测试技术：测试装置的基本特性（静态特性 · 动态特性 · 传递函数 · 频率响应 · 一阶系统）

课堂内容整理。本讲是"测试装置特性"这一章的开篇与主体，前半段从冲激函数与采样收尾信号分析，后半段进入装置特性。

文中公式统一采用行内数学写法；课堂口述与教材符号不一致、或录音模糊处，均标注【以教材为准】。

一、这节课讲了什么

这一讲可以分成两半，转折点在 28 分钟左右。

**前半段（10--28 分）**是信号分析的收尾：傅里叶变换的几个性质（对称性、时间尺度变换、正弦余弦的变换对）、单位冲激函数 的性质、周期冲激串 （梳状函数）及其变换、采样。老师在这里反复提醒一句话："冲激函数在后面经常看到，一定要清楚它是干什么的。"

**后半段（28--110 分）**才是本讲的主体------测试装置的基本特性。老师用一个问题把它引出来：

我们要测量某个量，就要挑一个合适的测量装置，或者自己设计一个。对装置最重要的要求是什么？一定是要能够准确地捕捉到这些被测量的变化，你不能失真。如果物理量的变化是一二三四，你捕捉到的一定要是一二三四，不能捕捉成一三五七。

从这个"不失真"的要求出发，整节课就在回答一个问题：装置靠什么保证不失真？ 答案分两层：

输入不随时间变化 时，靠静态特性（线性度、灵敏度、回程误差、分辨力、零点漂移）；
输入随时间变化 时，靠动态特性（传递函数、频率响应、一阶/二阶系统）。

整堂课的推进顺序：

时段	内容
10--28 分	傅里叶变换性质、冲激函数、周期冲激串、采样
28--34 分	测试装置的四大特性、线性化假设
34--44 分	静态标定、静态特性五指标
44--57 分	动态特性：常系数线性微分方程 → 传递函数
57--70 分	频率响应、幅频特性与相频特性
70--75 分	伯德图与奈奎斯特图
75--110 分	一阶系统与二阶系统的传递函数与频率特性

二、核心结论速览

测试装置的特性分四类：静态特性、动态特性、负载特性、抗干扰特性。
静态特性：输入不随时间变化时的输入---输出关系。
动态特性 ：输入随时间变化时，装置能否完整、不失真地复现输入。
负载特性 ：装置接入后，会不会反过来影响被测量的值（比如电压表内阻分流）。
抗干扰特性：外界干扰（温度、电磁场）会不会改变测量结果。
教材做了一个关键简化：把非线性、时变的参数都当作常数处理 ，于是系统变成常系数线性系统，可以用微分方程描述。
静态标定的本质是"只改变一个输入量、其他条件全部保持不变"的实验过程。
静态特性五指标：线性度、灵敏度、回程误差、分辨力、零点漂移。
线性度 用实际曲线与理想直线的最大偏差相对于满量程的百分比表示；理想直线一般用最小二乘法拟合。
回程误差 （滞差）是正行程与反行程两条曲线之间的最大差值------同一个输入，正着走和反着走输出不一样。
灵敏度 是输出变化量与输入变化量之比，即理想直线的斜率，有量纲。
分辨力是能引起输出可察觉变化的最小输入变化量。
常系数线性系统的输入输出关系是常系数线性微分方程 ；在零初始条件 下取拉普拉斯变换，得到传递函数 H(s)=Y(s)/X(s)H(s) = Y(s)/X(s)H(s)=Y(s)/X(s)。
传递函数只描述传输特性，不区分物理系统是机械的、电的还是液压的------"我只看你的传输特性是什么样子"。
令 s=jωs = j\omegas=jω，传递函数变成频率响应 H(jω)H(j\omega)H(jω)，它是个复数，包含幅值和相位两部分。
幅频特性 A(ω)=∣H(jω)∣A(\omega) = \lvert H(j\omega) \rvertA(ω)=∣H(jω)∣ 描述幅值随频率的变化；相频特性 φ(ω)\varphi(\omega)φ(ω) 描述相位差随频率的变化。
一阶系统 H(s)=1τs+1H(s) = \frac{1}{\tau s + 1}H(s)=τs+11，A(ω)=11+(ωτ)2A(\omega) = \frac{1}{\sqrt{1+(\omega\tau)^2}}A(ω)=1+(ωτ)2 1，φ(ω)=−arctan⁡(ωτ)\varphi(\omega) = -\arctan(\omega\tau)φ(ω)=−arctan(ωτ)。
时间常数 τ\tauτ 是一阶系统的核心参数 ：τ\tauτ 越小，响应越快、工作频带越宽。
串联系统传递函数相乘，并联系统传递函数相加；任何高阶系统都可以分解为一阶、二阶环节的组合。
不失真测量的条件：幅频特性为常数、相频特性为过原点的直线（即相位与频率成正比）。

三、知识结构树

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测试装置的基本特性
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+-- A 前提：不失真
|   +-- A1 物理量变化 1-2-3-4，输出必须也是 1-2-3-4
|   `-- A2 不能捕捉成 1-3-5-7（失真）
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+-- B 四大特性
|   +-- B1 静态特性：输入不随时间变
|   +-- B2 动态特性：输入随时间变
|   +-- B3 负载特性：装置接入会不会改变被测值
|   `-- B4 抗干扰特性：外界干扰会不会影响结果
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+-- C 静态特性（五个指标）
|   +-- C1 线性度：与理想直线的最大偏差 / 满量程
|   +-- C2 灵敏度：输出变化 / 输入变化 = 斜率
|   +-- C3 回程误差：正行程与反行程的最大差
|   +-- C4 分辨力：能察觉的最小输入变化
|   `-- C5 零点漂移：输入为零时输出随时间漂移
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+-- D 动态特性
|   +-- D1 常系数线性微分方程
|   +-- D2 传递函数 H(s) = Y(s) / X(s)
|   +-- D3 频率响应 H(jw)：s 换成 jw
|   |     +-- 幅频特性 A(w)
|   |     `-- 相频特性 phi(w)
|   +-- D4 图示：伯德图（对数坐标）/ 奈奎斯特图（实虚部）
|   `-- D5 典型环节
|         +-- 一阶：H = 1 / (tau s + 1)
|         `-- 二阶：H = wn^2 / (s^2 + 2 zeta wn s + wn^2)
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`-- E 结论：不失真条件
    +-- E1 幅频特性 = 常数
    `-- E2 相频特性 = 过原点的直线

四、知识点详解

4.1 为什么先讲"不失真"

老师在进入正题前，先把整章的目标说清楚了。原话大意：

我们选测量装置、或者自己设计测量装置，有一个最重要的要求------一定要能够准确地捕捉到这些被测量的变化，你不能失真。如果物理量的变化是一二三四，你捕捉到的一定是一二三四，不能捕捉成三五七。

然后他补充了一个容易混淆的区分：

我们只是强调你能不能准确地 呈现出来，并没有说你要及时地呈现出来，这是两个不同的概念。

这个区分很关键：

准确（不失真）------波形形状对，幅值比例对，各频率成分的相位关系对；
及时（实时）------输出在时间上不滞后。

一个装置可以"准确但不及时"：比如今天测的信号，明天才把完整波形画出来，波形本身完全对得上，这就叫准确但不及时。测试技术关心的是前者。

课堂举的例子很生动："比如说测量一个物理量，就算你哪怕（很小心），可能今天测了一下，你会一直站在那边，它可能都会有略微的变化......我们很少会有一个持续稳定不变的物理量。"

这句话是为后面埋伏笔：现实中的被测物理量几乎都是随时间变化的，所以静态特性只是基础，真正要解决的是动态特性。

4.2 测试装置的四大特性

特性	定义	典型问题
静态特性	输入不随时间变化时，装置的输入---输出关系	每次输入都是 1，输出是不是每次都是同一个值？
动态特性	输入随时间变化时，装置能否完整复现输入	输入是正弦波，输出还是不是正弦波？幅值和相位变了多少？
负载特性	装置接入后反过来影响被测量的程度	电压表内阻会不会分流，把被测电压拉低？
抗干扰特性	外界干扰（温度、电磁场）对测量结果的影响	今天 80 ℃ 测、明天 30 ℃ 测，结果会不会不一样？

负载效应的直观解释（课堂原话）："比如说我们现在电压值是 5，我们这个装置（接入后）有些（电流），直接把这个电压值影响了......你这个测量装置装上去的，会不会影响到我们的测量值？"

这是测试中非常容易被忽略的一点：测量本身会改变被测对象。理想测量要求装置"无侵入"，实际中只能尽量减小侵入。

抗干扰的直观解释（课堂原话）："同样一个输入，今天我在 80 度的温度下测，明天我在 30 度的温度下测，结果会不会不一样？如果是会产生不一样的结果的话，说明这个温度的变化在干扰我们的测量结果。"

主要干扰源：温度、电场、电磁场、接地不当。

4.3 线性化假设：为什么能把复杂系统当线性处理

这是本章的方法论前提，也是老师特意停下来讲的一段。

现实中的测试装置几乎都是非线性 的（比如弹簧的力---位移关系在大变形时不线性），而且参数还会随时间变化（比如温漂）。如果按非线性、时变系统处理：

"你去解这个非线性的话，一方面是非常难解，另一方面你也很难清楚去描述我们的动态特性它的一些特征。"

所以教材做了一个很大的简化：

"我们的教材做了一个很大的改善，就是假设......这些非线性的参数以及随时间变化的参数，都是固定不变的，去考虑我们的参数。那么这样我们的动态特性就是一个（常系数）线性的模式。"

简化之后：

输入输出关系变成常系数线性微分方程；
可以用拉普拉斯变换求解；
可以定义传递函数；
系统的"特性"只由方程的系数决定，与输入无关。

必须记住 ：后面介绍的所有模型（传递函数、频率响应、一阶/二阶系统）都建立在这个线性化假设之上。老师原话："所以一定要记住，我们（后）面介绍到的各种（数学）模型，都是基于这个（假设）。"

4.4 静态标定

静态标定是在静态条件下，用实验方法确定装置输入---输出关系的过程。

关键要求只有一条：只改变一个输入量，其他条件全部保持不变。

课堂原话："静态标定实际上它是一个实验的过程......你去标定它的时候，你要如何控制，只能改变一个输入量，然后一个输入量改变了输出的一个量，就我们的这个标定（曲线）出现。"

比如要标定一个测电压的装置，就要保证温度、湿度、电源电压、安装位置全部不变，只改变被测电压，记录对应的输出。

为什么必须这样 ：因为如果有两个量同时在变，你就分不清输出变化是哪一个引起的。这正是"静态"二字的含义------其他一切都静止，只让一个量动。

标定得到的曲线，就是后续计算五个静态指标的依据。

4.5 静态特性五指标

4.5.1 线性度

定义：实际输入---输出曲线与理想直线的最大偏差，相对于满量程输出的百分比。

eL=±ΔmaxYFS×100%e_L = \pm \frac{\Delta_{max}}{Y_{FS}} \times 100\%eL=±YFSΔmax×100%

其中 Δmax\Delta_{max}Δmax 为实际曲线与理想直线的最大偏差，YFSY_{FS}YFS 为满量程输出。

理想直线怎么定：课堂讲了两种方法：

端点连线法：把实测的最大点和最小点连一条直线；
最小二乘法：用最小二乘拟合出一条直线。

课堂原话："一种是你找一下你测出来的这个最大（点）和你这个最小（点），两点之间连一下得到这条直线。那么还有一种方法，就是用我们的最小二乘法拟合出来这条直线。目前来说比较（常用）的方式，就是用最小二乘法拟合出来这条（蓝）色的线。"

为什么实际曲线不是直线：课堂用散点图讲过------输入 0.1 输出一个点、输入 0.2 输出一个点，这些点"不会是一个很完美的直线"，总会围绕某条直线上下波动。线性度就是衡量这个波动有多大。

4.5.2 灵敏度

定义：输出变化量与输入变化量之比，也就是理想直线的斜率。

S=ΔyΔx=dydxS = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{dy}{dx}S=ΔxΔy=dxdy

课堂原话："第二个是（灵敏度），（就是）所引起的输出的变化，使用理想直线的一个斜率（来）测量。"

两个要点：

灵敏度有量纲。如果输入是温度（℃）、输出是电压（mV），那灵敏度的单位就是 mV/℃。课堂原话："那么灵敏度它是有量纲的。"
线性系统的灵敏度是常数；非线性系统的灵敏度随工作点变化，此时灵敏度是导数 dydx\frac{dy}{dx}dxdy。

4.5.3 回程误差（滞差）

定义：同一输入量下，正行程 （输入由小到大）与反行程（输入由大到小）两条输出曲线的最大差值。

eh=ΔhmaxYFS×100%e_h = \frac{\Delta h_{max}}{Y_{FS}} \times 100\%eh=YFSΔhmax×100%

课堂讲得很清楚："维（回）程误差就是我们的一个（滞差）......是描述我们测量（装置）输入变化方向有关的一个特性。"

举例（课堂原话）："举例说，（从）二次到四，跟从四次到二，你得到的是两个不同的结果。那么这两个结果之间，就是这两条曲线......这两条曲线之间，最大的一个差值就是我们的（回）程误差。"

为什么会有回程误差 ：源于装置内部的弹性滞后、磁滞、机械间隙、摩擦等不可逆因素。理想情况下无论正走反走，同一个输入应该给同一个输出；实际中会分叉成两条曲线。

回程误差是"方向相关"的------这是它和线性度的本质区别：线性度看的是"偏离直线多远"，回程误差看的是"正反两个方向差多少"。

4.5.4 分辨力

定义：能引起输出产生可察觉变化的最小输入变化量。

课堂原话："分辨力的话，就是我们引起测量（装置）的（输出）产生一个可（察觉的）变化，或者说（能）察解到变化的一个最小的输入量。"

课堂举的例子很实在："你这个温度改变了 0.1，我这个（仪器）不能够体现出来这 0.1，那么有的（仪器）它稍微差了一点点，你改变 0.1 它体现不出来，你只有改变 1 的时候它才能体现出来，所以这个就是一个分辨力（的差别）。"

分辨力 vs 灵敏度：灵敏度是"斜率有多大"，分辨力是"最小能分辨多少"。一个装置可以灵敏度很高（斜率陡），但分辨力差（噪声大，小变化被淹没）。

4.5.5 零点漂移

定义：输入为零（或为某恒定值）时，输出随时间或环境条件缓慢变化的现象。

课堂把它归为"比较简单"的一项，但它是长时间测量中最麻烦的问题：因为漂移是缓慢的，很难和被测信号的慢变成分区分开。

4.6 动态特性：常系数线性微分方程

进入动态特性，老师先说明为什么静态特性不够用：

"我们很少会有一个持续稳定不变的物理量，所以静态特性更多的是用来（描述）这个测量（装置）本身的一些特性。而我们实际去测量的物理量，一般来说都是随时间会发生一定变化的，比如你去（测）某个（信号），它肯定是呈现（周期性）的变化。因此我们就需要用动态特性的分析。"

在 4.3 的线性化假设下，装置的输入 x(t)x(t)x(t) 与输出 y(t)y(t)y(t) 满足常系数线性微分方程：

andnydtn+an−1dn−1ydtn−1+⋯+a1dydt+a0y=bmdmxdtm+⋯+b1dxdt+b0xa_n \frac{d^n y}{dt^n} + a_{n-1}\frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}} + \dots + a_1 \frac{dy}{dt} + a_0 y = b_m \frac{d^m x}{dt^m} + \dots + b_1 \frac{dx}{dt} + b_0 xandtndny+an−1dtn−1dn−1y+⋯+a1dtdy+a0y=bmdtmdmx+⋯+b1dtdx+b0x

课堂对这个式子的评价是"写起来非常（复杂）"，因为两边都有多阶导数。但它有一个极大的好处：系数 aia_iai、bjb_jbj 都是常数，与时间无关，也与输入无关。所以这个方程完全刻画了装置本身的特性。

4.7 传递函数

对上面的微分方程在零初始条件下取拉普拉斯变换，把微分变成代数：

H(s)=Y(s)X(s)=bmsm+bm−1sm−1+⋯+b1s+b0ansn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{b_m s^m + b_{m-1}s^{m-1} + \dots + b_1 s + b_0}{a_n s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \dots + a_1 s + a_0}H(s)=X(s)Y(s)=ansn+an−1sn−1+⋯+a1s+a0bmsm+bm−1sm−1+⋯+b1s+b0

三个要点：

（1）零初始条件是前提

课堂特别提醒："如果初始条件不为零的话，它会（多出）......因为我们的初始条件是为零的。"

零初始条件意味着系统在 t=0t=0t=0 之前处于静止、无储能状态。这样才能把微分方程纯粹地转成代数方程，传递函数才只反映系统本身。

（2）传递函数只描述"传输特性"，不区分物理系统

课堂这段话很精辟：

"这个 H(s)H(s)H(s)，它实际上是我们的（物理）系统的一个（数学）描述方式。它只是来描述你这个传输特性的，而不是来描述你这个（具体物理）过程的。你是（力）学的过程也好、动力的过程也好、电力的过程也好，我区分你到底是哪一个不重要，我只看你的传输特性是什么样子。你是传输特性是一阶的还是二阶的之类。"

也就是说：一个弹簧---质量系统和一个 RC 电路，只要微分方程形式相同，传递函数就相同，动态特性就完全一样。这是"相似系统"的理论基础，也是测试技术能跨领域通用的原因。

（3）sss 是复数，不直观

课堂指出的问题："传递函数 H(s)H(s)H(s) 它是一个（复变函数），它是一个复数，如果我们输出在一个复数里面，也不好理解。虽然我们把刚才的微分方程给它转换成（代数方程），但是由于 sss 本身是个复数，我们得到的是一个复数（表达式），（不好）用（实验）标准（去）测出来你这个（传递函数）到底是多少。"

解决办法：令 s=jωs = j\omegas=jω（即把复变量限制在虚轴上），拉普拉斯变换就退化成傅里叶变换 ，得到频率响应。

4.8 频率响应

令 s=jωs = j\omegas=jω 代入传递函数：

H(jω)=Y(jω)X(jω)H(j\omega) = \frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}H(jω)=X(jω)Y(jω)

H(jω)H(j\omega)H(jω) 是一个复数，可以写成：

H(jω)=A(ω)ejφ(ω)H(j\omega) = A(\omega) e^{j\varphi(\omega)}H(jω)=A(ω)ejφ(ω)

其中：

幅频特性 A(ω)=∣H(jω)∣A(\omega) = \lvert H(j\omega) \rvertA(ω)=∣H(jω)∣ ------输出与输入的幅值比随频率的变化；
相频特性 φ(ω)=∠H(jω)\varphi(\omega) = \angle H(j\omega)φ(ω)=∠H(jω) ------输出相对输入的相位差随频率的变化。

两者合起来叫频率特性。

为什么频率响应这么重要 ：课堂讲了它的物理意义------对定常线性系统 ，输入简谐信号，输出仍然是同频率的简谐信号，只是幅值和相位变了。

"对于我们的一个常系数线性的系统而言，我们输入进去的如果是一个简谐的信号，那么我们输出的也会是一个简谐的信号......虽然都是简谐信号，形式也没有变，但是我们的幅值是不是发生了改变，同时我们的相位是不是也发生了变化。"

这个性质极其有用，因为：

周期信号可以分解成一系列简谐信号（傅里叶级数）；
非周期信号也可以分解成简谐信号的叠加（傅里叶变换）。

所以只要知道系统对每一个频率 简谐信号的幅值比和相位差，就能推出它对任意信号的响应。这就是"频率响应"成为测试技术核心工具的原因。

课堂原话："虽然说是（针对）简谐信号，但是在第一章和第二章当中，无论是周期信号还是非周期信号，我们都可以转换成多个简谐信号......因为周期信号可以由傅里叶级数展开，非周期信号都可以由傅里叶变换展开。"

一个必须注意的细节 ：课堂特意提醒，测频率特性时要等系统稳定。

"最近在（做频率特性）测验的时候，一定要给它稳定下来，稳定输入、稳定输出，一定要稳定下来......没有稳定下来的时候，它的测量值可能会略微（偏）一点点。"

也就是说，频率响应描述的是稳态的幅值比和相位差，不是瞬态过程。如果读数时系统还在振荡，测出来的就不是真正的频率特性。

4.9 伯德图与奈奎斯特图

频率响应可以用图表示，课堂讲了两张图。

（1）伯德图（对数频率特性图）

把频率 ω\omegaω 取对数作横坐标，幅值比取 20lg⁡A(ω)20\lg A(\omega)20lgA(ω)（单位 dB）作纵坐标，相位差作另一张图的纵坐标。

为什么要取对数（课堂原话）：

"取对数有什么好处？就是（把坐标）缩小嘛......如果要把 100 也（画）过来，那横坐标非常非常的长。但是我们取了（对数）之后，它这个横坐标就缩短了。"

一句话：对数坐标把跨越好几个数量级的频率压缩到一张图上，同时把"串联相乘"变成"相加"，便于手工作图和分析。

（2）奈奎斯特图（极坐标图）

把 H(jω)H(j\omega)H(jω) 直接画在复平面上：横坐标是实部，纵坐标是虚部。频率 ω\omegaω 作为参变量从 000 变到 ∞\infty∞，画出的一条曲线。

课堂原话："（奈奎斯特图）其实就是一个（极坐标）的做法，它其实只有（实部和虚部）......所以这个坐标来讲，它也没有什么特殊的地方。大家知道这两张图，有这么两张图，其实他们到底是在讲什么（就行）。"

4.10 一阶系统

（1）微分方程与传递函数

一阶系统最一般的形式是：

a1dydt+a0y=b0xa_1 \frac{dy}{dt} + a_0 y = b_0 xa1dtdy+a0y=b0x

两边同除以 a0a_0a0，并令 τ=a1/a0\tau = a_1 / a_0τ=a1/a0、K=b0/a0K = b_0 / a_0K=b0/a0：

τdydt+y=Kx\tau \frac{dy}{dt} + y = K xτdtdy+y=Kx

取拉普拉斯变换（零初始条件）：

H(s)=Kτs+1H(s) = \frac{K}{\tau s + 1}H(s)=τs+1K

归一化 （取 K=1K=1K=1）后就是最常见的形式：

H(s)=1τs+1H(s) = \frac{1}{\tau s + 1}H(s)=τs+11

τ\tauτ 叫时间常数 ，单位是秒，是一阶系统唯一的特征参数。

（2）频率响应

令 s=jωs = j\omegas=jω：

H(jω)=11+jωτH(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega\tau}H(jω)=1+jωτ1

幅频特性（分子分母取模）：

A(ω)=11+(ωτ)2A(\omega) = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega\tau)^2}}A(ω)=1+(ωτ)2 1

相频特性（分母的辐角取负）：

φ(ω)=−arctan⁡(ωτ)\varphi(\omega) = -\arctan(\omega\tau)φ(ω)=−arctan(ωτ)

（3）三个关键频段的性质

频段	条件	幅值比	相位差	物理意义
低频段	ωτ≪1\omega\tau \ll 1ωτ≪1	A≈1A \approx 1A≈1	φ≈0\varphi \approx 0φ≈0	幅值不失真、相位不滞后，理想工作区
转折频率	ωτ=1\omega\tau = 1ωτ=1	A=1/2≈0.707A = 1/\sqrt{2} \approx 0.707A=1/2 ≈0.707	φ=−45°\varphi = -45°φ=−45°	幅值降到 70.7%（−3 dB），相位滞后 45°
高频段	ωτ≫1\omega\tau \gg 1ωτ≫1	A≈1/(ωτ)A \approx 1/(\omega\tau)A≈1/(ωτ)	φ→−90°\varphi \to -90°φ→−90°	幅值急剧衰减，跟不上输入

转折频率 （也叫截止频率）ωc=1/τ\omega_c = 1/\tauωc=1/τ 是一阶系统的带宽边界：低于它，装置基本能如实复现；高于它，幅值迅速衰减。

（4）时间常数 τ\tauτ 的意义

一阶系统的阶跃响应：

y(t)=1−e−t/τy(t) = 1 - e^{-t/\tau}y(t)=1−e−t/τ

几个特征时刻：

时间	输出达到稳态值的比例
t=τt = \taut=τ	63.2%
t=2τt = 2\taut=2τ	86.5%
t=3τt = 3\taut=3τ	95.0%
t=4τt = 4\taut=4τ	98.2%
t=5τt = 5\taut=5τ	99.3%

工程上常把 3τ3\tau3τ 或 4τ4\tau4τ 作为"响应基本完成"的时间。

结论：τ\tauτ 越小 → 响应越快 → 转折频率越高 → 工作频带越宽。但 τ\tauτ 往往由装置的物理结构决定（比如热电偶的热惯性），不能随意减小。这就是为什么"快速测温"要用细丝热电偶。

4.11 二阶系统

二阶系统的传递函数（归一化形式）：

H(s)=ωn2s2+2ζωns+ωn2H(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}H(s)=s2+2ζωns+ωn2ωn2

两个特征参数：

ωn\omega_nωn ------ 固有频率（无阻尼自然频率）；
ζ\zetaζ ------ 阻尼比。

频率响应：

A(ω)=1(1−(ω/ωn)2)2+(2ζω/ωn)2A(\omega) = \frac{1}{\sqrt{(1 - (\omega/\omega_n)^2)^2 + (2\zeta \omega/\omega_n)^2}}A(ω)=(1−(ω/ωn)2)2+(2ζω/ωn)2 1

φ(ω)=−arctan⁡2ζω/ωn1−(ω/ωn)2\varphi(\omega) = -\arctan\frac{2\zeta \omega/\omega_n}{1 - (\omega/\omega_n)^2}φ(ω)=−arctan1−(ω/ωn)22ζω/ωn

二阶系统的关键特征：

ζ\zetaζ 范围	系统性质	阶跃响应表现
ζ=0\zeta = 0ζ=0	无阻尼	等幅振荡，永不停止
0<ζ<10 < \zeta < 10<ζ<1	欠阻尼	振荡衰减，有超调（测试装置通常取 ζ=0.6∼0.8\zeta = 0.6 \sim 0.8ζ=0.6∼0.8）
ζ=1\zeta = 1ζ=1	临界阻尼	无超调，最快到达稳态
ζ>1\zeta > 1ζ>1	过阻尼	无超调，但响应慢

课堂对二阶系统的态度很实在："二阶函数虽然也很重要，但是二阶它（涉及）的公式实在是太麻烦了......（一阶）上实在是有点麻烦，二阶的话应该是（更麻烦），所以我们做的也就算在一阶上面。"

也就是说：一阶系统必须会算，二阶系统掌握定性规律即可。

4.12 串联与并联

多个环节组合时：

连接方式	传递函数关系	记忆
串联	H(s)=H1(s)H2(s)⋯Hn(s)H(s) = H_1(s) H_2(s) \cdots H_n(s)H(s)=H1(s)H2(s)⋯Hn(s)	相乘
并联	H(s)=H1(s)+H2(s)+⋯+Hn(s)H(s) = H_1(s) + H_2(s) + \cdots + H_n(s)H(s)=H1(s)+H2(s)+⋯+Hn(s)	相加

课堂原话："两个（环节）如果串在一起，它是相乘的......如果是并联在一起，它就是相加的。这个也有意思，比如串联是相乘的，并联是相加的。"

推论：任何高阶传递函数都可以分解为若干一阶和二阶环节的串联或并联。课堂原话："我们任何一个高阶的，它是不是都可以写成一（阶）二阶的组合呢？我们高阶的（传递）函数都可以写成一阶二阶的相乘也好、相加也好。"

这就是为什么教材只详细讲一阶和二阶------高阶不过是它们的组合。

4.13 不失真测量的条件

把前面所有内容收拢，得到本章的结论：理想的测量装置应该满足什么条件，才能做到不失真？

设输入 x(t)x(t)x(t) 的频谱为 X(ω)X(\omega)X(ω)，输出 y(t)y(t)y(t) 的频谱为 Y(ω)Y(\omega)Y(ω)。不失真意味着输出只是输入的延迟 + 放大：

y(t)=A0x(t−t0)y(t) = A_0 x(t - t_0)y(t)=A0x(t−t0)

频域上：

Y(ω)=A0X(ω)e−jωt0Y(\omega) = A_0 X(\omega) e^{-j\omega t_0}Y(ω)=A0X(ω)e−jωt0

所以：

H(jω)=Y(ω)X(ω)=A0e−jωt0H(j\omega) = \frac{Y(\omega)}{X(\omega)} = A_0 e^{-j\omega t_0}H(jω)=X(ω)Y(ω)=A0e−jωt0

两个条件：

条件	数学表述	物理意义
幅频特性为常数	A(ω)=A0A(\omega) = A_0A(ω)=A0（与 ω\omegaω 无关）	各频率成分的幅值按同一比例放大/缩小，波形比例不变
相频特性为过原点的直线	φ(ω)=−ωt0\varphi(\omega) = -\omega t_0φ(ω)=−ωt0（与 ω\omegaω 成正比）	各频率成分延迟相同的时间，波形形状不变

为什么相位必须线性 ：如果不同频率的延迟时间不同，那么原本同时到达的各成分会错开，叠加出来的波形就变形了。相位非线性 = 波形失真，这一点常被忽视。

工程上的近似 ：实际装置不可能在全频段满足这两个条件，只能在一定频带内 近似满足。这个频带就是装置的工作频带（通频带），由一阶系统的转折频率或二阶系统的谐振频率决定。

五、例题与解题方法汇总

例题一：一阶系统频率特性的计算

题目

某测温装置可近似为一阶系统，时间常数 τ=0.05\tau = 0.05τ=0.05 s。用它测量频率为 f=3.18f = 3.18f=3.18 Hz 的正弦变化温度。

（1）求该频率下的幅值比和相位差；

（2）若要求幅值误差不超过 5%，该装置能测的最高频率是多少？

解

（1）求 ω\omegaω 与 ωτ\omega\tauωτ

ω=2πf=2π×3.18=20\omega = 2\pi f = 2\pi \times 3.18 = 20ω=2πf=2π×3.18=20 rad/s

ωτ=20×0.05=1.0\omega\tau = 20 \times 0.05 = 1.0ωτ=20×0.05=1.0

（2）求幅值比

A=11+(ωτ)2=11+1=12≈0.707A = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega\tau)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707A=1+(ωτ)2 1=1+1 1=2 1≈0.707

即输出幅值只有输入幅值的 70.7% ，幅值误差达 29.3%------严重失真。

（3）求相位差

φ=−arctan⁡(ωτ)=−arctan⁡(1)=−45°\varphi = -\arctan(\omega\tau) = -\arctan(1) = -45°φ=−arctan(ωτ)=−arctan(1)=−45°

（4）反求满足 5% 误差的最高频率

幅值误差不超过 5%，即：

A≥0.95A \ge 0.95A≥0.95

11+(ωτ)2≥0.95\frac{1}{\sqrt{1+(\omega\tau)^2}} \ge 0.951+(ωτ)2 1≥0.95

1+(ωτ)2≤10.952=1.10801 + (\omega\tau)^2 \le \frac{1}{0.95^2} = 1.10801+(ωτ)2≤0.9521=1.1080

(ωτ)2≤0.1080(\omega\tau)^2 \le 0.1080(ωτ)2≤0.1080

ωτ≤0.3287\omega\tau \le 0.3287ωτ≤0.3287

ω≤0.32870.05=6.57\omega \le \frac{0.3287}{0.05} = 6.57ω≤0.050.3287=6.57 rad/s

f≤6.572π=1.05f \le \frac{6.57}{2\pi} = 1.05f≤2π6.57=1.05 Hz

结论：该装置只能测到约 1 Hz 的温度波动；3.18 Hz 时幅值已衰减到 70.7%，不能用。

方法要点

先算 ωτ\omega\tauωτ，它是一阶系统的"万能参数"，幅值和相位都只依赖它。
ωτ=1\omega\tau = 1ωτ=1 时是转折点 ：A=0.707A = 0.707A=0.707、φ=−45°\varphi = -45°φ=−45°，这是必记的一组数。
反求频率时注意开方与不等式方向 ：A≥0.95A \ge 0.95A≥0.95 对应 1+(ωτ)2≤1/0.9521+(\omega\tau)^2 \le 1/0.95^21+(ωτ)2≤1/0.952，不等号要反过来。
单位：ω\omegaω 是 rad/s，fff 是 Hz，两者差 2π2\pi2π，这是最容易错的地方。

例题二：静态特性的指标计算

题目

对某位移传感器做静态标定，满量程输出 YFS=100Y_{FS} = 100YFS=100 mV。测得：

实际曲线与最小二乘拟合直线的最大偏差 Δmax=1.5\Delta_{max} = 1.5Δmax=1.5 mV；
正行程与反行程的最大差值 Δhmax=2.0\Delta h_{max} = 2.0Δhmax=2.0 mV；
输入变化 0.5 mm 时，输出变化 12.5 mV。

求：（1）线性度；（2）回程误差；（3）灵敏度。

解

（1）线性度

eL=ΔmaxYFS×100%=1.5100×100%=1.5%e_L = \frac{\Delta_{max}}{Y_{FS}} \times 100\% = \frac{1.5}{100} \times 100\% = 1.5\%eL=YFSΔmax×100%=1001.5×100%=1.5%

（2）回程误差

eh=ΔhmaxYFS×100%=2.0100×100%=2.0%e_h = \frac{\Delta h_{max}}{Y_{FS}} \times 100\% = \frac{2.0}{100} \times 100\% = 2.0\%eh=YFSΔhmax×100%=1002.0×100%=2.0%

（3）灵敏度

S=ΔyΔx=12.50.5=25S = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{12.5}{0.5} = 25S=ΔxΔy=0.512.5=25 mV/mm

结论：线性度 1.5%，回程误差 2.0%，灵敏度 25 mV/mm。

方法要点

线性度和回程误差都是"相对满量程的百分比" ，分母都是 YFSY_{FS}YFS，别用成当前输出值。
灵敏度有量纲，要写单位（mV/mm），不能只写数字。
回程误差通常大于线性度，因为它叠加了滞后的影响；如果算出来回程误差比线性度还小，要检查是否取错了差值。

例题三：判断装置能否满足测量要求

题目

某二阶测试装置的固有频率 fn=100f_n = 100fn=100 Hz，阻尼比 ζ=0.7\zeta = 0.7ζ=0.7。要用它测量频率为 f=50f = 50f=50 Hz 的振动信号，要求幅值误差不超过 5%。

判断该装置是否适用。

解

（1）求频率比

ωωn=ffn=50100=0.5\frac{\omega}{\omega_n} = \frac{f}{f_n} = \frac{50}{100} = 0.5ωnω=fnf=10050=0.5

（2）求幅值比

(1−0.52)2=(1−0.25)2=0.5625(1 - 0.5^2)^2 = (1 - 0.25)^2 = 0.5625(1−0.52)2=(1−0.25)2=0.5625

(2×0.7×0.5)2=0.72=0.49(2 \times 0.7 \times 0.5)^2 = 0.7^2 = 0.49(2×0.7×0.5)2=0.72=0.49

A=10.5625+0.49=11.0525=11.0259≈0.975A = \frac{1}{\sqrt{0.5625 + 0.49}} = \frac{1}{\sqrt{1.0525}} = \frac{1}{1.0259} \approx 0.975A=0.5625+0.49 1=1.0525 1=1.02591≈0.975

（3）判断

幅值误差 =1−0.975=0.025=2.5%<5%= 1 - 0.975 = 0.025 = 2.5\% < 5\%=1−0.975=0.025=2.5%<5% ✓

结论：该装置适用。

方法要点

二阶系统看的是频率比 ω/ωn\omega/\omega_nω/ωn ，不是绝对频率。工程经验：ω/ωn≤0.5∼0.6\omega/\omega_n \le 0.5 \sim 0.6ω/ωn≤0.5∼0.6 时，ζ=0.6∼0.8\zeta = 0.6 \sim 0.8ζ=0.6∼0.8 的二阶系统幅值误差可控制在 5% 以内。
ζ=0.7\zeta = 0.7ζ=0.7 是"最优阻尼比"，此时幅频特性在较宽频带内最平坦。
注意 (1−0.52)2(1 - 0.5^2)^2(1−0.52)2 的括号：是先算 1−(ω/ωn)21 - (\omega/\omega_n)^21−(ω/ωn)2 再平方，不是先平方。

四类题型对照表

题型	核心公式	最容易错的地方
一阶系统频率特性	A=1/1+(ωτ)2A = 1/\sqrt{1+(\omega\tau)^2}A=1/1+(ωτ)2 ，φ=−arctan⁡(ωτ)\varphi = -\arctan(\omega\tau)φ=−arctan(ωτ)	ω\omegaω 与 fff 差 2π2\pi2π
静态指标计算	eL=Δmax/YFSe_L = \Delta_{max}/Y_{FS}eL=Δmax/YFS，S=Δy/ΔxS = \Delta y/\Delta xS=Δy/Δx	分母用错、灵敏度漏单位
二阶系统校核	A=1/(1−r2)2+(2ζr)2A = 1/\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}A=1/(1−r2)2+(2ζr)2	括号顺序、频率比算错
不失真条件判断	AAA=常数、φ\varphiφ 线性	只查幅值不查相位

六、术语速查表

术语	含义	记忆要点
静态特性	输入不随时间变化时的输入---输出关系	基础，但不是全部
动态特性	输入随时间变化时装置复现输入的能力	实际测量的主战场
负载特性	装置接入对被测量的影响	测量会改变被测对象
抗干扰特性	外界干扰对结果的影响	温度、电磁场、接地
静态标定	只改变一个输入量的实验过程	其他条件全部不变
线性度	实际曲线偏离理想直线的程度	相对满量程的百分比
理想直线	用于比较的基准直线	最小二乘法拟合
灵敏度	输出变化与输入变化之比	斜率，有量纲
回程误差（滞差）	正行程与反行程的最大差值	与输入变化方向有关
分辨力	能引起可察觉输出的最小输入变化	与灵敏度不同
零点漂移	输入为零时输出的缓慢变化	长时间测量的大敌
常系数线性系统	微分方程系数为常数的系统	线性化假设的结果
传递函数 H(s)H(s)H(s)	零初始条件下输出与输入的拉氏变换之比	只反映系统特性
频率响应 H(jω)H(j\omega)H(jω)	传递函数中令 s=jωs=j\omegas=jω	复数，含幅值与相位
幅频特性 A(ω)A(\omega)A(ω)	输出与输入的幅值比随频率的变化	模
相频特性 φ(ω)\varphi(\omega)φ(ω)	输出相对输入的相位差随频率的变化	辐角
频率特性	幅频特性与相频特性的合称	完整描述动态特性
伯德图	对数幅频 + 对数相频图	横轴取对数，压缩量程
奈奎斯特图	复平面上的 H(jω)H(j\omega)H(jω) 轨迹	实部为横、虚部为纵
时间常数 τ\tauτ	一阶系统的特征参数	越小响应越快
转折频率 ωc\omega_cωc	ωc=1/τ\omega_c = 1/\tauωc=1/τ	幅值降到 0.707 处
固有频率 ωn\omega_nωn	二阶系统的无阻尼自然频率	谐振位置
阻尼比 ζ\zetaζ	二阶系统的阻尼程度	测试装置常取 0.6~0.8
不失真条件	幅频为常数、相频为直线	两个都要满足
冲激函数 δ(t)\delta(t)δ(t)	宽度趋于零、面积为 1 的理想脉冲	抽样特性：∫x(t)δ(t−t0)dt=x(t0)\int x(t)\delta(t-t_0)dt = x(t_0)∫x(t)δ(t−t0)dt=x(t0)
周期冲激串	间隔为 TsT_sTs 的无穷冲激序列	变换后仍是冲激串，间隔 1/Ts1/T_s1/Ts

七、课堂强调与复习重点

老师在课上反复强调或特意停下来提醒的点：

"不失真"是整章的目标------"如果物理量的变化是一二三四，你捕捉到的一定是一二三四，不能捕捉成三五七"。
准确 ≠ 及时------"我们只是强调你能不能准确地呈现出来，并没有说你要及时地呈现出来，这是两个不同的概念"。
线性化假设是所有模型的前提------"一定要记住，我们（后）面介绍到的各种模型，都是基于这个（假设）"。
静态标定只能改变一个输入量------"只能改变一个输入量，然后一个输入量改变了输出的一个量"。
灵敏度有量纲，别只写数字。
回程误差与方向有关------"描述我们测量装置输入变化方向有关的一个特性"。
传递函数只描述传输特性------"我区分你到底是哪一个不重要，我只看你的传输特性是什么样子"。
零初始条件是传递函数成立的前提。
频率响应测的是稳态------"一定要给它稳定下来，稳定输入、稳定输出......没有稳定下来的时候，它的测量值可能会略微偏一点点"。
取对数是为了压缩坐标------"如果要把 100 也画过来，那横坐标非常非常的长"。
串联相乘、并联相加------"任何高阶的都可以写成一阶二阶的组合"。
一阶必须会算，二阶掌握定性------"二阶它涉及的公式实在是太麻烦了"。

复习建议：把"四大特性 → 静态五指标 → 传递函数 → 频率响应 → 一阶系统 → 不失真条件"这条链子串一遍，重点是理解为什么 要有传递函数（把微分方程变成代数）、为什么 要用频率响应（sss 是复数不好测，jωj\omegajω 可以实验测出来）。

八、【以教材为准】待核对清单

本讲录音受板书演算影响较大，以下内容需对照教材确认：

冲激函数与周期冲激串部分。课堂逐字稿中出现"Delta 函数""苏长（梳状）函数""多季（周期）函数"等口误，本文按标准术语处理。该部分与《信号分析·非周期信号的傅里叶变换》一篇内容有重叠，本文只作简要提及，详细推导请回看那篇。
静态特性指标的个数与名称。课堂提到"线性度、灵敏度、（回程误差）、（零点漂移）、分辨力"，本文整理为五项。部分教材把"量程""重复性"也列入，请对照。
理想直线的确定方法。本文写了端点连线法与最小二乘法，教材若只讲一种，以教材为准。
一阶系统传递函数的归一化 。本文取 H(s)=1/(τs+1)H(s) = 1/(\tau s + 1)H(s)=1/(τs+1)（即 K=1K=1K=1）。若教材保留增益 KKK，则 H(s)=K/(τs+1)H(s) = K/(\tau s+1)H(s)=K/(τs+1)，幅频特性要乘 KKK。
二阶系统的阻尼比推荐值 。本文写 0.6∼0.80.6 \sim 0.80.6∼0.8，部分教材写 0.6∼0.70.6 \sim 0.70.6∼0.7，请对照。
转折频率的定义 。本文取 ωc=1/τ\omega_c = 1/\tauωc=1/τ（幅值降至 0.707 处），部分教材以 −3-3−3 dB 或 5%5\%5% 误差定义带宽，数值略有差异。
例题的原始数据。本文三道例题的数值为便于验算而自洽设定，课堂原题的数值请对照板书。
伯德图的纵坐标 。本文写 20lg⁡A(ω)20\lg A(\omega)20lgA(ω)（dB），若教材用 lg⁡A(ω)\lg A(\omega)lgA(ω) 或其他基准，以教材为准。
二阶系统频率特性公式的符号。本文相位取负号（滞后），若教材以超前为正，符号相反。
"四个函数"的说法。课堂提到"我们讲的三个函数加上一个相应的微分方程"，指传递函数、频率响应函数、脉冲响应函数与微分方程。本文未展开脉冲响应函数，如需请对照教材。

九、复习自测

一、填空题

测试装置的特性可分为静态特性、动态特性、____特性和抗干扰特性。
静态标定的关键要求是只能改变____输入量。
静态特性的五个主要指标是线性度、灵敏度、____、分辨力和零点漂移。
线性度是实际曲线与理想直线的最大偏差相对于____的百分比。
灵敏度是输出变化量与输入变化量之比，即理想直线的____。
回程误差是____与反行程两条输出曲线之间的最大差值。
能引起输出可察觉变化的最小输入变化量称为____。
在零初始条件下，输出与输入的拉普拉斯变换之比称为____。
传递函数中令 s=jωs = j\omegas=jω，得到____。
一阶系统的传递函数为 H(s)=H(s) =H(s)= ____。
一阶系统在 ωτ=1\omega\tau = 1ωτ=1 时，幅值比为____，相位差为____。
一阶系统的时间常数 τ\tauτ 越小，转折频率越____。
二阶系统的两个特征参数是固有频率和____。
串联系统的传递函数相乘，并联系统的传递函数____。
不失真测量的两个条件是幅频特性为常数、相频特性为____。

二、判断题

静态特性可以完全描述一个测试装置的动态性能。（）
静态标定时可以同时改变两个输入量，只要记录清楚即可。（）
灵敏度是一个无量纲的量。（）
回程误差与输入变化的方向有关。（）
传递函数能区分系统是机械系统还是电系统。（）
频率响应描述的是系统的稳态特性，不是瞬态过程。（）
一阶系统的时间常数越大，工作频带越宽。（）
只要幅频特性是常数，就一定能实现不失真测量。（）
任何高阶系统的传递函数都可以分解为一阶和二阶环节的组合。（）
伯德图的横坐标取对数是为了压缩频率量程。（）

三、选择题

下列指标中，与输入变化方向有关的是（）。

A. 线性度

B. 灵敏度

C. 回程误差

D. 分辨力
某测试装置接入后使被测电压下降，这属于（）的影响。

A. 静态特性

B. 负载特性

C. 抗干扰特性

D. 动态特性
一阶系统在 ωτ=1\omega\tau = 1ωτ=1 处的相位差为（）。

A. 0°0°0°

B. −45°-45°−45°

C. −90°-90°−90°

D. +45°+45°+45°
某二阶装置固有频率 100 Hz，阻尼比 0.7，测量 50 Hz 信号时的频率比为（）。

A. 0.25

B. 0.5

C. 1.0

D. 2.0
下列做法中，能使一阶测温装置响应更快的是（）。

A. 增大时间常数

B. 减小时间常数

C. 增大阻尼比

D. 提高固有频率

四、简答题

为什么教材要把非线性、时变的测试系统简化为常系数线性系统？这样做的代价是什么？
传递函数为什么必须强调"零初始条件"？
简述频率响应的物理意义，并说明为什么它能用来分析系统对任意信号的响应。
回程误差与线性度有什么区别？回程误差产生的原因是什么？
不失真测量的两个条件是什么？为什么相频特性必须是过原点的直线，只要求幅频特性为常数不行？

五、计算题

某一阶测试装置的时间常数 τ=0.02\tau = 0.02τ=0.02 s。求输入频率为 f=5f = 5f=5 Hz 时的幅值比和相位差，并判断幅值误差是否超过 10%。
某位移传感器满量程输出 200 mV，实际曲线与拟合直线的最大偏差 3 mV，正反行程最大差值 5 mV，输入 2 mm 时输出 50 mV。求线性度、回程误差和灵敏度。
某二阶测试装置 fn=200f_n = 200fn=200 Hz，ζ=0.65\zeta = 0.65ζ=0.65，测量 f=80f = 80f=80 Hz 的信号。求幅值比，并判断幅值误差是否在 5% 以内。

十、复习自测参考答案

一、填空题

负载
一个
回程误差
满量程输出
斜率
正行程
分辨力
传递函数
频率响应
1/(τs+1)1/(\tau s + 1)1/(τs+1)
0.707 、−45°-45°−45°
高
阻尼比
相加
过原点的直线

二、判断题

错。静态特性只描述输入不随时间变化时的关系，动态性能要靠动态特性。
错。只能改变一个输入量，否则无法判断输出变化由谁引起。
错。灵敏度有量纲，等于输出单位除以输入单位。
对。这是回程误差的定义特征。
错。传递函数只描述传输特性，不区分物理系统。
对。频率响应是稳态的幅值比和相位差。
错。τ\tauτ 越大，转折频率 1/τ1/\tau1/τ 越低，工作频带越窄。
错。还必须满足相频特性为过原点的直线，否则相位失真会导致波形变形。
对。这是串联/并联分解的直接推论。
对。

三、选择题

C。
B。装置接入改变了被测值，是负载效应。
B。
B 。50/100=0.550/100 = 0.550/100=0.5。
B 。τ\tauτ 越小，转折频率越高，响应越快。

四、简答题

参考答案

为什么简化：实际测试系统几乎都是非线性、时变的，直接按非线性微分方程求解，一方面数学上非常困难，另一方面即使解出来，也很难用统一的参数去描述和比较不同装置的动态特性。

简化为常系数线性系统后：微分方程变成常系数，可以用拉普拉斯变换转成代数方程，从而定义传递函数、频率响应、时间常数、阻尼比等一系列简洁的参数，装置的动态特性就可以用少数几个参数完整刻画。

代价：简化只在一定的工作范围内近似成立。当输入幅值过大（超出线性区）、环境变化剧烈（参数漂移）、或频率成分跨越多个数量级时，线性化假设失效，模型误差会显著增大。所以工程上要标明装置的量程和适用条件。

参考答案

传递函数定义为 H(s)=Y(s)/X(s)H(s) = Y(s)/X(s)H(s)=Y(s)/X(s)，这里的 Y(s)Y(s)Y(s)、X(s)X(s)X(s) 是零初始条件下的拉普拉斯变换。

如果初始条件不为零，对微分方程取拉氏变换时会多出由初始状态（y(0)y(0)y(0)、y′(0)y'(0)y′(0) 等）产生的附加项。这些附加项与输入无关，只反映系统的初始储能。此时 Y(s)/X(s)Y(s)/X(s)Y(s)/X(s) 就不再单纯等于传递函数，而是"传递函数 + 初始条件项"的混合，无法干净地反映系统本身的特性。

强调零初始条件，本质是要求系统在 t=0t=0t=0 之前处于静止、无储能状态，这样输出才完全由输入决定，传递函数才成为系统固有特性的唯一表征。

参考答案

物理意义 ：对常系数线性系统，输入简谐信号 x(t)=X0sin⁡(ωt)x(t) = X_0 \sin(\omega t)x(t)=X0sin(ωt)，输出仍是同频率的简谐信号 y(t)=Y0sin⁡(ωt+φ)y(t) = Y_0 \sin(\omega t + \varphi)y(t)=Y0sin(ωt+φ)，只是幅值变为 Y0=A(ω)X0Y_0 = A(\omega) X_0Y0=A(ω)X0，相位偏移 φ(ω)\varphi(\omega)φ(ω)。频率响应 H(jω)H(j\omega)H(jω) 就是描述这个"幅值比 A(ω)A(\omega)A(ω) 与相位差 φ(ω)\varphi(\omega)φ(ω) 随频率变化"的函数。

为什么能分析任意信号：

周期信号可以展开成傅里叶级数，即一系列不同频率简谐信号的叠加；
非周期信号可以通过傅里叶变换表示成简谐信号的积分。

由于系统是线性的，叠加原理成立 ：系统对任意信号的响应，等于它对各个频率成分响应的叠加。而每个频率成分的响应只需乘上该频率的 A(ω)A(\omega)A(ω)、加上 φ(ω)\varphi(\omega)φ(ω)。所以只要知道完整的频率响应，就能推出对任意输入的响应。

参考答案

区别：

	线性度	回程误差
比较对象	实际曲线与理想直线	正行程曲线与反行程曲线
反映的问题	非线性程度	滞后的程度
与方向的关系	无关	有关

回程误差产生的原因：装置内部的不可逆因素，主要包括：

（1）弹性滞后 ------弹性元件（弹簧管、膜片）加载与卸载时的变形不完全可逆；

（2）磁滞 ------铁磁材料的磁化与退磁路径不同；

（3）机械间隙与摩擦 ------传动链中的空程和干摩擦；

（4）材料内摩擦。

这些因素导致同一个输入值，在"从小到大"和"从大到小"两个过程中对应不同的输出，形成两条分离的曲线，其最大间距就是回程误差。

参考答案

两个条件：

（1）幅频特性为常数 ：A(ω)=A0A(\omega) = A_0A(ω)=A0，各频率成分按同一比例缩放；

（2）相频特性为过原点的直线 ：φ(ω)=−ωt0\varphi(\omega) = -\omega t_0φ(ω)=−ωt0，各频率成分延迟相同时间。

为什么只满足幅频不够：

信号是各频率成分的叠加，波形形状由各成分之间的相对相位关系决定。

假设幅频特性是常数，各成分幅值比例保持不变，但相频特性是非线性的------不同频率的延迟时间不同。那么原本在时域上"对齐"的各成分，经过装置后会互相错开，叠加出来的波形就变了形。

举个直观的例子：一个方波由基波和一系列奇次谐波叠加而成，各次谐波的相位关系是固定的。如果三次谐波比基波多延迟了半个周期，叠加出来的就不再是方波，而是带尖峰的畸变波形。虽然每个成分的幅值都没变，但波形已经失真。

所以相频特性的线性要求，本质是要求"所有频率成分同步延迟"，这样才能保持波形的形状。

五、计算题

参考答案

ω=2πf=2π×5=31.42\omega = 2\pi f = 2\pi \times 5 = 31.42ω=2πf=2π×5=31.42 rad/s

ωτ=31.42×0.02=0.6283\omega\tau = 31.42 \times 0.02 = 0.6283ωτ=31.42×0.02=0.6283

A=11+0.62832=11.3948=11.1810≈0.847A = \frac{1}{\sqrt{1 + 0.6283^2}} = \frac{1}{\sqrt{1.3948}} = \frac{1}{1.1810} \approx 0.847A=1+0.62832 1=1.3948 1=1.18101≈0.847

φ=−arctan⁡(0.6283)=−32.1°\varphi = -\arctan(0.6283) = -32.1°φ=−arctan(0.6283)=−32.1°

幅值误差 ：1−0.847=0.153=15.3%>10%1 - 0.847 = 0.153 = 15.3\% > 10\%1−0.847=0.153=15.3%>10%

结论：幅值误差 15.3%，超过 10%，该装置在此频率下不满足要求。

验算：1.3948=1.1810\sqrt{1.3948} = 1.18101.3948 =1.1810，1/1.1810=0.84671/1.1810 = 0.84671/1.1810=0.8467 ✓

参考答案

（1）线性度

eL=3200×100%=1.5%e_L = \frac{3}{200} \times 100\% = 1.5\%eL=2003×100%=1.5%

（2）回程误差

eh=5200×100%=2.5%e_h = \frac{5}{200} \times 100\% = 2.5\%eh=2005×100%=2.5%

（3）灵敏度

S=502=25S = \frac{50}{2} = 25S=250=25 mV/mm

结论：线性度 1.5%，回程误差 2.5%，灵敏度 25 mV/mm。

参考答案

（1）频率比

r=80200=0.4r = \frac{80}{200} = 0.4r=20080=0.4

（2）求幅值比

(1−r2)2=(1−0.16)2=0.842=0.7056(1 - r^2)^2 = (1 - 0.16)^2 = 0.84^2 = 0.7056(1−r2)2=(1−0.16)2=0.842=0.7056

(2ζr)2=(2×0.65×0.4)2=0.522=0.2704(2\zeta r)^2 = (2 \times 0.65 \times 0.4)^2 = 0.52^2 = 0.2704(2ζr)2=(2×0.65×0.4)2=0.522=0.2704

A=10.7056+0.2704=10.976=10.9879≈1.012A = \frac{1}{\sqrt{0.7056 + 0.2704}} = \frac{1}{\sqrt{0.976}} = \frac{1}{0.9879} \approx 1.012A=0.7056+0.2704 1=0.976 1=0.98791≈1.012

（3）判断

幅值误差 =∣1.012−1∣=0.012=1.2%<5%= \lvert 1.012 - 1 \rvert = 0.012 = 1.2\% < 5\%=∣1.012−1∣=0.012=1.2%<5% ✓

结论：幅值误差 1.2%，在 5% 以内，满足要求。

说明：这里 A>1A > 1A>1，说明输出幅值略大于输入幅值------这是二阶系统在 ω/ωn\omega/\omega_nω/ωn 接近谐振区前的典型现象（轻微抬升）。所以误差要用绝对值判断。

附：一页速记

四大特性：静态、动态、负载、抗干扰。

静态五指标：

线性度 =Δmax/YFS= \Delta_{max} / Y_{FS}=Δmax/YFS
灵敏度 =Δy/Δx= \Delta y / \Delta x=Δy/Δx（有量纲）
回程误差 =Δhmax/YFS= \Delta h_{max} / Y_{FS}=Δhmax/YFS（与方向有关）
分辨力 = 能察觉的最小输入变化
零点漂移 = 输入为零时的输出变化

动态特性的推导链：

常系数线性微分方程 →（零初始条件，拉氏变换）→ 传递函数 H(s)H(s)H(s) →（令 s=jωs=j\omegas=jω）→ 频率响应 H(jω)H(j\omega)H(jω) → 幅频 A(ω)A(\omega)A(ω) + 相频 φ(ω)\varphi(\omega)φ(ω)

一阶系统三件套：

H(s)=1/(τs+1)H(s) = 1/(\tau s + 1)H(s)=1/(τs+1)
A=1/1+(ωτ)2A = 1/\sqrt{1+(\omega\tau)^2}A=1/1+(ωτ)2
φ=−arctan⁡(ωτ)\varphi = -\arctan(\omega\tau)φ=−arctan(ωτ)
关键点：ωτ=1\omega\tau = 1ωτ=1 时 A=0.707A = 0.707A=0.707、φ=−45°\varphi = -45°φ=−45°

二阶系统两个参数 ：ωn\omega_nωn（固有频率）、ζ\zetaζ（阻尼比，测试装置取 0.6~0.8）。

串联相乘、并联相加；高阶 = 一阶、二阶的组合。

不失真两条件：幅频为常数、相频为过原点的直线。