【算法拾光】二分查找｜有序数组中的单一元素 + 寻找两个正序数组的中位数

题目 1：有序数组中的单一元素

题目分析

给你一个仅由整数组成的有序数组，其中每个元素都会出现两次，唯有一个数只会出现一次。要求找出只出现一次的那个数，并且时间复杂度 \(O(logn)\)、空间 \(O(1)\)。例：nums = [1,1,2,3,3,4,4,8,8]，答案是 2。核心：配对结构天然形成二段性 ------ 单数之前的元素都是「偶数下标与下一个相同」（成对出现），单数之后全部错位。利用这个性质二分。

前提：数组下标从 0 开始，成对出现的元素满足 nums[2k] == nums[2k+1]；单数出现后，这个规律被打破。

算法原理

利用「成对元素」的错位来判断单数在左还是右：

区间 [0, n-1]，n 是数组长度（必为奇数）
取 mid，判断 mid 的奇偶性来配对：
- 若 mid 是偶数，正常配对是 nums[mid] == nums[mid+1]
- 若 mid 是奇数，正常配对是 nums[mid] == nums[mid-1]
- 统一判断：若 nums[mid] == nums[mid ^ 1]（异或 1 在奇偶间切换配对下标），说明单数在右侧 → left = mid + 1
- 否则说明左侧配对已错位，单数在左侧 → right = mid
循环 left < right，结束返回 nums[left]

技巧：用 mid ^ 1 拿到配对下标，奇偶统一处理，代码最简洁。

代码编写

cpp 复制代码

int singleNonDuplicate(vector<int>& nums) {
    int left = 0, right = nums.size() - 1;
    while(left < right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if(nums[mid] == nums[mid ^ 1]) {
            left = mid + 1;   // 配对正常，单数在右侧
        } else {
            right = mid;      // 配对错位，单数在左侧
        }
    }
    return nums[left];
}

总结

本题利用奇偶配对 构造二段性：配对正常则单数在后，错位则单数在前。mid ^ 1 是处理配对下标的经典小技巧，配合 left < right 模板，O (logn) 解决。面试中偏中等，逻辑新颖。

题目 2：寻找两个正序数组的中位数

链接：4. 寻找两个正序数组的中位数 - 力扣（LeetCode）

题目分析

给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。要求找出并返回这两个正序数组的中位数 ，算法的时间复杂度应该为 \(O(log(m+n))\)。例：nums1 = [1,3], nums2 = [2]，中位数 2.0。核心：要求 O (log (m+n))，必须二分。中位数本质是把两个数组合并后处于中间位置的值；我们通过在较短数组上二分分割点，使左右两部分元素个数均衡且满足「左半最大值 ≤ 右半最小值」，从而 O (log (min (m,n))) 求出中位数。

这是二分系列最难的题之一，也是面试高频压轴，务必吃透。

算法原理

在较短数组上二分分割点，利用划分 + 交叉比较：

设较长 / 较短数组。始终让 nums1 是较短的那个（保证 left 循环边界正确），m ≤ n
二分 nums1 的分割点 i（左边有 i 个元素），则 nums2 分割点 j = (m+n+1)/2 - i，保证左半总元素数固定
每次检查是否满足交叉条件：
- 若 nums1[i-1] > nums2[j]：nums1 左半太大，i 要左移 → right = i - 1
- 否则：当前划分合法，记录边界，i 向右试探 → left = i + 1
循环结束后，根据边界计算中位数：
- 总数为奇数：中位数 = 左半最大值
- 总数为偶数：中位数 = (左半最大值 + 右半最小值) / 2
边界处理：用 INT_MIN / INT_MAX 处理 i=0、i=m、j=0、j=n 的越界情况

核心难点：理解划分如何保证「左半元素个数 = 右半元素个数（或左多一个）」，以及交叉比较如何驱动二分收敛。

代码编写

cpp 复制代码

double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
    if(nums1.size() > nums2.size()) swap(nums1, nums2);
    int m = nums1.size(), n = nums2.size();
    int totalLeft = (m + n + 1) / 2;
    int left = 0, right = m;
    while(left <= right) {
        int i = left + (right - left) / 2;
        int j = totalLeft - i;
        int nums1LeftMax  = (i == 0) ? INT_MIN : nums1[i - 1];
        int nums1RightMin = (i == m) ? INT_MAX : nums1[i];
        int nums2LeftMax  = (j == 0) ? INT_MIN : nums2[j - 1];
        int nums2RightMin = (j == n) ? INT_MAX : nums2[j];

        if(nums1LeftMax > nums2RightMin) {
            right = i - 1;   // nums1 左半太大，i 左移
        } else {
            left = i + 1;    // 划分合法，继续试探
        }
    }
    // 循环结束后，用最终合法划分计算中位数
    int i = left;
    int j = totalLeft - i;
    int nums1LeftMax  = (i == 0) ? INT_MIN : nums1[i - 1];
    int nums1RightMin = (i == m) ? INT_MAX : nums1[i];
    int nums2LeftMax  = (j == 0) ? INT_MIN : nums2[j - 1];
    int nums2RightMin = (j == n) ? INT_MAX : nums2[j];
    int leftMax  = max(nums1LeftMax, nums2LeftMax);
    int rightMin = min(nums1RightMin, nums2RightMin);
    if((m + n) % 2 == 1) return leftMax;
    return (leftMax + rightMin) / 2.0;
}

总结

本题是二分查找的巅峰题：通过在短数组上二分分割点 + 固定总数划分 + 交叉比较 ，达到 O (log (min (m,n)))。四个边界用 INT_MIN/INT_MAX 兜底，奇偶分情况求中位数。理解「划分点把两个数组合并成左右两半且左半数量固定」是突破关键。

本篇总结

本篇两道题把二分从「查找」推向「划分」：

有序数组中的单一元素：用奇偶配对构造二段性，mid ^ 1 找配对，新颖且简洁
寻找两个正序数组的中位数：二分的最高阶 ------划分型二分，在短数组上二分分割点，交叉比较驱动收敛，O (log (min (m,n)))

到这里二分系列已经覆盖完整：普通二分、左右边界、二分答案、布尔二段性、无序 / 旋转数组、奇偶配对、划分型中位数。核心始终是 ------只要数据具有「二段性」就能二分。