XnI{T>n}X_T I_{\lbrace T \le n \rbrace} = X_{T \wedge n}(1 - I_{\lbrace T > n \rbrace}) = X_{T \wedge n} - X_n I_{\lbrace T > n \rbrace}XTI{T≤n}=XT∧n(1−I{T>n})=XT∧n−XnI{T>n}
最后一步用：在 {T>n}\lbrace T > n \rbrace{T>n} 上 T∧n=nT \wedge n = nT∧n=n。代回去
XT=XT∧n−XnI{T>n}+XTI{T>n}X_T = X_{T \wedge n} - X_n I_{\lbrace T > n \rbrace} + X_T I_{\lbrace T > n \rbrace}XT=XT∧n−XnI{T>n}+XTI{T>n}
两边取期望。EXT∧n=EX0E X_{T \wedge n} = E X_0EXT∧n=EX0 是已知的
EXT=EX0−E(XnI{T>n})+E(XTI{T>n})E X_T = E X_0 - E(X_n I_{\lbrace T > n \rbrace}) + E(X_T I_{\lbrace T > n \rbrace})EXT=EX0−E(XnI{T>n})+E(XTI{T>n})
要让左边等于 EX0E X_0EX0，后面两项必须抵消，也就是它们的差趋于零。这两项各自对着一件事。
第一项 E(XnI{T>n})E(X_n I_{\lbrace T > n \rbrace})E(XnI{T>n}) 趋于零，是一条要求，写成条件就是
limn→∞E∣XnI{T>n}∣=0\lim_{n \to \infty} E|X_n I_{\lbrace T > n \rbrace}| = 0limn→∞E∣XnI{T>n}∣=0
第二项 E(XTI{T>n})E(X_T I_{\lbrace T > n \rbrace})E(XTI{T>n}) 趋于零，只要 TTT 几乎必然有限、XTX_TXT 可积。这两条可以单独证成一个引理，就是后面用的引理 2。
换个角度想：如果 TTT 只取 000 到 nnn 这些值，没有尾巴，那么 T∧n=TT \wedge n = TT∧n=T，等式直接成立，一个条件都不需要。麻烦全在 TTT 能取到 nnn 以外。三个条件不是从问题本身长出来的，是为了把尾巴这一段处理掉才加上的。
三个条件就这样分好了工。P(T<∞)=1P(T < \infty) = 1P(T<∞)=1 保证 XTX_TXT 有意义，也是引理 2 的前提；E∣XT∣<∞E|X_T| < \inftyE∣XT∣<∞ 同样服务于第二项；第三个数管第一项。
三个条件里，前两个是对问题的描述，第三个不一样。第三个不是从前提推出来的，是从证明的某一步反推出来的：那一步处理不掉 E(XnIT>n)E(X_n I_{T > n})E(XnIT>n)，就把「它必须为零」写成了条件。
这一步要停一下。证明走到最后，总会剩下一些处理不掉的项。办法有两个，一是加假设让它消失，二是把它留成条件。留成条件，定理照样成立，代价是使用者要额外验一条。停时定理的第三个条件属于留成条件那一种。它写在定理里，来源却是证明里的余项，不是对问题的假设。
条件三还有两种写法。一种是带绝对值的 E∣XnI{T>n}∣→0E|X_n I_{\lbrace T > n \rbrace}| \to 0E∣XnI{T>n}∣→0，一种是不带的 EXnI{T>n}→0E X_n I_{\lbrace T > n \rbrace} \to 0EXnI{T>n}→0。定理一取的是带绝对值的那种，因为它同时保证了 XnI{T>n}X_n I_{\lbrace T > n \rbrace}XnI{T>n} 这个量可积，后面写期望不会出问题。不带绝对值的那一种弱一些，正负可能抵消，等到要拆项的时候不够用。
第一个条件写 P(T<∞)=1P(T < \infty) = 1P(T<∞)=1 而不是 ET<∞E T < \inftyET<∞，也是同一个道理。前者是「停得下来」，后者是「停得够快」，后者强得多。定理一用弱的那个，因为证明里只需要 XTX_TXT 有意义，不需要控制平均时长。
P(T<∞)=1P(T < \infty) = 1P(T<∞)=1 这句话还容易读错成「TTT 有界」。有界是存在一个 NNN，所有的路径上 T≤NT \le NT≤N；P(T<∞)=1P(T < \infty) = 1P(T<∞)=1 只要求每条路径上 TTT 落在某个有限数上，不同的路径可以落在不同的数，而且可以任意大。所以它是概率意义上的有限，不是一致有界。区别全在尾巴上：有界的停时，尾巴从某一项起完全为零；只要求 P(T<∞)=1P(T < \infty) = 1P(T<∞)=1 的停时，尾巴每一项都可能不为零，只是越来越小。定理一取的是后一种，因为前一种太强，很多停时根本用不了。
这三个条件是充分条件，不是必要条件。满足它们，结论一定成立；不满足，结论未必不成立，只是这条路走不通。定理三、定理四就是把条件换成另一组，覆盖面不一样，结论一样。所以看到「条件不满足」先别下结论说定理错了，多数时候是手上的模型对不上这一组假设，换一组可能就通了。
还有一个更粗的判断可以先做。三个条件摆在那儿，不做任何数据调查，先看它们是否合理：TTT 有限，XTX_TXT 有均值，尾巴趋于零。直观上说得通，就先按它走。走的过程里如果推出矛盾，回头再改假设。这种做法不严格，但工程上很常用：目标明确，条件先列，列不全不要紧，缺哪一条会在推导里自己冒出来。现在有现成的符号计算工具，把 nnn 换成 TTT 试一下均值变不变，几秒钟就能给出结果。试出来的只是形式上的等式，条件还得自己补。
五、四个定理，后两个不讲证明
停时定理有一组，不是一个。
定理一是最基本的形式，三个条件就是上面那三条，结论 EXT=EX0E X_T = E X_0EXT=EX0。它回答的是「停下来的那一刻，均值还是不是原来那个」，回答是肯定的，代价是那三条尾巴条件。
定理二把后两个条件合成一条上确界条件，写成 E(supn∣XT∧n∣)<∞E(\sup_n |X_{T \wedge n}|) < \inftyE(supn∣XT∧n∣)<∞。这是整理，把分散的两条要求收进一个式子，验的时候只估一个上界。上确界取在所有 nnn 上，路径上没有漏掉的尖峰，比逐项验更狠，也更整齐。
定理三换方向，不问 EXTE X_TEXT 等于什么，直接问平均时长。条件写成 ET<∞E T < \inftyET<∞，再加一条步长条件
∀n<T,E(∣Xn+1−Xn∣∣Y0,...,Yn)≤b\forall n < T,\quad E(|X_{n+1} - X_n| | Y_0, \ldots, Y_n) \le b∀n<T,E(∣Xn+1−Xn∣∣Y0,...,Yn)≤b
满足这两条，仍然有 EXT=EX0E X_T = E X_0EXT=EX0。
定理四走二次矩。条件是 P(T<∞)=1P(T < \infty) = 1P(T<∞)=1 与 E(XT∧n2)E(X_{T \wedge n}^2)E(XT∧n2) 对所有 nnn 一致有界，结论一样。
后两个是推论，不单独证。做法是从定理一或定理二的条件代入，把不易验的那一条换成更强的、一眼能看出来的条件。推导不难，价值在于多给了一个入口。定理二把条件二、三合成一个，走的是同一条路，只是合成之后条件变强，覆盖面窄。
条件越来越强，覆盖面越来越窄，换来的是可验证。定理三把步长有界摆到台面上，用的是随机梯度的语言：Xn+1−XnX_{n+1} - X_nXn+1−Xn 是每一步的增量，要求它的条件期望有上界，等于要求过程不能跳得太猛。定理四用二次矩，平方之后正负都变正，估起来方便，代价是要求更强。
四个定理之外还有很多变体。列出来的只有四个，各种特殊情况到现在仍有人做，也有人专门做应用。这一支没有穷尽，定理一那三条只是最基础的一组。
六、定理三为什么最像能用的那一个
因为工程上要算的是 ETE TET。
EXT=EX0E X_T = E X_0EXT=EX0 是中间结论。它说停下来那一刻的均值等于起点的均值，可这个式子里往往没有 ETE TET。真要用，得先构造一个把 TTT 显式带出来的鞅，再用这条结论解 ETE TET。构造那一步比定理本身难。
定理三把顺序倒过来。它直接假设 ET<∞E T < \inftyET<∞，先认定平均时长是个有限数，然后只要求验一条步长条件。验完，EXT=EX0E X_T = E X_0EXT=EX0 成立，接着解方程拿到 ETE TET。
这里有个用起来很顺的地方。假设是拍脑袋放上去的，可如果后面算出来的 ETE TET 是负数，或者与已知的界矛盾，那就说明假设不成立，ETE TET 实际是无穷。结论错了，前提就错了。
ET<∞E T < \inftyET<∞ 与 ET=∞E T = \inftyET=∞ 是一体两面，没有第三种可能。用定理三的时候，等于先在这两面里押一面，让计算判对错。押对了拿到数值，押错了拿到矛盾，两种结果都有用。押错那一次也不白算，它排除了一种可能，把问题逼到另一面去。
步长条件那条不等式，实际用法是估一个 bbb。多数模型里 bbb 不难估：增量有界，bbb 就是那个界；增量是零均值的噪声，bbb 取它的一阶矩就够了。难的是 ET<∞E T < \inftyET<∞ 这一条，它管的是分布尾部，而尾部往往没有现成的界。
定理四的用法类似，把步长有界换成二次矩一致有界。二次矩比一次矩好估，代价是要求更强：E(XT∧n2)E(X_{T \wedge n}^2)E(XT∧n2) 对所有 nnn 有同一个界，等于被停过程不会在某个时刻冲到很大。
七、先补一条引理
定理一的证明要用一条引理，管的是「可积的量在收缩的事件上积分趋于零」。
设 XXX 可积，E∣X∣<∞E|X| < \inftyE∣X∣<∞，TTT 是停时且 P(T<∞)=1P(T < \infty) = 1P(T<∞)=1，则
limn→∞E(XI{T>n})=0\lim_{n \to \infty} E(X I_{\lbrace T > n \rbrace}) = 0limn→∞E(XI{T>n})=0
limn→∞E(XI{T≤n})=EX\lim_{n \to \infty} E(X I_{\lbrace T \le n \rbrace}) = E Xlimn→∞E(XI{T≤n})=EX
证明只用一件事：{T≤n}\lbrace T \le n \rbrace{T≤n} 随 nnn 增大而扩张，最后覆盖全部样本。
∣X∣=∣X∣I{T>n}+∣X∣I{T≤n}≥∣X∣I{T≤n}|X| = |X| I_{\lbrace T > n \rbrace} + |X| I_{\lbrace T \le n \rbrace} \ge |X| I_{\lbrace T \le n \rbrace}∣X∣=∣X∣I{T>n}+∣X∣I{T≤n}≥∣X∣I{T≤n}
右边单调上升，极限是 ∣X∣I{T<∞}=∣X∣|X| I_{\lbrace T < \infty \rbrace} = |X|∣X∣I{T<∞}=∣X∣，这一处用 P(T<∞)=1P(T < \infty) = 1P(T<∞)=1。由单调收敛定理，E(∣X∣I{T≤n})E(|X| I_{\lbrace T \le n \rbrace})E(∣X∣I{T≤n}) 上升趋于 E∣X∣E|X|E∣X∣，被减掉的那块趋于零。
条件看着强：可积、几乎必然有限，两条都用在刀刃上。少一条就不成立。XXX 不可积时 E∣X∣=∞E|X| = \inftyE∣X∣=∞，谈不上「趋于」；TTT 可能取无穷时，{T≤n}\lbrace T \le n \rbrace{T≤n} 覆盖不到全部样本，极限是 E(∣X∣IT<∞)E(|X| I_{T < \infty})E(∣X∣IT<∞)，与 E∣X∣E|X|E∣X∣ 差着一块。
引理给的是 XTI{T>n}X_T I_{\lbrace T > n \rbrace}XTI{T>n} 这一项。把 XXX 换成 XTX_TXT 就能用，前提正是条件一与条件二。那两个条件不是摆设，各自对着引理的一个前提。
引理的另一半也顺手。{T≤n}\lbrace T \le n \rbrace{T≤n} 扩张到全集，所以 E(XI{T≤n})E(X I_{\lbrace T \le n \rbrace})E(XI{T≤n}) 上升到 EXE XEX。这一半在证明里用得少，但它把「尾部为零」与「整体为 EXE XEX」连了起来，两边是同一件事的两种说法。
八、定理一的证明：全是分解
证明分两块。第一块证 EXT∧n=EX0E X_{T \wedge n} = E X_0EXT∧n=EX0，第二块把 T∧nT \wedge nT∧n 推到 TTT。
第二块前面写完了。把 XTX_TXT 拆成 XT∧nX_{T \wedge n}XT∧n 加减两条尾巴，取期望，用引理 2 处理 E(XTIT>n)E(X_T I_{T > n})E(XTIT>n)，用条件三处理 E(XnIT>n)E(X_n I_{T > n})E(XnIT>n)，两项都趋于零，剩下 EXT=limEXT∧nE X_T = \lim E X_{T \wedge n}EXT=limEXT∧n。
第一块要回到 T∧nT \wedge nT∧n 的定义，用的还是分解，这次分解的是那个「1」。
1=I{T≤n}+I{T>n}1 = I_{\lbrace T \le n \rbrace} + I_{\lbrace T > n \rbrace}1=I{T≤n}+I{T>n}
把它乘到 XnX_nXn 上
EXT∧n=∑k=0n−1E(XnI{T=k})+E(XnI{T≥n})E X_{T \wedge n} = \sum_{k=0}^{n-1} E(X_n I_{\lbrace T = k \rbrace}) + E(X_n I_{\lbrace T \ge n \rbrace})EXT∧n=∑k=0n−1E(XnI{T=k})+E(XnI{T≥n})
求和到 n−1n-1n−1，最后一块单独写成 {T≥n}\lbrace T \ge n \rbrace{T≥n}，因为 T=nT = nT=n 与 T>nT > nT>n 在 T∧nT \wedge nT∧n 上取的都是 XnX_nXn，能并成一块。
接下来对每一项插条件期望。以第 kkk 项为例
E(XnI{T=k})=E(E(XnI{T=k}∣Y0,...,Yk))E(X_n I_{\lbrace T = k \rbrace}) = E\big(E(X_n I_{\lbrace T = k \rbrace} | Y_0,\ldots,Y_k)\big)E(XnI{T=k})=E(E(XnI{T=k}∣Y0,...,Yk))
这是全期望公式，把一层期望拆成两层。里面那层，I{T=k}I_{\lbrace T = k \rbrace}I{T=k} 是 FkF_kFk 可测的，可以提出去
=E(I{T=k}E(Xn∣Y0,...,Yk))= E\big(I_{\lbrace T = k \rbrace} E(X_n | Y_0,\ldots,Y_k)\big)=E(I{T=k}E(Xn∣Y0,...,Yk))
这一步用的正是停时的定义：{T=k}\lbrace T = k \rbrace{T=k} 只依赖到第 kkk 步的信息，给定 Y0,...,YkY_0,\ldots,Y_kY0,...,Yk 时它已经确定，是常数，能提到条件期望外面。
再用鞅性 E(Xn∣Y0,...,Yk)=XkE(X_n | Y_0,\ldots,Y_k) = X_kE(Xn∣Y0,...,Yk)=Xk
=E(XkI{T=k})= E(X_k I_{\lbrace T = k \rbrace})=E(XkI{T=k})
把所有项加起来，正好拼回 XnX_nXn
EXT∧n=∑k=0n−1E(XkI{T=k})+E(XnI{T≥n})=EXnE X_{T \wedge n} = \sum_{k=0}^{n-1} E(X_k I_{\lbrace T = k \rbrace}) + E(X_n I_{\lbrace T \ge n \rbrace}) = E X_nEXT∧n=∑k=0n−1E(XkI{T=k})+E(XnI{T≥n})=EXn
最后一步是分块求和还原：{T=0},...,{T=n−1},{T≥n}\lbrace T = 0 \rbrace, \ldots, \lbrace T = n-1 \rbrace, \lbrace T \ge n \rbrace{T=0},...,{T=n−1},{T≥n} 是全集的一个划分，每块上取的都是 XkX_kXk 或 XnX_nXn，加起来就是 XnX_nXn。而 EXn=EX0E X_n = E X_0EXn=EX0 是鞅的性质。
所以 EXT∧n=EX0E X_{T \wedge n} = E X_0EXT∧n=EX0。
整条证明里没有额外的处理，一步一步都成立。可它内含了一个条件，从头到尾没明说：TTT 关于 YnY_nYn 是停时。没有这一条，{T=k}\lbrace T = k \rbrace{T=k} 不在 FkF_kFk 里，指示函数提不出去，证明立刻断掉。写出来是一条假设，用起来是一句话的事，容易看漏。
还有一条更短的写法，把 T∧(n+1)T \wedge (n+1)T∧(n+1) 与 T∧nT \wedge nT∧n 相减。这两个量的差只可能取 000 或 111：T≤nT \le nT≤n 时两者都等于 TTT，差为 000；T>nT > nT>n 时一个等于 n+1n+1n+1、一个等于 nnn，差为 111。合起来就是
T∧(n+1)−T∧n=I{T>n}T \wedge (n+1) - T \wedge n = I_{\lbrace T > n \rbrace}T∧(n+1)−T∧n=I{T>n}
两边乘上 XXX 的增量，得到
XT∧(n+1)−XT∧n=(Xn+1−Xn)I{T>n}X_{T \wedge (n+1)} - X_{T \wedge n} = (X_{n+1} - X_n) I_{\lbrace T > n \rbrace}XT∧(n+1)−XT∧n=(Xn+1−Xn)I{T>n}
取期望。{T>n}∈Fn\lbrace T > n \rbrace \in F_n{T>n}∈Fn，可以放进条件期望里
E((Xn+1−Xn)I{T>n})=E(I{T>n}E(Xn+1−Xn∣Fn))=0E\big((X_{n+1} - X_n) I_{\lbrace T > n \rbrace}\big) = E\big(I_{\lbrace T > n \rbrace} E(X_{n+1} - X_n | F_n)\big) = 0E((Xn+1−Xn)I{T>n})=E(I{T>n}E(Xn+1−Xn∣Fn))=0
所以 EXT∧(n+1)=EXT∧nE X_{T \wedge (n+1)} = E X_{T \wedge n}EXT∧(n+1)=EXT∧n，从 n=0n = 0n=0 一步步递推上去，EXT∧n=EX0E X_{T \wedge n} = E X_0EXT∧n=EX0。这条写法比逐项插条件期望短，用的还是同一个思路：把增量按 TTT 的位置切开，切出来的每一块都用鞅性消掉。T∧(n+1)−T∧n=I{T>n}T \wedge (n+1) - T \wedge n = I_{\lbrace T > n \rbrace}T∧(n+1)−T∧n=I{T>n} 这个等式本身，就是一个把停时接到指示函数上的桥。
这段证明还有一个位置要看：第一步为什么要把 T∧nT \wedge nT∧n 与 Y0,...,YkY_0,\ldots,Y_kY0,...,Yk 的关系摆清楚。T∧nT \wedge nT∧n 在 {T≤k}\lbrace T \le k \rbrace{T≤k} 上等于 TTT，在 {T>k}\lbrace T > k \rbrace{T>k} 上等于 nnn，两段各取各的值，指示函数一乘，就把两段接成了一条。这一步看着像记号游戏，实际是整条证明的枢纽：没有它，后面的条件期望插不进去。
九、两个小技巧
这一节讲的东西只有两个技巧。
一个是把处理不掉的项搬进条件。条件三就是这么来的。好处是定理仍然成立，代价是用的人要多验一条。判断一个定理的条件，可以先看它是不是这个来历：长得像一个极限、一个余项、一个尾巴趋于零，多半是证明里搬出来的，不是从问题里提出来的。看清这一点，再去想「为什么要这条」，比背下结论有用。
另一个是先按直观走，出错再回头。条件摆在那儿，不做数据调查，先看它合不合理，合理就先假设它成立，往下算。算出来矛盾，说明假设错了；算出来是个正常的数，说明假设对得住。定理三就是照这个用法设计的：先认 ET<∞E T < \inftyET<∞，再用矛盾与否判断。
这两个技巧在定理三、定理四上体现得最清楚。定理三把 ET<∞E T < \inftyET<∞ 摆成假设，剩下的交给一条步长条件；定理四把二次矩一致有界摆成假设，剩下的交给 P(T<∞)=1P(T < \infty) = 1P(T<∞)=1。两处都是「先认一条，再验一条」，认的那一条不好验，验的那一条好验，分工明确。
今天的内容就这两块。一块是分析，看条件怎么来的；一块是证明，看那个 1 怎么分解、条件期望插在哪儿。定理写在纸上只有条件和结论两行，怎么来的、为什么偏偏是这三条、证明里哪一步最难，都在推导过程里。