雷达系统与成像仿真：从电磁散射到工程实现-第 2 章 雷达方程、链路预算与探测边界

雷达系统与成像仿真：从电磁散射到工程实现-第 2 章　雷达方程、链路预算与探测边界

第 1 章用一部 X 波段雷达的快速估算说明了"能量---时间---孔径---检测"之间的耦合，并给出了指标树、资源账本和设计案例的框架。那些数字足以判断方案的方向，却不足以支撑一次设计评审：同样的 30 km、0.01 m²、13 dB，换一个参考面、换一种积累假设、换一条损耗计入规则，结果可以相差 6--10 dB。本章把快速预算升级为可审计的预算体系：每一个 dB 从哪里来、按单程还是双程计入、在哪个端口定义、误差多大、如何验证，都要能写清楚。

本章不重复第 1 章的七层架构和 50 个评审问题。它只做一件事：把雷达方程从"一个公式"变成"一条可复核的计算链"。这条链的输入端是任务、目标、环境和平台约束，输出端是一张 dB 表、一条作用距离曲线、一组敏感度系数和一个带不确定度的裕量。中间经过五个模块：传播与散射、噪声、损耗、检测、模式时间预算。任何一个模块的假设错了，整条链的结论都不可信。

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2.1 预算的审计链：从公式到可复核的数字

2.1.1 为什么"算过"不等于"算得准"

雷达预算最常见的失败不是公式写错，而是口径不一致 。同一份预算表里，天线增益按法向值填写，馈线损耗按单程计入，噪声系数按接收机端口测量，作用距离按最坏扫描角承诺；四个数字各自都没错，合在一起却不成立。更隐蔽的情况是重复计算：把馈线损耗同时放进 $LL$ L 和 $FF$ F，把脉冲压缩增益同时放进"单脉冲信噪比"和"积累增益"，把扫描损失同时算进天线增益和系统损耗。重复计算一项 1--3 dB 的损耗，足以把"裕量充足"变成"差 2 dB"。

审计链的目标不是让预算更悲观，而是让每一个数字都能被第二个人复算。一个可审计的预算至少满足四条：

1. 参考面唯一：每个增益、损耗、噪声系数都注明在哪个端口定义，端口之间的转换只做一次。
2. 符号规则固定：单程损耗、双程损耗、功率域、幅度域、线性域、dB 域，进入公式前统一。
3. 来源可追溯：每个数字标注"实测/手册/估计/假设"，估计值给出不确定度。
4. 假设可检验：远场、匹配极化、单散射、平稳噪声、目标起伏模型等假设，逐条写明适用条件；条件不成立时，预算要么修正，要么给出保守裕量。

这四条看似繁琐，实际节省时间。一个没有参考面的预算，在集成阶段出现 4 dB 偏差时，团队要花几周逐段排查；一个有参考面和不确定度的预算，可以直接指出"偏差落在天线罩损耗的 3σ 范围内"，把问题从"玄学"变成"统计"。

2.1.2 每个数字的五个字段

建议预算表的每一行至少包含五个字段：

字段	含义	示例
数值	线性值或 dB 值，必须与单位一起写	$G=38.75\; dB\; G=38.75\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ G=38.75 dB
单位/域	物理单位、线性/dB、单程/双程	dB，单程，功率域
参考面	该值在哪个端口成立	天线端口（含阵面失配）
来源	实测、手册、仿真、估计、假设	暗室实测，±0.3 dB
不确定度	1σ 或上下界，注明分布假设	1σ=0.3 dB，均匀分布

一个只写"天线增益 40 dB"的预算行，无法回答"这是法向还是扫描边缘""含不含馈电损耗""是仿真还是实测"。在方案阶段，这些字段可以用"估计值 + 假设"填充；到了详细设计阶段，必须逐步替换为实测值。替换过程本身就是设计成熟度的度量：如果一张预算表里 80% 的行还是"估计"，那么它的结论只能用于方向判断，不能用于承诺指标。

2.1.3 参考面：预算中最容易出错的地方

雷达接收链可以抽象成一条从天线端口到 ADC 的级联网络。每个器件的增益、损耗、噪声系数都相对于它的输入端口定义。把它们级联时，必须选一个统一的参考面。工程上常用三个参考面：

• 天线端口：天线与馈线的连接面。这里的信号最弱，但包含天线噪声温度、馈线损耗、环形器隔离等全部前端效应。
• 低噪放输入 ：接收机第一级放大器的输入面。噪声系数分析仪通常在这里或之后测量，器件手册的 $FF$ F 也常在这里定义。
• ADC 输入：数字前端的输入面。这里的噪声包括接收链噪声、ADC 量化噪声、时钟抖动，动态范围由 ADC 满量程决定。

三个参考面之间可以互相转换，但只能转一次。设天线端口到低噪放输入之间有 $Lf\; L\_f$ Lf（dB，单程）的馈线/环形器/限幅器损耗，低噪放在该端口的噪声系数为 $FLNA\; F\_\{\backslash mathrm\{LNA\}\}$ FLNA，则折算到天线端口的系统噪声系数为
$$Fsys\; =Lf\hspace{0.17em}\; FLNA\; (线性值),\; F\_\{\backslash mathrm\{sys\}\}=L\_f\backslash ,F\_\{\backslash mathrm\{LNA\}\}\backslash quad(\backslash text\{线性值\}),$$ Fsys=LfFLNA(线性值),

或
$$Fsys,dB\; =\; L\; f,dB\; +\; FLNA,dB\; .\; F\_\{\backslash mathrm\{sys,dB\}\}=L\_\{f,\backslash mathrm\{dB\}\}+F\_\{\backslash mathrm\{LNA,dB\}\}.$$ Fsys,dB=Lf,dB+FLNA,dB.

这条关系看起来简单，却经常被违反。常见错误是：预算表里写了"系统损耗 $L=6\; dB\; L=6\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ L=6 dB，其中馈线 2 dB"，同时又写"噪声系数 $F=2.5\; dB\; F=2.5\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ F=2.5 dB（接收机实测）"。如果 $FF$ F 是在低噪放输入测量的，那么天线端口的系统噪声系数应为 $2+2.5=4.5\; dB2+2.5=4.5\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ 2+2.5=4.5 dB，而不是 2.5 dB；如果 $FF$ F 已经包含馈线，那么 $LL$ L 中就不能再算一次馈线。两种写法都合法，混用则不合法。

工程规则 ：先画一条从天线端口到 ADC 的链，标出每个器件的参考面；然后选定一个参考面，把所有 $GG$ G、 $LL$ L、 $FF$ F 都折算到该面。折算完成后，在预算表头写明"本表所有噪声系数均指天线端口"。此后任何人新增一项损耗，都必须回答"它在参考面的哪一侧"。

2.1.4 对数域账本：乘法链变成加法链

雷达方程在数学上是一条乘法链：
$$Pr=Pt\cdot Gt\cdot \; 14\pi R2\; \cdot \sigma \cdot \; 14\pi R2\; \cdot Ae\cdot \; \eta rx\; .\; P\_r=P\_t\backslash cdot\; G\_t\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\; R^2\}\backslash cdot\backslash sigma\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\; R^2\}\backslash cdot\; A\_e\backslash cdot\backslash eta\_\{\backslash mathrm\{rx\}\}.$$ Pr=Pt⋅Gt⋅4πR21⋅σ⋅4πR21⋅Ae⋅ηrx.

取对数后，乘法变成加法：
$$P\; r,dBW\; =\; P\; t,dBW\; +\; G\; t,dB\; +\; G\; r,dB\; +20\; log10\; \lambda -30\; log10\; (4\pi )-40\; log10\; R+\; \sigma dBsm\; -\; LdB\; .\; P\_\{r,\backslash mathrm\{dBW\}\}=P\_\{t,\backslash mathrm\{dBW\}\}+G\_\{t,\backslash mathrm\{dB\}\}+G\_\{r,\backslash mathrm\{dB\}\}+20\backslash log\_\{10\}\backslash lambda-30\backslash log\_\{10\}(4\backslash pi)-40\backslash log\_\{10\}R+\backslash sigma\_\{\backslash mathrm\{dBsm\}\}-L\_\{\backslash mathrm\{dB\}\}.$$ Pr,dBW=Pt,dBW+Gt,dB+Gr,dB+20log10λ−30log10(4π)−40log10R+σdBsm−LdB.

这条式子是预算表的骨架。它的好处是把"哪个量影响多少 dB"变成一眼可见的加法；坏处是容易把不同参考面、不同程数的项直接相加。为避免混乱，建议把账本分成四列：

列	内容	符号约定
发射列	$Pt\; P\_t$ Pt、发射馈线、发射阵面失配、扫描发射增益	损耗为负，增益为正
传播列	自由空间双程扩展、大气、雨衰、多径	全部为负，按双程计
接收列	接收增益、接收馈线、天线罩、极化、噪声系数	损耗为负， $FF$ F 单独成行
处理列	脉压、加窗、CFAR、量化、跨单元损失	全部为负，按一次计

四列相加得到接收功率或信噪比。列与列之间不共享项：发射馈线只在发射列出现，接收馈线只在接收列出现，天线罩若收发共用则在传播列按双程计，处理损失只在处理列出现。这样一来，"某一项该不该乘 2"就不再靠记忆，而靠它所在的列。

2.1.5 单程与双程：符号规则不能靠直觉

电磁波从雷达到目标再回到雷达，经过两次传播。任何发生在"路径上"的损耗都要计两次；任何只发生在"发射机内部"或"接收机内部"的损耗只计一次。表 2-1 给出常见项的计入规则。

表 2-1　常见损耗/增益的单程与双程计入规则

| 项 | 物理位置 | 计入方式 | 说明 |
|-------------|---------|------------|--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|----------------------|-------------|
| 发射馈线损耗 | 发射机到天线 | 单程，1 次 | 降低发射功率 |
| 接收馈线损耗 | 天线到低噪放 | 单程，1 次 | 若 $FF$ F 在天线端口定义，已含在 $FF$ F 中 |
| 环形器/双工器 | 收发共用 | 发射、接收各 1 次 | 若用 $FF$ F 含接收端，则 $LL$ L 只计发射端 |
| 天线罩 | 天线外罩 | 双程，2 次 | 收发各穿过一次 |
| 天线失配/驻波 | 天线端口 | 双程，2 次 | 发射、接收各一次反射损耗 |
| 极化失配 | 收发天线与目标 | 双程，2 次 | 若收发极化相同，按 | \\rho_t\\cdot\\rho_r | \^2 一次计入功率 |
| 扫描损失 | 阵面投影 | 双程，2 次 | 单程 $cos\theta \backslash cos\backslash theta$ cosθ，功率双程 $cos2\theta \backslash cos^2\backslash theta$ cos2θ |
| 大气/雨衰 | 传播路径 | 双程，2 次 | 按 dB/km × 往返距离 |
| 多径 | 传播路径 | 双程，2 次 | 幅度/相位起伏，按统计或最坏值 |
| 脉压加窗/失配 | 接收处理 | 单程，1 次 | 只在信号处理中出现 |
| CFAR 损失 | 检测处理 | 单程，1 次 | 门限估计的统计代价 |
| 量化噪声 | ADC | 单程，1 次 | 若已计入 $FF$ F，不要重复 |
| 跨距离/多普勒单元损失 | 检测处理 | 单程，1 次 | 目标不在采样中心 |

这张表的关键不是记住每一行，而是理解两条原则：

1. 路径上的损耗乘 2。天线罩、大气、雨、多径都属于"往返都经过"的项。
2. 端口内的损耗乘 1。馈线、滤波器、CFAR 只出现在链路的一侧，乘 1。

有一个容易混淆的例外：收发共用天线时，环形器的发射损耗和接收损耗是两次独立的单程损耗，合计 2 次；但它不是"双程传播损耗"，因为两次损耗发生在不同时刻、不同功率电平上。把环形器损耗写成"双程"在数值上可能碰巧正确，在物理上却是错的；一旦收发通道不对称（例如收发分置、发射功率监测耦合），这种写法就会误导。

2.1.6 预算链的五个模块

本章后续按五个模块展开：

1. 传播与散射（2.2 节）：从功率密度、目标散射、接收孔径推出雷达方程；给出峰值、平均、能量、信噪比、距离、搜索六种形式；说明远场、匹配极化、单基地等假设。
2. 噪声（2.3 节）：热噪声、外部噪声、噪声系数/温度、Friis 级联、带宽修正、ADC 与时钟抖动。
3. 损耗（2.4 节）：馈线、天线罩、扫描、极化、处理、量化、CFAR、大气、雨衰、多径；给出损耗树和重复计算检查。
4. 检测（2.5 节）：Pd/Pfa、Swerling 0--4、相参与非相参积累、检测曲线与近似、积累损失；统计推导留给第 4 章，CFAR 工程留给第 8 章。
5. 模式与不确定度（2.6--2.8 节）：搜索、跟踪、成像三种模式的时间/能量分配；双基地几何与同步；对数偏导、蒙特卡罗、裕量分配。

最后用两个数值案例（2.10、2.11 节）和一段可运行代码（2.9 节）把五个模块串起来。案例一是一部 X 波段搜索雷达，与第 1 章的边境雷达形成对照：同样是 X 波段，但目标、距离、波位和积累方式不同，预算的瓶颈也不同。案例二是一部 S 波段宽带 SAR，重点不是"作用距离"，而是 NESZ 与分辨率、幅宽、功率的耦合。

2.1.7 一个最小审计卡

在进入推导之前，先给一张"最小审计卡"，用于检查任何一份雷达预算是否自洽：

检查项	合格标准	常见不合格表现
参考面	表头写明天线端口/低噪放输入/ADC 输入	增益、噪声系数各自为政
峰值/平均	每个功率值注明峰值或平均，进入公式的是哪一个	用峰值算平均 SNR
单程/双程	每个损耗注明程数	天线罩只算一次
dB/线性	公式中未标 dB 的量均为线性	把 30 dBm 直接乘增益
带宽	噪声带宽与信号带宽的关系明确	用 3 dB 带宽代替噪声带宽
脉压	脉压增益只出现一次	单脉冲 SNR 与积累增益重复
积累	相参/非相参、脉冲数、驻留时间明确	$NN$ N 与 $Td\; T\_d$ Td 重复相乘
检测	起伏模型、Pd、Pfa、积累方式明确	用 13 dB 万能常数
损耗	逐项列出，含处理/CFAR/量化	只算射频损耗
不确定度	每项有 1σ 或上下界	所有数字都是"典型值"

这张卡不解决具体计算，但能拦住 80% 的低级错误。剩下的 20% 需要本章的推导、数值例和代码来发现。

2.1.8 一次参考面换算的完整例子

设接收链从天线端口到混频器依次为：天线罩 0.5 dB、环形器/限幅器 0.8 dB、低噪放（增益 20 dB，噪声系数 1.5 dB）、镜像抑制滤波器 1.2 dB、混频器（变频损耗 7 dB，单边带噪声系数 9 dB）。把全部噪声折算到天线端口，用 Friis 公式逐级计算：
Fant=1.122+0.8911.202−1+0.891×0.8321.413−1+0.741×1001.318−1+0.741×100×0.7597.943−1=1.122+0.227+0.557+0.004+0.123=2.033,

即 $Fant\; =3.08\; dB\; F\_\{\backslash mathrm\{ant\}\}=3.08\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ Fant=3.08 dB。若只在低噪放输入定义噪声系数，则 $FLNA\; =1.78\; dB\; F\_\{\backslash mathrm\{LNA\}\}=1.78\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ FLNA=1.78 dB，其前方的 1.3 dB 无源损耗把系统噪声系数抬高到 $1.3+1.78=3.08\; dB1.3+1.78=3.08\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ 1.3+1.78=3.08 dB。两种口径给出同一个数，因为 $Fant\; =Lf\; FLNA\; F\_\{\backslash mathrm\{ant\}\}=L\_fF\_\{\backslash mathrm\{LNA\}\}$ Fant=LfFLNA。

现在看三种常见写法：

1. 表头写" $F=3.08\; dB\; F=3.08\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ F=3.08 dB，天线端口"， $LL$ L 中不再单列天线罩和环形器接收损耗。正确。
2. 表头写" $F=1.78\; dB\; F=1.78\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ F=1.78 dB，低噪放输入"， $LL$ L 中列入 1.3 dB 接收前损耗。正确，因为 $Pr\; P\_r$ Pr 先被 $Lf\; L\_f$ Lf 衰减，再与 $kT0\; FLNA\; B\; kT\_0F\_\{\backslash mathrm\{LNA\}\}B$ kT0FLNAB 比较，结果与第一种相同。
3. 表头写" $F=3.08\; dB\; F=3.08\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ F=3.08 dB，天线端口"， $LL$ L 中又列入 1.3 dB 接收前损耗。错误，重复计算 1.3 dB。

第三种写法在评审中极常见，因为天线端口噪声系数和"接收损耗"分别由两位工程师填写，各自都对，合起来多扣了 1.3 dB。避免方法只有一个：在表头写明噪声系数的参考面，并规定"该参考面之前的损耗不得再进入 $LL$ L 的接收列"。如果链路中有天线罩这类收发共用的损耗，接收侧只计一次，发射侧另计一次，不能因为"双程"就在接收列再乘 2。

在 2.3 节讨论外部噪声时，还会遇到另一种口径：天线噪声温度 $Ta\; T\_a$ Ta 与接收机噪声温度 $Tr\; T\_r$ Tr 相加得到系统噪声温度 $Tsys\; T\_\{\backslash mathrm\{sys\}\}$ Tsys。此时不应再把 $Ta\; T\_a$ Ta 折算成噪声系数后与 $FF$ F 相加，否则同样重复。规则仍然是"选一个参考面，只转换一次"。

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2.2 雷达方程：从功率密度到可用的距离式

2.2.1 这一节要建立的六个形式

雷达方程有很多写法，它们不是不同的物理，而是同一物理在不同约束下的变形。工程上常用的有六种：

1. 峰值功率形式 ：给定 $Pt\; P\_t$ Pt、 $GG$ G、 $\lambda \backslash lambda$ λ、 $\sigma \backslash sigma$ σ、 $RR$ R、 $LL$ L，求单脉冲接收功率 $Pr\; P\_r$ Pr。
2. 平均功率形式 ：用 $Pav\; P\_\{av\}$ Pav 和驻留时间 $Td\; T\_d$ Td 表示总能量，适合脉冲串/积累。
3. 能量形式 ：用接收能量 $Er\; E\_r$ Er 和噪声功率谱密度 $N0\; N\_0$ N0 表示匹配滤波后的信噪比，避免带宽与脉压重复计算。
4. 信噪比形式 ：把 $Pr\; P\_r$ Pr 与 $kT0FB\; kT\_0FB$ kT0FB 相比，适合接收机/ADC 电平设计。
5. 距离形式 ：反解 $Rmax\; R\_\{\backslash max\}$ Rmax，适合作用距离承诺。
6. 搜索形式：把波位数、帧时间、搜索空域代入，适合搜索雷达的平均功率需求。

六种形式必须能互相换算。如果两个形式给出不同的数值，先检查参考面、带宽、积累和程数，而不是怀疑物理。

2.2.2 假设清单：方程成立的条件

在推导之前，把假设逐条列出。雷达方程不是一个无条件的真理，而是一组近似的结果。

假设 A1（远场）：目标位于天线的远场，即
$$R\ge \; 2D2\lambda \; ,\; R\backslash ge\backslash frac\{2D^2\}\{\backslash lambda\},$$ R≥λ2D2,

其中 $DD$ D 为天线最大尺寸， $\lambda \backslash lambda$ λ 为波长。对 $D=1.6\; mD=1.6\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$ D=1.6 m、 $\lambda =0.033\; m\backslash lambda=0.033\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$ λ=0.033 m，远场距离约 $2\times 2.56/0.033=155\; m2\backslash times2.56/0.033=155\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$ 2×2.56/0.033=155 m。若目标在 100 m 以内，平面波假设失效，天线增益和 RCS 都要用近场模型。对 SAR 的近距成像（第 18 章），远场条件必须单独检查。

假设 A2（平面波照射目标）：目标尺寸远小于距离，目标上各点的入射波幅度/相位近似相同。若目标是扩展目标（舰船、建筑），其 RCS 是视角的函数，雷达方程仍可用于"等效 RCS"，但不能把目标当成一个点。

假设 A3（单散射）：电磁波与目标作用一次后返回，忽略多次散射、腔体谐振、爬行波。对复杂目标，单散射是近似；对隐身目标，边缘散射/爬行波可能成为主要贡献。

假设 A4（匹配极化） ：发射极化与接收极化匹配，且目标散射的极化分量被接收天线有效接收。若极化失配，需乘极化效率 $\eta p=\mid \rho t\cdot \rho r\mid 2\; \backslash eta\_p=|\backslash rho\_t\backslash cdot\backslash rho\_r|^2$ ηp=∣ρt⋅ρr∣2，其中 $\rho t,\rho r\; \backslash rho\_t,\backslash rho\_r$ ρt,ρr 为极化单位矢量。正交极化时 $\eta p=0\; \backslash eta\_p=0$ ηp=0，即 $-\infty -\; \backslash infty$ −∞ dB；实际天线交叉极化隔离有限，通常 20--30 dB。

假设 A5（目标在波束中心） ：天线增益按目标方向取值。若目标偏离波束中心，双程方向图按 $Gt(\theta )Gr(\theta )\; G\_t(\backslash theta)G\_r(\backslash theta)$ Gt(θ)Gr(θ) 下降；搜索雷达必须按波位边缘/最坏扫描角计算。

假设 A6（无多径/无遮挡）：直射路径主导，地面/海面反射可忽略或已计入多径损耗。低仰角目标、海面目标、城市环境不满足此假设，需要两径模型或射线追踪。

假设 A7（窄带） ：信号带宽远小于载频， $B\ll fc\; B\backslash ll\; f\_c$ B≪fc，目标 RCS 在带宽内近似常数。对超宽带 SAR（ $B/fc>0.1\; B/f\_c>0.1$ B/fc>0.1），RCS 随频率变化，需用频率相关散射模型。

假设 A8（单基地/收发同址） ：发射与接收在同一位置，路径长度为 $2R2R$ 2R。双基地的推导见 2.7 节。

这八条假设中，A1、A4、A5、A8 最容易被忽略。远场条件决定"天线增益能不能用"，极化决定"回波有没有"，波束中心决定"增益取哪个值"，单/双基地决定"距离是 $R4R^4$ R4 还是 $Rt2Rr2\; R\_t^2R\_r^2$ Rt2Rr2"。在预算表里，这四条应各占一行"假设检查"。

2.2.3 推导一：从各向同性辐射到单基地雷达方程

第一步：发射功率密度。 设发射机送到天线的功率为 $Pt\; P\_t$ Pt（W）。若天线各向同性，距离 $RR$ R 处的功率密度为
$$Siso\; =\; Pt4\pi R2\; (W/m2).\; S\_\{\backslash mathrm\{iso\}\}=\backslash frac\{P\_t\}\{4\backslash pi\; R^2\}\backslash quad(\backslash mathrm\{W/m^2\}).$$ Siso=4πR2Pt(W/m2).

第二步：天线增益。 定向天线把功率集中到立体角 $\Omega b\; \backslash Omega\_b$ Ωb 内。增益定义为
$$Gt=\; 4\pi \Omega b\; \eta ap\; ,\; G\_t=\backslash frac\{4\backslash pi\}\{\backslash Omega\_b\}\backslash eta\_\{\backslash mathrm\{ap\}\},$$ Gt=Ωb4πηap,

其中 $\eta ap\; \backslash eta\_\{\backslash mathrm\{ap\}\}$ ηap 为孔径效率。在波束最大值方向，功率密度为
$$St=\; PtGt\; 4\pi R2\; .\; S\_t=\backslash frac\{P\_tG\_t\}\{4\backslash pi\; R^2\}.$$ St=4πR2PtGt.

第三步：目标散射。 RCS 的定义是"目标向接收方向散射的等效各向同性面积"：
$$\sigma =4\pi R2\; SsSt\; (m2),\backslash sigma=4\backslash pi\; R^2\backslash frac\{S\_s\}\{S\_t\}\backslash quad(\backslash mathrm\{m^2\}),$$ σ=4πR2StSs(m2),

其中 $Ss\; S\_s$ Ss 为距离 $RR$ R 处目标散射波的功率密度。于是
$$Ss=\; PtGt\sigma \; (4\pi )2R4\; .\; S\_s=\backslash frac\{P\_tG\_t\backslash sigma\}\{(4\backslash pi)^2R^4\}.$$ Ss=(4π)2R4PtGtσ.

注意这里的 $RR$ R 既是发射距离也是接收距离（单基地）。RCS 的定义把"目标向各个方向散射多少"压缩成一个等效面积；它不保证散射是各向同性的，只是用"等效"把方向性吸收进 $\sigma \backslash sigma$ σ 的角度依赖。

第四步：接收孔径。 接收天线的有效面积为
$$Ae=\; Gr\lambda 2\; 4\pi \; ,\; A\_e=\backslash frac\{G\_r\backslash lambda^2\}\{4\backslash pi\},$$ Ae=4πGrλ2,

其中 $Gr\; G\_r$ Gr 为接收增益， $\lambda =c/fc\; \backslash lambda=c/f\_c$ λ=c/fc 为波长。接收功率为
$$Pr=SsAe=\; PtGtGr\lambda 2\sigma \; (4\pi )3R4\; .\; P\_r=S\_sA\_e=\backslash frac\{P\_tG\_tG\_r\backslash lambda^2\backslash sigma\}\{(4\backslash pi)^3R^4\}.$$ Pr=SsAe=(4π)3R4PtGtGrλ2σ.

第五步：损耗。 实际系统有馈线、天线罩、极化、处理等损耗。把这些损耗合并为 $L\ge 1L\backslash ge1$ L≥1（线性值，双程），得到
$$Pr=\; PtGtGr\lambda 2\sigma \; (4\pi )3R4L\; .\; \backslash boxed\{P\_r=\backslash frac\{P\_tG\_tG\_r\backslash lambda^2\backslash sigma\}\{(4\backslash pi)^3R^4L\}\}.$$ Pr=(4π)3R4LPtGtGrλ2σ.

第六步：单基地简化。 收发共用天线时 $Gt=Gr=G\; G\_t=G\_r=G$ Gt=Gr=G，于是
$$Pr=\; PtG2\lambda 2\sigma \; (4\pi )3R4L\; .\; P\_r=\backslash frac\{P\_tG^2\backslash lambda^2\backslash sigma\}\{(4\backslash pi)^3R^4L\}.$$ Pr=(4π)3R4LPtG2λ2σ.

量纲核对 ： $Pt\; P\_t$ Pt 的单位是 W； $G2G^2$ G2 无量纲； $\lambda 2\backslash lambda^2$ λ2 是 m²； $\sigma \backslash sigma$ σ 是 m²；分母 $(4\pi )3R4L(4\backslash pi)^3R^4L$ (4π)3R4L 是 m⁴。分子 W·m⁴，分母 m⁴，结果 W。正确。

数值核对 ：取 $Pt=15\; kW\; P\_t=15\backslash \; \backslash mathrm\{kW\}$ Pt=15 kW、 $G=38.75\; dB\; G=38.75\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ G=38.75 dB（ $74997499$ 7499）、 $\lambda =0.03331\; m\backslash lambda=0.03331\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$ λ=0.03331 m、 $\sigma =0.5\; m2\backslash sigma=0.5\backslash \; \backslash mathrm\{m^2\}$ σ=0.5 m2、 $R=70\; km\; R=70\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ R=70 km、 $L=8.5\; dB\; L=8.5\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ L=8.5 dB（ $7.0797.079$ 7.079），代入：
$$Pr=\; 1.5\times 104\times (7499)2\times (0.03331)2\times 0.5(4\pi )3\times (7\times 104)4\times 7.079\; \approx 1.39\times 10-15\; W.\; P\_r=\backslash frac\{1.5\backslash times10^4\backslash times(7499)^2\backslash times(0.03331)^2\backslash times0.5\}\; \{(4\backslash pi)^3\backslash times(7\backslash times10^4)^4\backslash times7.079\}\; \backslash approx1.39\backslash times10^\{-15\}\backslash \; \backslash mathrm\{W\}.$$ Pr=(4π)3×(7×104)4×7.0791.5×104×(7499)2×(0.03331)2×0.5≈1.39×10−15 W.

这个值约为 $-118.6\; dBm\; -118.6\backslash \; \backslash mathrm\{dBm\}$ −118.6 dBm，与 2.10 节的逐项预算一致。量级上，70 km、0.5 m²、15 kW 峰值、39 dB 天线，接收功率在 $10-15\; W10^\{-15\}\backslash \; \backslash mathrm\{W\}$ 10−15 W 量级，正是低噪放/ADC 设计需要面对的电平。

2.2.4 峰值、平均与能量：三种功率不能混用

雷达方程里的 $Pt\; P\_t$ Pt 是峰值功率，即脉冲内的最大功率。脉冲雷达的平均功率为
$$Pav\; =PtDc,Dc=\; TpTr\; =Tp\hspace{0.17em}PRF,\; P\_\{av\}=P\_tD\_c,\backslash qquad\; D\_c=\backslash frac\{T\_p\}\{T\_r\}=T\_p\backslash ,\backslash mathrm\{PRF\},$$ Pav=PtDc,Dc=TrTp=TpPRF,

其中 $Tp\; T\_p$ Tp 为脉冲宽度（s）， $Tr=1/PRF\; T\_r=1/\backslash mathrm\{PRF\}$ Tr=1/PRF 为脉冲重复周期（s）， $Dc\; D\_c$ Dc 为占空比。单个脉冲的接收能量为
$$Er,1\; =PrTp=\; PtTpG2\lambda 2\sigma \; (4\pi )3R4L\; =\; Pav\; \hspace{0.17em}PRF\hspace{0.17em}\; G2\lambda 2\sigma (4\pi )3R4L\; .\; E\_\{r,1\}=P\_rT\_p=\backslash frac\{P\_tT\_pG^2\backslash lambda^2\backslash sigma\}\{(4\backslash pi)^3R^4L\}\; =\backslash frac\{P\_\{av\}\}\{\backslash ,\backslash mathrm\{PRF\}\backslash ,\}\backslash frac\{G^2\backslash lambda^2\backslash sigma\}\{(4\backslash pi)^3R^4L\}.$$ Er,1=PrTp=(4π)3R4LPtTpG2λ2σ=PRFPav(4π)3R4LG2λ2σ.

若在驻留时间 $Td\; T\_d$ Td 内相参积累 $NN$ N 个脉冲， $Td=N/PRF=NTr\; T\_d=N/\backslash mathrm\{PRF\}=NT\_r$ Td=N/PRF=NTr，总接收能量为
$$Er=N\; Er,1\; =\; Pav\; TdG2\lambda 2\sigma \; (4\pi )3R4L\; .\; E\_r=NE\_\{r,1\}=\backslash frac\{P\_\{av\}T\_dG^2\backslash lambda^2\backslash sigma\}\{(4\backslash pi)^3R^4L\}.$$ Er=NEr,1=(4π)3R4LPavTdG2λ2σ.

匹配滤波后的信噪比等于"信号能量/噪声功率谱密度"：
$$SNR=\; ErN0\; ,N0=kT0F.\; \backslash mathrm\{SNR\}=\backslash frac\{E\_r\}\{N\_0\},\backslash qquad\; N\_0=kT\_0F.$$ SNR=N0Er,N0=kT0F.

于是得到能量形式：
$$SNR=\; Pav\; TdG2\lambda 2\sigma \; (4\pi )3R4L\hspace{0.17em}kT0F\; .\; \backslash boxed\{\backslash mathrm\{SNR\}=\backslash frac\{P\_\{av\}T\_dG^2\backslash lambda^2\backslash sigma\}\{(4\backslash pi)^3R^4L\backslash ,kT\_0F\}\}.$$ SNR=(4π)3R4LkT0FPavTdG2λ2σ.

这个式子里没有带宽 $BB$ B。这不是遗漏，而是匹配滤波的必然结果：带宽增加会降低每个采样点的信噪比，但脉冲压缩增益 $BTp\; BT\_p$ BTp 同步增加，二者抵消。只要接收机/滤波器的噪声带宽与波形匹配，检测信噪比只取决于能量和噪声谱密度。

这条结论是本章最重要的"防重复计算"规则。 如果预算表一边用 $Pr/(kT0FB)\; P\_r/(kT\_0FB)$ Pr/(kT0FB) 算单脉冲信噪比，一边又加 $10\; log10\; (BTp)\; 10\backslash log\_\{10\}(BT\_p)$ 10log10(BTp) 的脉压增益，那么带宽只被算了一次（在噪声里），脉压增益是额外的，结果正确；如果先用能量形式算出总信噪比，再加脉压增益，就把脉压算重了。两种写法只能选一种，并在表头注明。

2.2.5 信噪比形式与距离形式

把 $Pr\; P\_r$ Pr 与噪声功率 $Pn=kT0FBn\; P\_n=kT\_0FB\_n$ Pn=kT0FBn 相比，得到信噪比形式：
$$SNR=\; PtG2\lambda 2\sigma \; (4\pi )3R4L\hspace{0.17em}kT0FBn\; ,\; \backslash mathrm\{SNR\}=\backslash frac\{P\_tG^2\backslash lambda^2\backslash sigma\}\{(4\backslash pi)^3R^4L\backslash ,kT\_0FB\_n\},$$ SNR=(4π)3R4LkT0FBnPtG2λ2σ,

其中 $Bn\; B\_n$ Bn 为接收机噪声带宽（Hz）。若 $Bn\approx 1/Tp\; B\_n\backslash approx1/T\_p$ Bn≈1/Tp，则
$$SNR\approx \; PtTpG2\lambda 2\sigma \; (4\pi )3R4L\hspace{0.17em}kT0F\; ,\; \backslash mathrm\{SNR\}\backslash approx\backslash frac\{P\_tT\_pG^2\backslash lambda^2\backslash sigma\}\{(4\backslash pi)^3R^4L\backslash ,kT\_0F\},$$ SNR≈(4π)3R4LkT0FPtTpG2λ2σ,

与能量形式的单脉冲版本一致。若 $Bn\gg 1/Tp\; B\_n\backslash gg1/T\_p$ Bn≫1/Tp（接收机带宽远大于信号带宽），则有一部分噪声被额外接收，形成"带宽失配损失"：
$$LB=\; BnTp\; 1\; (线性值),\; L\_B=\backslash frac\{B\_nT\_p\}\{1\}\backslash quad(\backslash text\{线性值\}),$$ LB=1BnTp(线性值),

在 dB 域为 $10\; log10\; (BnTp)\; 10\backslash log\_\{10\}(B\_nT\_p)$ 10log10(BnTp)。工程上常取 $BnTp=1.0\; B\_nT\_p=1.0$ BnTp=1.0-- $1.21.2$ 1.2，即 0--0.8 dB 的损失；如果为了抗混叠/多波形兼容把带宽开到 $2/Tp\; 2/T\_p$ 2/Tp，就要计入 3 dB。

由能量形式反解距离，得到距离形式：
$$Rmax=$$ Pav TdG2λ2σ (4π)3L kT0F  SNRreq 1/4 . \boxed{R_{\max}=\left\\frac{P_{av}T_dG\^2\\lambda\^2\\sigma}{(4\\pi)\^3L\\,kT_0F\\,\\mathrm{SNR}_{\\mathrm{req}}}\\right^{1/4}}. Rmax=(4π)3LkT0FSNRreqPavTdG2λ2σ1/4.

若用峰值功率和单脉冲，则
$$Rmax,1\; =$$ PtTpG2λ2σ (4π)3L kT0F  SNR req,1 1/4 . R_{\max,1}=\left\\frac{P_tT_pG\^2\\lambda\^2\\sigma}{(4\\pi)\^3L\\,kT_0F\\,\\mathrm{SNR}_{\\mathrm{req},1}}\\right^{1/4}. Rmax,1=(4π)3LkT0FSNRreq,1PtTpG2λ2σ1/4.

两个形式的比值给出积累对作用距离的增益：
$$Rmax\; Rmax,1\; =\; (\; Pav\; Td\; PtTp\; )\; 1/4\; =\; (\; N\; PRF\cdot Tp\; )\; 1/4\; =\; (\; PtDc\cdot N/PRF\; PtTp\; )\; 1/4\; =N1/4.\; \backslash frac\{R\_\{\backslash max\}\}\{R\_\{\backslash max,1\}\}=\backslash left(\backslash frac\{P\_\{av\}T\_d\}\{P\_tT\_p\}\backslash right)^\{1/4\}\; =\backslash left(\backslash frac\{N\}\{\backslash mathrm\{PRF\}\backslash cdot\; T\_p\}\backslash right)^\{1/4\}\; =\backslash left(\backslash frac\{P\_tD\_c\backslash cdot\; N/\backslash mathrm\{PRF\}\}\{P\_tT\_p\}\backslash right)^\{1/4\}\; =N^\{1/4\}.$$ Rmax,1Rmax=(PtTpPavTd)1/4=(PRF⋅TpN)1/4=(PtTpPtDc⋅N/PRF)1/4=N1/4.

这里要小心： $Pav\; Td=PtDc\cdot N/PRF=PtTpN\; P\_\{av\}T\_d=P\_tD\_c\backslash cdot\; N/\backslash mathrm\{PRF\}=P\_tT\_pN$ PavTd=PtDc⋅N/PRF=PtTpN，所以
$$Rmax\; Rmax,1\; =N1/4.\; \backslash frac\{R\_\{\backslash max\}\}\{R\_\{\backslash max,1\}\}=N^\{1/4\}.$$ Rmax,1Rmax=N1/4.

即相参积累 $NN$ N 个脉冲，作用距离提高 $N1/4N^\{1/4\}$ N1/4；若 $N=50N=50$ N=50，提高 $500.25=2.6650^\{0.25\}=2.66$ 500.25=2.66 倍（8.5 dB 距离域，对应 17 dB 功率域）。这个"四次方根"是雷达工程最残酷的缩放律：要把距离翻倍，需要 16 倍能量。

2.2.6 搜索雷达形式：把波位数和时间代入

搜索雷达的 $Td\; T\_d$ Td 不是自由参数，而由搜索空域、波束宽度和帧时间决定。设搜索立体角为 $\Omega \backslash Omega$ Ω（sr），波束立体角为 $\Omega b\; \backslash Omega\_b$ Ωb（sr），则波位数为
$$Nb=\; \Omega \Omega b\; .\; N\_b=\backslash frac\{\backslash Omega\}\{\backslash Omega\_b\}.$$ Nb=ΩbΩ.

若波束立体角与增益满足 $G\Omega b\approx 4\pi \eta b\; G\backslash Omega\_b\backslash approx4\backslash pi\backslash eta\_b$ GΩb≈4πηb（ $\eta b\; \backslash eta\_b$ ηb 为波束效率，含加权/扫描/重叠），则
$$Nb\approx \; \Omega G\; 4\pi \eta b\; .\; N\_b\backslash approx\backslash frac\{\backslash Omega\; G\}\{4\backslash pi\backslash eta\_b\}.$$ Nb≈4πηbΩG.

每个波位的驻留时间为
$$Td=\; TfNb\; =\; 4\pi \eta bTf\; \Omega G\; ,\; T\_d=\backslash frac\{T\_f\}\{N\_b\}=\backslash frac\{4\backslash pi\backslash eta\_bT\_f\}\{\backslash Omega\; G\},$$ Td=NbTf=ΩG4πηbTf,

其中 $Tf\; T\_f$ Tf 为搜索帧时间（s）。代入能量形式：
$$SNR=\; Pav\; Nb\; G2\lambda 2\sigma (4\pi )3R4L\hspace{0.17em}kT0F\; =\; Pav\; Tf\eta bG\lambda 2\sigma \; 16\pi 2\Omega R4L\hspace{0.17em}kT0F\; .\; \backslash mathrm\{SNR\}=\backslash frac\{P\_\{av\}\}\{N\_b\}\backslash frac\{G^2\backslash lambda^2\backslash sigma\}\{(4\backslash pi)^3R^4L\backslash ,kT\_0F\}\; =\backslash frac\{P\_\{av\}T\_f\backslash eta\_bG\backslash lambda^2\backslash sigma\}\{16\backslash pi^2\backslash Omega\; R^4L\backslash ,kT\_0F\}.$$ SNR=NbPav(4π)3R4LkT0FG2λ2σ=16π2ΩR4LkT0FPavTfηbGλ2σ.

反解平均功率：
$$Pav\; =\; 16\pi 2\Omega R4L\hspace{0.17em}kT0F\hspace{0.17em}\; SNRreq\; \eta bG\lambda 2\sigma Tf\; .\; \backslash boxed\{P\_\{av\}=\backslash frac\{16\backslash pi^2\backslash Omega\; R^4L\backslash ,kT\_0F\backslash ,\backslash mathrm\{SNR\}\_\{\backslash mathrm\{req\}\}\}\{\backslash eta\_bG\backslash lambda^2\backslash sigma\; T\_f\}\}.$$ Pav=ηbGλ2σTf16π2ΩR4LkT0FSNRreq.

若用有效孔径 $Ae=G\lambda 2/(4\pi )\; A\_e=G\backslash lambda^2/(4\backslash pi)$ Ae=Gλ2/(4π) 表示，则
$$Pav\; =\; 4\pi \Omega R4L\hspace{0.17em}kT0F\hspace{0.17em}\; SNRreq\; Ae\sigma Tf\; .\; P\_\{av\}=\backslash frac\{4\backslash pi\backslash Omega\; R^4L\backslash ,kT\_0F\backslash ,\backslash mathrm\{SNR\}\_\{\backslash mathrm\{req\}\}\}\{A\_e\backslash sigma\; T\_f\}.$$ Pav=AeσTf4πΩR4LkT0FSNRreq.

这两个形式说明：搜索性能取决于"平均功率 × 有效孔径"与"搜索空域 × 帧时间"的比值，而不是单独的增益或功率。 这就是经典的"功率-孔径积"结论。把 $GG$ G 提高一倍、同时把波束数量增加一倍，搜索帧时间不变，但每个波位的能量减半，作用距离不变；把孔径加倍（ $Ae\; A\_e$ Ae 加倍）而功率不变，作用距离提高 $21/4=1.192^\{1/4\}=1.19$ 21/4=1.19 倍。

常见错误 ：把搜索方程写成 $R4\propto \; Pav\; G2Tf/(\Omega )\; R^4\backslash propto\; P\_\{av\}G^2T\_f/(\backslash Omega)$ R4∝PavG2Tf/(Ω)，然后用"增益提高 3 dB，距离提高 1.5 dB"去承诺。这个写法把波位数随增益增加的效果漏掉了：增益提高会使波束变窄、波位数增加、每波位时间减少。正确的搜索方程中， $GG$ G 只出现一次（或等价地出现 $Ae\; A\_e$ Ae），不是平方。

数值核对 ：2.10 节的 X 波段搜索雷达， $\Omega =0.2177\; sr\; \backslash Omega=0.2177\backslash \; \backslash mathrm\{sr\}$ Ω=0.2177 sr、 $Tf=11\; s\; T\_f=11\backslash \; \backslash mathrm\{s\}$ Tf=11 s、 $\eta b=0.295\; \backslash eta\_b=0.295$ ηb=0.295、 $G=7499G=7499$ G=7499、 $\lambda =0.03331\; m\backslash lambda=0.03331\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$ λ=0.03331 m、 $\sigma =0.5\; m2\backslash sigma=0.5\backslash \; \backslash mathrm\{m^2\}$ σ=0.5 m2、 $L=8.5\; dB\; L=8.5\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ L=8.5 dB、 $F=2.2\; dB\; F=2.2\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ F=2.2 dB、 $R=70\; km\; R=70\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ R=70 km、 $SNRreq\; =22.75\; dB\; \backslash mathrm\{SNR\}${\mathrm{req}}=22.75\ \mathrm{dB} SNRreq=22.75 dB。代入搜索方程得 $Pav\; \approx 542\; W\; P${av}\approx542\ \mathrm{W} Pav≈542 W；设计值 $1.5\; kW\; 1.5\backslash \; \backslash mathrm\{kW\}$ 1.5 kW 给出 $10\; log10\; (1500/542)=4.4\; dB\; 10\backslash log\_\{10\}(1500/542)=4.4\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ 10log10(1500/542)=4.4 dB 的裕量，与逐波位预算的 4.4 dB 一致。这个交叉核对说明：搜索方程不是另一个公式，而是"每波位能量 = 总能量/波位数"的改写。

2.2.7 方程的适用边界

雷达方程在以下情况下会给出过于乐观或过于悲观的结果：

近场/近距离 ： R<2D2/λ 时，目标不在天线的平面波区，增益和 RCS 的定义都失效。近距 SAR、FMCW 近距雷达、引信雷达必须用近场模型（第 18 章）。

扩展目标/分布式目标：目标尺寸与分辨单元可比时，RCS 不是常数，回波是多个散射中心的干涉。雷达方程给出的是"等效 RCS"，检测性能取决于起伏模型（2.5 节）和分辨单元内的散射统计（第 4 章）。

强多径/低仰角 ：地面/海面反射使接收功率随仰角剧烈起伏，可能出现 10--20 dB 的深衰落。雷达方程应乘以多径因子 $\mid 1+\Gamma ej\varphi \mid 2|1+\backslash Gamma\; e^\{j\backslash phi\}|^2$ ∣1+Γejϕ∣2，其中 $\Gamma \backslash Gamma$ Γ 为反射系数、 $\varphi \backslash phi$ ϕ 为路径相位差；最坏情况下衰落深度可达 $20\; log10\; (1-\mid \Gamma \mid )\; 20\backslash log\_\{10\}(1-|\backslash Gamma|)$ 20log10(1−∣Γ∣)。

宽带/超宽带 ： $B/fc\; B/f\_c$ B/fc 较大时，RCS 随频率变化，天线增益随频率变化，脉冲展宽/色散不可忽略。应把雷达方程写成频率的积分：
$$Pr=\; \int \; fc-B/2\; fc+B/2\; Pt(f)G2(f)\lambda 2(f)\sigma (f)\; (4\pi )3R4L(f)\; \hspace{0.17em}df,\; P\_r=\backslash int\_\{f\_c-B/2\}^\{f\_c+B/2\}\backslash frac\{P\_t(f)G^2(f)\backslash lambda^2(f)\backslash sigma(f)\}\{(4\backslash pi)^3R^4L(f)\}\backslash ,df,$$ Pr=∫fc−B/2fc+B/2(4π)3R4L(f)Pt(f)G2(f)λ2(f)σ(f)df,

再与接收机频响匹配。

双基地/收发分置 ：路径不是 $2R2R$ 2R，而是 $Rt+Rr\; R\_t+R\_r$ Rt+Rr，雷达方程变为 $Rt2Rr2\; R\_t^2R\_r^2$ Rt2Rr2（2.7 节）。用单基地方程估算双基地，在基线较大时可能高估或低估 10 dB 以上。

非平稳/机动目标：目标在驻留时间内运动，导致多普勒展宽、距离徙动、相参积累损失。雷达方程给出的是"静止目标"的信噪比；实际检测性能要乘以相干损失因子（2.5 节、第 9 章）。

把这六条边界写在预算表的"适用条件"栏，比在报告末尾写一段"模型有一定局限性"有用得多。评审时，任何一条边界不满足，都要有对应的修正项或裕量。

2.3 噪声体系：从 $kT0B\; kT\_0B$ kT0B 到 ADC 的噪声底

2.3.1 噪声预算要回答的三个问题

雷达方程的分母里有 $kT0F\; kT\_0F$ kT0F，看起来只是一个数，实际包含了一整条接收链的噪声。做噪声预算，必须回答三个问题：

1. 噪声功率有多大：在给定的噪声带宽内，折合到输入端的噪声功率是多少 dBm。
2. 它等效到哪个端口：天线端口、低噪放输入、ADC 输入，三个端口的噪声功率不同，不能混用。
3. 哪些项已经包含在 $FF$ F 里：馈线损耗、ADC 量化噪声、时钟抖动，是已经计入噪声系数，还是需要单独增加。

这三个问题不回答，噪声预算就会变成"把手册上的噪声系数抄进表格"。本节按"热噪声---外部噪声---噪声系数---级联---带宽---ADC"的顺序展开，最后给出一张合并检查表。

2.3.2 热噪声： $-174\; dBm/Hz\; -174\backslash \; \backslash mathrm\{dBm/Hz\}$ −174 dBm/Hz 的来源

导体中电子的热运动产生热噪声。在匹配负载上，可用噪声功率为
$$Pn=kTB(W),\; P\_n=kTB\backslash quad(\backslash mathrm\{W\}),$$ Pn=kTB(W),

其中 $k=1.380649\times 10-23\; J/Kk=1.380649\backslash times10^\{-23\}\backslash \; \backslash mathrm\{J/K\}$ k=1.380649×10−23 J/K 为玻尔兹曼常数， $TT$ T 为绝对温度（K）， $BB$ B 为噪声带宽（Hz）。在 $T0=290\; K\; T\_0=290\backslash \; \backslash mathrm\{K\}$ T0=290 K 时，
$$kT0=1.380649\times 10-23\times 290=4.003\times 10-21\; W/Hz,\; kT\_0=1.380649\backslash times10^\{-23\}\backslash times290=4.003\backslash times10^\{-21\}\backslash \; \backslash mathrm\{W/Hz\},$$ kT0=1.380649×10−23×290=4.003×10−21 W/Hz,

换成 dBm：
$$10\; log10\; (4.003\times 10-21\times 103)=-173.98\; dBm/Hz\approx -174\; dBm/Hz.\; 10\backslash log\_\{10\}(4.003\backslash times10^\{-21\}\backslash times10^3)=-173.98\backslash \; \backslash mathrm\{dBm/Hz\}\backslash approx-174\backslash \; \backslash mathrm\{dBm/Hz\}.$$ 10log10(4.003×10−21×103)=−173.98 dBm/Hz≈−174 dBm/Hz.

这个 $-174\; dBm/Hz\; -174\backslash \; \backslash mathrm\{dBm/Hz\}$ −174 dBm/Hz 是雷达噪声预算的基准。它不是一个"设备指标"，而是"290 K 匹配负载在 1 Hz 带宽内的噪声功率"。有了它，任意带宽的噪声底为
$$P\; n,dBm\; =-174+10\; log10\; BHz\; (仅热噪声，T=290\; K).\; P\_\{n,\backslash mathrm\{dBm\}\}=-174+10\backslash log\_\{10\}B\_\{\backslash mathrm\{Hz\}\}\backslash quad(\backslash text\{仅热噪声，\}T=290\backslash \; \backslash mathrm\{K\}).$$ Pn,dBm=−174+10log10BHz(仅热噪声，T=290 K).

例如 $B=1\; MHz\; B=1\backslash \; \backslash mathrm\{MHz\}$ B=1 MHz 时 $Pn=-114\; dBm\; P\_n=-114\backslash \; \backslash mathrm\{dBm\}$ Pn=−114 dBm； $B=0.5\; MHz\; B=0.5\backslash \; \backslash mathrm\{MHz\}$ B=0.5 MHz 时 $Pn=-117\; dBm\; P\_n=-117\backslash \; \backslash mathrm\{dBm\}$ Pn=−117 dBm； $B=10\; kHz\; B=10\backslash \; \backslash mathrm\{kHz\}$ B=10 kHz 时 $Pn=-134\; dBm\; P\_n=-134\backslash \; \backslash mathrm\{dBm\}$ Pn=−134 dBm。每十倍带宽增加 10 dB，每翻一倍增加 3 dB。这个 3 dB/倍频程的关系，比任何"典型噪声底"都可靠。

为什么用 290 K 而不是 300 K 或天线实际温度？这是噪声系数定义的历史约定： $FF$ F 以 $T0=290\; K\; T\_0=290\backslash \; \backslash mathrm\{K\}$ T0=290 K 为参考，使"噪声系数"成为一个与物理温度无关的器件指标。实际噪声功率要用系统噪声温度 $Tsys\; T\_\{\backslash mathrm\{sys\}\}$ Tsys 计算，2.3.7 节会说明两者的关系。把 290 K 当成"天线温度"是常见误解；它只是参考温度。

2.3.3 外部噪声与天线温度

接收机不是只接收目标回波，它还接收天空、地面、太阳、大气和人为源的噪声。天线把这些噪声按方向图加权后送到接收机，等效为天线噪声温度 $Ta\; T\_a$ Ta：
$$Ta=\; 14\pi \; \int 4\pi \; Tb(\theta ,\varphi )G(\theta ,\varphi )\hspace{0.17em}d\Omega ,\; T\_a=\backslash frac\{1\}\{4\backslash pi\}\backslash int\_\{4\backslash pi\}T\_b(\backslash theta,\backslash phi)G(\backslash theta,\backslash phi)\backslash ,d\backslash Omega,$$ Ta=4π1∫4πTb(θ,ϕ)G(θ,ϕ)dΩ,

其中 $Tb(\theta ,\varphi )\; T\_b(\backslash theta,\backslash phi)$ Tb(θ,ϕ) 为方向 $(\theta ,\varphi )(\backslash theta,\backslash phi)$ (θ,ϕ) 上的亮温度， $GG$ G 为天线增益（归一化后积分为 $4\pi 4\backslash pi$ 4π）。这个式子说明： $Ta\; T\_a$ Ta 不是"天空温度"，而是"天空温度按天线方向图加权后的平均"。主瓣看到冷空、旁瓣看到热地面时， $Ta\; T\_a$ Ta 由旁瓣电平决定。

主要外部噪声源：

• 宇宙微波背景：约 2.7 K，全频段存在，是下限。
• 银河系同步辐射 ：在 VHF/UHF 很强，随频率约 $f-2.5f^\{-2.5\}$ f−2.5 下降；到 L 波段以上通常可忽略。
• 大气热辐射：氧气和水汽。22 GHz 水汽吸收线、60 GHz 氧气吸收线附近显著；X 波段晴空约几 K 到十几 K，低仰角增大。
• 降雨 ：雨滴的热辐射与衰减同时增加噪声，暴雨时 $Ta\; T\_a$ Ta 可升到 100 K 以上。
• 太阳：视直径约 0.5°，亮温度极高；主瓣或强旁瓣扫过太阳时会造成短暂噪声突增，设计时要避免波束指向太阳或设置保护。
• 地面/海面：物理温度约 290 K，通过旁瓣进入。旁瓣电平每降低 10 dB，地面噪声贡献降低 10 dB。
• 人为噪声：点火系统、电力线、工业设备、其他雷达。城市 VHF/UHF 环境可比热噪声高 10--30 dB；X 波段以上通常较弱，但同频干扰另算。

表 2-2　天线噪声温度的量级参考（中纬度、晴空、仰角大于 20°）

频段	典型 $Ta\; T\_a$ Ta 量级	主要贡献	预算处理
HF/VHF（3--300 MHz）	$10310^3$ 103-- $106\; K10^6\backslash \; \backslash mathrm\{K\}$ 106 K	银河系、人为噪声	外部噪声主导，不能只用 $FF$ F
UHF（300--1000 MHz）	$10210^2$ 102-- $103\; K10^3\backslash \; \backslash mathrm\{K\}$ 103 K	银河系、地面旁瓣	按最坏环境取 $Ta\; T\_a$ Ta
L（1--2 GHz）	50--150 K	地面旁瓣、大气	与接收机噪声可比
S（2--4 GHz）	20--60 K	地面旁瓣、太阳	通常小于接收机噪声
X（8--12 GHz）	5--30 K	大气、地面旁瓣	接收机噪声主导
Ku/Ka（12--40 GHz）	10--50 K	水汽、雨	低仰角/雨天显著增大

这张表只用于量级判断，不能作为设备指标引用。实际 $Ta\; T\_a$ Ta 取决于天线旁瓣、扫描角、极化、地面环境和天气，必须用方向图与亮温模型计算，或在暗室/外场测量。工程上常见的错误是：在 X 波段忽略 $Ta\; T\_a$ Ta，把噪声系数当成全部噪声；在 VHF 又把 $Ta\; T\_a$ Ta 忽略，结果预算比实测乐观 10 dB 以上。

外部噪声的另一个特点是非白、非平稳 。银河噪声随频率下降，人为噪声有脉冲性，太阳噪声是窄角源。用单一 $Ta\; T\_a$ Ta 只能做平均预算；对弱目标检测，还要考虑噪声的非高斯性（第 4 章）和干扰的时间结构（第 8 章）。

2.3.4 噪声系数与噪声温度：同一个指标的两种写法

噪声系数定义为输入端信噪比与输出端信噪比之比：
$$F=\; SNRin\; SNRout\; \mid \; Tsource\; =290\; K\; ,F\ge 1.\; F=\backslash frac\{\backslash mathrm\{SNR\}$${\mathrm{in}}}{\mathrm{SNR}{\mathrm{out}}}\bigg|{T{\mathrm{source}}=290\ \mathrm{K}},\qquad F\ge1. F=SNRoutSNRin Tsource=290 K,F≥1.

它与等效噪声温度 $Te\; T\_e$ Te 的关系为
$$F=1+\; TeT0\; ,Te=(F-1)T0.\; F=1+\backslash frac\{T\_e\}\{T\_0\},\backslash qquad\; T\_e=(F-1)T\_0.$$ F=1+T0Te,Te=(F−1)T0.

几个常用换算：

$FF$ F（dB）	$FF$ F（线性）	$Te\; T\_e$ Te（K）	$Te\; T\_e$ Te（dB，相对 290 K）
0.5	1.122	35	$-9.2-9.2$ −9.2
1.0	1.259	75	$-5.9-5.9$ −5.9
1.5	1.413	120	$-3.8-3.8$ −3.8
2.0	1.585	170	$-2.3-2.3$ −2.3
2.2	1.660	191	$-1.8-1.8$ −1.8
3.0	1.995	290	0
6.0	3.981	865	4.7

注意 $F=3\; dB\; F=3\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ F=3 dB 恰好对应 $Te=T0=290\; K\; T\_e=T\_0=290\backslash \; \backslash mathrm\{K\}$ Te=T0=290 K，这不是巧合，而是定义的直接结果。 F<3 dB 时 Te<T0， $F>3\; dB\; F>3\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ F>3 dB 时 $Te>T0\; T\_e>T\_0$ Te>T0。

噪声系数有几个容易忽略的前提：

1. 源阻抗匹配 ： $FF$ F 是在指定源阻抗（通常 50 Ω）下定义的。源阻抗失配会改变器件的有效增益和噪声，手册上的 $FF$ F 不一定适用。
2. 带宽相同 ：输入和输出信噪比必须在同一带宽内比较，否则 $FF$ F 会随测量带宽变化。
3. 无源器件 ：衰减器、滤波器、电缆的噪声系数等于其插入损耗（线性值），即 $F=LF=L$ F=L，噪声温度 $Te=(L-1)T0\; T\_e=(L-1)T\_0$ Te=(L−1)T0。一个 1 dB 衰减器不是"噪声系数 1 dB 的放大器"，它没有增益，对级联噪声的贡献远大于同噪声系数的有源级。
4. 混频器的单边带/双边带：单边带噪声系数比双边带高约 3 dB（取决于镜像抑制），预算中必须注明。雷达接收常用单边带，手册若给双边带值，要加 3 dB。

2.3.5 Friis 级联：为什么第一级决定一切

考虑两级级联，增益分别为 $G1,G2\; G\_1,G\_2$ G1,G2，噪声温度分别为 $Te1\; ,\; Te2\; T\_\{e1\},T\_\{e2\}$ Te1,Te2，源温度为 $T0\; T\_0$ T0。输入噪声功率为 $kT0B\; kT\_0B$ kT0B。经过第一级，信号功率乘 $G1\; G\_1$ G1，噪声功率变为
$$N1=kT0BG1+k\; Te1\; BG1=k(T0+\; Te1\; )BG1.\; N\_1=kT\_0BG\_1+kT\_\{e1\}BG\_1=k(T\_0+T\_\{e1\})BG\_1.$$ N1=kT0BG1+kTe1BG1=k(T0+Te1)BG1.

经过第二级，信号再乘 $G2\; G\_2$ G2，噪声变为
$$N2=k(T0+\; Te1\; )BG1G2+k\; Te2\; BG2.\; N\_2=k(T\_0+T\_\{e1\})BG\_1G\_2+kT\_\{e2\}BG\_2.$$ N2=k(T0+Te1)BG1G2+kTe2BG2.

输出信噪比为
$$SNRout\; =\; PsG1G2\; k(T0+\; Te1\; )BG1G2+k\; Te2\; BG2\; .\; \backslash mathrm\{SNR\}$${\mathrm{out}}=\frac{P_sG_1G_2}{k(T_0+T{e1})BG_1G_2+kT_{e2}BG_2}. SNRout=k(T0+Te1)BG1G2+kTe2BG2PsG1G2.

输入信噪比为 $Ps/(kT0B)\; P\_s/(kT\_0B)$ Ps/(kT0B)。两者相除：
$$F=\; SNRin\; SNRout\; =1+\; Te1\; T0\; +\; Te2\; T0G1\; =F1+\; F2-1\; G1\; .\; F=\backslash frac\{\backslash mathrm\{SNR\}$${\mathrm{in}}}{\mathrm{SNR}{\mathrm{out}}} =1+\frac{T_{e1}}{T_0}+\frac{T_{e2}}{T_0G_1} =F_1+\frac{F_2-1}{G_1}. F=SNRoutSNRin=1+T0Te1+T0G1Te2=F1+G1F2−1.

这就是Friis 公式 。推广到 $NN$ N 级：
$$F=F1+\; F2-1\; G1\; +\; F3-1\; G1G2\; +\cdots +\; FN-1\; G1G2\cdots \; GN-1\; ,\; \backslash boxed\{F=F\_1+\backslash frac\{F\_2-1\}\{G\_1\}+\backslash frac\{F\_3-1\}\{G\_1G\_2\}+\backslash cdots+\backslash frac\{F\_N-1\}\{G\_1G\_2\backslash cdots\; G\_\{N-1\}\}\},$$ F=F1+G1F2−1+G1G2F3−1+⋯+G1G2⋯GN−1FN−1,

或写成噪声温度：
$$Te=\; Te1\; +\; Te2\; G1\; +\; Te3\; G1G2\; +\cdots \hspace{0.17em}.\; T\_e=T\_\{e1\}+\backslash frac\{T\_\{e2\}\}\{G\_1\}+\backslash frac\{T\_\{e3\}\}\{G\_1G\_2\}+\backslash cdots.$$ Te=Te1+G1Te2+G1G2Te3+⋯.

公式的结构说明：第一级的噪声系数直接相加，后续级的噪声被前级增益除。 第一级增益每增加 10 dB，第二级的噪声贡献降低 10 dB；但第一级自身的噪声无法被后续增益"压掉"。因此低噪放要尽量靠近天线，馈线损耗要放在低噪放之前并计入第一级。

数值例 ：低噪放 $G1=20\; dB\; G\_1=20\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ G1=20 dB、 $F1=1.5\; dB\; F\_1=1.5\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ F1=1.5 dB，后接 1.2 dB 滤波器。若滤波器在低噪放之后：
$$F=1.413+\; 1.318-1100\; =1.416(1.51\; dB).\; F=1.413+\backslash frac\{1.318-1\}\{100\}=1.416\backslash quad(1.51\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}).$$ F=1.413+1001.318−1=1.416(1.51 dB).

若滤波器在低噪放之前：
$$F=1.318\times 1.413=1.862(2.70\; dB).F=1.318\backslash times1.413=1.862\backslash quad(2.70\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}).$$ F=1.318×1.413=1.862(2.70 dB).

同样的滤波器，位置不同，系统噪声系数差 1.19 dB。这就是"低噪放尽量靠前"的定量依据。若低噪放增益只有 10 dB，滤波器在后时的系统噪声系数为 $1.413+0.318/10=1.4451.413+0.318/10=1.445$ 1.413+0.318/10=1.445（1.60 dB），比 20 dB 增益时差 0.09 dB；增益继续降到 6 dB，则变为 $1.413+0.318/4=1.4931.413+0.318/4=1.493$ 1.413+0.318/4=1.493（1.74 dB）。低噪放增益的选择要在"压低后级噪声"和"避免饱和/互调"之间折中，不是越大越好。

表 2-3　接收链逐级噪声系数与累计噪声系数示例

级	器件	增益（dB）	$FF$ F（dB）	累计 $FF$ F（dB）	说明
1	天线罩+环形器	$-1.3-1.3$ −1.3	1.3	1.30	无源， $F=LF=L$ F=L
2	低噪放	20	1.5	2.80	前级损耗直接相加
3	镜像滤波器	$-1.2-1.2$ −1.2	1.2	2.81	被 20 dB 增益压低
4	混频器	$-7-7$ −7	9.0	3.08	贡献约 0.27 dB
5	中频放大器	30	2.0	3.08	贡献可忽略

累计值用 Friis 公式逐级计算，不是简单相加。表 2-3 也说明：一旦前两级确定，后级的噪声系数对系统的影响通常小于 0.2 dB；把精力花在"中频放大器选 1.8 dB 还是 2.0 dB"上，不如检查天线罩损耗是 0.5 dB 还是 1.5 dB。

2.3.6 噪声带宽： $Bn\; B\_n$ Bn 不是 3 dB 带宽

噪声带宽定义为
$$Bn=\; 1\; \mid H(f0)\mid 2\; \int 0\infty \mid H(f)\mid 2\hspace{0.17em}df,\; B\_n=\backslash frac\{1\}\{|H(f\_0)|^2\}\backslash int\_0^\backslash infty|H(f)|^2\backslash ,df,$$ Bn=∣H(f0)∣21∫0∞∣H(f)∣2df,

其中 $H(f)H(f)$ H(f) 为接收机/滤波器的频率响应， $f0\; f\_0$ f0 为参考频率（通常为中心频率）。它表示"与实际滤波器接收相同噪声功率的理想矩形滤波器带宽"。对于一阶 RC 低通，
$$Bn=\pi 2\; B\; 3dB\; \approx 1.571\; B\; 3dB\; ,\; B\_n=\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}B\_\{3\backslash mathrm\{dB\}\}\backslash approx1.571B\_\{3\backslash mathrm\{dB\}\},$$ Bn=2πB3dB≈1.571B3dB,

即噪声带宽比 3 dB 带宽大 57%，噪声功率多 1.96 dB。对于 $nn$ n 阶巴特沃斯滤波器， $Bn/\; B\; 3dB\; B\_n/B\_\{3\backslash mathrm\{dB\}\}$ Bn/B3dB 随阶数下降：

表 2-4　巴特沃斯滤波器的噪声带宽修正

阶数 $nn$ n	$Bn/\; B\; 3dB\; B\_n/B\_\{3\backslash mathrm\{dB\}\}$ Bn/B3dB	$10\; log10\; (Bn/\; B\; 3dB\; )\; 10\backslash log\_\{10\}(B\_n/B\_\{3\backslash mathrm\{dB\}\})$ 10log10(Bn/B3dB)（dB）
1	1.571	1.96
2	1.111	0.46
3	1.047	0.20
4	1.026	0.11
6	1.008	0.03
8	1.002	0.01

工程上常见的错误是用 3 dB 带宽直接代入 $kT0FB\; kT\_0FB$ kT0FB，结果对一阶/二阶滤波器低估噪声 1.96/0.46 dB。对四阶以上滤波器，误差小于 0.11 dB，通常可以忽略，但要在预算表里注明" $Bn=1.026\; B\; 3dB\; B\_n=1.026B\_\{3\backslash mathrm\{dB\}\}$ Bn=1.026B3dB"。

对矩形脉冲匹配滤波，噪声带宽与脉冲宽度满足 $BnTp\approx 1\; B\_nT\_p\backslash approx1$ BnTp≈1。如果实际滤波器带宽大于匹配值，会多接收噪声，形成带宽失配损失：
$$LB=BnTp(线性值),\; L\; B,dB\; =10\; log10\; (BnTp).\; L\_B=B\_nT\_p\backslash quad(\backslash text\{线性值\}),\backslash qquad\; L\_\{B,\backslash mathrm\{dB\}\}=10\backslash log\_\{10\}(B\_nT\_p).$$ LB=BnTp(线性值),LB,dB=10log10(BnTp).

例如 $Tp=50\; \mu s\; T\_p=50\backslash \; \backslash mu\backslash mathrm\{s\}$ Tp=50 μs、 $Bn=25\; kHz\; B\_n=25\backslash \; \backslash mathrm\{kHz\}$ Bn=25 kHz（匹配）， $BnTp=1.25\; B\_nT\_p=1.25$ BnTp=1.25，损失 0.97 dB；若为了多波形兼容把带宽开到 $Bn=50\; kHz\; B\_n=50\backslash \; \backslash mathrm\{kHz\}$ Bn=50 kHz， $BnTp=2.5\; B\_nT\_p=2.5$ BnTp=2.5，损失 3.98 dB。这个损失与"脉压增益"不是一回事：脉压增益由波形的时间带宽积决定，带宽失配损失由接收机带宽与波形带宽的比值决定，两者不能互相抵消。

2.3.7 系统噪声温度与噪声底

把天线噪声和接收机噪声相加，得到系统噪声温度：
$$Tsys\; =Ta+Tr,Tr=(F-1)T0,\; T\_\{\backslash mathrm\{sys\}\}=T\_a+T\_r,\backslash qquad\; T\_r=(F-1)T\_0,$$ Tsys=Ta+Tr,Tr=(F−1)T0,

其中 $FF$ F 已折算到天线端口。噪声功率为
$$Pn=k\; Tsys\; Bn.\; P\_n=kT\_\{\backslash mathrm\{sys\}\}B\_n.$$ Pn=kTsysBn.

用 dBm 表示：
$$P\; n,dBm\; =-174+10\; log10\; Bn+10\; log10\; Tsys\; 290\; .\; P\_\{n,\backslash mathrm\{dBm\}\}=-174+10\backslash log\_\{10\}B\_n+10\backslash log\_\{10\}\backslash frac\{T\_\{\backslash mathrm\{sys\}\}\}\{290\}.$$ Pn,dBm=−174+10log10Bn+10log10290Tsys.

括号中的最后一项是"实际系统温度相对 290 K 的偏离"。若 $Tsys\; =290\; K\; T\_\{\backslash mathrm\{sys\}\}=290\backslash \; \backslash mathrm\{K\}$ Tsys=290 K，它就是 0 dB，回到 $-174+10\; log10\; Bn\; -174+10\backslash log\_\{10\}B\_n$ −174+10log10Bn；若 $Tsys\; =580\; K\; T\_\{\backslash mathrm\{sys\}\}=580\backslash \; \backslash mathrm\{K\}$ Tsys=580 K，它是 3 dB；若 $Tsys\; =145\; K\; T\_\{\backslash mathrm\{sys\}\}=145\backslash \; \backslash mathrm\{K\}$ Tsys=145 K，它是 $-3\; dB\; -3\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ −3 dB。

标准雷达方程用 $kT0F\; kT\_0F$ kT0F，等价于假设 $Ta=290\; K\; T\_a=290\backslash \; \backslash mathrm\{K\}$ Ta=290 K 且 $Tr=(F-1)290\; T\_r=(F-1)290$ Tr=(F−1)290，即 $Tsys\; =290F\; T\_\{\backslash mathrm\{sys\}\}=290F$ Tsys=290F。这个假设对地面/海面目标、低仰角、城市环境是合理的；对高空/太空目标、冷空背景，它偏保守。举例： $F=2.2\; dB\; F=2.2\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ F=2.2 dB（ $Tr=191\; K\; T\_r=191\backslash \; \backslash mathrm\{K\}$ Tr=191 K），若天线看到 100 K 冷空， $Tsys\; =291\; K\; T\_\{\backslash mathrm\{sys\}\}=291\backslash \; \backslash mathrm\{K\}$ Tsys=291 K，比标准假设的 $290\times 1.660=481\; K290\backslash times1.660=481\backslash \; \backslash mathrm\{K\}$ 290×1.660=481 K 低 2.18 dB；若天线旁瓣看到 290 K 地面， $Ta\; T\_a$ Ta 可能到 150--200 K， $Tsys\; =341\; T\_\{\backslash mathrm\{sys\}\}=341$ Tsys=341-- $391\; K391\backslash \; \backslash mathrm\{K\}$ 391 K，比标准假设低 0.9--1.5 dB。若目标环境有强人为噪声， $Ta\; T\_a$ Ta 可能超过 290 K，标准公式反而乐观。

因此，噪声预算要注明"是否含天线噪声"。两种口径：

• 口径 A（标准） ：用 $FF$ F 和 $T0\; T\_0$ T0，不含 $Ta\; T\_a$ Ta。优点是与其他预算表可比，缺点是忽略环境。
• 口径 B（环境） ：用 $Tsys\; =Ta+Tr\; T\_\{\backslash mathrm\{sys\}\}=T\_a+T\_r$ Tsys=Ta+Tr，含 $Ta\; T\_a$ Ta。优点是接近实测，缺点是需要 $Ta\; T\_a$ Ta 模型，且不同场景差异大。

工程上建议：方案阶段用口径 A，详细设计阶段用口径 B 做敏感性分析，并在表头写明。两种口径不能在同一张表里混用；若混用，误差通常在 1--3 dB，正好是"裕量够不够"的量级。

2.3.8 ADC 量化噪声、时钟抖动与增益分配

模拟信号进入 ADC 后，增加两类噪声：量化噪声和时钟抖动/孔径抖动。它们是否计入 $FF$ F，取决于 $FF$ F 的测量参考面。若 $FF$ F 是在 ADC 之前测量的，ADC 噪声要单独加入；若 $FF$ F 是"从天线到数字输出"的端到端值，则已包含。

量化噪声 ：理想 $NN$ N 位 ADC，满量程正弦输入时，量化信噪比为
$$SNRq\; =6.02N+1.76\; dB.\; \backslash mathrm\{SNR\}\_q=6.02N+1.76\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}.$$ SNRq=6.02N+1.76 dB.

推导：量化台阶 $q=\; VFS\; /2N\; q=V\_\{\backslash mathrm\{FS\}\}/2^N$ q=VFS/2N，量化误差在 $$−q/2,q/2-q/2,q/2 −q/2,q/2 内均匀分布，噪声功率 $q2/12q^2/12$ q2/12；满量程正弦功率 $VFS2\; /8\; V\_\{\backslash mathrm\{FS\}\}^2/8$ VFS2/8；两者相除得 $1.5\times 22N1.5\backslash times2^\{2N\}$ 1.5×22N，取对数即上式。12 位为 74.0 dB，14 位为 86.0 dB，16 位为 98.1 dB。

雷达接收的不是满量程正弦，而是近似高斯分布的噪声+信号。若按 $6\sigma =\; VFS\; 6\backslash sigma=V\_\{\backslash mathrm\{FS\}\}$ 6σ=VFS 加载（峰值概率约 $10-910^\{-9\}$ 10−9），则信号功率为 $VFS2\; /36\; V\_\{\backslash mathrm\{FS\}\}^2/36$ VFS2/36，量化信噪比变为
$$SNR\; q,Gauss\; =6.02N-4.77\; dB.\; \backslash mathrm\{SNR\}\_\{q,\backslash mathrm\{Gauss\}\}=6.02N-4.77\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}.$$ SNRq,Gauss=6.02N−4.77 dB.

12 位为 67.5 dB，14 位为 79.5 dB，16 位为 91.6 dB。比满量程正弦低 4.77 dB，这是"为峰值留余量"的代价。若只按 $3\sigma =\; VFS\; 3\backslash sigma=V\_\{\backslash mathrm\{FS\}\}$ 3σ=VFS 加载，信号功率提高 6 dB，但削波概率升到约 0.3%，强目标/脉冲干扰会被截断，通常不取。

ADC 噪声系数 ：把量化噪声密度与 $kT0\; kT\_0$ kT0 比较。设 ADC 满量程正弦功率 $PFS\; P\_\{\backslash mathrm\{FS\}\}$ PFS（dBm）、采样率 $fs\; f\_s$ fs、位数 $NN$ N，则量化噪声总功率为 $PFS\; -\; SNRq\; P\_\{\backslash mathrm\{FS\}\}-\backslash mathrm\{SNR\}$q PFS−SNRq，噪声密度为
$$N\; 0,ADC\; =\; PFS\; -\; SNRq\; -10\; log10\; (fs/2)(dBm/Hz),\; N$${0,\mathrm{ADC}}=P_{\mathrm{FS}}-\mathrm{SNR}q-10\log{10}(f_s/2)\quad(\mathrm{dBm/Hz}), N0,ADC=PFS−SNRq−10log10(fs/2)(dBm/Hz),

ADC 噪声系数为
$$FADC\; =\; N\; 0,ADC\; +174(dB).\; F\_\{\backslash mathrm\{ADC\}\}=N\_\{0,\backslash mathrm\{ADC\}\}+174\backslash quad(\backslash mathrm\{dB\}).$$ FADC=N0,ADC+174(dB).

数值例： $N=14N=14$ N=14、 $fs=100\; MS/s\; f\_s=100\backslash \; \backslash mathrm\{MS/s\}$ fs=100 MS/s、 $PFS\; =+10\; dBm\; P\_\{\backslash mathrm\{FS\}\}=+10\backslash \; \backslash mathrm\{dBm\}$ PFS=+10 dBm、 $SNRq\; =86\; dB\; \backslash mathrm\{SNR\}$q=86\ \mathrm{dB} SNRq=86 dB，则 $N\; 0,ADC\; =10-86-10\; log10\; (50\times 106)=10-86-77=-153\; dBm/Hz\; N${0,\mathrm{ADC}}=10-86-10\log_{10}(50\times10^6)=10-86-77=-153\ \mathrm{dBm/Hz} N0,ADC=10−86−10log10(50×106)=10−86−77=−153 dBm/Hz， $FADC\; =21\; dB\; F\_\{\backslash mathrm\{ADC\}\}=21\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ FADC=21 dB。若 $N=12N=12$ N=12，则 $FADC\; =33\; dB\; F\_\{\backslash mathrm\{ADC\}\}=33\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ FADC=33 dB。ADC 的噪声系数看起来很高，但只要前端增益足够，它对系统的影响可以忽略。

增益分配 ：把 ADC 噪声折算到天线端口，需要减去前端增益。设前端（天线到 ADC）增益 $Gf\; G\_f$ Gf、噪声系数 $Ff\; F\_f$ Ff，则级联噪声系数为
$$Fsys\; =Ff+\; FADC\; -1\; Gf\; .\; F\_\{\backslash mathrm\{sys\}\}=F\_f+\backslash frac\{F\_\{\backslash mathrm\{ADC\}\}-1\}\{G\_f\}.$$ Fsys=Ff+GfFADC−1.

数值例： $Ff=2.2\; dB\; F\_f=2.2\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ Ff=2.2 dB（ $1.6601.660$ 1.660）、 $Gf=50\; dB\; G\_f=50\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ Gf=50 dB（ $10510^5$ 105）、 $FADC\; =21\; dB\; F\_\{\backslash mathrm\{ADC\}\}=21\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ FADC=21 dB（ $126126$ 126），则 $Fsys\; =1.660+125/105=1.661\; F\_\{\backslash mathrm\{sys\}\}=1.660+125/10^5=1.661$ Fsys=1.660+125/105=1.661，仅比前端差 0.003 dB。若 $Gf=30\; dB\; G\_f=30\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ Gf=30 dB（ $10001000$ 1000），则 $Fsys\; =1.660+0.125=1.785\; F\_\{\backslash mathrm\{sys\}\}=1.660+0.125=1.785$ Fsys=1.660+0.125=1.785（2.52 dB），ADC 贡献 0.32 dB；若 $Gf=20\; dB\; G\_f=20\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ Gf=20 dB，则 $Fsys\; =1.660+1.25=2.91\; F\_\{\backslash mathrm\{sys\}\}=1.660+1.25=2.91$ Fsys=1.660+1.25=2.91（4.64 dB），ADC 贡献 2.44 dB。前端增益不足，ADC 噪声会吞掉低噪放的努力。 增益也不是越大越好：增益过高会把强目标/干扰推到 ADC 饱和，压缩动态范围；工程上按"最大预期输入 + 峰值因数 + 裕量"确定增益，再用 AGC/STC 扩展动态范围。

时钟抖动 ：采样时刻的随机误差 $\sigma j\; \backslash sigma\_j$ σj 使正弦信号的采样值产生误差，信噪比为
$$SNRj\; =-20\; log10\; (2\pi \; fin\; \sigma j).\; \backslash mathrm\{SNR\}$$j=-20\log{10}(2\pi f_{\mathrm{in}}\sigma_j). SNRj=−20log10(2πfinσj).

数值例： $fin\; =1\; GHz\; f\_\{\backslash mathrm\{in\}\}=1\backslash \; \backslash mathrm\{GHz\}$ fin=1 GHz、 $\sigma j=1\; ps\; \backslash sigma\_j=1\backslash \; \backslash mathrm\{ps\}$ σj=1 ps， $SNRj\; =-20\; log10\; (2\pi \times 109\times 10-12)=-20\; log10\; (0.006283)=44.0\; dB\; \backslash mathrm\{SNR\}$j=-20\log{10}(2\pi\times10^9\times10^{-12})=-20\log_{10}(0.006283)=44.0\ \mathrm{dB} SNRj=−20log10(2π×109×10−12)=−20log10(0.006283)=44.0 dB；若 $fin\; =100\; MHz\; f\_\{\backslash mathrm\{in\}\}=100\backslash \; \backslash mathrm\{MHz\}$ fin=100 MHz，则为 64.0 dB。可见抖动对高频/宽带信号更致命。对 300 MHz 带宽、中心 1.5 GHz 的 SAR 中频，1 ps 抖动在带边给出约 40.5 dB，可能低于 12 位量化噪声，成为限制因素。选 ADC 时不能只看位数，还要看孔径抖动、ENOB、SFDR。

2.3.9 噪声预算的合并与检查

把上述各项合并，接收机输入端（天线端口）的噪声底有两条等价路径，必须选定一条并写在表头。

路径 A（端到端噪声系数） ： $Fant\; F\_\{\backslash mathrm\{ant\}\}$ Fant 已包含从天线端口到数字输出的全部噪声，包括 ADC 与抖动，则
$$P\; n,dBm\; =-174+10\; log10\; Bn+\; Fant,dB\; .\; P\_\{n,\backslash mathrm\{dBm\}\}=-174+10\backslash log\_\{10\}B\_n+F\_\{\backslash mathrm\{ant,dB\}\}.$$ Pn,dBm=−174+10log10Bn+Fant,dB.

路径 B（噪声温度）：把天线、接收机、ADC 的噪声分别写成温度，则
$$P\; n,dBm\; =-174+10\; log10\; Bn+10\; log10\; Tsys\; 290\; ,\; Tsys\; =Ta+Tr,\; P\_\{n,\backslash mathrm\{dBm\}\}=-174+10\backslash log\_\{10\}B\_n+10\backslash log\_\{10\}\backslash frac\{T\_\{\backslash mathrm\{sys\}\}\}\{290\},\; \backslash qquad\; T\_\{\backslash mathrm\{sys\}\}=T\_a+T\_r,$$ Pn,dBm=−174+10log10Bn+10log10290Tsys,Tsys=Ta+Tr,

其中 $Tr\; T\_r$ Tr 包含接收链与 ADC/抖动的等效噪声温度。若 ADC 噪声未包含在 $Tr\; T\_r$ Tr 中，应先把它的噪声功率（不是 dB 值）与 $kTrBn\; kT\_rB\_n$ kTrBn 相加，再取对数；不能把两个 dB 值直接相加。

两条路径不能混用： $Fant\; F\_\{\backslash mathrm\{ant\}\}$ Fant 与 $Tsys\; T\_\{\backslash mathrm\{sys\}\}$ Tsys 是同一噪声的两种表述，同时出现就是重复计算。工程上最简单的检查是：若表里已经有 $F=2.2\; dB\; F=2.2\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ F=2.2 dB，就不要再写" $Ta=290\; K\; T\_a=290\backslash \; \backslash mathrm\{K\}$ Ta=290 K，所以加 0 dB"；若表里用 $Tsys\; =341\; K\; T\_\{\backslash mathrm\{sys\}\}=341\backslash \; \backslash mathrm\{K\}$ Tsys=341 K，就不要再加 $FF$ F。下面的算例走路径 A。

表 2-5　噪声预算检查表

检查项	应写内容	常见错误
参考温度	$T0=290\; K\; T\_0=290\backslash \; \backslash mathrm\{K\}$ T0=290 K，或 $Tsys\; T\_\{\backslash mathrm\{sys\}\}$ Tsys 及 $Ta\; T\_a$ Ta	把 290 K 当实际天线温度
噪声带宽	$Bn\; B\_n$ Bn 及与 $B\; 3dB\; B\_\{3\backslash mathrm\{dB\}\}$ B3dB 的比值	用 3 dB 带宽代替 $Bn\; B\_n$ Bn
噪声系数参考面	天线端口/低噪放输入/ADC 输入	与馈线损耗重复
外部噪声	$Ta\; T\_a$ Ta 是否计入，取何场景	X 波段忽略、VHF 忽略
ADC	位数、采样率、满量程、ENOB	只写"12 位"
抖动	孔径抖动、输入频率	忽略高频段抖动
增益分配	前端增益、ADC 噪声折算	增益过低导致 ADC 主导
饱和/削波	最大输入、峰值因数、AGC	只算灵敏度不算动态范围

一个完整的噪声底算例： $Bn=0.5\; MHz\; B\_n=0.5\backslash \; \backslash mathrm\{MHz\}$ Bn=0.5 MHz、 $Fant\; =2.2\; dB\; F\_\{\backslash mathrm\{ant\}\}=2.2\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ Fant=2.2 dB、 $Ta\; T\_a$ Ta 按标准 290 K 处理，则
$$Pn=-174+10\; log10\; (5\times 105)+2.2=-174+56.99+2.2=-114.81\; dBm.\; P\_n=-174+10\backslash log\_\{10\}(5\backslash times10^5)+2.2=-174+56.99+2.2=-114.81\backslash \; \backslash mathrm\{dBm\}.$$ Pn=−174+10log10(5×105)+2.2=−174+56.99+2.2=−114.81 dBm.

若前端增益 50 dB、ADC 噪声系数 21 dB，则 ADC 贡献折算到输入端为 $21-50=-29\; dB21-50=-29\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ 21−50=−29 dB 的相对噪声系数，即 $Fsys\; F\_\{\backslash mathrm\{sys\}\}$ Fsys 仅增加 0.003 dB，可忽略。若把 $Bn\; B\_n$ Bn 误写成 $B\; 3dB\; =0.318\; MHz\; B\_\{3\backslash mathrm\{dB\}\}=0.318\backslash \; \backslash mathrm\{MHz\}$ B3dB=0.318 MHz（一阶滤波器），噪声底会低 1.96 dB，预算显得更乐观，实测却对不上。这类 2 dB 级的错误，往往被误判为"天线增益没达标"或"目标 RCS 偏小"。

噪声预算的最终输出不是一条线，而是一个区间： $Ta\; T\_a$ Ta 的场景差异、 $FF$ F 的批次差异、 $Bn\; B\_n$ Bn 的滤波器容差，各给出 0.2--2 dB 的不确定度。把这些不确定度带入 2.8 节的敏感度分析，才能回答"这个噪声底有多可信"。

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2.4 损耗体系：把每一项放在正确的路径上

2.4.1 损耗不是一种东西

预算表里的"损耗"至少包含四类，物理机制不同，计入方式也不同：

1. 传导/匹配损耗：馈线、环形器、滤波器、天线失配。能量在器件内变成热，按端口计一次。
2. 孔径/扫描损耗：天线有效面积随扫描角投影缩小，增益下降。它发生在天线口面，收发各一次，按双程计。
3. 传播损耗：大气吸收、雨衰、多径、遮挡。电磁波在路径上往返，按双程计。
4. 处理损耗：加窗、量化、CFAR、跨单元、积累失配。信号在算法中损失，按一次计。

四类损耗的数值可能相同，物理位置完全不同。把它们都叫"系统损耗 $LL$ L"没有错，但必须能拆开；拆不开，就无法判断哪一项在什么条件下会变、变多少、能不能通过设计改善。一个 8.5 dB 的总损耗，如果 2.2 dB 来自雨衰，那么晴天时雷达的实际性能比预算好 2.2 dB；如果 2 dB 来自天线罩，那么它随频率、入射角、雨淋状态变化，不能当成常数。

2.4.2 馈线、双工器与失配

馈线损耗按长度和频率给出，单位 dB/m。矩形波导在 X 波段的损耗约 0.05--0.15 dB/m，同轴电缆更高；20 m 的波导按 0.1 dB/m 计就是 2 dB。这个损耗在发射端降低发射功率，在接收端降低信号并抬高噪声系数。若收发共用一根馈线，发射和接收各计一次；若低噪放装在天线口面，接收馈线损耗就不存在，但发射馈线仍在。

失配损耗由电压驻波比（VSWR）引起。反射系数为
$$\mid \Gamma \mid =\; VSWR-1\; VSWR+1\; ,\; |\backslash Gamma|=\backslash frac\{\backslash mathrm\{VSWR\}-1\}\{\backslash mathrm\{VSWR\}+1\},$$ ∣Γ∣=VSWR+1VSWR−1,

失配损耗为
$$Lmismatch\; =-10\; log10\; (1-\mid \Gamma \mid 2)(dB).\; L\_\{\backslash mathrm\{mismatch\}\}=-10\backslash log\_\{10\}(1-|\backslash Gamma|^2)\backslash quad(\backslash mathrm\{dB\}).$$ Lmismatch=−10log10(1−∣Γ∣2)(dB).

数值：VSWR=2.0 时 $\mid \Gamma \mid =1/3|\backslash Gamma|=1/3$ ∣Γ∣=1/3， $L=0.51\; dB\; L=0.51\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ L=0.51 dB；VSWR=1.5 时 $\mid \Gamma \mid =0.2|\backslash Gamma|=0.2$ ∣Γ∣=0.2， $L=0.18\; dB\; L=0.18\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ L=0.18 dB；VSWR=3.0 时 $\mid \Gamma \mid =0.5|\backslash Gamma|=0.5$ ∣Γ∣=0.5， $L=1.25\; dB\; L=1.25\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ L=1.25 dB。天线端口驻波 2:1 是常见指标，对应 0.5 dB 的双程失配损耗（收发各 0.5 dB，合计 1 dB 功率）。很多预算表只写"驻波小于 2"，却不把它折成损耗，结果少算 1 dB。

环形器/双工器的损耗分发射支路和接收支路。环形器发射损耗 0.3--0.8 dB，接收损耗 0.3--0.8 dB；双工器（滤波型）插损更大，1--2 dB。若接收端低噪放前还有限幅器，再加 0.3--0.6 dB。这些损耗都在"端口内"，各计一次，不要因为"收发共用"就乘 2 后放进传播列。它们确实发生两次，但两次发生在不同支路、不同功率电平，应该分别放在发射列和接收列，而不是作为双程传播损耗。

隔离度不是损耗 。环形器隔离度 20 dB 表示发射泄漏到接收端被衰减 20 dB，它不衰减目标回波。预算里只有"目标回波经过的路径"才计损耗；隔离度用于评估接收机饱和/泄漏，不进入雷达方程的作用距离项。把隔离度当损耗计入 $LL$ L，会凭空多出 20 dB 的悲观。

2.4.3 天线罩与扫描损失

天线罩是收发共用的空间滤波器。电磁波往返各穿过一次，所以单程 0.5 dB 的天线罩对应双程 1.0 dB。天线罩损耗随入射角、频率、极化、雨淋/冰雪变化；正入射 0.3--0.8 dB，大扫描角可到 1--2 dB（单程）。预算应取"最坏扫描角 + 雨淋"的值，并注明条件。流水膜、积雪和冰层会使损耗增加数 dB，且难以预测；对长期无人值守的雷达，这是必须留的裕量。

扫描损失 来自天线口面的投影。对平面阵，波束偏离法向 $\theta \backslash theta$ θ 时，有效孔径按 $cos\theta \backslash cos\backslash theta$ cosθ 缩小，单程增益下降 $cos\theta \backslash cos\backslash theta$ cosθ，双程功率下降 $cos2\theta \backslash cos^2\backslash theta$ cos2θ：
$$Lscan\; =10\; log10\; 1cos2\theta \; =-20\; log10\; (cos\theta )(dB).\; L\_\{\backslash mathrm\{scan\}\}=10\backslash log\_\{10\}\backslash frac\{1\}\{\backslash cos^2\backslash theta\}=-20\backslash log\_\{10\}(\backslash cos\backslash theta)\backslash quad(\backslash mathrm\{dB\}).$$ Lscan=10log10cos2θ1=−20log10(cosθ)(dB).

数值： $\theta =30°\backslash theta=30°$ θ=30° 时 1.25 dB； $45°45°$ 45° 时 3.01 dB； $60°60°$ 60° 时 6.02 dB； $70°70°$ 70° 时 9.32 dB。这个损失增长很快，是相控阵搜索雷达把扫描范围限制在 ±60° 的主要原因。对圆柱阵/球面阵，扫描损失的定义不同，应按实际口面投影计算，不能直接套 $cos2\theta \backslash cos^2\backslash theta$ cos2θ。

扫描损失与增益只能算一次 。如果天线增益 $GG$ G 已经标注为"扫描角 $\theta \backslash theta$ θ 处的增益"，就不能再乘 $cos2\theta \backslash cos^2\backslash theta$ cos2θ；如果 $GG$ G 是法向增益，就必须乘。预算表要写" $G=38.75\; dB\; G=38.75\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ G=38.75 dB，法向"或" $G=37.5\; dB\; G=37.5\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ G=37.5 dB， $\theta =45°\backslash theta=45°$ θ=45° 含扫描损失"。两种写法都合法，混用则重复。更隐蔽的是波束宽度：扫描时波束展宽，波位数减少，驻留时间增加，搜索方程里的 $GG$ G 和 $Nb\; N\_b$ Nb 同时变化；这时应直接用"扫描角处的增益和波束宽度"重算，而不是在法向预算上补一个损耗了事。

2.4.4 极化损失

极化失配损耗为
$$Lpol\; =-10\; log10\; \mid \rho t\cdot \rho r\mid 2(dB),\; L\_\{\backslash mathrm\{pol\}\}=-10\backslash log\_\{10\}|\backslash boldsymbol\{\backslash rho\}\_t\backslash cdot\backslash boldsymbol\{\backslash rho\}\_r|^2\backslash quad(\backslash mathrm\{dB\}),$$ Lpol=−10log10∣ρt⋅ρr∣2(dB),

其中 $\rho t,\rho r\; \backslash boldsymbol\{\backslash rho\}\_t,\backslash boldsymbol\{\backslash rho\}\_r$ ρt,ρr 为发射/接收极化单位矢量。几种典型情况：

• 线极化对线极化，夹角 $\psi \backslash psi$ ψ： $Lpol\; =-20\; log10\; (cos\psi )\; L\_\{\backslash mathrm\{pol\}\}=-20\backslash log\_\{10\}(\backslash cos\backslash psi)$ Lpol=−20log10(cosψ)。 $\psi =30°\backslash psi=30°$ ψ=30° 时 1.25 dB； $45°45°$ 45° 时 3.01 dB； $90°90°$ 90° 时无穷大（正交隔离）。
• 圆极化对线极化：理想情况下 3.01 dB（圆极化的一半功率被接收）。
• 圆极化对圆极化，旋向相反：理想隔离；旋向相同：0 dB。
• 实际天线有轴比，交叉极化隔离 20--30 dB；圆极化对线极化的损失在 3 dB 附近波动，取决于轴比和相位。

雨滴在微波频段近似扁椭球，会引入差分衰减和差分相移，使线极化波去极化；大雨时交叉极化分量可达 $-20-20$ −20-- $-30\; dB\; -30\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ −30 dB。对双极化雷达，这是信息（可反演雨滴形状），对单极化雷达，这是损失。目标本身也会改变极化：复杂目标的交叉极化 RCS 可能比同极化低 5--15 dB，但对隐身目标，交叉极化可能成为主要特征。

极化损失通常只有 0.2--1 dB，容易被忽略；但在圆极化/线极化混用、天线倾斜安装、卫星/目标滚动的情况下，3 dB 级的错误很常见。预算表应写"发射极化、接收极化、目标极化假设"，而不是只写一个"极化损失 0.3 dB"。

2.4.5 处理损失：脉压、加窗、量化、CFAR、跨单元

脉压加窗损失 ：为压低距离旁瓣，LFM 脉压常用 Hamming、Taylor、Kaiser 等窗。窗函数降低旁瓣的同时展宽主瓣、降低峰值，带来信噪比损失。典型值：矩形窗 0 dB（旁瓣 $-13.3\; dB\; -13.3\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ −13.3 dB）、Hamming 1.34 dB（旁瓣 $-42.8\; dB\; -42.8\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ −42.8 dB）、Hanning 1.76 dB、Taylor（ $-35\; dB\; -35\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ −35 dB）约 1.2--1.5 dB、Kaiser（ $\beta =6\backslash beta=6$ β=6）约 1.1 dB。选择窗函数是"旁瓣 vs 信噪比"的折中，不是免费的。

量化损失 ：ADC 位数不足或信号未充分利用满量程时，量化噪声增加。相对理想无限精度，3 位量化的损失约 0.5 dB，4 位约 0.2 dB，6 位以上可忽略；但这是在同一定标、无过载的条件下。若为了防过载把信号压到满量程的 1/4（ $-12\; dB\; -12\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ −12 dB），量化信噪比下降 12 dB，远大于位数本身的影响。量化损失应与 2.3.8 节的 ADC 噪声系数统一口径，不能一边算 ADC 噪声系数、一边再乘量化损失。

CFAR 损失 ：恒虚警处理用参考单元估计噪声/杂波电平，估计误差使门限高于理想值，带来检测损失。CA-CFAR 在均匀杂波、参考单元数 $N=16N=16$ N=16-- $3232$ 32、 $Pfa\; =10-6\; P\_\{fa\}=10^\{-6\}$ Pfa=10−6 时，相对已知噪声电平的损失约 1--2 dB； $NN$ N 越小、 $Pfa\; P\_\{fa\}$ Pfa 越低，损失越大；多目标/杂波边缘环境下，CA-CFAR 还会因遮蔽/边缘效应额外损失，需改用 OS-CFAR、GO-CFAR 等。CFAR 的具体统计在第 8 章展开，本章只把它作为一项预算损失。

跨单元损失 ：目标不在距离/多普勒采样中心时，匹配滤波输出低于峰值。距离维：采样间隔等于分辨单元、目标位于两采样点中间时，三角峰降到一半，损失 6 dB；2 倍过采样时最坏 2.5 dB；4 倍过采样时最坏 1.2 dB。多普勒维：矩形窗相参积累、目标位于两多普勒滤波器中间时， $sinc(0.5)=0.637\; \backslash mathrm\{sinc\}(0.5)=0.637$ sinc(0.5)=0.637，损失 3.92 dB；加窗后主瓣展宽，最坏损失降到 1--2 dB，但相邻滤波器有交叠。工程上常按 1--2 dB 计跨单元损失，前提是过采样/滤波器交叠足够；若采样率刚好等于信号带宽、滤波器正交且无交叠，必须按 3.9--6 dB 计。

处理损失不能重复 ：脉压增益、积累增益、加窗损失、CFAR 损失是四个不同的量。脉压增益由 $BTp\; BT\_p$ BTp 决定，加窗损失是脉压的代价；积累增益由脉冲数/驻留时间决定，跨单元损失是积累的代价；CFAR 损失是门限估计的代价。把它们都塞进一个"处理损失 3 dB"里，就无法判断哪一项可以通过算法改善。

2.4.6 传播损失：大气、雨、多径

大气吸收：氧气和水汽在特定频率吸收。海平面水平路径的典型量级：1--3 GHz 约 0.01 dB/km；10 GHz 约 0.01--0.03 dB/km；22 GHz 水汽线附近 0.1--0.3 dB/km；35 GHz 约 0.1--0.3 dB/km；60 GHz 氧气线附近可达 10--15 dB/km。对 70 km、10 GHz 的路径，单程约 1--2 dB，双程 2--4 dB；对 3 GHz 的 SAR，30 km 路径单程不到 0.5 dB，通常可忽略。精确值应查 ITU-R P.676 或当地大气模型，不能用"0.1 dB/km"一刀切。

雨衰：雨滴的吸收和散射使微波衰减，比衰减可用
$$\gamma =kR\alpha (dB/km),\; \backslash gamma=kR^\backslash alpha\backslash quad(\backslash mathrm\{dB/km\}),$$ γ=kRα(dB/km),

其中 $RR$ R 为雨强（mm/h）， $k,\alpha k,\backslash alpha$ k,α 依赖频率、极化、雨滴谱。10 GHz、水平极化、 $R=10\; mm/h\; R=10\backslash \; \backslash mathrm\{mm/h\}$ R=10 mm/h 时， $\gamma \approx 0.2\; dB/km\; \backslash gamma\backslash approx0.2\backslash \; \backslash mathrm\{dB/km\}$ γ≈0.2 dB/km；3 GHz 时约 0.01 dB/km；35 GHz 时约 1 dB/km。雨衰不是把整个路径都按同一雨强计算：强降雨通常局限在几公里的雨胞内，路径越长，同时充满强雨的概率越低。工程上用有效路径长度
$$Le=Ls\cdot r,r=\; 1\; 1+Ls/L0\; ,\; L\_e=L\_s\backslash cdot\; r,\backslash qquad\; r=\backslash frac\{1\}\{1+L\_s/L\_0\},$$ Le=Ls⋅r,r=1+Ls/L01,

其中 $Ls\; L\_s$ Ls 为实际路径长度， $L0\; L\_0$ L0 为雨胞特征尺度（约 20--25 km）。对 70 km 路径， $r\approx 0.24r\backslash approx0.24$ r≈0.24，有效长度约 17 km；若整条路径均匀 10 mm/h，双程雨衰为 $2\times 0.2\times 17=6.8\; dB2\backslash times0.2\backslash times17=6.8\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ 2×0.2×17=6.8 dB；若按 5 km 雨胞计，双程只有 2.0 dB。两者差 4.8 dB，正好是"晴天/雨天作用距离"的差别。预算必须写明"均匀雨衰"还是"雨胞模型"，不能只写"雨衰 3 dB"。

多径：地面/海面反射形成两径传播，接收场为
$$E=E0(1+\Gamma ej\Delta \varphi ),\Delta \varphi =\; 4\pi hthr\; \lambda R\; ,\; E=E\_0\backslash left(1+\backslash Gamma\; e^\{j\backslash Delta\backslash phi\}\backslash right),\backslash qquad\; \backslash Delta\backslash phi=\backslash frac\{4\backslash pi\; h\_t\; h\_r\}\{\backslash lambda\; R\},$$ E=E0(1+ΓejΔϕ),Δϕ=λR4πhthr,

其中 $ht,hr\; h\_t,h\_r$ ht,hr 为收发天线高度， $\Gamma \backslash Gamma$ Γ 为反射系数。传播因子为
$$Fp=\mid 1+\Gamma ej\Delta \varphi \mid .\; F\_p=\backslash left|1+\backslash Gamma\; e^\{j\backslash Delta\backslash phi\}\backslash right|.$$ Fp= 1+ΓejΔϕ .

当 $\Gamma =-1\backslash Gamma=-1$ Γ=−1、 $\Delta \varphi =0\backslash Delta\backslash phi=0$ Δϕ=0 时， $Fp=0\; F\_p=0$ Fp=0，形成深度衰落；当 $\Delta \varphi =\pi \backslash Delta\backslash phi=\backslash pi$ Δϕ=π 时， $Fp=2\; F\_p=2$ Fp=2，功率比自由空间高 6 dB。低仰角目标在距离/高度变化时穿过一系列瓣，信号起伏可达 10--20 dB。粗糙表面使 $\mid \Gamma \mid |\backslash Gamma|$ ∣Γ∣ 下降，瓣的深度变浅；海面比平静水面更"粗糙"，但仍有明显 lobing。对低空/海面目标，预算要么按瓣的平均值（约 0 dB）加 3--6 dB 衰落裕量，要么用射线追踪/多径模型逐点计算。把多径当成一个固定损耗（例如 3 dB）只是粗略折中，不能预测深衰落。

遮挡/绕射：山体、建筑、地形遮挡使信号按绕射衰减，菲涅尔区被遮挡时损耗迅速增加。工程上常用"视距 + 余隙"判断，余隙小于第一菲涅尔半径的 60% 时开始明显衰减。对地面雷达，这是选址问题，不是预算表能修正的；一旦遮挡，增加 10 dB 功率也未必有效。

2.4.7 损耗树与重复计算检查

把上述损耗按"发射---传播---接收---处理"画成一棵树，每个叶子标注数值、程数、参考面。表 2-6 是一个 X 波段搜索雷达的损耗树示例，总计 8.5 dB，与 2.10 节的案例一致。

表 2-6　X 波段搜索雷达损耗树示例

分支	损耗项	数值（dB）	程数	说明
发射	发射馈线/环形器	1.0	1	发射机到天线
传播	天线罩	1.0	2	单程 0.5 dB
传播	扫描损失	1.5	2	扫描角约 32°
传播	极化失配	0.3	2	目标/天线极化
传播	大气吸收	0.4	2	70 km，晴空
传播	雨衰	2.2	2	5 km 雨胞，10 mm/h
处理	脉压加窗	1.0	1	Hamming 类
处理	CFAR	0.8	1	CA-CFAR
处理	跨单元	0.3	1	2 倍过采样
合计		8.5		不含检测/积累

这张表的关键不是数值，而是"每一行的程数能对上物理位置"。天线罩在传播分支、按双程；发射馈线在发射分支、按单程；CFAR 在处理分支、按单程。若把天线罩放进"接收损耗"并只算一次，总计会少 0.5 dB；若把发射馈线按双程算，会多 1 dB。两种错误都很常见，且都不会被"总计 8.5 dB"本身发现。

重复计算检查清单：

1. $FF$ F 的参考面之前是否又列了馈线/环形器损耗？
2. 天线增益是否已含扫描损失，又乘了 $cos2\theta \backslash cos^2\backslash theta$ cos2θ？
3. 脉压增益是否与"单脉冲 SNR"重复？
4. 积累增益是否与驻留时间 $Td\; T\_d$ Td 重复？
5. 量化噪声是否已计入 ADC 噪声系数，又乘了量化损失？
6. 天线罩/大气/雨衰是否只算了一次而不是双程？
7. 极化损失是否与"交叉极化隔离"混为一谈？
8. 多径/遮挡是否既算了固定损耗，又加了衰落裕量？

这八条对应八种最常见的 1--3 dB 错误。把它们做成预算表的自动检查项，比事后争论"为什么实测差 3 dB"有效得多。

2.4.8 损耗的统计：最坏值、均方根与裕量

每个损耗都有不确定度。天线罩 1.0 dB 可能是 0.8--1.5 dB，雨衰 2.2 dB 可能是 0--8 dB，CFAR 0.8 dB 可能是 0.5--1.5 dB。把这些不确定度简单相加，会得到过于悲观的"最坏情况"；按均方根相加，会得到偏乐观的"典型情况"。正确做法是区分两种裕量：

• 设计裕量：用于覆盖不可预测的环境/制造偏差，按最坏情况或 95% 分位取值。
• 不确定度裕量：用于覆盖"我们不知道这个数是多少"，按统计分布合成，通常用 RSS。

例如 8 项损耗，每项标称 1 dB、不确定度 0.3 dB（1σ）。最坏情况总和为 $8+8\times 0.3=10.4\; dB8+8\backslash times0.3=10.4\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ 8+8×0.3=10.4 dB；RSS 为 $8+8\times 0.3=8.85\; dB\; 8+\backslash sqrt\{8\}\backslash times0.3=8.85\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ 8+8 ×0.3=8.85 dB；95% 分位（1.65σ）为 $8+1.65\times 0.849=9.40\; dB8+1.65\backslash times0.849=9.40\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ 8+1.65×0.849=9.40 dB。三者相差 1.5 dB。若预算只写"8 dB"，实测落在 8.85--10.4 dB 都不奇怪；若预算写"8 dB ± 0.85 dB（1σ）"，评审就能判断裕量是否足够。

损耗的统计特性还随条件变化：晴天/雨天、法向/扫描边缘、冷/热、新/旧天线罩。一个负责任的预算表会给出"标称、最坏、统计"三列，而不是一个孤零零的数字。2.8 节会把这种思想推广到全部参数，用对数偏导和蒙特卡罗给出裕量的分布。

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2.5 搜索雷达方程与搜索屏

2.2.6 已经把搜索方程写成了一个代数式：把每波位驻留时间代入能量形式，再用波位数把 $Td\; T\_d$ Td 换成 $Tf/Nb\; T\_f/N\_b$ Tf/Nb。那个式子回答了"平均功率要多少"，却没有回答三个更基本的问题：搜索空域到底有多大、波位怎么排、帧时间被谁占用。实际评审中，预算表上写" $Pav\; =542\; W\; P\_\{av\}=542\backslash \; \backslash mathrm\{W\}$ Pav=542 W"并不够，必须同时写"在什么搜索屏、多少波位、每波位几个脉冲、帧周期多长、允不允许边扫描边跟踪"的条件。换一个搜索屏，542 W 可以变成 2 kW，也可以变成 200 W，而雷达方程本身没有任何变化。

这一节把搜索方程拆成几何、时间、能量三层。几何决定 $\Omega \backslash Omega$ Ω 和 $Nb\; N\_b$ Nb，时间决定 $Tf\; T\_f$ Tf 和 $Td\; T\_d$ Td，能量决定 $Pav\; Td\; P\_\{av\}T\_d$ PavTd。三层都写清楚，搜索距离才是一个可复核的承诺。

检测门限的接口 ：2.1.6 的路线图把检测放在 2.5 节；检测曲线的完整推导在第 4 章，本节只取预算所需的几个数。对 $Pd=0.9\; P\_d=0.9$ Pd=0.9、 $Pfa\; =10-6\; P\_\{fa\}=10^\{-6\}$ Pfa=10−6、单脉冲，Swerling 0/1/3 的所需信噪比约为 13.2/21.2/17.3 dB，Swerling 2/4 在单脉冲时分别与 1/3 同分布；相参积累 $NN$ N 个脉冲时，Swerling 0 的总信噪比仍为 13.2 dB（单脉冲需求降 $10\; log10\; N\; 10\backslash log\_\{10\}N$ 10log10N），非相参积累的额外损失在 $N=10N=10$ N=10 时约 2.1 dB、 $N=100N=100$ N=100 时约 5.6 dB。本章把"检测曲线值 + 波束形状"放入 $SNRreq\; \backslash mathrm\{SNR\}\_\{\backslash mathrm\{req\}\}$ SNRreq，把 CFAR/跨单元放入 $LL$ L，两者只计一次。可运行代码与两个完整案例分别在 2.9、2.10 节。

2.5.1 搜索空域的立体角：从"360°×2°"到球带积分

搜索屏最常用的描述是"方位 $360\circ 360^\backslash circ$ 360∘、俯仰 $0\circ 0^\backslash circ$ 0∘-- $2\circ 2^\backslash circ$ 2∘"。这不是一个矩形，而是球面上的一条带。设方位范围为 $\Delta \phi \backslash Delta\backslash varphi$ Δφ（rad），俯仰下限和上限为 $\epsilon 1,\epsilon 2\; \backslash varepsilon\_1,\backslash varepsilon\_2$ ε1,ε2（rad，相对水平面），则搜索立体角为
$$\Omega =\; \int \epsilon 1\epsilon 2\; \int 0\Delta \phi \; cos\epsilon \hspace{0.17em}d\phi \hspace{0.17em}d\epsilon =\Delta \phi \; (sin\epsilon 2-sin\epsilon 1)\; (sr).\; \backslash Omega=\backslash int\_\{\backslash varepsilon\_1\}^\{\backslash varepsilon\_2\}\backslash int\_\{0\}^\{\backslash Delta\backslash varphi\}\backslash cos\backslash varepsilon\backslash ,d\backslash varphi\backslash ,d\backslash varepsilon\; =\backslash Delta\backslash varphi\backslash left(\backslash sin\backslash varepsilon\_2-\backslash sin\backslash varepsilon\_1\backslash right)\backslash quad(\backslash mathrm\{sr\}).$$ Ω=∫ε1ε2∫0Δφcosεdφdε=Δφ(sinε2−sinε1)(sr).

这个积分假设波束在方位上均匀覆盖、俯仰上按球带切割。对 $360\circ 360^\backslash circ$ 360∘ 方位、 $0\circ 0^\backslash circ$ 0∘-- $2\circ 2^\backslash circ$ 2∘ 俯仰：
$$\Omega =2\pi (sin2\circ -0)=2\pi \times 0.03490=0.2193\; sr.\; \backslash Omega=2\backslash pi\backslash left(\backslash sin2^\backslash circ-0\backslash right)=2\backslash pi\backslash times0.03490=0.2193\backslash \; \backslash mathrm\{sr\}.$$ Ω=2π(sin2∘−0)=2π×0.03490=0.2193 sr.

2.10 节的 X 波段案例取 $0.2177\; sr\; 0.2177\backslash \; \backslash mathrm\{sr\}$ 0.2177 sr，差 0.7%，来自低仰角遮挡和方位扇区边缘的加权；在预算表里应写成"标称 0.2193，有效 0.2177"，而不是把一个积分值和一 个经验值混用。

表 2-7 给出几种典型搜索屏的立体角。注意"方位 360°、俯仰 20°"的立体角是 $2.149\; sr\; 2.149\backslash \; \backslash mathrm\{sr\}$ 2.149 sr，约为"360°×2°"的 9.8 倍；在同样的波束和帧时间下，波位数和所需平均功率也近似按 9.8 倍增加。很多"为什么我的雷达只有 30 km"的问题，根源不是功率不够，而是搜索屏从 2° 改成了 20°，指标却没有跟着改。

表 2-7　典型搜索屏的立体角

方位范围	俯仰范围	立体角（sr）	相对 360°×2°
360°	0°--2°	0.2193	1.00
360°	0°--10°	1.092	4.98
360°	0°--20°	2.149	9.80
120°	0°--10°	0.364	1.66
90°	0°--20°	0.537	2.45
60°	0°--40°	0.673	3.07

表 2-7 只算了几何。实际有效立体角还要扣除三类"看不见"的区域：

1. 地球曲率与地形遮挡。在 4/3 等效地球半径模型下，雷达视距近似为

$$Rh\approx 4.12\; (\; ht\; +\; hr\; )\; (km),\; R\_h\backslash approx4.12\backslash left(\backslash sqrt\{h\_t\}+\backslash sqrt\{h\_r\}\backslash right)\backslash quad(\backslash mathrm\{km\}),$$ Rh≈4.12(ht +hr )(km),

其中 $ht,hr\; h\_t,h\_r$ ht,hr 为雷达和目标高度（m）。雷达架高 20 m、目标高度 100 m 时， $Rh\approx 4.12(4.47+10)=59.6\; km\; R\_h\backslash approx4.12(4.47+10)=59.6\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ Rh≈4.12(4.47+10)=59.6 km；目标在 70 km 处必须高于约 180 m 才能被直视。若搜索屏下限是 0°，这 0°--0.15° 的条带在 70 km 处实际是"地平线以下"，不能计入有效 $\Omega \backslash Omega$ Ω。

2. 近区盲区 。发射脉冲期间接收机不能工作，最小作用距离为 $Rmin=c(Tp+Tg)/2\; R\_\{\backslash min\}=c(T\_p+T\_g)/2$ Rmin=c(Tp+Tg)/2， $Tg\; T\_g$ Tg 为收发切换保护时间。 $Tp=66\; \mu s\; T\_p=66\backslash \; \backslash mu\backslash mathrm\{s\}$ Tp=66 μs、 $Tg=5\; \mu s\; T\_g=5\backslash \; \backslash mu\backslash mathrm\{s\}$ Tg=5 μs 时， $Rmin\approx 10.7\; km\; R\_\{\backslash min\}\backslash approx10.7\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ Rmin≈10.7 km。这一段不是"搜索屏"的一部分，但在时间预算里仍然占用脉冲重复周期。

3. 强杂波/干扰扇区 。低仰角的地物、海杂波可能使 CFAR 门限升高，等效于这些波位的检测性能下降。工程上要么把这些波位剔除，要么给它们单独的杂波图/更低的事件率；无论哪种， $\Omega \backslash Omega$ Ω 的有效值都小于几何值。

因此，搜索方程里的 $\Omega \backslash Omega$ Ω 应该是"几何立体角 × 有效系数"，有效系数通常 0.85--0.98。把它写成 1 并不会让雷达变差，只会让预算变乐观。

2.5.2 波位、波束立体角与驻留时间

波位数由搜索空域除以每个波位覆盖的立体角：
$$Nb=\; \Omega \Omega b\; .\; N\_b=\backslash frac\{\backslash Omega\}\{\backslash Omega\_b\}.$$ Nb=ΩbΩ.

$\Omega b\; \backslash Omega\_b$ Ωb 不是简单的"方位波束宽度 × 俯仰波束宽度"，而是波位在球面上的实际覆盖面积。若波位之间留重叠， $\Omega b\; \backslash Omega\_b$ Ωb 应取"波位间距"围成的面积，而不是 3 dB 波束面积。天线增益与波束立体角的关系为
$$G=\; 4\pi \; \Omega eff\; ,\; \Omega eff\; =\; 4\pi G\; ,\; G=\backslash frac\{4\backslash pi\}\{\backslash Omega\_\{\backslash mathrm\{eff\}\}\},\backslash qquad\; \backslash Omega\_\{\backslash mathrm\{eff\}\}=\backslash frac\{4\backslash pi\}\{G\},$$ G=Ωeff4π,Ωeff=G4π,

其中 $\Omega eff\; \backslash Omega\_\{\backslash mathrm\{eff\}\}$ Ωeff 是对整个天线方向图积分得到的等效波束立体角。对常用的锥削口径，3 dB 波束立体角约为 $\Omega eff\; \backslash Omega\_\{\backslash mathrm\{eff\}\}$ Ωeff 的 0.65--0.75；波位间距通常取 3 dB 波束宽度的 0.65--0.85，于是波位面积还要再乘 0.42--0.72。把这两个因子合并，得到
$$\Omega b=\eta b\; 4\pi G\; ,\eta b=\; \eta shape\; \hspace{0.17em}\; \eta spacing\; \hspace{0.17em}\; \eta edge\; ,\; \backslash Omega\_b=\backslash eta\_b\backslash frac\{4\backslash pi\}\{G\},\backslash qquad\; \backslash eta\_b=\backslash eta\_\{\backslash mathrm\{shape\}\}\backslash ,\backslash eta\_\{\backslash mathrm\{spacing\}\}\backslash ,\backslash eta\_\{\backslash mathrm\{edge\}\},$$ Ωb=ηbG4π,ηb=ηshapeηspacingηedge,

其中 $\eta shape\; \approx 0.70\; \backslash eta\_\{\backslash mathrm\{shape\}\}\backslash approx0.70$ ηshape≈0.70 是 3 dB 波束面积与等效波束面积之比， $\eta spacing\; \approx 0.42\; \backslash eta\_\{\backslash mathrm\{spacing\}\}\backslash approx0.42$ ηspacing≈0.42 对应两个方向都取 0.65 倍波束宽度的间距， $\eta edge\; \approx 1.0\; \backslash eta\_\{\backslash mathrm\{edge\}\}\backslash approx1.0$ ηedge≈1.0 表示边缘波位不额外缩小。三者相乘 $\eta b\approx 0.294\; \backslash eta\_b\backslash approx0.294$ ηb≈0.294，正是 2.10 节案例使用的 0.295。

审计要点 ： $\eta b\; \backslash eta\_b$ ηb 只描述"波位编排效率"，不包含扫描损失。扫描损失（波束偏离法向时增益下降）应放在 $LL$ L 里，按双程计；若把扫描损失也塞进 $\eta b\; \backslash eta\_b$ ηb，搜索方程会把它算两次。 $\eta b\; \backslash eta\_b$ ηb 也不包含 CFAR、脉压、量化等处理损失，那些同样在 $LL$ L 里。

波位数确定后，每个波位的驻留时间为
$$Td=\; TfNb\; =\; Tf\hspace{0.17em}\eta bG\; 4\pi \Omega \; .\; T\_d=\backslash frac\{T\_f\}\{N\_b\}=\backslash frac\{T\_f\backslash ,\backslash eta\_b\; G\}\{4\backslash pi\backslash Omega\}.$$ Td=NbTf=4πΩTfηbG.

这里的 $Tf\; T\_f$ Tf 是"净搜索时间"，即所有波位驻留时间之和，不含扫描机构换向、波束建立、TWS 插入跟踪、任务调度等开销。实际帧周期为
$$T\; f,frame\; =\; Tf\; \eta sched\; ,\; \eta sched\; \approx 0.85--0.95.\; T\_\{f,\backslash mathrm\{frame\}\}=\backslash frac\{T\_f\}\{\backslash eta\_\{\backslash mathrm\{sched\}\}\},\backslash qquad\; \backslash eta\_\{\backslash mathrm\{sched\}\}\backslash approx0.85\backslash text\{--\}0.95.$$ Tf,frame=ηschedTf,ηsched≈0.85--0.95.

若 $Tf=11\; s\; T\_f=11\backslash \; \backslash mathrm\{s\}$ Tf=11 s、 $\eta sched\; =0.89\; \backslash eta\_\{\backslash mathrm\{sched\}\}=0.89$ ηsched=0.89，帧周期为 12.4 s，搜索更新率约 0.081 Hz。这个数字必须和"帧时间 11 s"分开写；把净搜索时间和帧周期混为一谈，会在跟踪插入后出现"为什么更新率掉了 12%"的争议。

驻留时间内能放多少个脉冲，由 PRF 和收发切换决定：
$$Np=\; \lfloor Td\hspace{0.17em}PRF\rfloor \; ,Td\ge NpTr+Tg.\; N\_p=\backslash left\backslash lfloor\; T\_d\backslash ,\backslash mathrm\{PRF\}\backslash right\backslash rfloor,\backslash qquad\; T\_d\backslash ge\; N\_pT\_r+T\_g.$$ Np=⌊TdPRF⌋,Td≥NpTr+Tg.

$Td=25\; ms\; T\_d=25\backslash \; \backslash mathrm\{ms\}$ Td=25 ms、PRF $=1500\; Hz\; =1500\backslash \; \backslash mathrm\{Hz\}$ =1500 Hz 时， $Np=37\; N\_p=37$ Np=37（占用 24.67 ms），留 0.33 ms 给波束建立和切换。若为了多放几个脉冲把 PRF 提到 2000 Hz， $Np=50\; N\_p=50$ Np=50，但最大不模糊距离从 100 km 降到 75 km；对 70 km 的目标，这已经把距离折叠放在门口。PRF 不是"越高越好"的参数，它同时被搜索距离、脉冲数、占空比和距离模糊约束。

每个波位的能量为
$$Eb=\; Pav\; Td=\; Pav\; TfNb\; .\; E\_b=P\_\{av\}T\_d=P\_\{av\}\backslash frac\{T\_f\}\{N\_b\}.$$ Eb=PavTd=PavNbTf.

整个搜索帧的能量为 $Es=\; Pav\; Tf=NbEb\; E\_s=P\_\{av\}T\_f=N\_bE\_b$ Es=PavTf=NbEb。这两个式子是搜索预算的核心：帧能量是总账，波位能量是分账，波位数是除数 。增加波位数、缩短帧时间、降低平均功率，三者任取其一，都会减少每个波位的能量；而作用距离只按 $Eb1/4\; E\_b^\{1/4\}$ Eb1/4 变化。

2.5.3 搜索方程的完整推导：从单波位信噪比到资源形式

现在从单波位信噪比出发，把几何和时间逐层代入。假设：

• 单基地、收发共用天线， $Gt=Gr=G\; G\_t=G\_r=G$ Gt=Gr=G；
• 目标在波束中心，RCS 为常数 $\sigma \backslash sigma$ σ，极化匹配；
• 每个波位的驻留时间相同，波位按网格划分，重叠与边缘损失已折入 $\eta b\; \backslash eta\_b$ ηb；
• 检测所需信噪比为 $SNRreq\; \backslash mathrm\{SNR\}\_\{\backslash mathrm\{req\}\}$ SNRreq，已在 2.3--2.4 节折算到天线端口；
• 损耗 $LL$ L、噪声系数 $FF$ F 均为线性值，参考面一致。

单波位、 $Np\; N\_p$ Np 个脉冲的匹配滤波信噪比为
$$SNRb\; =\; Pav\; TdG2\lambda 2\sigma \; (4\pi )3R4L\hspace{0.17em}kT0F\; .\; \backslash mathrm\{SNR\}$$b=\frac{P{av}T_dG^2\lambda^2\sigma}{(4\pi)^3R^4L\,kT_0F}. SNRb=(4π)3R4LkT0FPavTdG2λ2σ.

把 $Td=Tf/Nb\; T\_d=T\_f/N\_b$ Td=Tf/Nb 代入：
$$SNRb\; =\; Pav\; TfG2\lambda 2\sigma \; Nb(4\pi )3R4L\hspace{0.17em}kT0F\; .\; \backslash mathrm\{SNR\}$$b=\frac{P{av}T_fG^2\lambda^2\sigma}{N_b(4\pi)^3R^4L\,kT_0F}. SNRb=Nb(4π)3R4LkT0FPavTfG2λ2σ.

再把 $Nb=\Omega /\Omega b\; N\_b=\backslash Omega/\backslash Omega\_b$ Nb=Ω/Ωb、 $\Omega b=4\pi \eta b/G\; \backslash Omega\_b=4\backslash pi\backslash eta\_b/G$ Ωb=4πηb/G 代入。先算 $Nb\; N\_b$ Nb：
$$Nb=\; \Omega G\; 4\pi \eta b\; .\; N\_b=\backslash frac\{\backslash Omega\; G\}\{4\backslash pi\backslash eta\_b\}.$$ Nb=4πηbΩG.

于是
$$SNRb\; =\; Pav\; TfG2\lambda 2\sigma \; (4\pi )3R4L\hspace{0.17em}kT0F\; \cdot \; 4\pi \eta b\; \Omega G\; =\; Pav\; Tf\hspace{0.17em}\eta b\hspace{0.17em}G\hspace{0.17em}\lambda 2\sigma \; 16\pi 2\Omega R4L\hspace{0.17em}kT0F\; .\; \backslash mathrm\{SNR\}$$b=\frac{P{av}T_fG^2\lambda^2\sigma}{(4\pi)^3R^4L\,kT_0F}\cdot\frac{4\pi\eta_b}{\Omega G} =\frac{P_{av}T_f\,\eta_b\,G\,\lambda^2\sigma}{16\pi^2\Omega R^4L\,kT_0F}. SNRb=(4π)3R4LkT0FPavTfG2λ2σ⋅ΩG4πηb=16π2ΩR4LkT0FPavTfηbGλ2σ.

这就是搜索方程的信噪比形式 。与 2.2.5 的单波位形式相比， $G2G^2$ G2 变成了 $GG$ G， $Td\; T\_d$ Td 变成了 $Tf\; T\_f$ Tf，分母多出 $\Omega \backslash Omega$ Ω 和 $16\pi 216\backslash pi^2$ 16π2。这不是近似，而是"增益越高、波束越窄、波位越多、每波位时间越少"的严格结果。

令 $SNRb\; =\; SNRreq\; \backslash mathrm\{SNR\}$b=\mathrm{SNR}{\mathrm{req}} SNRb=SNRreq，反解距离：
$$Rmax=$$ Pav Tf ηb G λ2σ 16π2Ω L kT0F  SNRreq 1/4 \boxed{ R_{\max}=\left \\frac{P_{av}T_f\\,\\eta_b\\,G\\,\\lambda\^2\\sigma} {16\\pi\^2\\Omega\\,L\\,kT_0F\\,\\mathrm{SNR}_{\\mathrm{req}}} \\right^{1/4} } Rmax=16π2ΩLkT0FSNRreqPavTfηbGλ2σ1/4

用有效孔径 $Ae=G\lambda 2/(4\pi )\; A\_e=G\backslash lambda^2/(4\backslash pi)$ Ae=Gλ2/(4π) 改写，得到更常用的资源形式：
$$Rmax=$$ Pav Tf ηb Ae σ 4πΩ L kT0F  SNRreq 1/4 \boxed{ R_{\max}=\left \\frac{P_{av}T_f\\,\\eta_b\\,A_e\\,\\sigma} {4\\pi\\Omega\\,L\\,kT_0F\\,\\mathrm{SNR}_{\\mathrm{req}}} \\right^{1/4} } Rmax=4πΩLkT0FSNRreqPavTfηbAeσ1/4

这两个式子是等价的：把 $Ae=G\lambda 2/(4\pi )\; A\_e=G\backslash lambda^2/(4\backslash pi)$ Ae=Gλ2/(4π) 代入第二式，分子多出 $4\pi 4\backslash pi$ 4π，分母的 $4\pi 4\backslash pi$ 4π 抵消，回到第一式。第二式的物理意义更清楚：

• $Pav\; Tf\; P\_\{av\}T\_f$ PavTf 是一帧内可用的总能量（J），不是功率；
• $Ae\; A\_e$ Ae 是接收有效面积（m²），不是增益；
• $\sigma \backslash sigma$ σ 是目标截面（m²）；
• $\Omega \backslash Omega$ Ω 是搜索空域（sr）， $4\pi \Omega 4\backslash pi\backslash Omega$ 4πΩ 是把"全空间"分摊到搜索屏的几何因子；
• $L,F,\; SNRreq\; L,F,\backslash mathrm\{SNR\}\_\{\backslash mathrm\{req\}\}$ L,F,SNRreq 是系统与检测的代价。

若把 $Pav\; P\_\{av\}$ Pav 反解出来，就是 2.2.6 的形式：
$$Pav\; =\; 4\pi \Omega R4L\hspace{0.17em}kT0F\hspace{0.17em}\; SNRreq\; Ae\sigma Tf\hspace{0.17em}\eta b\; .\; P\_\{av\}=\backslash frac\{4\backslash pi\backslash Omega\; R^4L\backslash ,kT\_0F\backslash ,\backslash mathrm\{SNR\}\_\{\backslash mathrm\{req\}\}\}\{A\_e\backslash sigma\; T\_f\backslash ,\backslash eta\_b\}.$$ Pav=AeσTfηb4πΩR4LkT0FSNRreq.

四个形式（SNR、R、 $Pav\; P\_\{av\}$ Pav、 $Ae\; A\_e$ Ae）描述的是同一个能量分配，只是把未知量换了一个。评审时最常犯的错误是"用 R 形式算距离，又用 $Pav\; P\_\{av\}$ Pav 形式算功率，然后把两个结果相加"；正确做法是选一个未知量，其余全部作为输入，算完再用另一个形式交叉核对。

数值核对（与 2.10 节同一组参数） ： $\Omega =0.2177\; sr\; \backslash Omega=0.2177\backslash \; \backslash mathrm\{sr\}$ Ω=0.2177 sr、 $Tf=11\; s\; T\_f=11\backslash \; \backslash mathrm\{s\}$ Tf=11 s、 $\eta b=0.295\; \backslash eta\_b=0.295$ ηb=0.295、 $G=7499G=7499$ G=7499、 $\lambda =0.03331\; m\backslash lambda=0.03331\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$ λ=0.03331 m、 $\sigma =0.5\; m2\backslash sigma=0.5\backslash \; \backslash mathrm\{m^2\}$ σ=0.5 m2、 $L=8.5\; dB\; L=8.5\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ L=8.5 dB（7.079）、 $F=2.2\; dB\; F=2.2\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ F=2.2 dB（1.660）、 $R=70\; km\; R=70\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ R=70 km、 $SNRreq\; =22.75\; dB\; \backslash mathrm\{SNR\}${\mathrm{req}}=22.75\ \mathrm{dB} SNRreq=22.75 dB（188.4）。代入 $Pav\; P${av} Pav 形式：
$$Pav\; =\; 4\pi \times 0.2177\times (7\times 104)4\times 7.079\times 4\times 10-21\times 1.660\times 188.40.662\times 0.5\times 11\times 0.295\; \approx 542\; W.\; P\_\{av\}=\backslash frac\{4\backslash pi\backslash times0.2177\backslash times(7\backslash times10^4)^4\backslash times7.079\backslash times4\backslash times10^\{-21\}\backslash times1.660\backslash times188.4\}\; \{0.662\backslash times0.5\backslash times11\backslash times0.295\}\; \backslash approx542\backslash \; \backslash mathrm\{W\}.$$ Pav=0.662×0.5×11×0.2954π×0.2177×(7×104)4×7.079×4×10−21×1.660×188.4≈542 W.

其中 $Ae=G\lambda 2/(4\pi )=0.662\; m2\; A\_e=G\backslash lambda^2/(4\backslash pi)=0.662\backslash \; \backslash mathrm\{m^2\}$ Ae=Gλ2/(4π)=0.662 m2。设计值 $Pav\; =1.5\; kW\; P\_\{av\}=1.5\backslash \; \backslash mathrm\{kW\}$ Pav=1.5 kW 是阈值功率的 2.77 倍，即 4.42 dB 能量裕量；在 70 km 处，设计值对应的信噪比为 $22.75+4.42=27.17\; dB22.75+4.42=27.17\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ 22.75+4.42=27.17 dB。若把 1.5 kW 全部用于搜索，阈值距离为
$$Rmax=70\times 104.42/40=90.3\; km.\; R\_\{\backslash max\}=70\backslash times10^\{4.42/40\}=90.3\backslash \; \backslash mathrm\{km\}.$$ Rmax=70×104.42/40=90.3 km.

这三个数字------542 W、27.17 dB、90.3 km------必须在预算表、搜索方程和逐波位计算中同时成立。任何一个对不上，先查参考面，再查 $Nb\; N\_b$ Nb 和 $Td\; T\_d$ Td 的取整，最后查 $LL$ L 是否重复。

2.5.4 搜索距离与跟踪距离：为什么跟踪可以看得更远

搜索和跟踪使用同一个雷达方程，但时间分配完全不同。搜索把一帧能量分给 $Nb\; N\_b$ Nb 个波位，每个波位只得到 $Tf/Nb\; T\_f/N\_b$ Tf/Nb；跟踪把能量集中在一个目标上，驻留时间 $Td,t\; T\_\{d,t\}$ Td,t 可以远大于搜索驻留。设跟踪与搜索的目标 RCS 相同、检测信噪比要求分别为 $SNRt\; \backslash mathrm\{SNR\}\_t$ SNRt 和 $SNRs\; \backslash mathrm\{SNR\}\_s$ SNRs，则
$$RtRs\; =$$ Td,t Td,s ⋅ SNRs SNRt ⋅ σtσs 1/4 . \frac{R_t}{R_s}=\left \\frac{T_{d,t}}{T_{d,s}}\\cdot \\frac{\\mathrm{SNR}_s}{\\mathrm{SNR}_t}\\cdot \\frac{\\sigma_t}{\\sigma_s} \\right^{1/4}. RsRt=Td,sTd,t⋅SNRtSNRs⋅σsσt1/4.

这个式子是"跟踪距离"与"搜索距离"差别的全部来源。若跟踪驻留取整个搜索帧 $Td,t\; =Tf\; T\_\{d,t\}=T\_f$ Td,t=Tf，则 $Td,t\; /\; Td,s\; =Nb\; T\_\{d,t\}/T\_\{d,s\}=N\_b$ Td,t/Td,s=Nb，距离比为 $Nb1/4\; N\_b^\{1/4\}$ Nb1/4。对 $Nb=440\; N\_b=440$ Nb=440， $4401/4=4.58440^\{1/4\}=4.58$ 4401/4=4.58，即跟踪距离可以是搜索距离的 4.58 倍（距离域 13.2 dB，功率域 26.4 dB）。这解释了为什么一部搜索距离 70 km 的雷达，在盯住一个目标时可以在 300 km 外维持跟踪；也解释了为什么"把搜索模式改成跟踪模式"不是免费的------它把整帧的时间给了一个目标。

实际跟踪不会占满整帧。若 $Td,t\; =100\; ms\; T\_\{d,t\}=100\backslash \; \backslash mathrm\{ms\}$ Td,t=100 ms、 $Td,s\; =25\; ms\; T\_\{d,s\}=25\backslash \; \backslash mathrm\{ms\}$ Td,s=25 ms，驻留比为 4，距离比为 $41/4=1.4144^\{1/4\}=1.414$ 41/4=1.414；若跟踪的检测信噪比要求从 22.75 dB 降到 20 dB（跟踪可以用更长的积累和更好的先验），再乘 $102.75/40=1.1710^\{2.75/40\}=1.17$ 102.75/40=1.17，总距离比为 1.66。70 km 的搜索距离对应 116 km 的跟踪距离。这个数字比"跟踪距离等于搜索距离"更接近工程实际，也比"跟踪距离等于 4.58 倍"更可信。

还有两个常被忽略的修正：

1. 跟踪起始需要多次检测 。单帧搜索能在 70 km 发现目标，不代表能在 70 km 建立航迹。M-of-N 起始逻辑要求连续多帧检测，若单帧 $Pd=0.8\; P\_d=0.8$ Pd=0.8、要求 3/4 帧，起始概率约为 $0.84+4\times 0.83\times 0.2=0.8190.8^4+4\backslash times0.8^3\backslash times0.2=0.819$ 0.84+4×0.83×0.2=0.819；要把它提高到 0.95，需要更高的单帧 $Pd\; P\_d$ Pd，等效于 1--2 dB 的额外信噪比。跟踪起始距离通常比搜索距离低 5--10%。

2. 跟踪波位的角度/距离预测误差 。搜索波位按网格排列，目标可能落在波位边缘，波束形状损失 1--3 dB；跟踪时波束对准预测位置，波束形状损失较小，但预测误差会带来"失照"风险。跟踪距离的增益有一部分被预测误差抵消，不能把 $Nb1/4\; N\_b^\{1/4\}$ Nb1/4 直接写进承诺。

2.5.5 功率、孔径、时间：三选一的工程判断

搜索方程的资源形式可以写成一句更硬的话：
$$Pav\; \hspace{0.17em}Tf\hspace{0.17em}Ae=常数(固定\; R,\Omega ,L,F,\; SNRreq\; ,\sigma ).\; P\_\{av\}\backslash ,T\_f\backslash ,A\_e=\backslash text\{常数\}\backslash quad(\backslash text\{固定\; \}R,\backslash Omega,L,F,\backslash mathrm\{SNR\}\_\{\backslash mathrm\{req\}\},\backslash sigma).$$ PavTfAe=常数(固定 R,Ω,L,F,SNRreq,σ).

要把作用距离提高 1 dB（距离比 1.122），右边要增加 2 dB，即 $Pav\; TfAe\; P\_\{av\}T\_fA\_e$ PavTfAe 增加 1.585 倍；距离翻倍（6 dB），能量要增加 12 dB，即 16 倍。线性域的四次方关系，在 dB 域表现为"距离 dB 是能量 dB 的一半"。三种资源各有一点不同：

• 功率 ： $Pav\; P\_\{av\}$ Pav 每提高 1 dB，距离提高 0.5 dB。固态发射机的成本随峰值/平均功率近似线性，但散热、初级电源、重量在高功率段超线性。1.5 kW 平均功率的 X 波段固态阵，热设计已经需要液冷或强制风冷；再翻 4 倍到 6 kW，成本可能不是 4 倍，而是 6--8 倍。
• 孔径 ： $Ae\; A\_e$ Ae 每提高 1 dB，距离提高 0.5 dB。孔径的成本随面积近似线性到平方（结构、重量、伺服），但孔径还同时改善角度分辨率、提高增益、降低波位数。若孔径本来是为了分辨率而设计的，那么"顺便"用它来提高搜索距离的边际成本很低；若为了搜索距离单独加大孔径，成本和重量会很快成为瓶颈。
• 时间 ： $Tf\; T\_f$ Tf 每提高 1 dB，距离提高 0.5 dB。时间通常是最便宜的资源，直到它撞上更新率、目标机动、TWS 跟踪占用或数据率要求。搜索帧从 11 s 放宽到 44 s（6 dB 能量），距离提高 1.41 倍（3 dB），但更新率从 0.081 Hz 降到 0.020 Hz；对高速目标，航迹在 44 s 内可能已经机动出波束。

把三者的边际成本写成统一形式。设资源 $xi\; x\_i$ xi 的成本为 $Ci=ci\; xi\beta i\; C\_i=c\_ix\_i^\{\backslash beta\_i\}$ Ci=cixiβi，约束为 $\prod xi=K\; \backslash prod\; x\_i=K$ ∏xi=K。在最优分配点，每种资源的"每 dB 边际成本"相等：
$$\beta pCp=\beta aCa=\beta tCt.\; \backslash beta\_pC\_p=\backslash beta\_aC\_a=\backslash beta\_tC\_t.$$ βpCp=βaCa=βtCt.

若 $\beta \approx 1\backslash beta\backslash approx1$ β≈1，最优分配是三种资源的成本各占三分之一；若孔径的 $\beta a=1.5\; \backslash beta\_a=1.5$ βa=1.5、功率的 $\beta p=0.8\; \backslash beta\_p=0.8$ βp=0.8、时间的 $\beta t=1.0\; \backslash beta\_t=1.0$ βt=1.0，则最优成本份额与 $1/\beta i\; 1/\backslash beta\_i$ 1/βi 成正比：功率 0.43、孔径 0.23、时间 0.34（归一化后）。这条规则不能代替具体报价，但它能防止"把 80% 的预算砸在功率上，却在时间上只给 5 s"的常见失衡。

一个 3 dB 距离的折衷算例 ：要求 $RR$ R 从 70 km 提到 98.9 km（+3 dB），即 $Pav\; TfAe\; P\_\{av\}T\_fA\_e$ PavTfAe 增加 4 倍（6 dB）。当前 $Pav\; =1.5\; kW\; P\_\{av\}=1.5\backslash \; \backslash mathrm\{kW\}$ Pav=1.5 kW、 $Tf=11\; s\; T\_f=11\backslash \; \backslash mathrm\{s\}$ Tf=11 s、 $Ae=0.662\; m2\; A\_e=0.662\backslash \; \backslash mathrm\{m^2\}$ Ae=0.662 m2。四种方案：

方案	改动	距离增益	主要代价
只加功率	$Pav\; P\_\{av\}$ Pav 1.5→6.0 kW	+3 dB	热、初级电源、成本约 4--8 倍
只加孔径	$Ae\; A\_e$ Ae 0.662→2.65 m²	+3 dB	孔径面积 4 倍，重量/伺服/成本
只加时间	$Tf\; T\_f$ Tf 11→44 s	+3 dB	更新率 0.081→0.020 Hz
混合	功率×2、孔径×1.4、时间×1.4	+3 dB	功率 +3 dB、孔径/时间各 +1.5 dB 能量，总 6 dB

混合方案的总资源仍是 4 倍，但每一项只增加 1.5 dB，通常比单项 6 dB 更接近"成本线性区"。工程判断的顺序是：先看时间有没有余量（通常有，但受更新率限制），再看孔径有没有为分辨率预留（通常有 10--20%），最后才加功率。功率是最后一张牌，不是第一张。

2.5.6 搜索屏的边界：低仰角、杂波与距离模糊

搜索方程假设目标在波束中心、噪声主导、RCS 恒定。搜索屏的三个边界会破坏这些假设：

低仰角多径 。2.4.6 已给出双径模型。在 0°--2° 的搜索屏内，目标高度低、地面/海面反射强，传播因子 $Fp=\mid 1+\Gamma ej\Delta \varphi \mid \; F\_p=|1+\backslash Gamma\; e^\{j\backslash Delta\backslash phi\}|$ Fp=∣1+ΓejΔϕ∣ 随距离和高度快速起伏。70 km、天线高 20 m、目标高 100 m、 $\lambda =0.0333\; m\backslash lambda=0.0333\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$ λ=0.0333 m 时，路径相位差
$$\Delta \varphi =\; 4\pi hthr\; \lambda R\; =\; 4\pi \times 20\times 1000.0333\times 7\times 104\; \approx 10.8\; rad,\; \backslash Delta\backslash phi=\backslash frac\{4\backslash pi\; h\_th\_r\}\{\backslash lambda\; R\}\; =\backslash frac\{4\backslash pi\backslash times20\backslash times100\}\{0.0333\backslash times7\backslash times10^4\}\; \backslash approx10.8\backslash \; \backslash mathrm\{rad\},$$ Δϕ=λR4πhthr=0.0333×7×1044π×20×100≈10.8 rad,

已经跨越多个瓣。目标在 100 m 高度上下的微小变化，可能带来 10 dB 以上的信号起伏。搜索屏的低仰角波位不能只用自由空间方程，必须加多径裕量或使用真实天线方向图/射线追踪。

面杂波。低仰角波位照射地面/海面，杂波功率为
$$Pc=\; Pav\; TdG2\lambda 2\sigma 0Ac\; (4\pi )3R4Lc\; ,\; P\_c=\backslash frac\{P\_\{av\}T\_dG^2\backslash lambda^2\backslash sigma^0A\_c\}\{(4\backslash pi)^3R^4L\_c\},$$ Pc=(4π)3R4LcPavTdG2λ2σ0Ac,

其中 $\sigma 0\backslash sigma^0$ σ0 为面反射率， $Ac\; A\_c$ Ac 为分辨单元的地面面积。对脉冲雷达， $Ac\approx R\; \theta az\; \cdot c/(2Bsin\epsilon )\; A\_c\backslash approx\; R\backslash theta\_\{az\}\backslash cdot\; c/(2B\backslash sin\backslash varepsilon)$ Ac≈Rθaz⋅c/(2Bsinε)，随 $RR$ R 线性增长；因此 $Pc\propto R-3\; P\_c\backslash propto\; R^\{-3\}$ Pc∝R−3，而目标回波 $\propto R-4\backslash propto\; R^\{-4\}$ ∝R−4。杂波/信号比随 $RR$ R 增大而变差，直到地球曲率/地形遮挡把杂波截断。搜索屏越远，CFAR 门限越高，检测距离越短；这不是方程能修正的，只能靠多普勒滤波、杂波图、低副瓣和极化改善。

距离模糊 。PRF 决定最大不模糊距离 $Ru=c/(2PRF)\; R\_u=c/(2\backslash mathrm\{PRF\})$ Ru=c/(2PRF)。PRF $=1500\; Hz\; =1500\backslash \; \backslash mathrm\{Hz\}$ =1500 Hz 时 $Ru=100\; km\; R\_u=100\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ Ru=100 km；70 km 的目标在第 1 个 PRF 周期内，但 130 km 的强杂波/目标会折叠到 70 km 附近。搜索屏若延伸到 100 km 以外，必须用中/高 PRF、脉间参差或正交波形解模糊；每一种都占用时间或波形自由度，等效于降低搜索效率。

俯仰覆盖与目标高度 。2° 的搜索屏在 70 km 处覆盖高度 $70tan2\circ =2.44\; km70\backslash tan2^\backslash circ=2.44\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ 70tan2∘=2.44 km；在 20 km 处只覆盖 0.70 km；在 200 km 处覆盖 6.98 km。对 10 km 高的目标，2° 屏要到 $10/tan2\circ =286\; km10/\backslash tan2^\backslash circ=286\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ 10/tan2∘=286 km 才照到（还要加地球曲率）。所以"360°×2° 搜索屏"本质上是低空补盲屏，不是全能搜索屏。若任务要求覆盖 10 km 高度、70 km 距离，俯仰范围至少要 $arctan(10/70)=8.1\circ \backslash arctan(10/70)=8.1^\backslash circ$ arctan(10/70)=8.1∘，立体角增加 4 倍，波位数和功率随之增加。指标书上的"搜索屏"必须和"目标高度包线"一起写，否则就是偷换概念。

2.5.7 搜索预算的审计顺序

把 2.5 的推导压缩成一张检查顺序，评审时按这个顺序走，比逐项争论数字快：

1. 先定 $\Omega \backslash Omega$ Ω ：方位/俯仰范围、目标高度包线、地球曲率/地形遮挡、有效系数。 $\Omega \backslash Omega$ Ω 错了，后面全错。
2. 再定 $Nb\; N\_b$ Nb ： $GG$ G、 $\eta b\; \backslash eta\_b$ ηb、波位间距、边缘波位。检查 $\eta b\; \backslash eta\_b$ ηb 是否重复包含了扫描损失。
3. 再定 $Tf\; T\_f$ Tf：净搜索时间、帧周期、调度开销、TWS 占用、更新率要求。
4. 再定 $Td\; T\_d$ Td ： $Tf/Nb\; T\_f/N\_b$ Tf/Nb、PRF、脉冲数、收发切换、距离模糊。检查 $Np\; N\_p$ Np 取整后的能量损失。
5. 最后算能量 ： $Eb=\; Pav\; Td\; E\_b=P\_\{av\}T\_d$ Eb=PavTd、 $Es=\; Pav\; Tf\; E\_s=P\_\{av\}T\_f$ Es=PavTf，用搜索方程和逐波位方程交叉核对。
6. 加边界修正 ：多径、杂波、大气/雨、低仰角遮挡、检测起伏、跟踪起始。每一项都要注明"已含在 $LL$ L / 未含，另加裕量"。

这张顺序表也解释了为什么搜索雷达的"作用距离"通常是一个区间而不是一个数： $\Omega \backslash Omega$ Ω、 $Tf\; T\_f$ Tf、 $Pd\; P\_d$ Pd、环境都在变。一个负责任的指标写法是"在 $\Omega =0.22\; sr\; \backslash Omega=0.22\backslash \; \backslash mathrm\{sr\}$ Ω=0.22 sr、 $Tf=11\; s\; T\_f=11\backslash \; \backslash mathrm\{s\}$ Tf=11 s、 $Pd=0.9\; P\_d=0.9$ Pd=0.9、 $Pfa\; =10-6\; P\_\{fa\}=10^\{-6\}$ Pfa=10−6、Swerling 1、晴空、无干扰条件下， $R90=70\; km\; R\_\{90\}=70\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ R90=70 km，设计裕量 4.4 dB"。少一个限定，数字就不可复核。

2.6 跟踪、驻留与成像预算

搜索预算回答"一帧能量如何分给整个空域"，跟踪预算回答"一次驻留如何换来确定性测量"，成像预算回答"一个分辨单元的能量如何换成图像灵敏度"。三者都用雷达方程，但时间、分辨单元和检测对象的定义完全不同。把搜索方程直接套到跟踪上，会低估跟踪距离；套到 SAR 上，会得到量级错误的 NESZ。这一节把三种预算的接口分开，重点给出跟踪精度、驻留时间、TWS/TAS 时间占用和 SAR NESZ 的推导。

2.6.1 跟踪与搜索的预算差异

搜索面对的是"未知位置、未知出现"的目标，必须在整个空域内分配能量；跟踪面对的是"已知大致位置、需要连续更新"的目标，可以把能量集中到一个波位。表 2-8 列出两种模式的预算差异。

表 2-8　搜索与跟踪的预算接口

项目	搜索	跟踪
空域	$\Omega \backslash Omega$ Ω，全部波位	单个波位（含预测误差）
驻留	$Tf/Nb\; T\_f/N\_b$ Tf/Nb，通常 5--30 ms	1--100 ms，可按目标分配
检测对象	未知目标， $Pd\; P\_d$ Pd 按帧定义	已起始航迹， $Pd\; P\_d$ Pd 按更新定义
信噪比要求	单帧检测 + 起伏/CFAR	检测 + 测量精度
时间约束	帧时间/更新率	跟踪更新率/机动
主要误差	波位边缘、多径、杂波	角度/距离噪声、闪烁、预测
失败模式	漏检、起始失败	失跟、航迹中断、精度超差

跟踪的驻留时间不是越长越好。驻留增加带来 $Td1/4\; T\_d^\{1/4\}$ Td1/4 的距离增益和 $1/\; Td\; 1/\backslash sqrt\{T\_d\}$ 1/Td 的测量精度改善，但会挤占搜索时间、增加目标机动期间的积累损失，并提高数据处理/存储压力。工程上把跟踪驻留分成三档：

• 确认驻留（1--5 ms）：刚起始的航迹，用短驻留快速确认，允许较低精度；
• 维持驻留（5--20 ms）：正常跟踪，兼顾更新率和精度；
• 精密驻留（50--200 ms）：对高价值/高机动目标，或需要成像/分类时使用。

三档驻留对应三种不同的波形和 PRF，不能指望一套参数包打天下。

2.6.2 跟踪信噪比与测距/测角精度

跟踪信噪比仍由能量形式给出：
$$SNRt\; =\; Pav\; Td,t\; G2\lambda 2\sigma t\; (4\pi )3R4L\hspace{0.17em}kT0F\; .\; \backslash mathrm\{SNR\}$$t=\frac{P{av}T_{d,t}G^2\lambda^2\sigma_t}{(4\pi)^3R^4L\,kT_0F}. SNRt=(4π)3R4LkT0FPavTd,tG2λ2σt.

与搜索方程的区别只有两点： $Td,t\; T\_\{d,t\}$ Td,t 是专门分配给该目标的驻留， $\sigma t\; \backslash sigma\_t$ σt 可以是跟踪过程中估计/平滑后的 RCS，而不是设计用的最坏值。若目标 RCS 在跟踪时被估计为 1 m²，而设计搜索用 0.5 m²，则同样的距离下跟踪信噪比高 3 dB；这 3 dB 是"知道了目标更大"带来的，不是雷达变了。

测距精度 。匹配滤波后的时延估计精度由克拉美--罗界（CRLB）给出。对复信号 $s(t)s(t)$ s(t)、双边噪声谱密度 $N0\; N\_0$ N0，时延估计的 Fisher 信息为
$$I(\tau )=2\hspace{0.17em}SNR\cdot (2\pi \; Brms\; )2,I(\backslash tau)=2\backslash ,\backslash mathrm\{SNR\}\backslash cdot(2\backslash pi\; B\_\{\backslash mathrm\{rms\}\})^2,$$ I(τ)=2SNR⋅(2πBrms)2,

其中 $Brms\; B\_\{\backslash mathrm\{rms\}\}$ Brms 是信号功率谱的均方根带宽：
$$Brms2\; =\; \int f2\mid S(f)\mid 2df\int \mid S(f)\mid 2df\; .\; B\_\{\backslash mathrm\{rms\}\}^2=\backslash frac\{\backslash int\; f^2|S(f)|^2df\}\{\backslash int|S(f)|^2df\}.$$ Brms2=∫∣S(f)∣2df∫f2∣S(f)∣2df.

于是
$$\sigma \tau =\; 1\; 2\pi \; Brms\; 2\hspace{0.17em}SNR\; ,\sigma R=c2\sigma \tau =\; c\; 4\pi \; Brms\; 2\hspace{0.17em}SNR\; .\; \backslash sigma\_\backslash tau=\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\; B\_\{\backslash mathrm\{rms\}\}\backslash sqrt\{2\backslash ,\backslash mathrm\{SNR\}\}\},\backslash qquad\; \backslash sigma\_R=\backslash frac\{c\}\{2\}\backslash sigma\_\backslash tau\; =\backslash frac\{c\}\{4\backslash pi\; B\_\{\backslash mathrm\{rms\}\}\backslash sqrt\{2\backslash ,\backslash mathrm\{SNR\}\}\}.$$ στ=2πBrms2SNR 1,σR=2cστ=4πBrms2SNR c.

对矩形功率谱， $Brms\; =B/12\; B\_\{\backslash mathrm\{rms\}\}=B/\backslash sqrt\{12\}$ Brms=B/12 ，代入得
$$\sigma R=\; c12\; 4\pi B\; 2\hspace{0.17em}SNR\; \approx \; 0.195\hspace{0.17em}c\; B\; SNR\; .\; \backslash sigma\_R=\backslash frac\{c\backslash sqrt\{12\}\}\{4\backslash pi\; B\backslash sqrt\{2\backslash ,\backslash mathrm\{SNR\}\}\}\; \backslash approx\backslash frac\{0.195\backslash ,c\}\{B\backslash sqrt\{\backslash mathrm\{SNR\}\}\}.$$ σR=4πB2SNR c12 ≈BSNR 0.195c.

工程上常用更保守的近似
$$\sigma R\approx \; c\; 2B\; 2\hspace{0.17em}SNR\; ,\; \backslash sigma\_R\backslash approx\backslash frac\{c\}\{2B\backslash sqrt\{2\backslash ,\backslash mathrm\{SNR\}\}\},$$ σR≈2B2SNR c,

它比矩形谱 CRLB 大约 1.8 倍，隐含了加窗、失配、时钟抖动和目标扩展的额外损失。两者都可以用，但必须注明用的是哪一个；把 CRLB 当成"保证精度"写进指标，通常会在外场差 2--3 倍。

测角精度 。单脉冲测角的误差与波束宽度、差斜率、信噪比有关。设差波束归一化斜率为 $km\; k\_m$ km（典型 1.3--1.8），则
$$\sigma \theta \approx \; \theta \; 3dB\; km\; 2\hspace{0.17em}SNR\; .\; \backslash sigma\_\backslash theta\backslash approx\backslash frac\{\backslash theta\_\{3\backslash mathrm\{dB\}\}\}\{k\_m\backslash sqrt\{2\backslash ,\backslash mathrm\{SNR\}\}\}.$$ σθ≈km2SNR θ3dB.

取 $\theta \; 3dB\; =1.25\circ \; \backslash theta\_\{3\backslash mathrm\{dB\}\}=1.25^\backslash circ$ θ3dB=1.25∘、 $km=1.6\; k\_m=1.6$ km=1.6、 $SNR=27.2\; dB\; \backslash mathrm\{SNR\}=27.2\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ SNR=27.2 dB（525），则
$$\sigma \theta =\; 1.25\circ \; 1.6\times 1050\; =\; 1.25\circ 51.8\; =0.024\circ =0.42\; mrad.\; \backslash sigma\_\backslash theta=\backslash frac\{1.25^\backslash circ\}\{1.6\backslash times\backslash sqrt\{1050\}\}\; =\backslash frac\{1.25^\backslash circ\}\{51.8\}=0.024^\backslash circ=0.42\backslash \; \backslash mathrm\{mrad\}.$$ σθ=1.6×1050 1.25∘=51.81.25∘=0.024∘=0.42 mrad.

在 70 km 处对应横向误差 $70\times 0.42=29\; m70\backslash times0.42=29\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$ 70×0.42=29 m。这个数字看起来很小，但它只是"热噪声引起的角度误差"；实际跟踪误差还有：

• 闪烁（glint）：扩展目标多个散射中心的干涉使视在相位中心跳动，角度闪烁可达 0.1--0.3 个波束宽度，且相关时间与目标姿态变化有关；
• 标定误差：阵面幅相误差、和差通道不平衡、天线罩折射，通常在 0.05--0.2 个波束宽度；
• 多径：低仰角目标的镜像干涉，角度误差可达 0.2--0.5 个波束宽度；
• 预测误差：机动目标的滤波器预测误差，取决于过程噪声模型和更新率。

因此，跟踪精度的预算应写成"热噪声项 + 闪烁项 + 标定项 + 多径项"的 RSS，而不是只写 CRLB。对 1.25° 波束，热噪声 0.024°、闪烁 0.15°、标定 0.08°、多径 0.10°，RSS 为
$$\sigma \; \theta ,tot\; =\; 0.0242+0.152+0.082+0.102\; =0.198\circ ,\; \backslash sigma\_\{\backslash theta,\backslash mathrm\{tot\}\}=\backslash sqrt\{0.024^2+0.15^2+0.08^2+0.10^2\}=0.198^\backslash circ,$$ σθ,tot=0.0242+0.152+0.082+0.102 =0.198∘,

比热噪声项大 8 倍。此时再提高信噪比 6 dB，总误差只降到 0.198°，几乎没用。跟踪精度的瓶颈通常不是 SNR，而是闪烁、标定和多径；把预算花在提高 SNR 上，收益远小于改善天线标定或选择更高分辨率的波形。

测速精度 。多普勒频率估计的 CRLB 与时延类似，把 $Brms\; B\_\{\backslash mathrm\{rms\}\}$ Brms 换成 $Trms\; T\_\{\backslash mathrm\{rms\}\}$ Trms（信号时长均方根）：
$$\sigma f\approx \; 1\; 2\pi \; Trms\; 2\hspace{0.17em}SNR\; ,\sigma v=\lambda 2\sigma f.\; \backslash sigma\_f\backslash approx\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\; T\_\{\backslash mathrm\{rms\}\}\backslash sqrt\{2\backslash ,\backslash mathrm\{SNR\}\}\},\backslash qquad\; \backslash sigma\_v=\backslash frac\{\backslash lambda\}\{2\}\backslash sigma\_f.$$ σf≈2πTrms2SNR 1,σv=2λσf.

对时长 $Tc\; T\_c$ Tc 的矩形包络， $Trms\; =Tc/12\; T\_\{\backslash mathrm\{rms\}\}=T\_c/\backslash sqrt\{12\}$ Trms=Tc/12 ， $\sigma v\approx 0.195\lambda /(Tc\; SNR\; )\; \backslash sigma\_v\backslash approx0.195\backslash lambda/(T\_c\backslash sqrt\{\backslash mathrm\{SNR\}\})$ σv≈0.195λ/(TcSNR )。 $\lambda =0.0333\; m\backslash lambda=0.0333\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$ λ=0.0333 m、 $Tc=25\; ms\; T\_c=25\backslash \; \backslash mathrm\{ms\}$ Tc=25 ms、 $SNR=27.2\; dB\; \backslash mathrm\{SNR\}=27.2\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ SNR=27.2 dB 时， $\sigma v\approx 0.195\times 0.0333/(0.025\times 22.9)=0.0113\; m/s\; \backslash sigma\_v\backslash approx0.195\backslash times0.0333/(0.025\backslash times22.9)=0.0113\backslash \; \backslash mathrm\{m/s\}$ σv≈0.195×0.0333/(0.025×22.9)=0.0113 m/s。实际测速还受目标加速度、相位噪声和杂波调制限制，通常按 0.1--1 m/s 量级承诺。

2.6.3 驻留时间、相参积累与机动约束

跟踪驻留 $Td,t\; T\_\{d,t\}$ Td,t 内可以相参积累 $Np=\; Td,t\; PRF\; N\_p=T\_\{d,t\}\backslash mathrm\{PRF\}$ Np=Td,tPRF 个脉冲，信噪比按 $Np\; N\_p$ Np 增长（相参）或按非相参积累曲线增长。相参积累的增益上限由目标/本振的相位稳定性决定；非相参积累有平方律损失，2.3 节已给出曲线。选择哪种积累，取决于：

• 目标多普勒是否已知/稳定：已知时可相参积累；未知时需多普勒滤波器组，相参积累仍可做，但会有滤波器跨接损失（scalloping loss），典型 1--3 dB；
• 目标是否机动：加速度导致多普勒展宽和距离徙动，长相参积累会散焦；
• 雷达是否具备相参性：频率源、发射机、时钟的相位噪声决定可用的最长 CPI。

距离徙动约束 ：在 CPI 内，目标径向速度 $vr\; v\_r$ vr 引起的距离变化为 $vrTc\; v\_rT\_c$ vrTc。若超过一个距离分辨单元 $\Delta R=c/(2B)\backslash Delta\; R=c/(2B)$ ΔR=c/(2B)，脉冲间的距离走动会使相参积累损失。粗略约束为
$$Tc\le \; \Delta Rvr\; =\; c\; 2Bvr\; .\; T\_c\backslash le\backslash frac\{\backslash Delta\; R\}\{v\_r\}=\backslash frac\{c\}\{2Bv\_r\}.$$ Tc≤vrΔR=2Bvrc.

$B=2\; MHz\; B=2\backslash \; \backslash mathrm\{MHz\}$ B=2 MHz、 $\Delta R=75\; m\backslash Delta\; R=75\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$ ΔR=75 m、 $vr=300\; m/s\; v\_r=300\backslash \; \backslash mathrm\{m/s\}$ vr=300 m/s 时， $Tc\le 0.25\; s\; T\_c\backslash le0.25\backslash \; \backslash mathrm\{s\}$ Tc≤0.25 s。25 ms 的搜索驻留远低于这个上限，距离徙动可忽略；100 ms 的跟踪驻留仍在边界内，但 1 s 的成像/精密驻留必须做距离徙动校正（Keystone 变换或包络对齐）。

加速度约束 ：目标加速度 $aa$ a 使回波相位产生二次项。CPI 内的二次相位误差为
$$\Delta \varphi 2=\; 2\pi \lambda \; a\; (\; Tc2\; )\; 2\; =\; \pi aTc2\; 2\lambda \; .\; \backslash Delta\backslash phi\_2=\backslash frac\{2\backslash pi\}\{\backslash lambda\}a\backslash left(\backslash frac\{T\_c\}\{2\}\backslash right)^2\; =\backslash frac\{\backslash pi\; aT\_c^2\}\{2\backslash lambda\}.$$ Δϕ2=λ2πa(2Tc)2=2λπaTc2.

要求 $\Delta \varphi 2\le \pi /4\; \backslash Delta\backslash phi\_2\backslash le\backslash pi/4$ Δϕ2≤π/4（四分之一波束宽度准则的相位版），得到
$$Tc\le \; \lambda 2a\; .\; T\_c\backslash le\backslash sqrt\{\backslash frac\{\backslash lambda\}\{2a\}\}.$$ Tc≤2aλ .

$\lambda =0.0333\; m\backslash lambda=0.0333\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$ λ=0.0333 m、 $a=10\; m/s2\; a=10\backslash \; \backslash mathrm\{m/s^2\}$ a=10 m/s2 时， $Tc\le 0.001665=0.041\; s\; T\_c\backslash le\backslash sqrt\{0.001665\}=0.041\backslash \; \backslash mathrm\{s\}$ Tc≤0.001665 =0.041 s。也就是说，对 10 m/s² 的机动目标，超过 41 ms 的相参积累就会明显散焦，必须用更短的 CPI 或运动补偿。这个约束比距离徙动更紧，是跟踪驻留不能无限制加长的物理原因。

跟踪更新率 。更新率 $fu=1/Tu\; f\_u=1/T\_u$ fu=1/Tu 与机动时间常数 $\tau m\; \backslash tau\_m$ τm 的关系，工程上常取 $Tu\le 0.1\tau m\; T\_u\backslash le0.1\backslash tau\_m$ Tu≤0.1τm-- $0.2\tau m\; 0.2\backslash tau\_m$ 0.2τm。对 $\tau m=2\; s\; \backslash tau\_m=2\backslash \; \backslash mathrm\{s\}$ τm=2 s 的飞机机动，更新率 0.5--1 Hz 足够；对 $\tau m=0.2\; s\; \backslash tau\_m=0.2\backslash \; \backslash mathrm\{s\}$ τm=0.2 s 的导弹，需要 5--10 Hz。更新率提高会线性增加跟踪时间占用，进而压缩搜索时间。

2.6.4 边扫描边跟踪的时间预算

设跟踪目标数为 $Nt\; N\_t$ Nt，每个目标的驻留为 $Td,t\; T\_\{d,t\}$ Td,t，更新间隔为 $Tu,t\; T\_\{u,t\}$ Tu,t。跟踪占用的时间比例为
$$\rho t=\; Nt\; Td,t\; Tu,t\; .\; \backslash rho\_t=\backslash frac\{N\_tT\_\{d,t\}\}\{T\_\{u,t\}\}.$$ ρt=Tu,tNtTd,t.

这个比例必须小于 1，否则跟踪任务本身就无法完成。搜索可用时间比例为 $1-\rho t\; 1-\backslash rho\_t$ 1−ρt，搜索帧时间从无跟踪时的 $Tf0\; T\_\{f0\}$ Tf0 变为
$$Tf=\; Tf0\; 1-\rho t\; .\; T\_f=\backslash frac\{T\_\{f0\}\}\{1-\backslash rho\_t\}.$$ Tf=1−ρtTf0.

算例 ： $Tf0\; =11\; s\; T\_\{f0\}=11\backslash \; \backslash mathrm\{s\}$ Tf0=11 s，200 个目标，每个驻留 2 ms，更新间隔 1 s：
$$\rho t=\; 200\times 0.0021\; =0.4,Tf=110.6=18.3\; s.\; \backslash rho\_t=\backslash frac\{200\backslash times0.002\}\{1\}=0.4,\backslash qquad\; T\_f=\backslash frac\{11\}\{0.6\}=18.3\backslash \; \backslash mathrm\{s\}.$$ ρt=1200×0.002=0.4,Tf=0.611=18.3 s.

搜索帧时间增加 67%，作用距离按 $(11/18.3)1/4=0.879(11/18.3)^\{1/4\}=0.879$ (11/18.3)1/4=0.879 下降，即距离损失 1.12 dB（功率域 4.5 dB）。如果目标数增加到 500， $\rho t=1.0\; \backslash rho\_t=1.0$ ρt=1.0，搜索时间被完全挤占；此时要么降低跟踪更新率（ $Tu,t\; T\_\{u,t\}$ Tu,t 增大），要么缩短跟踪驻留，要么增加发射/处理资源，没有第四条路。

TWS 与 TAS 的区别：

• 边扫描边跟踪（TWS） ：跟踪不额外占用时间，跟踪更新率等于搜索帧率。 $Tu,t\; =Tf\; T\_\{u,t\}=T\_f$ Tu,t=Tf， $\rho t=Nt\; Td,s\; /Tf=Nt/Nb\; \backslash rho\_t=N\_tT\_\{d,s\}/T\_f=N\_t/N\_b$ ρt=NtTd,s/Tf=Nt/Nb。对 $Nb=440\; N\_b=440$ Nb=440、 $Nt=200\; N\_t=200$ Nt=200， $\rho t=0.45\; \backslash rho\_t=0.45$ ρt=0.45；但 TWS 的跟踪波位必须落在搜索波位网格上，角度/距离精度受搜索驻留限制，高机动目标容易丢失。
• 跟踪加扫描（TAS） ：在搜索间隙插入专用跟踪驻留， $Td,t\; T\_\{d,t\}$ Td,t 和 $Tu,t\; T\_\{u,t\}$ Tu,t 可独立设计，精度高、更新快，但会打断搜索。 $\rho t\; \backslash rho\_t$ ρt 按上式直接占用时间，调度器必须在"搜索覆盖率"和"跟踪质量"之间分配。

TAS 的调度是一个实时资源分配问题。工程上常用优先级 + 时间窗：高威胁目标获得更短 $Tu,t\; T\_\{u,t\}$ Tu,t 和更长 $Td,t\; T\_\{d,t\}$ Td,t，低优先级目标被"稀疏更新"。调度算法可以优化平均跟踪误差，但不能突破总时间约束。评审时看到"同时跟踪 1000 个目标、更新率 10 Hz、搜索帧 1 s"这类指标，先算 $\rho t\; \backslash rho\_t$ ρt：若每个驻留 1 ms， $\rho t=1000\times 0.001\times 10=10\; \backslash rho\_t=1000\backslash times0.001\backslash times10=10$ ρt=1000×0.001×10=10，已经超过 1，指标不可能成立。

跟踪容量上限 ：由 $\rho t\le \rho max\; \backslash rho\_t\backslash le\backslash rho\_\{\backslash max\}$ ρt≤ρmax（通常 0.5--0.7，给搜索留余量）得
$$Nt,max\; =\; \rho max\; Tu,t\; Td,t\; .\; N\_\{t,\backslash max\}=\backslash frac\{\backslash rho\_\{\backslash max\}T\_\{u,t\}\}\{T\_\{d,t\}\}.$$ Nt,max=Td,tρmaxTu,t.

$Tu,t\; =1\; s\; T\_\{u,t\}=1\backslash \; \backslash mathrm\{s\}$ Tu,t=1 s、 $Td,t\; =2\; ms\; T\_\{d,t\}=2\backslash \; \backslash mathrm\{ms\}$ Td,t=2 ms、 $\rho max=0.6\; \backslash rho\_\{\backslash max\}=0.6$ ρmax=0.6 时， $Nt,max\; =300\; N\_\{t,\backslash max\}=300$ Nt,max=300。这个上限是时间预算的上限，不是处理能力的上限；实际容量还要看波束调度、数据关联、航迹滤波和操作员显控的吞吐。

2.6.5 SAR NESZ 的推导：从分布目标到噪声等效后向散射系数

SAR 的预算对象不是"一个点目标的作用距离"，而是"一个分辨单元的图像灵敏度"。定义噪声等效后向散射系数 $NESZ\backslash mathrm\{NESZ\}$ NESZ 为：使图像中一个分辨单元的检测信噪比等于 1（0 dB）所需的分布式目标后向散射系数 $\sigma 0\backslash sigma^0$ σ0。 $NESZ\backslash mathrm\{NESZ\}$ NESZ 越小，SAR 越灵敏；它通常用 dB 表示，典型值 $-20-20$ −20 至 $-40\; dB\; -40\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ −40 dB。

第一步：分辨单元的 RCS。 SAR 的距离分辨率为
$$\delta Rg=\; c2Bsin\theta \; ,\; \backslash delta\; R\_g=\backslash frac\{c\}\{2B\backslash sin\backslash theta\},$$ δRg=2Bsinθc,

其中 $BB$ B 为发射带宽， $\theta \backslash theta$ θ 为入射角（从垂直方向量起）， $sin\theta \backslash sin\backslash theta$ sinθ 把斜距分辨率投影到地面。方位分辨率（单视）为
$$\delta x=\; \lambda R\; 2\; Lsa\; =\; \lambda R\; 2v\; Tobs\; ,\; \backslash delta\; x=\backslash frac\{\backslash lambda\; R\}\{2L\_\{\backslash mathrm\{sa\}\}\}\; =\backslash frac\{\backslash lambda\; R\}\{2vT\_\{\backslash mathrm\{obs\}\}\},$$ δx=2LsaλR=2vTobsλR,

其中 $Lsa\; =v\; Tobs\; L\_\{\backslash mathrm\{sa\}\}=vT\_\{\backslash mathrm\{obs\}\}$ Lsa=vTobs 为合成孔径长度， $vv$ v 为平台速度， $Tobs\; T\_\{\backslash mathrm\{obs\}\}$ Tobs 为目标被波束照射的时间。分辨单元面积为
$$Apix\; =\delta Rg\hspace{0.17em}\delta x=\; c2Bsin\theta \; \cdot \; \lambda R\; 2v\; Tobs\; .\; A\_\{\backslash mathrm\{pix\}\}=\backslash delta\; R\_g\backslash ,\backslash delta\; x\; =\backslash frac\{c\}\{2B\backslash sin\backslash theta\}\backslash cdot\backslash frac\{\backslash lambda\; R\}\{2vT\_\{\backslash mathrm\{obs\}\}\}.$$ Apix=δRgδx=2Bsinθc⋅2vTobsλR.

若地表的面后向散射系数为 $\sigma 0\backslash sigma^0$ σ0（无量纲，m²/m²），则该单元的等效 RCS 为
$$\sigma pix\; =\sigma 0\; Apix\; .\; \backslash sigma\_\{\backslash mathrm\{pix\}\}=\backslash sigma^0A\_\{\backslash mathrm\{pix\}\}.$$ σpix=σ0Apix.

第二步：单元的回波能量。 在 $Tobs\; T\_\{\backslash mathrm\{obs\}\}$ Tobs 内，发射机平均功率为 $Pav\; P\_\{av\}$ Pav，天线增益 $GG$ G，则照射到该单元的总能量为
$$Epix\; =\; Pav\; Tobs\; G2\lambda 2\sigma 0\; Apix\; (4\pi )3R4L\; .\; E\_\{\backslash mathrm\{pix\}\}=\backslash frac\{P\_\{av\}T\_\{\backslash mathrm\{obs\}\}G^2\backslash lambda^2\backslash sigma^0A\_\{\backslash mathrm\{pix\}\}\}\{(4\backslash pi)^3R^4L\}.$$ Epix=(4π)3R4LPavTobsG2λ2σ0Apix.

这里用的是"能量/噪声谱密度"形式：匹配滤波后的信噪比等于 $Epix\; /N0\; E\_\{\backslash mathrm\{pix\}\}/N\_0$ Epix/N0， $N0=kT0F\; N\_0=kT\_0F$ N0=kT0F。这一步已经把距离压缩和方位压缩的增益包含在内，不能再额外乘 $BTp\; BT\_p$ BTp 或 $Naz\; N\_\{\backslash mathrm\{az\}\}$ Naz。

第三步：令 SNR=1。 由
$$SNRpix\; =\; Pav\; Tobs\; G2\lambda 2\sigma 0\; Apix\; (4\pi )3R4L\hspace{0.17em}kT0F\; =1\; \backslash mathrm\{SNR\}$${\mathrm{pix}}=\frac{P{av}T_{\mathrm{obs}}G^2\lambda^2\sigma^0A_{\mathrm{pix}}}{(4\pi)^3R^4L\,kT_0F}=1 SNRpix=(4π)3R4LkT0FPavTobsG2λ2σ0Apix=1

解出
$$NESZ=\; (4\pi )3R4L\hspace{0.17em}kT0F\; Pav\; Tobs\; G2\lambda 2\; Apix\; \backslash boxed\{\; \backslash mathrm\{NESZ\}=\backslash frac\{(4\backslash pi)^3R^4L\backslash ,kT\_0F\}\; \{P\_\{av\}T\_\{\backslash mathrm\{obs\}\}G^2\backslash lambda^2A\_\{\backslash mathrm\{pix\}\}\}\; \}$$ NESZ=PavTobsG2λ2Apix(4π)3R4LkT0F

这是 NESZ 的"几何--能量"形式，适用于任何 SAR 几何，只要 $Apix\; A\_\{\backslash mathrm\{pix\}\}$ Apix、 $Tobs\; T\_\{\backslash mathrm\{obs\}\}$ Tobs、 $GG$ G 的定义一致。

第四步：代入分辨率。 把 $Apix\; A\_\{\backslash mathrm\{pix\}\}$ Apix 的表达式代入：
$$NESZ=\; (4\pi )3R4LkT0F\; Pav\; Tobs\; G2\lambda 2\; \cdot \; 2Bsin\theta c\; \cdot \; 2v\; Tobs\; \lambda R\; .\; \backslash mathrm\{NESZ\}=\backslash frac\{(4\backslash pi)^3R^4LkT\_0F\}\; \{P\_\{av\}T\_\{\backslash mathrm\{obs\}\}G^2\backslash lambda^2\}\; \backslash cdot\backslash frac\{2B\backslash sin\backslash theta\}\{c\}\; \backslash cdot\backslash frac\{2vT\_\{\backslash mathrm\{obs\}\}\}\{\backslash lambda\; R\}.$$ NESZ=PavTobsG2λ2(4π)3R4LkT0F⋅c2Bsinθ⋅λR2vTobs.

$Tobs\; T\_\{\backslash mathrm\{obs\}\}$ Tobs 在分子分母中抵消， $R4R^4$ R4 消去一个 $RR$ R，得到
$$NESZ=\; 256\pi 3R3L\hspace{0.17em}kT0F\hspace{0.17em}B\hspace{0.17em}vsin\theta \; Pav\; G2\lambda 3c\; \backslash boxed\{\; \backslash mathrm\{NESZ\}=\backslash frac\{256\backslash pi^3R^3L\backslash ,kT\_0F\backslash ,B\backslash ,v\backslash sin\backslash theta\}\; \{P\_\{av\}G^2\backslash lambda^3c\}\; \}$$ NESZ=PavG2λ3c256π3R3LkT0FBvsinθ

这就是单视、全孔径、分辨率受限条件下的标准 NESZ 量级公式。它的量纲为无量纲： $R3R^3$ R3（m³）× $kT0F\; kT\_0F$ kT0F（W/Hz）× $BB$ B（Hz）× $vv$ v（m/s）/（ $Pav\; P\_\{av\}$ Pav W × $G2G^2$ G2 × $\lambda 3\backslash lambda^3$ λ3 m³ × $cc$ c m/s）=1。

第五步：读公式。 这个式子给出五条工程结论：

1. $R3R^3$ R3 而不是 $R4R^4$ R4 。SAR 的分辨单元面积随 $R2R^2$ R2 增长（距离向投影和方位向合成孔径都随 $RR$ R 变长），抵消了一个 $RR$ R。用搜索方程的 $R4R^4$ R4 估 SAR，会在远距离严重低估 NESZ。
2. $BB$ B 在分子。带宽越宽，距离分辨率越好，单元面积越小，单视 NESZ 越差。这就是"高分辨率必然牺牲灵敏度"的定量版本：带宽翻倍，NESZ 恶化 3 dB。
3. $Pav\; G2\lambda 3\; P\_\{av\}G^2\backslash lambda^3$ PavG2λ3 在分母 。平均功率、天线增益、波长越长（频率越低）都有利于 NESZ。低频 SAR 的 NESZ 通常优于高频，部分原因是 $\lambda 3\backslash lambda^3$ λ3 和大气/雨衰更小，部分原因是同样的孔径在低频有更大的波束。
4. $vsin\theta v\backslash sin\backslash theta$ vsinθ 在分子。平台速度越快、入射角越大，波束在地面的驻留越短/投影越大，NESZ 越差。这是机载/星载 SAR 的几何惩罚。
5. $Tobs\; T\_\{\backslash mathrm\{obs\}\}$ Tobs 抵消 。在"单视、分辨率受限"条件下，延长方位积累时间会同时提高方位分辨率和降低单元面积，两者严格抵消，NESZ 与方位分辨率无关。这个结论常被误解为"方位积累不重要"；实际上，若保持像素间距不变做多视平均， $MM$ M 视平均会使 NESZ 改善 $M\; \backslash sqrt\{M\}$ M （5log $MM$ M dB），因为多视是额外的独立样本，不改变单视分辨率。

多视修正 ：若对方位/距离向 $MM$ M 个独立视做非相干平均，斑点噪声的标准差按 $M\; \backslash sqrt\{M\}$ M 下降，图像强度的相对起伏按 $1/M\; 1/\backslash sqrt\; M$ 1/M 减小；但噪声底的均值不变，按平均功率定义的 NESZ 不变。若把 NESZ 定义为"均值信号等于噪声标准差"，则表观 NESZ 改善 $M\; \backslash sqrt\{M\}$ M （即 $5\; log10\; M\; 5\backslash log\_\{10\}M$ 5log10M dB），两种定义必须注明。多视的代价是分辨率变粗或像素间距变大；它不违反"单视 NESZ 与方位分辨率无关"的结论。

2.6.6 S 波段宽带 SAR 的 NESZ 算例

取一组自洽的假设（不是任何型号的指标）：

参数	符号	数值
载频	$fc\; f\_c$ fc	3.2 GHz
波长	$\lambda \backslash lambda$ λ	0.0937 m
带宽	$BB$ B	120 MHz
脉冲宽度	$Tp\; T\_p$ Tp	33.3 µs
PRF		3000 Hz
占空比	$Dc\; D\_c$ Dc	10%
峰值功率	$Pt\; P\_t$ Pt	10 kW
平均功率	$Pav\; P\_\{av\}$ Pav	1 kW
天线增益	$GG$ G	35 dB（3162）
方位孔径	$Laz\; L\_\{az\}$ Laz	6 m
平台速度	$vv$ v	7500 m/s
作用距离	$RR$ R	250 km
入射角	$\theta \backslash theta$ θ	40°
噪声系数	$FF$ F	2.5 dB（1.778）
系统损耗	$LL$ L	3.5 dB（2.239）

先算分辨率：
$$\delta Rg=\; 3\times 1082\times 1.2\times 108\times sin40\circ \; =\; 3\times 1081.543\times 108\; =1.94\; m.\; \backslash delta\; R\_g=\backslash frac\{3\backslash times10^8\}\{2\backslash times1.2\backslash times10^8\backslash times\backslash sin40^\backslash circ\}\; =\backslash frac\{3\backslash times10^8\}\{1.543\backslash times10^8\}=1.94\backslash \; \backslash mathrm\{m\}.$$ δRg=2×1.2×108×sin40∘3×108=1.543×1083×108=1.94 m.

方位分辨率取 $\delta x\approx \; Laz\; /2=3.0\; m\; \backslash delta\; x\backslash approx\; L\_\{az\}/2=3.0\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$ δx≈Laz/2=3.0 m（条带模式），合成孔径时间
$$Tobs\; =\; \lambda R2v\delta x\; =\; 0.0937\times 2.5\times 1052\times 7500\times 3.0\; =0.521\; s.\; T\_\{\backslash mathrm\{obs\}\}=\backslash frac\{\backslash lambda\; R\}\{2v\backslash delta\; x\}\; =\backslash frac\{0.0937\backslash times2.5\backslash times10^5\}\{2\backslash times7500\backslash times3.0\}=0.521\backslash \; \backslash mathrm\{s\}.$$ Tobs=2vδxλR=2×7500×3.00.0937×2.5×105=0.521 s.

像素面积 $Apix\; =1.94\times 3.0=5.82\; m2\; A\_\{\backslash mathrm\{pix\}\}=1.94\backslash times3.0=5.82\backslash \; \backslash mathrm\{m^2\}$ Apix=1.94×3.0=5.82 m2。代入 NESZ 的几何形式：
$$NESZ=\; 1984.4\times (2.5\times 105)4\times 2.239\times 4\times 10-21\times 1.7781000\times 0.521\times (3162)2\times (0.0937)2\times 5.82\; .\; \backslash mathrm\{NESZ\}=\backslash frac\{1984.4\backslash times(2.5\backslash times10^5)^4\backslash times2.239\backslash times4\backslash times10^\{-21\}\backslash times1.778\}\; \{1000\backslash times0.521\backslash times(3162)^2\backslash times(0.0937)^2\backslash times5.82\}.$$ NESZ=1000×0.521×(3162)2×(0.0937)2×5.821984.4×(2.5×105)4×2.239×4×10−21×1.778.

分子： $1984.4\times 3.906\times 1021=7.75\times 10241984.4\backslash times3.906\backslash times10^\{21\}=7.75\backslash times10^\{24\}$ 1984.4×3.906×1021=7.75×1024；乘 2.239 得 $1.735\times 10251.735\backslash times10^\{25\}$ 1.735×1025；乘 $7.112\times 10-217.112\backslash times10^\{-21\}$ 7.112×10−21 得 $1.234\times 1051.234\backslash times10^5$ 1.234×105。分母： $1000\times 0.521=5211000\backslash times0.521=521$ 1000×0.521=521；乘 $10710^7$ 107 得 $5.21\times 1095.21\backslash times10^9$ 5.21×109；乘 $0.008780.00878$ 0.00878 得 $4.57\times 1074.57\backslash times10^7$ 4.57×107；乘 5.82 得 $2.66\times 1082.66\backslash times10^8$ 2.66×108。于是
$$NESZ=\; 1.234\times 1052.66\times 108\; =4.64\times 10-4,\; \backslash mathrm\{NESZ\}=\backslash frac\{1.234\backslash times10^5\}\{2.66\backslash times10^8\}=4.64\backslash times10^\{-4\},$$ NESZ=2.66×1081.234×105=4.64×10−4,

即
$$NESZ=10\; log10\; (4.64\times 10-4)=-33.3\; dB.\; \backslash mathrm\{NESZ\}=10\backslash log\_\{10\}(4.64\backslash times10^\{-4\})=-33.3\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}.$$ NESZ=10log10(4.64×10−4)=−33.3 dB.

用简化公式核对：
$$NESZ=\; 256\pi 3\times (2.5\times 105)3\times 2.239\times 7.112\times 10-21\times 1.2\times 108\times 7500\times sin40\circ 1000\times 107\times (0.0937)3\times 3\times 108\; .\; \backslash mathrm\{NESZ\}=\backslash frac\{256\backslash pi^3\backslash times(2.5\backslash times10^5)^3\backslash times2.239\backslash times7.112\backslash times10^\{-21\}\backslash times1.2\backslash times10^8\backslash times7500\backslash times\backslash sin40^\backslash circ\}\; \{1000\backslash times10^7\backslash times(0.0937)^3\backslash times3\backslash times10^8\}.$$ NESZ=1000×107×(0.0937)3×3×108256π3×(2.5×105)3×2.239×7.112×10−21×1.2×108×7500×sin40∘.

分子： $256\pi 3=7938256\backslash pi^3=7938$ 256π3=7938； $R3=1.5625\times 1016R^3=1.5625\backslash times10^\{16\}$ R3=1.5625×1016，乘积 $1.240\times 10201.240\backslash times10^\{20\}$ 1.240×1020；乘 $2.2392.239$ 2.239 得 $2.776\times 10202.776\backslash times10^\{20\}$ 2.776×1020；乘 $7.112\times 10-217.112\backslash times10^\{-21\}$ 7.112×10−21 得 $1.9741.974$ 1.974；乘 $1.2\times 1081.2\backslash times10^8$ 1.2×108 得 $2.369\times 1082.369\backslash times10^8$ 2.369×108；乘 7500 得 $1.777\times 10121.777\backslash times10^\{12\}$ 1.777×1012；乘 0.643 得 $1.142\times 10121.142\backslash times10^\{12\}$ 1.142×1012。分母： $1000\times 107=10101000\backslash times10^7=10^\{10\}$ 1000×107=1010；乘 $8.23\times 10-48.23\backslash times10^\{-4\}$ 8.23×10−4 得 $8.23\times 1068.23\backslash times10^6$ 8.23×106；乘 $3\times 1083\backslash times10^8$ 3×108 得 $2.469\times 10152.469\backslash times10^\{15\}$ 2.469×1015。NESZ $=1.142\times 1012/2.469\times 1015=4.63\times 10-4=1.142\backslash times10^\{12\}/2.469\backslash times10^\{15\}=4.63\backslash times10^\{-4\}$ =1.142×1012/2.469×1015=4.63×10−4，与几何形式一致（0.01 dB 的舍入差）。

对 1 m² 的点目标，同一几何下的信噪比为
$$SNR=\; 1000\times 0.521\times 107\times 0.00878\times 11984.4\times 3.906\times 1021\times 2.239\times 7.112\times 10-21\; =\; 4.57\times 1071.234\times 105\; =370,\; \backslash mathrm\{SNR\}=\backslash frac\{1000\backslash times0.521\backslash times10^7\backslash times0.00878\backslash times1\}\; \{1984.4\backslash times3.906\backslash times10^\{21\}\backslash times2.239\backslash times7.112\backslash times10^\{-21\}\}\; =\backslash frac\{4.57\backslash times10^7\}\{1.234\backslash times10^5\}=370,$$ SNR=1984.4×3.906×1021×2.239×7.112×10−211000×0.521×107×0.00878×1=1.234×1054.57×107=370,

即 25.7 dB。像素 RCS 为 $\sigma 0\; Apix\; =4.64\times 10-4\times 5.82=2.70\times 10-3\; m2\; \backslash sigma^0A\_\{\backslash mathrm\{pix\}\}=4.64\backslash times10^\{-4\}\backslash times5.82=2.70\backslash times10^\{-3\}\backslash \; \backslash mathrm\{m^2\}$ σ0Apix=4.64×10−4×5.82=2.70×10−3 m2，比 1 m² 低 25.7 dB，正好使像素信噪比降到 0 dB。三个数字（-33.3 dB、25.7 dB、0 dB）互相闭合。

2.6.7 为什么 SAR 的预算不能直接套搜索方程

把搜索方程套到 SAR 上，通常会犯四个错误：

错误一：把 $\Omega \backslash Omega$ Ω 当成波束立体角。 搜索方程的分母是搜索空域 $\Omega \backslash Omega$ Ω，波位数 $Nb=\Omega /\Omega b\; N\_b=\backslash Omega/\backslash Omega\_b$ Nb=Ω/Ωb 表示"一帧要扫多少个波位"。SAR 的波束足印内同时包含成千上万个分辨单元，所有单元靠距离/多普勒正交分离，不需要逐波位驻留。把 $\Omega b\; \backslash Omega\_b$ Ωb 代入搜索方程，相当于假设"一次只能看一个分辨单元"，会低估 SAR 的灵敏度几个数量级。

错误二：用 $Tf\; T\_f$ Tf 代替 $Tobs\; T\_\{\backslash mathrm\{obs\}\}$ Tobs。 搜索方程的时间是一帧内所有波位共享的 $Tf\; T\_f$ Tf；SAR 的时间是目标被波束照射的 $Tobs\; T\_\{\backslash mathrm\{obs\}\}$ Tobs。 $Tobs\; T\_\{\backslash mathrm\{obs\}\}$ Tobs 由波束宽度、平台速度和方位分辨率决定，不是重访周期。把重访周期（几天）代进去，会得到荒谬的 NESZ。

错误三：用 $R4R^4$ R4 和点目标 $\sigma \backslash sigma$ σ。 SAR 的像素面积随 $R2R^2$ R2 增长， $\sigma pix\; =\sigma 0\; Apix\; \backslash sigma\_\{\backslash mathrm\{pix\}\}=\backslash sigma^0A\_\{\backslash mathrm\{pix\}\}$ σpix=σ0Apix 也随 $R2R^2$ R2 增长，因此 NESZ 按 $R3R^3$ R3 变化。若用 $R4R^4$ R4 和固定的 $\sigma \backslash sigma$ σ，在 250 km 处会高估 NESZ 约 $10\; log10\; (R/参考)\; 10\backslash log\_\{10\}(R/\backslash text\{参考\})$ 10log10(R/参考) 的额外量，取决于参考距离。

错误四：重复计算脉压/方位压缩增益。 搜索方程的能量形式已经包含匹配滤波；SAR 的 $Epix\; /N0\; E\_\{\backslash mathrm\{pix\}\}/N\_0$ Epix/N0 也已经包含距离和方位压缩。若再乘 $BTp\; BT\_p$ BTp 和 $Naz\; N\_\{\backslash mathrm\{az\}\}$ Naz，会把灵敏度高估几十 dB。正确做法是：要么用"原始回波功率/噪声功率"加两级压缩增益，要么用"总能量/噪声谱密度"，二者只能选一条路径。

SAR 的预算还有搜索方程没有的约束：距离/方位模糊、扇贝效应（scalloping）、天线方向图加权、脉冲间相位稳定性、运动补偿残差、电离层/对流层延迟。这些项不会出现在 NESZ 的一阶公式里，但会在图像上表现为假目标、条纹或灵敏度不均。NESZ 只是"图像能不能看见"的起点，不是 SAR 系统设计的全部。

2.7 双基地与收发分置：几何、同步与双基地 RCS

2.2.7 把双基地列为单基地方程的边界之一：路径不是 $2R2R$ 2R，而是 $Rt+Rr\; R\_t+R\_r$ Rt+Rr，分母从 $R4R^4$ R4 变成 $Rt2Rr2\; R\_t^2R\_r^2$ Rt2Rr2。这句话只说了公式的形状，没有说清楚三件事：双基地的等距离和等信噪比曲线不是同一条曲线；收发分置带来的几何增益可能被同步误差和双基地 RCS 吃掉；双基地 RCS 在前后向散射区可以比单基地大几十 dB，也可能在某个角度出现深零点。把这三件事分开，才能判断"双基地是否值得"。

2.7.1 双基地几何：距离和椭圆与 Cassini 卵形线

设发射站 $TT$ T 位于 $(-L/2,0)(-L/2,0)$ (−L/2,0)，接收站 $RR$ R 位于 $(L/2,0)(L/2,0)$ (L/2,0)，基线长度 $LL$ L；目标 $PP$ P 位于 $(x,y)(x,y)$ (x,y)。收发距离分别为
$$Rt=\; (x+L2)\; 2\; +y2\; ,Rr=\; (x-L2)\; 2\; +y2\; .\; R\_t=\backslash sqrt\{\backslash left(x+\backslash frac\{L\}\{2\}\backslash right)^2+y^2\},\backslash qquad\; R\_r=\backslash sqrt\{\backslash left(x-\backslash frac\{L\}\{2\}\backslash right)^2+y^2\}.$$ Rt=(x+2L)2+y2 ,Rr=(x−2L)2+y2 .

目标处的双基地角 $\beta \backslash beta$ β 定义为两条视线 $PTPT$ PT 与 $PRPR$ PR 的夹角。由三角形余弦定理：
$$L2=Rt2+Rr2-2RtRrcos\beta ,\; L^2=R\_t^2+R\_r^2-2R\_tR\_r\backslash cos\backslash beta,$$ L2=Rt2+Rr2−2RtRrcosβ,

所以
$$cos\beta =\; Rt2+Rr2-L2\; 2RtRr\; .\; \backslash cos\backslash beta=\backslash frac\{R\_t^2+R\_r^2-L^2\}\{2R\_tR\_r\}.$$ cosβ=2RtRrRt2+Rr2−L2.

$\beta =0\backslash beta=0$ β=0 表示目标在基线延长线上（前向或后向），几何上接近单基地； $\beta =180\circ \backslash beta=180^\backslash circ$ β=180∘ 表示目标在收发站之间，纯前向散射。

等距离和曲线 ： $Rt+Rr=2a\; R\_t+R\_r=2a$ Rt+Rr=2a 是以 $T,RT,R$ T,R 为焦点的椭圆，半长轴 $aa$ a、半焦距 $c=L/2c=L/2$ c=L/2、半短轴
$$b=\; a2-c2\; =\; (\; Rt+Rr\; 2\; )\; 2\; -\; (L2)\; 2\; .\; b=\backslash sqrt\{a^2-c^2\}=\backslash sqrt\{\backslash left(\backslash frac\{R\_t+R\_r\}\{2\}\backslash right)^2-\backslash left(\backslash frac\{L\}\{2\}\backslash right)^2\}.$$ b=a2−c2 =(2Rt+Rr)2−(2L)2 .

雷达的距离门测量的是 $Rt+Rr\; R\_t+R\_r$ Rt+Rr，所以一条等距离和曲线就是一个椭圆。目标在椭圆上的位置由角度（或双基地角）另外确定；只测距离和，目标的位置是一条椭圆，不是球面。

等信噪比曲线 ：由 2.7.2 的双基地方程，固定 $Pt,Gt,Gr,\sigma b,L,F,SNR\; P\_t,G\_t,G\_r,\backslash sigma\_b,L,F,\backslash mathrm\{SNR\}$ Pt,Gt,Gr,σb,L,F,SNR 时，
$$Rt2Rr2=常数=K2,\; R\_t^2R\_r^2=\backslash text\{常数\}=K^2,$$ Rt2Rr2=常数=K2,

即 $RtRr=K\; R\_tR\_r=K$ RtRr=K。这条曲线不是椭圆，而是 Cassini 卵形线。 $KK$ K 的几何意义是"等效单基地距离"的平方：
$$Req\; =\; RtRr\; .\; R\_\{\backslash mathrm\{eq\}\}=\backslash sqrt\{R\_tR\_r\}.$$ Req=RtRr .

当 $K>L/2\; \backslash sqrt\; K>L/2$ K >L/2（即 $RtRr>(L/2)2\; R\_tR\_r>(L/2)^2$ RtRr>(L/2)2）时，Cassini 曲线是一个连通的卵形，包围两个站；当 $K=L/2\; \backslash sqrt\; K=L/2$ K =L/2 时，曲线在基线中点自交，形成双纽线；当 K <L/2 时，曲线分裂成两个分别围绕发射站和接收站的瓣。这个分裂对双基地设计很关键：在 RtRr<(L/2)2 的区域，雷达只能"看见"靠近某一站的目标，基线中点是几何盲区；要覆盖基线中点，必须让 $RtRr\ge (L/2)2\; R\_tR\_r\backslash ge(L/2)^2$ RtRr≥(L/2)2。

数值 ： $L=45\; km\; L=45\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ L=45 km， $L/2=22.5\; kmL/2=22.5\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ L/2=22.5 km。若目标在 $Rt=50\; km\; R\_t=50\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ Rt=50 km、 $Rr=10\; km\; R\_r=10\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ Rr=10 km， $RtRr=500\; km2\; R\_tR\_r=500\backslash \; \backslash mathrm\{km^2\}$ RtRr=500 km2，略小于 $(L/2)2=506\; km2(L/2)^2=506\backslash \; \backslash mathrm\{km^2\}$ (L/2)2=506 km2，等信噪比曲线已经分裂成两个瓣，目标位于靠发射站的那一瓣。若要求覆盖基线中点（ $Rt=Rr=22.5\; km\; R\_t=R\_r=22.5\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ Rt=Rr=22.5 km），则 $K=506\; km2\; K=506\backslash \; \backslash mathrm\{km^2\}$ K=506 km2，正好在临界点；实际设计要留 3--6 dB 余量，即 $KK$ K 比 $(L/2)2(L/2)^2$ (L/2)2 大 1.4--2 倍。

等距离和椭圆与等信噪比 Cassini 曲线的区别，是双基地几何最容易混淆的地方。距离门沿椭圆分辨，检测性能沿 Cassini 曲线变化；两者只在单基地极限 $L\to 0L\backslash to0$ L→0 时退化为同一个圆。

2.7.2 双基地雷达方程的完整推导

假设：

• 发射站与接收站分离，基线 $LL$ L 已知且稳定；
• 发射天线增益 $Gt\; G\_t$ Gt，接收天线增益 $Gr\; G\_r$ Gr，收发可共用也可分开；
• 目标的双基地 RCS 为 $\sigma b\; \backslash sigma\_b$ σb（m²），定义为"入射方向与散射方向分开时的等效面积"；
• 传播路径分为 $Rt\; R\_t$ Rt 和 $Rr\; R\_r$ Rr 两段，大气/雨衰按两段分别计；
• 接收机噪声系数 $FF$ F、损耗 $LL$ L 均折算到接收天线端口；
• 收发站时间/相位同步，残余误差单独列为 $Lsync\; L\_\{\backslash mathrm\{sync\}\}$ Lsync。

第一步：目标处的功率密度。 发射功率 $Pt\; P\_t$ Pt 经天线增益 $Gt\; G\_t$ Gt，在距离 $Rt\; R\_t$ Rt 处：
$$St=\; PtGt\; 4\pi Rt2\; .\; S\_t=\backslash frac\{P\_tG\_t\}\{4\backslash pi\; R\_t^2\}.$$ St=4πRt2PtGt.

第二步：目标散射。 双基地 RCS 的定义为
$$\sigma b=4\pi Rr2\; SsSt\; ,\; \backslash sigma\_b=4\backslash pi\; R\_r^2\backslash frac\{S\_s\}\{S\_t\},$$ σb=4πRr2StSs,

其中 $Ss\; S\_s$ Ss 是接收站方向、距离 $Rr\; R\_r$ Rr 处的散射功率密度。于是
$$Ss=\; PtGt\sigma b\; (4\pi )2Rt2Rr2\; .\; S\_s=\backslash frac\{P\_tG\_t\backslash sigma\_b\}\{(4\backslash pi)^2R\_t^2R\_r^2\}.$$ Ss=(4π)2Rt2Rr2PtGtσb.

注意 $\sigma b\; \backslash sigma\_b$ σb 已经包含了"向接收方向散射"的方向性；它不是单基地 RCS 的简单角度切片，而是入射/散射双方向角的函数。

第三步：接收功率。 接收有效面积 $Ae=Gr\lambda 2/(4\pi )\; A\_e=G\_r\backslash lambda^2/(4\backslash pi)$ Ae=Grλ2/(4π)：
$$Pr=SsAe=\; PtGtGr\lambda 2\sigma b\; (4\pi )3Rt2Rr2\; .\; P\_r=S\_sA\_e=\backslash frac\{P\_tG\_tG\_r\backslash lambda^2\backslash sigma\_b\}\{(4\backslash pi)^3R\_t^2R\_r^2\}.$$ Pr=SsAe=(4π)3Rt2Rr2PtGtGrλ2σb.

第四步：损耗与噪声。 引入损耗 $LL$ L（线性，含两段传播、收发馈线、处理），接收信噪比：
$$SNR=\; PtGtGr\lambda 2\sigma b\; (4\pi )3Rt2Rr2L\hspace{0.17em}kT0FBn\; .\; \backslash mathrm\{SNR\}=\backslash frac\{P\_tG\_tG\_r\backslash lambda^2\backslash sigma\_b\}\{(4\backslash pi)^3R\_t^2R\_r^2L\backslash ,kT\_0FB\_n\}.$$ SNR=(4π)3Rt2Rr2LkT0FBnPtGtGrλ2σb.

若用平均功率和驻留时间，把 $Pt\; P\_t$ Pt 换成 $Pav\; Td\; P\_\{av\}T\_d$ PavTd（脉冲体制）或 $Pav\; Td\; P\_\{av\}T\_d$ PavTd 的能量形式：
$$SNR=\; Pav\; Td\hspace{0.17em}GtGr\lambda 2\sigma b\; (4\pi )3Rt2Rr2L\hspace{0.17em}kT0F\; \backslash boxed\{\; \backslash mathrm\{SNR\}=\backslash frac\{P\_\{av\}T\_d\backslash ,G\_tG\_r\backslash lambda^2\backslash sigma\_b\}\; \{(4\backslash pi)^3R\_t^2R\_r^2L\backslash ,kT\_0F\}\; \}$$ SNR=(4π)3Rt2Rr2LkT0FPavTdGtGrλ2σb

这就是双基地雷达方程。它与单基地方程的唯一结构差别是分母的 $R4R^4$ R4 变成了 $Rt2Rr2\; R\_t^2R\_r^2$ Rt2Rr2；若 $Rt=Rr=R\; R\_t=R\_r=R$ Rt=Rr=R，退回单基地形式。

第五步：等效单基地距离。 定义
$$Req\; =\; RtRr\; ,\; R\_\{\backslash mathrm\{eq\}\}=\backslash sqrt\{R\_tR\_r\},$$ Req=RtRr ,

则 $Rt2Rr2=\; Req4\; R\_t^2R\_r^2=R\_\{\backslash mathrm\{eq\}\}^4$ Rt2Rr2=Req4，双基地信噪比等于"在距离 $Req\; R\_\{\backslash mathrm\{eq\}\}$ Req 处的单基地信噪比"（假设 $\sigma b=\sigma m\; \backslash sigma\_b=\backslash sigma\_m$ σb=σm、 $GtGr=G2\; G\_tG\_r=G^2$ GtGr=G2、损耗相同）。这把双基地问题化成了熟悉的单基地问题：
$$Req\; =$$ Pav TdGtGrλ2σb (4π)3L kT0F  SNRreq 1/4 . R_{\mathrm{eq}}=\left \\frac{P_{av}T_dG_tG_r\\lambda\^2\\sigma_b} {(4\\pi)\^3L\\,kT_0F\\,\\mathrm{SNR}_{\\mathrm{req}}} \\right^{1/4}. Req=(4π)3LkT0FSNRreqPavTdGtGrλ2σb1/4.

若已知单基地最大距离 $Rm\; R\_m$ Rm（同功率、同增益、同损耗、 $\sigma m\; \backslash sigma\_m$ σm），则双基地相对单基地的信噪比增益为
$$Gbi\; =40\; log10\; Rm\; Req\; +10\; log10\; \sigma b\sigma m\; -\Delta L(dB),\; G\_\{\backslash mathrm\{bi\}\}=40\backslash log\_\{10\}\backslash frac\{R\_m\}\{R\_\{\backslash mathrm\{eq\}\}\}\; +10\backslash log\_\{10\}\backslash frac\{\backslash sigma\_b\}\{\backslash sigma\_m\}\; -\backslash Delta\; L\backslash quad(\backslash mathrm\{dB\}),$$ Gbi=40log10ReqRm+10log10σmσb−ΔL(dB),

其中 $\Delta L\backslash Delta\; L$ ΔL 是双基地额外的同步/几何/直波损耗。这个式子是判断"双基地是否值得"的核心：几何增益按 40log 距离比，RCS 增益按 10log 面积比，同步/直波损耗按 dB 直接扣。

2.7.3 几何因子：什么时候双基地比单基地强

由 $Gbi\; =40\; log10\; (Rm/\; Req\; )\; G\_\{\backslash mathrm\{bi\}\}=40\backslash log\_\{10\}(R\_m/R\_\{\backslash mathrm\{eq\}\})$ Gbi=40log10(Rm/Req)，双基地获得正增益的条件是
Req=RtRr <Rm⟺RtRr<Rm2.

换句话说，只要目标到收发站的距离乘积小于"单基地最大距离的平方"，双基地在几何上就占优。这个条件很容易满足：接收站可以前推到目标附近，把 $Rr\; R\_r$ Rr 压到 10--20 km，而 $Rt\; R\_t$ Rt 仍由发射站的大功率/大孔径支撑。 $Rt=50\; km\; R\_t=50\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ Rt=50 km、 $Rr=10\; km\; R\_r=10\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ Rr=10 km、 $Rm=50\; km\; R\_m=50\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ Rm=50 km 时， $Req\; =22.4\; km\; R\_\{\backslash mathrm\{eq\}\}=22.4\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ Req=22.4 km，几何增益 $40\; log10\; (50/22.4)=14.0\; dB\; 40\backslash log\_\{10\}(50/22.4)=14.0\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ 40log10(50/22.4)=14.0 dB。

但几何增益不是免费的，它被三个因子抵消：

1. 双基地 RCS 。 $\sigma b\; \backslash sigma\_b$ σb 可能比 $\sigma m\; \backslash sigma\_m$ σm 低 10--20 dB（非前向区、极化失配、散射零点），也可能高 10--30 dB（前向散射）。没有实测/仿真 RCS，不能假设 $\sigma b=\sigma m\; \backslash sigma\_b=\backslash sigma\_m$ σb=σm。
2. 同步与直波损耗 。收发分置需要时间/相位/空间同步，残余误差折算成 $Lsync\; L\_\{\backslash mathrm\{sync\}\}$ Lsync；直波泄漏可能迫使接收机降低增益或使用零陷，等效 3--10 dB。
3. 覆盖几何。发射站必须照到目标，接收站必须同时在目标方向；双基地的"共同覆盖区"是两个波束的交集，可能比单基地的覆盖小得多。几何增益是在"目标已被共同照射"的前提下算的，不能拿它去承诺全域覆盖。

把这三项写进增益条件：
$$Gbi\; >0⟺40\; log10\; Rm\; Req\; +10\; log10\; \sigma b\sigma m\; >\Delta L.\; G\_\{\backslash mathrm\{bi\}\}>0\; \backslash quad\backslash Longleftrightarrow\backslash quad\; 40\backslash log\_\{10\}\backslash frac\{R\_m\}\{R\_\{\backslash mathrm\{eq\}\}\}\; +10\backslash log\_\{10\}\backslash frac\{\backslash sigma\_b\}\{\backslash sigma\_m\}\; >\backslash Delta\; L.$$ Gbi>0⟺40log10ReqRm+10log10σmσb>ΔL.

$Rm=50\; R\_m=50$ Rm=50、 $Req\; =22.4\; R\_\{\backslash mathrm\{eq\}\}=22.4$ Req=22.4 时，左边几何项 14.0 dB；若 $\sigma b/\sigma m=-6\; dB\; \backslash sigma\_b/\backslash sigma\_m=-6\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ σb/σm=−6 dB、 $\Delta L=4\; dB\backslash Delta\; L=4\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ ΔL=4 dB，净增益 4.0 dB；若 $\sigma b/\sigma m=-12\; dB\; \backslash sigma\_b/\backslash sigma\_m=-12\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ σb/σm=−12 dB、 $\Delta L=6\; dB\backslash Delta\; L=6\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ ΔL=6 dB，净增益 -4.0 dB，双基地反而不如单基地。双基地的收益是"几何 + RCS - 同步"三者的净和，不是几何一项。

2.7.4 同步误差：时间、频率、相位与位置

双基地的收发站不在同一个时钟域，同步误差会直接进入测量。四类同步误差的影响不同：

时间同步 。设接收站时钟相对发射站有 $\tau \backslash tau$ τ 的偏移，则距离和测量变为
$$R^\Sigma \; =Rt+Rr+c\tau .\; \backslash hat\; R\_\backslash Sigma=R\_t+R\_r+c\backslash tau.$$ R^Σ=Rt+Rr+cτ.

距离误差为 $c\tau c\backslash tau$ cτ，不是 $c\tau /2c\backslash tau/2$ cτ/2------因为距离和是单程两段之和，时钟偏移直接叠加一次。若要求距离误差小于 $\Delta R/4\backslash Delta\; R/4$ ΔR/4（例如 1.5 m 分辨率的四分之一，0.375 m），则
τ<3×1080.375=1.25 ns.

1.25 ns 对应自由空间 37.5 cm（电缆中约 25--30 cm）；普通 GPS 驯服时钟（几十 ns）不够，需要本地高稳晶振 + 双向时间传递/直波同步。对搜索雷达，距离精度要求低，100 ns（30 m）可能可接受；对 SAR 或精密测量，必须 sub-ns。

频率同步 。设收发本振有 $\Delta f\backslash Delta\; f$ Δf 的频率偏移，回波相位随时间漂移：
$$\varphi (t)=2\pi \Delta f\hspace{0.17em}t+\varphi 0.\backslash phi(t)=2\backslash pi\backslash Delta\; f\backslash ,t+\backslash phi\_0.$$ ϕ(t)=2πΔft+ϕ0.

在相干积累时间 $Tc\; T\_c$ Tc 内，要求相位漂移小于 $\pi /4\backslash pi/4$ π/4（约 0.1 rad 量级），则
Δf<8Tc1.

$Tc=1\; ms\; T\_c=1\backslash \; \backslash mathrm\{ms\}$ Tc=1 ms 时 Δf<125 Hz； $Tc=1\; s\; T\_c=1\backslash \; \backslash mathrm\{s\}$ Tc=1 s 时 Δf<0.125 Hz； $Tc=10\; s\; T\_c=10\backslash \; \backslash mathrm\{s\}$ Tc=10 s 的 SAR 方位积累要求 Δf<0.0125 Hz。这个量级需要原子钟/GPS disciplined 振荡器或直波相位恢复。

相位同步 。即使频率相同，收发链的初始相位 $\varphi 0\; \backslash phi\_0$ ϕ0 未知，双基地干涉/SAR 需要"相位历元"同步。残余相位误差 $\sigma \varphi \; \backslash sigma\_\backslash phi$ σϕ 使相干积累损失
$$L\varphi =exp\; (-\sigma \varphi 2)\; (幅度),\; L\_\backslash phi=\backslash exp\backslash left(-\backslash sigma\_\backslash phi^2\backslash right)\; \backslash quad(\backslash text\{幅度\}),$$ Lϕ=exp(−σϕ2)(幅度),

功率损失为 $exp(-2\sigma \varphi 2)\backslash exp(-2\backslash sigma\_\backslash phi^2)$ exp(−2σϕ2)。 $\sigma \varphi =0.2\; rad\; \backslash sigma\_\backslash phi=0.2\backslash \; \backslash mathrm\{rad\}$ σϕ=0.2 rad 时功率损失 0.35 dB； $\sigma \varphi =0.5\; rad\; \backslash sigma\_\backslash phi=0.5\backslash \; \backslash mathrm\{rad\}$ σϕ=0.5 rad 时 2.2 dB； $\sigma \varphi =1\; rad\; \backslash sigma\_\backslash phi=1\backslash \; \backslash mathrm\{rad\}$ σϕ=1 rad 时 8.7 dB。相位同步不是"有或没有"，而是"误差多少 rad"。

位置同步 。基线 $LL$ L 的测量误差 $\delta L\backslash delta\; L$ δL 直接进入 $Rt,Rr\; R\_t,R\_r$ Rt,Rr 的几何计算。对距离和的影响约为 $\delta L\backslash delta\; L$ δL 的量级；对相位的影响为 $2\pi \delta L/\lambda 2\backslash pi\backslash delta\; L/\backslash lambda$ 2πδL/λ。 $\lambda =0.03\; m\backslash lambda=0.03\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$ λ=0.03 m 时，1 mm 的基线误差对应 0.21 rad 相位误差；要控制 0.2 rad，基线需要毫米级测量/标定。对搜索雷达，米级基线足够；对双基地 SAR，基线应该用厘米级甚至毫米级。

表 2-9　双基地同步误差的量级要求

应用	时间同步	频率同步	相位误差	基线误差
搜索/警戒	100 ns--1 µs	1--10 kHz	不要求	米级
跟踪	10--100 ns	1--10 kHz	0.5--1 rad	0.1--1 m
双基地 SAR	<1 ns	<0.01--0.1 Hz	<0.2 rad	毫米--厘米
前向散射栅栏	1--10 ns	10--100 Hz	0.2--0.5 rad	厘米--分米

这张表说明：双基地的"同步"不是一个指标，而是四个指标。搜索雷达可以用直波/ GPS 粗同步；SAR 必须把收发站当成一个分布式相参系统，时钟、相位、基线都要单独预算。把"同步误差 1 ns"写进搜索雷达的指标是浪费；把"同步误差 1 µs"写进双基地 SAR 的指标是灾难。

2.7.5 双基地 RCS：前向散射、阴影与零点

双基地 RCS 定义为
$$\sigma b(\theta i,\theta s)=4\pi Rr2\; SsSt\; ,\; \backslash sigma\_b(\backslash theta\_i,\backslash theta\_s)=4\backslash pi\; R\_r^2\backslash frac\{S\_s\}\{S\_t\},$$ σb(θi,θs)=4πRr2StSs,

其中 $\theta i\; \backslash theta\_i$ θi 为入射方向， $\theta s\; \backslash theta\_s$ θs 为散射方向。它与单基地 RCS 的区别不是"换个角度查表"，而是散射机制变了：

前向散射 。当 $\beta \to 180\circ \backslash beta\backslash to180^\backslash circ$ β→180∘（目标在收发站之间），目标挡住视线，接收站看到的是"阴影"的衍射。由 Babinet 原理，对一块面积为 $AA$ A 的理想导体板，前向散射截面近似为
$$\sigma f\approx \; 4\pi A2\lambda 2\; .\; \backslash sigma\_\{f\}\backslash approx\backslash frac\{4\backslash pi\; A^2\}\{\backslash lambda^2\}.$$ σf≈λ24πA2.

这个式子与板的材料、表面粗糙度（在光学区）无关，只与面积和波长有关。 $A=1\; m2A=1\backslash \; \backslash mathrm\{m^2\}$ A=1 m2、 $\lambda =0.03\; m\backslash lambda=0.03\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$ λ=0.03 m（10 GHz）时， $\sigma f=1.4\times 104\; m2=41.4\; dBsm\; \backslash sigma\_f=1.4\backslash times10^4\backslash \; \backslash mathrm\{m^2\}=41.4\backslash \; \backslash mathrm\{dBsm\}$ σf=1.4×104 m2=41.4 dBsm； $\lambda =0.1\; m\backslash lambda=0.1\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$ λ=0.1 m（3 GHz）时， $\sigma f=1257\; m2=31.0\; dBsm\; \backslash sigma\_f=1257\backslash \; \backslash mathrm\{m^2\}=31.0\backslash \; \backslash mathrm\{dBsm\}$ σf=1257 m2=31.0 dBsm。前向散射随频率平方增长，且在小双基地角/前向对准时非常强。

前向散射的波束宽度 。前向散射不是各向同性的，它的角宽约 $\lambda /A\; \backslash lambda/\backslash sqrt\{A\}$ λ/A 。 $A=1\; m2A=1\backslash \; \backslash mathrm\{m^2\}$ A=1 m2、 $\lambda =0.03\; m\backslash lambda=0.03\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$ λ=0.03 m 时，角宽约 0.03 rad=1.7°；目标/几何稍有偏差，前向散射就掉出主瓣。要把前向散射当作战术优势，必须把收发站和目标几何稳定在 $\lambda /A\; \backslash lambda/\backslash sqrt\{A\}$ λ/A 以内，这对运动和同步提出了很高要求。

阴影与遮挡。前向散射的物理本质是"目标挡住了直达波"，所以它不能靠外形隐身完全消除：整形可以把后向散射降到很低，但阴影仍然存在。这是双基地/前向散射被认为有反隐身潜力的原因。但"阴影大"不等于"可检测"：前向散射的角宽窄、直波泄漏强、目标多普勒小，检测算法要专门设计。

双基地 RCS 的零点。在非前向区，双基地 RCS 随双基地角快速起伏，可能出现深零点。平板的镜面反射只在满足"入射角=反射角"的几何方向出现；复杂目标有多个散射中心，干涉形成瓣和零点。把单基地 RCS 的方向图旋转一个角度当双基地 RCS，是常见的错误，误差可达 10--20 dB。

极化 。前向散射对理想导体近似保持极化；粗糙表面/复杂目标会使极化旋转。双基地收发极化可以不同（例如发射垂直、接收水平），用来抑制直波和杂波，但目标 RCS 也会相应下降。极化选择必须和 $\sigma b\; \backslash sigma\_b$ σb 一起测量/仿真，不能只看天线隔离度。

2.7.6 数值算例：双基地相对单基地的增益条件

设一部 X 波段雷达，单基地参数如下：

参数	数值
峰值功率	10 kW
占空比	10%
平均功率	1 kW
天线增益	30 dB（1000）
波长	0.03 m
目标 RCS	1 m²
单基地距离	50 km
系统损耗	6 dB（3.981）
噪声系数	3 dB（2.0）
驻留时间	10 ms

单基地信噪比：
$$SNRm\; =\; 1000\times 0.01\times 106\times 9\times 10-4\times 11984.4\times (5\times 104)4\times 3.981\times 8\times 10-21\; =9000395.0=22.8=13.6\; dB.\; \backslash mathrm\{SNR\}\_m=\backslash frac\{1000\backslash times0.01\backslash times10^6\backslash times9\backslash times10^\{-4\}\backslash times1\}\; \{1984.4\backslash times(5\backslash times10^4)^4\backslash times3.981\backslash times8\backslash times10^\{-21\}\}\; =\backslash frac\{9000\}\{395.0\}=22.8=13.6\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}.$$ SNRm=1984.4×(5×104)4×3.981×8×10−211000×0.01×106×9×10−4×1=395.09000=22.8=13.6 dB.

现在把接收站前推到距目标 $Rr=10\; km\; R\_r=10\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ Rr=10 km，发射站仍在 $Rt=50\; km\; R\_t=50\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ Rt=50 km，基线约 45 km（目标靠近接收站）。假设 $\sigma b=1\; m2\; \backslash sigma\_b=1\backslash \; \backslash mathrm\{m^2\}$ σb=1 m2，收发增益仍为 30 dB，额外同步/直波损耗 2 dB（总损耗 8 dB）。双基地信噪比：
$$SNRb\; =\; 1000\times 0.01\times 106\times 9\times 10-4\times 11984.4\times (5\times 104)2\times (104)2\times 6.31\times 8\times 10-21\; =900025.05=359=25.5\; dB.\; \backslash mathrm\{SNR\}\_b=\backslash frac\{1000\backslash times0.01\backslash times10^6\backslash times9\backslash times10^\{-4\}\backslash times1\}\; \{1984.4\backslash times(5\backslash times10^4)^2\backslash times(10^4)^2\backslash times6.31\backslash times8\backslash times10^\{-21\}\}\; =\backslash frac\{9000\}\{25.05\}=359=25.5\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}.$$ SNRb=1984.4×(5×104)2×(104)2×6.31×8×10−211000×0.01×106×9×10−4×1=25.059000=359=25.5 dB.

相对单基地的增益为 $25.5-13.6=11.9\; dB25.5-13.6=11.9\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ 25.5−13.6=11.9 dB。用公式核对：
$$Req\; =\; 50\times 10\; =22.36\; km,\; R\_\{\backslash mathrm\{eq\}\}=\backslash sqrt\{50\backslash times10\}=22.36\backslash \; \backslash mathrm\{km\},$$ Req=50×10 =22.36 km,
$$Gbi\; =40\; log10\; 5022.36+10\; log10\; 11-2=13.98-2=11.98\; dB.\; G\_\{\backslash mathrm\{bi\}\}=40\backslash log\_\{10\}\backslash frac\{50\}\{22.36\}+10\backslash log\_\{10\}\backslash frac\{1\}\{1\}-2\; =13.98-2=11.98\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}.$$ Gbi=40log1022.3650+10log1011−2=13.98−2=11.98 dB.

两者相差 0.08 dB，来自舍入。这个例子说明：双基地的 12 dB 增益主要来自几何（14 dB），不是来自 RCS；同步/直波扣掉 2 dB 后还剩 12 dB。

增益条件 ：若双基地 RCS 只有单基地的 1/4（-6 dB），额外损耗 4 dB，则净增益 $14-6-4=4\; dB14-6-4=4\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ 14−6−4=4 dB，仍然值得；若 $\sigma b/\sigma m=-12\; dB\; \backslash sigma\_b/\backslash sigma\_m=-12\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ σb/σm=−12 dB、 $\Delta L=6\; dB\backslash Delta\; L=6\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ ΔL=6 dB，净增益 $-4\; dB\; -4\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ −4 dB，不如单基地。把条件写成：
$$40\; log10\; Rm\; Req\; >\Delta L-10\; log10\; \sigma b\sigma m\; .\; 40\backslash log\_\{10\}\backslash frac\{R\_m\}\{R\_\{\backslash mathrm\{eq\}\}\}\; >\; \backslash Delta\; L-10\backslash log\_\{10\}\backslash frac\{\backslash sigma\_b\}\{\backslash sigma\_m\}.$$ 40log10ReqRm>ΔL−10log10σmσb.

$Rm=50\; R\_m=50$ Rm=50、 $Req\; =22.4\; R\_\{\backslash mathrm\{eq\}\}=22.4$ Req=22.4 时，左边 14 dB；右边是"RCS 损失 + 同步损耗"。只要右边小于 14 dB，双基地在能量上占优。注意这个条件是"在目标已被共同照射"的前提下；如果双基地的共同覆盖只有单基地的 1/4，系统层面的收益要再打折扣。

另一个几何 ：目标在基线中点， $Rt=Rr=22.5\; km\; R\_t=R\_r=22.5\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ Rt=Rr=22.5 km、 $L=45\; km\; L=45\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ L=45 km、 $\beta =180\circ \backslash beta=180^\backslash circ$ β=180∘。 $Req\; =22.5\; km\; R\_\{\backslash mathrm\{eq\}\}=22.5\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ Req=22.5 km，几何增益 13.9 dB；若前向散射 RCS 比单基地高 10 dB，理论净增益 23.9 dB（减同步损耗）。但这是纯前向散射，直波泄漏、角宽窄、多普勒小，实际可用性取决于同步和杂波抑制，不能把 24 dB 直接写进指标。

2.7.7 双基地的工程边界

双基地不是"把接收机搬到前面去"这么简单。五个工程边界必须在预算里出现：

直波泄漏 。发射站的直达信号比目标回波高 60--120 dB，接收机即使天线副瓣很低，也可能饱和。解决方法：收发站空间隔离（地形遮挡/天线零陷）、时间隔离（收发分时）、编码隔离（正交波形）、极化隔离。每一种都带来损耗或覆盖限制，通常按 3--10 dB 计入 $\Delta L\backslash Delta\; L$ ΔL。

脉冲追赶 。双基地的收发波束不能同时覆盖整个共同区域；接收波束必须按 $Rt+Rr\; R\_t+R\_r$ Rt+Rr 的时延追赶发射脉冲。追赶损失、波束驻留和距离门安排会降低搜索效率。对长基线、宽空域，脉冲追赶的复杂度不亚于一部独立的接收雷达。

杂波几何。双基地杂波的等距离和是椭圆，多普勒是收发双程的矢量和，与单基地完全不同。杂波脊、盲区、STAP 训练样本都要重新建模；把单基地杂波模型套到双基地，会在低仰角出现 10 dB 以上的预测误差。

覆盖与指挥控制。发射站和接收站分开部署，共同覆盖区是两者波束的交集；目标在单基地覆盖内但不在双基地交集内，双基地就看不见。双基地的"优势"是局部的，不是全域的。

RCS 数据 。双基地 RCS 的测量/仿真成本远高于单基地；没有 $\sigma b(\beta )\; \backslash sigma\_b(\backslash beta)$ σb(β) 数据，双基地预算只能给量级，不能给承诺。工程上应先用单基地 RCS 加前向散射模型做灵敏度分析，再决定是否值得做双基地。

把这五条写进预算表，双基地的结论才是可审计的。一个常见的失败模式是：几何计算给出 14 dB 增益，RCS 假设 $\sigma b=\sigma m\; \backslash sigma\_b=\backslash sigma\_m$ σb=σm，同步损耗只写 1 dB，最后外场测试发现只比单基地好 2 dB------不是方程错了，而是三个假设都偏乐观。

2.8 不确定度、敏感度与裕量

前面的预算给出的是一组标称值： $Pav\; =1.5\; kW\; P\_\{av\}=1.5\backslash \; \backslash mathrm\{kW\}$ Pav=1.5 kW、 $L=8.5\; dB\; L=8.5\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ L=8.5 dB、 $F=2.2\; dB\; F=2.2\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ F=2.2 dB、 $R=70\; km\; R=70\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ R=70 km。评审时真正会被问的是："这些数错 1 dB，距离差多少？""哪个参数最值得花钱去测准？""标称 70 km，能保证 90% 的场合不低于多少？"这三个问题分别对应敏感度、误差传播和裕量。没有这三样，预算表只是一张漂亮的算术纸。

2.8.1 对数偏导：把"差多少"变成指数

雷达方程在固定检测信噪比下可以写成幂律形式：
$$R=R0\prod i\; xi\alpha i\; ,\; R=R\_0\backslash prod\_i\; x\_i^\{\backslash alpha\_i\},$$ R=R0i∏xiαi,

其中 $xi\; x\_i$ xi 是第 $ii$ i 个参数（功率、增益、损耗、噪声系数、RCS、时间等）， $\alpha i\; \backslash alpha\_i$ αi 是它的标度指数。两边取对数：
$$lnR=lnR0+\sum i\alpha ilnxi.\backslash ln\; R=\backslash ln\; R\_0+\backslash sum\_i\backslash alpha\_i\backslash ln\; x\_i.$$ lnR=lnR0+i∑αilnxi.

对 $lnxi\; \backslash ln\; x\_i$ lnxi 求偏导：
$$\partial lnR\; \partial lnxi\; =\alpha i.\; \backslash frac\{\backslash partial\backslash ln\; R\}\{\backslash partial\backslash ln\; x\_i\}=\backslash alpha\_i.$$ ∂lnxi∂lnR=αi.

这个无量纲数就是敏感度 ：参数 $xi\; x\_i$ xi 变化 1%，距离变化 $\alpha i\; \backslash alpha\_i$ αi%；参数变化 1 dB，距离变化 $2\alpha i\; 2\backslash alpha\_i$ 2αi dB。多出的因子 2 来自"距离 dB 用 $20\; log10\; 20\backslash log\_\{10\}$ 20log10、参数 dB 用 $10\; log10\; 10\backslash log\_\{10\}$ 10log10"的换算： $\Delta \; RdB\; =20\; log10\; (R/R0)\; \backslash Delta\; R\_\{\backslash mathrm\{dB\}\}=20\backslash log\_\{10\}(R/R\_0)$ ΔRdB=20log10(R/R0)，而 $\Delta \; xdB\; =10\; log10\; (x/x0)\; \backslash Delta\; x\_\{\backslash mathrm\{dB\}\}=10\backslash log\_\{10\}(x/x\_0)$ ΔxdB=10log10(x/x0)。把两者都写成自然对数， $\Delta \; RdB\; =(20/ln10)\Delta lnR\; \backslash Delta\; R\_\{\backslash mathrm\{dB\}\}=(20/\backslash ln10)\backslash Delta\backslash ln\; R$ ΔRdB=(20/ln10)ΔlnR， $\Delta \; xdB\; =(10/ln10)\Delta lnx\; \backslash Delta\; x\_\{\backslash mathrm\{dB\}\}=(10/\backslash ln10)\backslash Delta\backslash ln\; x$ ΔxdB=(10/ln10)Δlnx，相除即得因子 2。这个细节不写清楚，敏感度表会差一倍。

对单基地雷达的距离形式
$$R4=\; Pav\; TdG2\lambda 2\sigma \; (4\pi )3L\hspace{0.17em}kT0F\hspace{0.17em}\; SNRreq\; ,\; R^4=\backslash frac\{P\_\{av\}T\_dG^2\backslash lambda^2\backslash sigma\}\{(4\backslash pi)^3L\backslash ,kT\_0F\backslash ,\backslash mathrm\{SNR\}\_\{\backslash mathrm\{req\}\}\},$$ R4=(4π)3LkT0FSNRreqPavTdG2λ2σ,

取对数并微分，得到各参数的指数：
$$\alpha P=\alpha T=\alpha \sigma =14,\alpha G=\alpha \lambda =12,\alpha L=\alpha F=\; \alpha SNR\; =-14.\; \backslash alpha\_\{P\}=\backslash alpha\_\{T\}=\backslash alpha\_\{\backslash sigma\}=\backslash frac14,\backslash qquad\; \backslash alpha\_\{G\}=\backslash alpha\_\{\backslash lambda\}=\backslash frac12,\backslash qquad\; \backslash alpha\_\{L\}=\backslash alpha\_\{F\}=\backslash alpha\_\{\backslash mathrm\{SNR\}\}=-\backslash frac14.$$ αP=αT=ασ=41,αG=αλ=21,αL=αF=αSNR=−41.

对搜索雷达的资源形式
$$R4=\; Pav\; Tf\hspace{0.17em}\eta b\hspace{0.17em}Ae\hspace{0.17em}\sigma \; 4\pi \Omega \hspace{0.17em}L\hspace{0.17em}kT0F\hspace{0.17em}\; SNRreq\; ,\; R^4=\backslash frac\{P\_\{av\}T\_f\backslash ,\backslash eta\_b\backslash ,A\_e\backslash ,\backslash sigma\}\{4\backslash pi\backslash Omega\backslash ,L\backslash ,kT\_0F\backslash ,\backslash mathrm\{SNR\}\_\{\backslash mathrm\{req\}\}\},$$ R4=4πΩLkT0FSNRreqPavTfηbAeσ,

指数为
$$\alpha P=\; \alpha Tf\; =\; \alpha \eta b\; =\; \alpha Ae\; =\alpha \sigma =14,\alpha \Omega =\alpha L=\alpha F=\; \alpha SNR\; =-14.\; \backslash alpha\_\{P\}=\backslash alpha\_\{T\_f\}=\backslash alpha\_\{\backslash eta\_b\}=\backslash alpha\_\{A\_e\}=\backslash alpha\_\{\backslash sigma\}=\backslash frac14,\backslash qquad\; \backslash alpha\_\{\backslash Omega\}=\backslash alpha\_\{L\}=\backslash alpha\_\{F\}=\backslash alpha\_\{\backslash mathrm\{SNR\}\}=-\backslash frac14.$$ αP=αTf=αηb=αAe=ασ=41,αΩ=αL=αF=αSNR=−41.

表 2-10 把两种形式的指数和"距离 dB/dB"放在一起。注意"增益"的指数在单基地形式中是 $1/21/2$ 1/2，在搜索形式中如果固定有效孔径 $Ae\; A\_e$ Ae，增益根本不出现；如果固定增益 $GG$ G 而改变频率，波长又以 $1/21/2$ 1/2 的指数进入。同一个参数在不同约束下的敏感度不同，谈敏感度必须先说"固定什么、改变什么"。

表 2-10　雷达方程中各参数的标度指数与距离敏感度

参数	$\alpha \backslash alpha$ α（单基地）	$\alpha \backslash alpha$ α（搜索）	距离 dB/dB（单/搜索）	说明
平均功率 $Pav\; P\_\{av\}$ Pav	0.25	0.25	0.5 / 0.5	1 dB 功率换 0.5 dB 距离
驻留/帧时间 $Td,Tf\; T\_d,T\_f$ Td,Tf	0.25	0.25	0.5 / 0.5	受更新率/机动约束
天线增益 $GG$ G	0.50	0.25（用 $GG$ G 形式）	1.0 / 0.5	$G2G^2$ G2 单基地；搜索用 $GG$ G 或 $Ae\; A\_e$ Ae
有效孔径 $Ae\; A\_e$ Ae	0.50	0.25	1.0 / 0.5	搜索方程按 $Ae\; A\_e$ Ae 归一化
波长 $\lambda \backslash lambda$ λ	0.50	0.50（固定 $GG$ G）	1.0 / 1.0	固定 $GG$ G；固定 $Ae\; A\_e$ Ae 见正文
目标 RCS $\sigma \backslash sigma$ σ	0.25	0.25	0.5 / 0.5	不可控，但可通过极化/频率改善
损耗 $LL$ L	-0.25	-0.25	-0.5 / -0.5	1 dB 损耗 = 0.5 dB 距离
噪声系数 $FF$ F	-0.25	-0.25	-0.5 / -0.5	与 $LL$ L 同权
检测信噪比 $SNRreq\; \backslash mathrm\{SNR\}\_\{\backslash mathrm\{req\}\}$ SNRreq	-0.25	-0.25	-0.5 / -0.5	检测算法/起伏模型决定
搜索立体角 $\Omega \backslash Omega$ Ω	---	-0.25	--- / -0.5	缩小空域等于增加距离
波位效率 $\eta b\; \backslash eta\_b$ ηb	---	0.25	--- / 0.5	波位编排/重叠

这张表最容易被误读的是"增益 1.0"。它不表示"增益比功率更值钱"，而表示"在波长固定、孔径可变的单基地雷达中，增益每提高 1 dB，距离提高 1.0 dB"。如果孔径已经固定、只能换频率，那么 $G\propto 1/\lambda 2G\backslash propto1/\backslash lambda^2$ G∝1/λ2， $G2\lambda 2\propto 1/\lambda 2G^2\backslash lambda^2\backslash propto1/\backslash lambda^2$ G2λ2∝1/λ2，单基地距离按 $\lambda -1/2\backslash lambda^\{-1/2\}$ λ−1/2 变化（距离 dB/dB 为 -1.0）；只有搜索方程用 $Ae\; A\_e$ Ae 归一化时， $\lambda \backslash lambda$ λ 才不出现。如果增益固定、波长可变， $\lambda \backslash lambda$ λ 的指数是 0.5（距离 dB/dB 为 1.0）。工程上不能把表 2-10 的某一列无条件套用。

2.8.2 误差传播：RSS、最坏值与相关性

设每个参数有小的相对误差 $\delta i=\Delta xi/xi\; \backslash delta\_i=\backslash Delta\; x\_i/x\_i$ δi=Δxi/xi，则距离的相对误差近似为
$$\Delta RR\; \approx \sum i\alpha i\delta i.\; \backslash frac\{\backslash Delta\; R\}\{R\}\backslash approx\backslash sum\_i\backslash alpha\_i\backslash delta\_i.$$ RΔR≈i∑αiδi.

在 dB 域，若 $\Delta \; x\; i,dB\; \backslash Delta\; x\_\{i,\backslash mathrm\{dB\}\}$ Δxi,dB 是参数的分贝误差，则
$$\Delta \; RdB\; \approx 2\sum i\alpha i\Delta \; x\; i,dB\; .\; \backslash Delta\; R\_\{\backslash mathrm\{dB\}\}\backslash approx2\backslash sum\_i\backslash alpha\_i\backslash Delta\; x\_\{i,\backslash mathrm\{dB\}\}.$$ ΔRdB≈2i∑αiΔxi,dB.

这是线性化公式，适用于 $\mid \Delta \; x\; i,dB\; \mid \lesssim 3\; dB\; |\backslash Delta\; x\_\{i,\backslash mathrm\{dB\}\}|\backslash lesssim3\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ ∣Δxi,dB∣≲3 dB；误差更大时，幂律的曲率不可忽略，应该直接算上下界。

若各参数误差独立、均值为零，则距离误差的方差为
$$\sigma \; R,dB\; 2\; =4\sum i\alpha i2\; \sigma \; i,dB\; 2\; ,\; \sigma \; R,dB\; =2\; \sum i\alpha i2\; \sigma \; i,dB\; 2\; .\; \backslash sigma\_\{R,\backslash mathrm\{dB\}\}^2=4\backslash sum\_i\backslash alpha\_i^2\backslash sigma\_\{i,\backslash mathrm\{dB\}\}^2,\; \backslash qquad\; \backslash sigma\_\{R,\backslash mathrm\{dB\}\}=2\backslash sqrt\{\backslash sum\_i\backslash alpha\_i^2\backslash sigma\_\{i,\backslash mathrm\{dB\}\}^2\}.$$ σR,dB2=4i∑αi2σi,dB2,σR,dB=2i∑αi2σi,dB2 .

这就是 RSS（root-sum-square）合成。若参数之间存在相关性（例如温度同时影响损耗和噪声系数，或频率同时影响增益和大气衰减），还要加协方差项：
σR,dB2=4(i∑αi2σi2+2i<j∑αiαjρijσiσj).

正相关会使误差放大，负相关会抵消。工程上最常见的正相关是"温度"：天线罩损耗、LNA 噪声、电缆损耗随温度同向变化；把它们当独立变量做 RSS，会低估总误差 20--40%。

最坏值是另一极端：
$$\Delta \; RdB,max\; =2\sum i\mid \alpha i\mid \hspace{0.17em}\mid \Delta \; x\; i,dB\; \mid .\; \backslash Delta\; R\_\{\backslash mathrm\{dB,max\}\}=2\backslash sum\_i|\backslash alpha\_i|\backslash ,|\backslash Delta\; x\_\{i,\backslash mathrm\{dB\}\}|.$$ ΔRdB,max=2i∑∣αi∣∣Δxi,dB∣.

最坏值适合"不能失败"的场合（安全、载人、单次任务），但它通常过于悲观：8 个独立参数各 3σ 同时朝一个方向，概率极低。RSS 适合"大量样本/长期运行"的场合，它给出的是 1σ，不是保证值。正确做法是两者都算，再根据任务要求选择分位数。

算例 ：搜索雷达的距离不确定度。设各参数的分贝误差（1σ）为：损耗 $LL$ L 0.85 dB（8 项 0.3 dB 的 RSS）、噪声系数 $FF$ F 0.30 dB、检测信噪比 0.50 dB、增益 0.40 dB、帧时间 0.10 dB、搜索立体角 0.20 dB。指数绝对值均为 0.25，系数 $2\alpha =0.52\backslash alpha=0.5$ 2α=0.5。则
$$\sigma \; R,dB\; =0.5\; 0.852+0.302+0.502+0.402+0.102+0.202\; =0.51.2725=0.564\; dB.\; \backslash sigma\_\{R,\backslash mathrm\{dB\}\}=0.5\backslash sqrt\{0.85^2+0.30^2+0.50^2+0.40^2+0.10^2+0.20^2\}\; =0.5\backslash sqrt\{1.2725\}=0.564\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}.$$ σR,dB=0.50.852+0.302+0.502+0.402+0.102+0.202 =0.51.2725 =0.564 dB.

距离的相对标准差为 $100.564/20-1=6.7\%10^\{0.564/20\}-1=6.7\backslash \%$ 100.564/20−1=6.7%。注意： $0.564\; dB\; 0.564\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ 0.564 dB 是距离域（ $20\; log10\; 20\backslash log\_\{10\}$ 20log10）的 dB，对应的距离比是 1.067；同一比值在功率域是 $1.0672=1.1391.067^2=1.139$ 1.0672=1.139，即 13.9% 的功率差异。把"距离 dB"和"功率 dB"混着写，6.7% 会被误读成 13.9%，或者反过来。

90% 区间（假设正态）为 $\pm 1.645\sigma =\pm 0.928\; dB\backslash pm1.645\backslash sigma=\backslash pm0.928\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ ±1.645σ=±0.928 dB，即距离 $70\; km\; 70\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ 70 km 的 90% 区间约为 62.9--77.9 km。最坏值（各误差直接相加）为
$$\Delta \; RdB,max\; =0.5(0.85+0.30+0.50+0.40+0.10+0.20)=1.175\; dB,\; \backslash Delta\; R\_\{\backslash mathrm\{dB,max\}\}=0.5(0.85+0.30+0.50+0.40+0.10+0.20)=1.175\backslash \; \backslash mathrm\{dB\},$$ ΔRdB,max=0.5(0.85+0.30+0.50+0.40+0.10+0.20)=1.175 dB,

对应 14.5%。RSS 的 1σ（6.7%）与最坏值（14.5%）相差一倍多；如果预算只写"±8%"，既不是 1σ 也不是最坏值，评审无法判断它代表什么。

2.8.3 敏感度表：哪些参数最值得投钱

敏感度指数只回答"物理上谁的影响大"，不回答"改它要花多少钱"。把两者结合，才能得到投资优先级。表 2-11 给出搜索雷达的典型判断。

表 2-11　搜索雷达参数的投资优先级

参数	距离敏感度（dB/dB）	典型不确定度	改善 1 dB 的代价	优先级
损耗 $LL$ L	-0.5	0.5--2 dB	设计/选材/标定，通常最低	最高
噪声系数 $FF$ F	-0.5	0.2--0.8 dB	LNA 选型/前端设计，中等	高
检测信噪比	-0.5	0.5--1.5 dB	波形/积累/CFAR 算法，低--中	高
波位效率 $\eta b\; \backslash eta\_b$ ηb	+0.5	0.2--0.5 dB	波位编排/重叠，软件为主	高
搜索立体角 $\Omega \backslash Omega$ Ω	-0.5	任务决定	缩小空域=改变任务，不能算"改善"	视任务
帧时间 $Tf\; T\_f$ Tf	+0.5	0.1--0.5 dB	放宽更新率，通常便宜	中--高
平均功率 $Pav\; P\_\{av\}$ Pav	+0.5	0.2--0.5 dB	发射机/散热/电源，昂贵	中
有效孔径 $Ae\; A\_e$ Ae	+0.5	0.3--0.8 dB	结构/重量/伺服，很贵	中--低
目标 RCS $\sigma \backslash sigma$ σ	+0.5	6--20 dB	不可控；极化/频率可争取 3--6 dB	视目标
波长 $\lambda \backslash lambda$ λ	+1.0（固定 $GG$ G）	频率选择	改变频段=重做天线/器件	低（早期决定）

这张表的排序不是绝对的，但它揭示了三个工程事实：

1. 损耗和噪声系数是"设计态"参数。同样 1 dB，减少损耗通常比增加功率便宜一个数量级；LNA 噪声系数在方案阶段选型，后期改板代价高。预算审评应该先问"这 8.5 dB 损耗里，哪 1 dB 最容易去掉"，而不是先问"功率能不能加一倍"。
2. 检测信噪比是"算法态"参数。从非相参积累改成相参/多普勒滤波，可能省 3--6 dB；CFAR 从单元平均改成有序统计/杂波图，可能省 1--2 dB。这些改善不需要改硬件，但需要算力和波形自由度。
3. 功率和孔径是"资源态"参数。它们按 0.5 dB/dB 换距离（指数 0.25），投入大、周期长；在方案早期改有效，后期只能微调。把 80% 的预算花在最后 1 dB 功率上，通常是最差的投资组合。

频率的陷阱：表 2-11 给波长 1.0 dB/dB 的敏感度，前提是"固定增益、只改波长"。实际改频段会同时改变天线尺寸、大气衰减、目标 RCS、器件噪声。把 1.0 当成"降频 1 dB 换 1 dB 距离"会得出错误结论；低频的波长优势往往被更大的天线和更窄的可用带宽抵消。

2.8.4 蒙特卡罗预算：从 1σ 到分布

RSS 只给均值和方差，不给分布；最坏值只给边界，不给概率。蒙特卡罗把每个参数按分布抽样，直接算距离的分布，能得到 $P5,P50,P95\; P\_5,P\_\{50\},P\_\{95\}$ P5,P50,P95、超差概率和参数贡献度。步骤：

1. 定义输入分布：标定误差用正态；制造公差用均匀；雨衰用对数正态/威布尔；遮挡/故障用伯努利；参数间相关性用 Copula 或协方差矩阵。
2. 抽样 ： $N=104N=10^4$ N=104-- $10610^6$ 106；每个样本算一次 $RR$ R。纯 Python 的 10 万次循环在秒级，足够方案阶段使用。
3. 统计 ：均值、标准差、分位数、直方图；用 P(R<Rreq) 作为风险度量。
4. 贡献度 ：固定其他参数、只让第 $ii$ i 个参数变化，算方差贡献；或算 Spearman 秩相关。贡献度最大的参数就是最该测准/控制的参数。
5. 收敛检查 ：分位数的标准误差约为 $p(1-p)/N\; /f(q)\; \backslash sqrt\{p(1-p)/N\}/f(q)$ p(1−p)/N /f(q)；10 万样本的 5%/95% 分位数标准误差约为 0.1--0.3 dB。样本翻 4 倍，误差减半。

蒙特卡罗的价值不在于"更精确"，而在于它能处理非线性、截断和相关性。例如雨衰的分布是长尾的，RSS 会低估 95% 分位；损耗有"晴天/雨天"两个模态，均值和方差不能描述双峰；这些用蒙特卡罗一目了然。

2.8.5 裕量分配：设计裕量、统计裕量与任务风险

裕量不是"在标称值上随便加 3 dB"。至少分三类：

• 设计裕量：覆盖制造公差、老化、环境（温度、雨、多径）等已知但不可控的偏差；按最坏值或 95% 分位取。
• 统计裕量：覆盖参数估计的不确定度；按 RSS/蒙特卡罗的分布取，通常 1σ 或 90%。
• 任务裕量：覆盖任务想定中的未知（目标 RCS 比预期低、战术机动、干扰）；按作战分析取，可能是 3--6 dB。

三类裕量不能重复计算。若 $LL$ L 已经按雨天最坏值取，就不能再加"雨天裕量"；若 $SNRreq\; \backslash mathrm\{SNR\}\_\{\backslash mathrm\{req\}\}$ SNRreq 已经按 Swerling 1 的 90% 取，就不能再加"起伏裕量"。审计时把每个裕量映射到它覆盖的变量，画一张"裕量---变量"矩阵，重复的项合并。

算例 ：要求 $R90\ge 70\; km\; R\_\{90\}\backslash ge70\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ R90≥70 km（90% 的任务条件下）。标称 $R=76\; km\; R=76\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ R=76 km。

• 若设计能把距离标准差控制在 $\sigma R=2.0\; km\; \backslash sigma\_R=2.0\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ σR=2.0 km（2.6%，即 0.23 dB），则

$$R90=76-1.282\times 2.0=73.4\; km>70\; km,\; R\_\{90\}=76-1.282\backslash times2.0=73.4\backslash \; \backslash mathrm\{km\}>70\backslash \; \backslash mathrm\{km\},$$ R90=76−1.282×2.0=73.4 km>70 km,

有 3.4 km 余量（约 0.41 dB 距离，对应 0.82 dB 能量）。

• 若按 2.8.2 节的 $\sigma R=0.564\; dB\; \backslash sigma\_R=0.564\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ σR=0.564 dB（6.7%，在 76 km 处约 5.1 km），则

R90=76−1.282×5.1=69.5 km<70 km,

差 0.5 km，不满足。要满足，要么把标称提高到 $70+1.282\times 5.1=76.5\; km70+1.282\backslash times5.1=76.5\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ 70+1.282×5.1=76.5 km（+0.5 km，约 0.06 dB 距离），要么把 $\sigma R\; \backslash sigma\_R$ σR 从 5.1 km 降到 $(76-70)/1.282=4.68\; km(76-70)/1.282=4.68\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ (76−70)/1.282=4.68 km（从 0.564 dB 降到 0.52 dB）。前者几乎不花钱，后者要重新做损耗标定。这个例子说明：裕量不足时，先算"加标称"和"降不确定度"两条路的代价，再决定；不要条件反射地加功率，也不要教条地降不确定度。

若标称只有 72 km、 $\sigma R=2.0\; km\; \backslash sigma\_R=2.0\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ σR=2.0 km，则 R90=69.4 km<70，差 0.6 km；把标称提高 0.6 km（0.07 dB 距离，0.14 dB 能量）就能满足，代价远小于把 $\sigma R\; \backslash sigma\_R$ σR 从 2.0 降到 1.56 km。这个反例说明"先降不确定度"不是教条，要看当前裕量和改善成本。

裕量的代价：距离裕量 1 dB 需要能量 2 dB（1.585 倍）；距离裕量 3 dB 需要能量 6 dB（4 倍）。如果为了"保险"在功率上多加 3 dB 裕量，实际付出的是 6 dB 的功率资源；这 6 dB 可能已经超过整个损耗预算。正确做法是把裕量放在"不确定度最大、改善最便宜"的参数上，而不是统一乘一个 1.5 的安全系数。

表 2-12　裕量分配示例（X 波段搜索雷达）

裕量类型	覆盖变量	取值	依据	是否与其他项重复
损耗设计裕量	天线罩/雨/多径	2.0 dB	95% 分位	已含在 $L=8.5L=8.5$ L=8.5 内
噪声不确定度	$FF$ F、 $Tant\; T\_\{\backslash mathrm\{ant\}\}$ Tant	0.5 dB	实测 1σ	已含在 $F=2.2F=2.2$ F=2.2
检测起伏	Swerling 1/2	2.0 dB	$Pd=0.9\; P\_d=0.9$ Pd=0.9 的 90%	已含在 $SNRreq\; \backslash mathrm\{SNR\}\_\{\backslash mathrm\{req\}\}$ SNRreq
目标 RCS	未知/极化	3.0 dB	任务分析	未含，需单列
多径/低仰角	搜索屏边缘	3.0 dB	射线追踪	未含，按波位加
系统老化	发射/接收	1.0 dB	10 年	未含，单列

把"未含"项明确列出来，比把它们塞进一个"系统裕量 6 dB"更可信。评审时可以看到：标称 70 km 是在"已含损耗/噪声/检测"的条件下，任务裕量（RCS 3 dB、多径 3 dB、老化 1 dB）另算；若任务要求这些条件同时成立，需要补偿 7 dB 的功率代价，对应距离提高 $7/2=3.5\; dB7/2=3.5\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ 7/2=3.5 dB，即能量增加 7 dB（约 5 倍）。这个数字应该出现在资源账本里，而不是隐藏在一个模糊的"安全系数"里。

2.8.6 敏感度分析的三个常见错误

错误一：把 dB/dB 当成线性比例。 1 dB 功率换 0.5 dB 距离，不是 1 dB 距离；把 0.5 当成 1，会把所需功率低估约 1.6 倍（2 dB）。

错误二：对"距离 dB"和"功率 dB"混用。 距离的 dB 是 $20\; log10\; 20\backslash log\_\{10\}$ 20log10，功率的 dB 是 $10\; log10\; 10\backslash log\_\{10\}$ 10log10；同一个 0.564 dB，对应距离比 1.067（+6.7%），对应功率比 1.139（+13.9%）。预算表必须注明"本表距离 dB 为 $20\; log10\; 20\backslash log\_\{10\}$ 20log10"。

错误三：把相关误差当独立。 温度同时影响损耗和噪声，频率同时影响增益和大气；RSS 之前先问"这些误差是否同源"。同源误差应该合并成一个变量，而不是拆成多项做 RSS。

这三个错误不涉及复杂数学，但每一个都能让预算差 2--4 dB。敏感度分析的目的不是算得更花哨，而是把"哪个参数值得测、哪个裕量不能省、哪个误差被重复计算"这三件事说清楚。

2.9 完整 Python 预算工具：从公式到可复算的账本

预算表在电子表格里最容易出的错不是公式不会写，而是"同一个参数抄了三份、改了一处忘了另两处"。一个可复算的工具至少要做到四点：参数只定义一次；线性域/dB 域的转换集中在一个函数；距离、信噪比、敏感度、蒙特卡罗共用同一套方程；输出能直接贴进评审表。下面这段代码只用 Python 标准库，不依赖 NumPy/SciPy；它的默认参数就是 2.10 节 X 波段案例，输出应与正文的 1500 W、27.17 dB、90.3 km、4.42 dB 对得上；542 W 的阈值功率可用搜索方程手算核对。

2.9.1 输入参数与数据流

工具的核心是一个不可变的 SearchRadar 数据类。输入分为四组：

表 2-13　预算工具的输入参数

组	参数	默认值	单位	来源/说明
发射	峰值功率 $Pt\; P\_t$ Pt	41.7609 dBW（15 kW）	dBW	发射机输出，含发射馈线
发射	占空比 $Dc\; D\_c$ Dc	0.10	---	$Pav\; =PtDc\; P\_\{av\}=P\_tD\_c$ Pav=PtDc
天线	增益 $GG$ G	38.75 dB	dBi	含阵面效率，不含扫描损失
天线	波位效率 $\eta b\; \backslash eta\_b$ ηb	0.295	---	波位编排，不含扫描损失
波形	频率 $fc\; f\_c$ fc	9.0 GHz	Hz	$\lambda =c/fc\; \backslash lambda=c/f\_c$ λ=c/fc
波形	PRF	1500 Hz	Hz	决定脉冲数与距离模糊
目标	RCS $\sigma \backslash sigma$ σ	-3.0103 dBsm（0.5 m²）	dBsm	设计最坏值
环境	损耗 $LL$ L	8.5 dB	dB	表 2-6 的损耗树
接收	噪声系数 $FF$ F	2.2 dB	dB	天线端口定义
接收	噪声温度 $T0\; T\_0$ T0	290 K	K	标准温度
搜索	立体角 $\Omega \backslash Omega$ Ω	0.2177 sr	sr	360°×2° 有效值
搜索	净搜索时间 $Tf\; T\_f$ Tf	11.0 s	s	不含调度开销
检测	要求信噪比	22.75 dB	dB	Swerling 1 + 波束形状

数据流是单向的：
$$(Pt,Dc)\to \; Pav\; ;(fc)\to \lambda ;(\Omega ,G,\eta b)\to Nb;(Tf,Nb)\to Td;(\; Pav\; ,Td,G,\lambda ,\sigma ,L,F)\to SNR(R).\; (P\_t,D\_c)\backslash to\; P\_\{av\};\backslash quad\; (f\_c)\backslash to\backslash lambda;\backslash quad\; (\backslash Omega,G,\backslash eta\_b)\backslash to\; N\_b;\backslash quad\; (T\_f,N\_b)\backslash to\; T\_d;\backslash quad\; (P\_\{av\},T\_d,G,\backslash lambda,\backslash sigma,L,F)\backslash to\; \backslash mathrm\{SNR\}(R).$$ (Pt,Dc)→Pav;(fc)→λ;(Ω,G,ηb)→Nb;(Tf,Nb)→Td;(Pav,Td,G,λ,σ,L,F)→SNR(R).

每一步都用一个 @property 或纯函数实现，避免"在表格里手算中间量"。range_at_snr() 只做一件事：把 $R4R^4$ R4 的表达式反解成 $RR$ R；snr_at_range() 做正向检查；audit_table() 输出 dB 账本；sensitivity() 对每个参数加 1 dB 重算；monte_carlo() 按分布抽样。四个函数共用同一个 snr_at_range()。

2.9.2 完整代码

#!/usr/bin/env python3
"""ch02_budget.py --- 搜索雷达链路预算、敏感度与蒙特卡罗工具。

只依赖 Python 标准库。所有功率/增益/损耗均以 dB 输入，内部转线性。
运行: python ch02_budget.py
"""
from __future__ import annotations

import math
import random
from dataclasses import dataclass, replace

K_B = 1.380649e-23          # J/K
C0 = 299_792_458.0          # m/s


def db(x: float) -> float:
    return 10.0 * math.log10(x)


def undb(x: float) -> float:
    return 10.0 ** (x / 10.0)


def db20(x: float) -> float:
    return 20.0 * math.log10(x)


@dataclass(frozen=True)
class SearchRadar:
    name: str = "X-band ground search"
    pt_dbw: float = 41.7609      # 15 kW
    duty: float = 0.10           # 10%
    g_db: float = 38.75          # 7499
    freq_hz: float = 9.0e9       # lambda = 0.03331 m
    sigma_dbsm: float = -3.0103  # 0.5 m^2
    loss_db: float = 8.5
    nf_db: float = 2.2
    t0_k: float = 290.0
    omega_sr: float = 0.2177
    eta_b: float = 0.295
    tf_s: float = 11.0
    snr_req_db: float = 22.75
    prf_hz: float = 1500.0

    @property
    def pav_w(self) -> float:
        return undb(self.pt_dbw) * self.duty

    @property
    def wavelength_m(self) -> float:
        return C0 / self.freq_hz

    @property
    def gain(self) -> float:
        return undb(self.g_db)

    @property
    def sigma_m2(self) -> float:
        return undb(self.sigma_dbsm)

    @property
    def loss(self) -> float:
        return undb(self.loss_db)

    @property
    def nf(self) -> float:
        return undb(self.nf_db)

    @property
    def n0(self) -> float:
        return K_B * self.t0_k * self.nf

    @property
    def n_beams(self) -> float:
        return self.omega_sr * self.gain / (4.0 * math.pi * self.eta_b)

    @property
    def td_s(self) -> float:
        return self.tf_s / self.n_beams

    @property
    def n_pulses(self) -> int:
        return int(math.floor(self.td_s * self.prf_hz))

    @property
    def energy_per_beam_j(self) -> float:
        return self.pav_w * self.td_s

    @property
    def energy_per_frame_j(self) -> float:
        return self.pav_w * self.tf_s

    def snr_at_range(self, r_m: float) -> float:
        """单波位匹配滤波信噪比（线性）。"""
        num = (self.pav_w * self.td_s * self.gain ** 2
               * self.wavelength_m ** 2 * self.sigma_m2)
        den = ((4.0 * math.pi) ** 3 * r_m ** 4
               * self.loss * self.n0)
        return num / den

    def range_at_snr(self, snr_db: float | None = None) -> float:
        """给定检测信噪比，反解最大距离（m）。"""
        snr = undb(self.snr_req_db if snr_db is None else snr_db)
        num = (self.pav_w * self.td_s * self.gain ** 2
               * self.wavelength_m ** 2 * self.sigma_m2)
        den = (4.0 * math.pi) ** 3 * self.loss * self.n0 * snr
        return (num / den) ** 0.25

    def audit_table(self) -> list[tuple[str, float, str]]:
        """返回 dB 账本：(项目, dB 值, 说明)。"""
        return [
            ("P_av", db(self.pav_w), "平均功率（W）"),
            ("G^2", 2.0 * self.g_db, "天线增益平方"),
            ("lambda^2", db(self.wavelength_m ** 2), "波长平方"),
            ("sigma", self.sigma_dbsm, "目标 RCS"),
            ("T_d", db(self.td_s), "每波位驻留"),
            ("(4pi)^3", -db((4.0 * math.pi) ** 3), "球面扩散"),
            ("L", -self.loss_db, "系统损耗"),
            ("kT0F", -db(self.n0), "噪声谱密度"),
            ("SNR_req", -self.snr_req_db, "检测要求"),
        ]


def sensitivity(r: SearchRadar) -> dict[str, float]:
    """每个参数 +1 dB 时，距离变化多少 dB（20log10 定义）。"""
    base = r.range_at_snr()
    tests = {
        "P_av": replace(r, pt_dbw=r.pt_dbw + 1.0),
        "G": replace(r, g_db=r.g_db + 1.0),
        "lambda": replace(r, freq_hz=r.freq_hz / undb(1.0)),
        "sigma": replace(r, sigma_dbsm=r.sigma_dbsm + 1.0),
        "T_d": replace(r, tf_s=r.tf_s * undb(1.0)),
        "L": replace(r, loss_db=r.loss_db + 1.0),
        "F": replace(r, nf_db=r.nf_db + 1.0),
        "SNR_req": replace(r, snr_req_db=r.snr_req_db + 1.0),
        "Omega": replace(r, omega_sr=r.omega_sr * undb(1.0)),
        "eta_b": replace(r, eta_b=r.eta_b * undb(1.0)),
    }
    return {k: db20(v.range_at_snr() / base) for k, v in tests.items()}


def monte_carlo(r: SearchRadar, n: int = 100_000, seed: int = 2026,
                sigma_target_db: float = 0.0) -> dict[str, float]:
    """独立正态误差下的距离分布；返回 dB 统计。"""
    rng = random.Random(seed)
    sig = {"L": 0.85, "F": 0.30, "SNR": 0.50, "G": 0.40,
           "Tf": 0.10, "Omega": 0.20, "sigma": sigma_target_db}
    vals: list[float] = []
    for _ in range(n):
        rr = replace(
            r,
            loss_db=r.loss_db + rng.gauss(0.0, sig["L"]),
            nf_db=r.nf_db + rng.gauss(0.0, sig["F"]),
            snr_req_db=r.snr_req_db + rng.gauss(0.0, sig["SNR"]),
            g_db=r.g_db + rng.gauss(0.0, sig["G"]),
            tf_s=r.tf_s * undb(rng.gauss(0.0, sig["Tf"])),
            omega_sr=r.omega_sr * undb(rng.gauss(0.0, sig["Omega"])),
            sigma_dbsm=r.sigma_dbsm + rng.gauss(0.0, sig["sigma"]),
        )
        vals.append(db20(rr.range_at_snr() / 1000.0))  # dB(km)
    vals.sort()

    def pct(p: float) -> float:
        k = min(len(vals) - 1, max(0, int(round(p / 100.0 * (len(vals) - 1)))))
        return vals[k]

    mean = sum(vals) / len(vals)
    var = sum((v - mean) ** 2 for v in vals) / (len(vals) - 1)
    return {"mean_dbkm": mean, "std_db": math.sqrt(var),
            "p05_dbkm": pct(5), "p50_dbkm": pct(50), "p95_dbkm": pct(95),
            "risk_below_70km": sum(1 for v in vals if v < db20(70.0)) / len(vals)}


def main() -> None:
    r = SearchRadar()
    print(f"== {r.name} ==")
    print(f"P_av={r.pav_w:.1f} W, lambda={r.wavelength_m:.5f} m, "
          f"N_beams={r.n_beams:.1f}, T_d={r.td_s*1e3:.2f} ms, "
          f"N_p={r.n_pulses}")
    print(f"E_beam={r.energy_per_beam_j:.2f} J, "
          f"E_frame={r.energy_per_frame_j/1e3:.2f} kJ")

    print("\n-- dB audit --")
    total = 0.0
    for name, value, note in r.audit_table():
        total += value
        print(f"{name:>9s} {value:8.3f} dB   {note}")
    print(f"{'sum':>9s} {total:8.3f} dB   -> 40log10(R)")

    r70 = 70_000.0
    snr70 = db(r.snr_at_range(r70))
    rmax = r.range_at_snr()
    print(f"\nSNR @70 km = {snr70:.2f} dB; margin = {snr70-r.snr_req_db:.2f} dB")
    print(f"R_max @threshold = {rmax/1000:.2f} km")

    print("\n-- sensitivity (dR_dB per +1 dB parameter) --")
    for k, v in sensitivity(r).items():
        print(f"{k:>8s}: {v:+.3f} dB")

    print("\n-- Monte Carlo (system only, 100k) --")
    mc = monte_carlo(r, 100_000, sigma_target_db=0.0)
    for k, v in mc.items():
        print(f"{k:>16s}: {v:.4f}")

    print("\n-- Monte Carlo (with 3 dB target RCS sigma, 100k) --")
    mc2 = monte_carlo(r, 100_000, sigma_target_db=3.0)
    for k, v in mc2.items():
        print(f"{k:>16s}: {v:.4f}")


if __name__ == "__main__":
    main()

2.9.3 预期输出

python ch02_budget.py 约 1.2 s 跑完，输出如下（末位可能因浮点舍入不同）：

== X-band ground search ==
P_av=1500.0 W, lambda=0.03331 m, N_beams=440.4, T_d=24.98 ms, N_p=37
E_beam=37.47 J, E_frame=16.50 kJ

-- dB audit --
     P_av   31.761 dB   平均功率（W）
      G^2   77.500 dB   天线增益平方
 lambda^2  -29.548 dB   波长平方
    sigma   -3.010 dB   目标 RCS
      T_d  -16.024 dB   每波位驻留
  (4pi)^3  -32.976 dB   球面扩散
        L   -8.500 dB   系统损耗
     kT0F  201.775 dB   噪声谱密度
  SNR_req  -22.750 dB   检测要求
      sum  198.227 dB   -> 40log10(R)

SNR @70 km = 27.17 dB; margin = 4.42 dB
R_max @threshold = 90.30 km

-- sensitivity (dR_dB per +1 dB parameter) --
    P_av: +0.500 dB
       G: +0.500 dB
  lambda: +1.000 dB
   sigma: +0.500 dB
     T_d: +0.500 dB
       L: -0.500 dB
       F: -0.500 dB
 SNR_req: -0.500 dB
   Omega: -0.500 dB
   eta_b: +0.500 dB

-- Monte Carlo (system only, 100k) --
       mean_dbkm: 39.1124
          std_db: 0.5636
        p05_dbkm: 38.1829
        p50_dbkm: 39.1125
        p95_dbkm: 40.0379
 risk_below_70km: 0.0000

-- Monte Carlo (with 3 dB target RCS sigma, 100k) --
       mean_dbkm: 39.1180
          std_db: 1.6005
        p05_dbkm: 36.4853
        p50_dbkm: 39.1176
        p95_dbkm: 41.7494
 risk_below_70km: 0.0833

2.9.4 四个数字的交叉核对

输出里有四个可以独立核对的数字：

1. dB 账本求和 198.227 dB 。它应等于 $40\; log10\; R\; 40\backslash log\_\{10\}R$ 40log10R。 $R=90.30\; km\; R=90.30\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ R=90.30 km 时， $40\; log10\; (90300)=198.23\; 40\backslash log\_\{10\}(90300)=198.23$ 40log10(90300)=198.23，差 0.003 dB 是舍入。若求和不等于 $40logR40\backslash log\; R$ 40logR，先查 $GG$ G 是否只算了一次、 $Td\; T\_d$ Td 是否用了净驻留、 $(4\pi )3(4\backslash pi)^3$ (4π)3 的符号是否写反。
2. 70 km 处 27.17 dB、裕量 4.42 dB 。它与 2.5.3 的 542 W 阈值功率、2.2.6 的 4.4 dB 裕量一致。若差 0.1 dB 以上，查 $Td\; T\_d$ Td 用的是 24.98 ms 还是 25.00 ms、 $FF$ F 的线性值是否用 1.660。
3. 敏感度 0.5/1.0 dB/dB 。 $Pav\; P\_\{av\}$ Pav、 $GG$ G、 $Td\; T\_d$ Td、 $\sigma \backslash sigma$ σ、 $LL$ L、 $FF$ F、 $SNR\backslash mathrm\{SNR\}$ SNR、 $\Omega \backslash Omega$ Ω、 $\eta b\; \backslash eta\_b$ ηb 的指数绝对值都是 0.25，距离敏感度应为 0.5； $\lambda \backslash lambda$ λ 的指数是 0.5，距离敏感度为 1.0。若 $GG$ G 输出 0.5 而不是 1.0，说明代码把 $G2G^2$ G2 写成了 $GG$ G；若 $Pav\; P\_\{av\}$ Pav 输出 1.0，说明用了 $10log10\backslash log$ 10log 的距离 dB。
4. 蒙特卡罗标准差 0.5636 dB 。2.8.2 的 RSS 解析值为 0.564 dB，两者应一致（独立正态、线性化范围内）。蒙特卡罗的均值 39.1124 dBkm 对应 90.30 km，与 R_max 一致； $P5=38.18\; P\_5=38.18$ P5=38.18 dBkm 对应 81.1 km， $P95=40.04\; P\_\{95\}=40.04$ P95=40.04 dBkm 对应 100.5 km。含 3 dB 目标 RCS 不确定度时，标准差升到 1.60 dB， P(R<70 km)=8.3%------这就是"目标 RCS 不知道"对任务风险的真实贡献。

2.9.5 把工具扩展到搜索、双基地与 SAR

这段代码是"单波位"版本；扩展到其他模式只需换三个地方：

• 搜索方程 ：把 td_s 改为 tf_s / n_beams，把 n_beams = omega*g/(4*pi*eta_b) 显式写出来，并在输出表里增加 $\Omega ,\eta b,Nb\; \backslash Omega,\backslash eta\_b,N\_b$ Ω,ηb,Nb 三行。snr_at_range() 的形式不变，因为搜索方程只是 $Td\; T\_d$ Td 的代入。
• 双基地 ：把分母的 $R4R^4$ R4 改为 $Rt2Rr2\; R\_t^2R\_r^2$ Rt2Rr2，增加 rt_m、rr_m 两个输入；range_at_snr() 改为先算 $Req\; =\; RtRr\; R\_\{\backslash mathrm\{eq\}\}=\backslash sqrt\{R\_tR\_r\}$ Req=RtRr ，再调用单基地反解。同步损耗作为额外 loss_db 加入，RCS 用 sigma_b_dbsm。
• SAR NESZ ：新增 nesz() 函数，按 2.6.5 的几何形式或简化形式计算；输入增加 bandwidth_hz、incidence_deg、velocity_mps、az_res_m。不要复用 snr_at_range() 的距离反解，因为 NESZ 是"给定几何算灵敏度"，不是"给定 SNR 算距离"。

工具的价值不在代码长度，而在"每个数字都能追溯到一行输入"。评审时把 SearchRadar(...) 的构造参数贴进附录，任何人换一台机器都能复算出同一张表；这比在 PPT 里写"约 70 km"可信得多。

2.10 两个完整案例：X 波段地面搜索与 S 波段宽带 SAR

这一节把前面的方程、损耗、噪声、搜索时间、敏感度和工具串成两条完整的预算链。两个案例的参数都是自洽的假设，不对应任何装备型号；所有数字都可以用 2.9 节的工具或手算复现。第一个案例与第 1 章的边境扇区案例形成对照：同样是 X 波段、同样是低空目标，但搜索屏、目标 RCS、帧时间和资源分配完全不同。第二个案例把预算对象从"点目标距离"换成"分布式目标 NESZ"，用来说明 SAR 为什么不能套搜索方程。

2.10.1 案例 A：X 波段地面搜索雷达的任务与几何

任务假设：

• 搜索屏：方位 $360\circ 360^\backslash circ$ 360∘，俯仰 $0\circ 0^\backslash circ$ 0∘-- $2\circ 2^\backslash circ$ 2∘，有效立体角 $\Omega =0.2177\; sr\; \backslash Omega=0.2177\backslash \; \backslash mathrm\{sr\}$ Ω=0.2177 sr；
• 目标：RCS $0.5\; m20.5\backslash \; \backslash mathrm\{m^2\}$ 0.5 m2，Swerling 1，径向速度 50--300 m/s；
• 要求距离： $R=70\; km\; R=70\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ R=70 km（在 $Pd=0.9\; P\_d=0.9$ Pd=0.9、 $Pfa\; =10-6\; P\_\{fa\}=10^\{-6\}$ Pfa=10−6、晴空、无干扰条件下）；
• 更新率：净搜索帧 $Tf=11\; s\; T\_f=11\backslash \; \backslash mathrm\{s\}$ Tf=11 s，帧周期约 12.4 s（调度效率 0.89）；
• 平台：固定塔，天线架高 20 m，方位机械/电扫结合，俯仰电扫；
• 环境：地杂波、低空多径、10 mm/h 雨胞（2.2 dB 双程已计入损耗）。

天线与波形：

• 阵面 $1.35\; m\times 0.58\; m1.35\backslash \; \backslash mathrm\{m\}\backslash times0.58\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$ 1.35 m×0.58 m，物理面积 $0.783\; m20.783\backslash \; \backslash mathrm\{m^2\}$ 0.783 m2，孔径效率 0.848；
• 增益 $G=4\pi \times 0.783\times 0.848/\lambda 2=7499=38.75\; dBG=4\backslash pi\backslash times0.783\backslash times0.848/\backslash lambda^2=7499=38.75\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ G=4π×0.783×0.848/λ2=7499=38.75 dB；
• 波长 $\lambda =0.03331\; m\backslash lambda=0.03331\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$ λ=0.03331 m（ $fc=9.0\; GHz\; f\_c=9.0\backslash \; \backslash mathrm\{GHz\}$ fc=9.0 GHz）；
• 有效孔径 $Ae=G\lambda 2/(4\pi )=0.662\; m2\; A\_e=G\backslash lambda^2/(4\backslash pi)=0.662\backslash \; \backslash mathrm\{m^2\}$ Ae=Gλ2/(4π)=0.662 m2；
• 3 dB 波束约 $1.25\circ \times 2.91\circ 1.25^\backslash circ\backslash times2.91^\backslash circ$ 1.25∘×2.91∘，波位间距取 0.65 倍波束宽度，波位效率 $\eta b=0.295\; \backslash eta\_b=0.295$ ηb=0.295；
• 波位数 $Nb=\Omega G/(4\pi \eta b)=440\; N\_b=\backslash Omega\; G/(4\backslash pi\backslash eta\_b)=440$ Nb=ΩG/(4πηb)=440；
• 每波位驻留 $Td=Tf/Nb=25.0\; ms\; T\_d=T\_f/N\_b=25.0\backslash \; \backslash mathrm\{ms\}$ Td=Tf/Nb=25.0 ms；
• PRF $=1500\; Hz\; =1500\backslash \; \backslash mathrm\{Hz\}$ =1500 Hz，脉冲宽度 $Tp=66.7\; \mu s\; T\_p=66.7\backslash \; \backslash mu\backslash mathrm\{s\}$ Tp=66.7 μs，占空比 10%，峰值功率 $Pt=15\; kW\; P\_t=15\backslash \; \backslash mathrm\{kW\}$ Pt=15 kW，平均功率 $Pav\; =1.5\; kW\; P\_\{av\}=1.5\backslash \; \backslash mathrm\{kW\}$ Pav=1.5 kW；
• 每波位 37 个脉冲，实际占用 24.67 ms，留 0.33 ms 给波束切换；
• 最大不模糊距离 $c/(2PRF)=100\; km\; c/(2\backslash mathrm\{PRF\})=100\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ c/(2PRF)=100 km，70 km 目标不折叠，但 130 km 的强杂波会折叠到 70 km 附近，需要杂波图/参差 PRF 抑制。

损耗按表 2-6 取 8.5 dB：发射馈线 1.0、天线罩 1.0（双程）、扫描 1.5（双程）、极化 0.3（双程）、大气 0.4（双程）、雨衰 2.2（双程）、脉压加窗 1.0、CFAR 0.8、跨单元 0.3。噪声系数 $F=2.2\; dB\; F=2.2\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ F=2.2 dB（天线端口）， $T0=290\; K\; T\_0=290\backslash \; \backslash mathrm\{K\}$ T0=290 K。

检测要求 $SNRreq\; =22.75\; dB\; \backslash mathrm\{SNR\}${\mathrm{req}}=22.75\ \mathrm{dB} SNRreq=22.75 dB 的构成：Swerling 1、 $Pd=0.9\; P\_d=0.9$ Pd=0.9、 $Pfa\; =10-6\; P${fa}=10^{-6} Pfa=10−6、单脉冲的理想值约 21.2 dB；加 1.55 dB 波束边缘/极化起伏。跨距离单元的 0.3 dB 已在 $LL$ L 中，不再重复；这一点必须在表头写清楚，否则 22.75 与 8.5 会互相"吃掉"对方的裕量。

2.10.2 案例 A：逐项预算与搜索方程核对

用 2.9 节的工具，dB 账本如下。表中"符号"一列的正负号已经按"分子为正、分母为负"整理； $40\; log10\; R\; 40\backslash log\_\{10\}R$ 40log10R 等于所有项之和。

表 2-14　X 波段搜索雷达的 dB 账本（70 km 工作点）

项目	数值（dB）	说明
$Pav\; P\_\{av\}$ Pav	+31.761	1.5 kW
$G2G^2$ G2	+77.500	$2\times 38.752\backslash times38.75$ 2×38.75
$\lambda 2\backslash lambda^2$ λ2	-29.548	$\lambda =0.03331\backslash lambda=0.03331$ λ=0.03331 m
$\sigma \backslash sigma$ σ	-3.010	0.5 m²
$Td\; T\_d$ Td	-16.024	24.98 ms
$(4\pi )3(4\backslash pi)^3$ (4π)3	-32.976	球面扩散
$LL$ L	-8.500	表 2-6
$kT0F\; kT\_0F$ kT0F	+201.775	$N0=6.638\times 10-21\; N\_0=6.638\backslash times10^\{-21\}$ N0=6.638×10−21 W/Hz
$SNRreq\; \backslash mathrm\{SNR\}\_\{\backslash mathrm\{req\}\}$ SNRreq	-22.750	检测要求
合计	+198.227	$=40\; log10\; R\; =40\backslash log\_\{10\}R$ =40log10R

由合计值反解：
$$40\; log10\; R=198.227⟹R=10198.227/40=104.9557=90.3\; km.\; 40\backslash log\_\{10\}R=198.227\; \backslash quad\backslash Longrightarrow\backslash quad\; R=10^\{198.227/40\}=10^\{4.9557\}=90.3\backslash \; \backslash mathrm\{km\}.$$ 40log10R=198.227⟹R=10198.227/40=104.9557=90.3 km.

这是在 $SNR=22.75\; dB\; \backslash mathrm\{SNR\}=22.75\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ SNR=22.75 dB 阈值下的最大距离。任务要求 70 km，因此设计裕量为
$$40\; log10\; 90.370=4.42\; dB\; （能量域）.\; 40\backslash log\_\{10\}\backslash frac\{90.3\}\{70\}=4.42\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}\backslash \; \backslash text\{（能量域）\}.$$ 40log107090.3=4.42 dB （能量域）.

在 70 km 处，实际信噪比为 $22.75+4.42=27.17\; dB22.75+4.42=27.17\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ 22.75+4.42=27.17 dB。用正向方程核对：
$$SNR(70)=\; 1500\times 0.02498\times (7499)2\times (0.03331)2\times 0.5(4\pi )3\times (7\times 104)4\times 7.079\times 6.638\times 10-21\; =5.21\times 102=27.17\; dB.\; \backslash mathrm\{SNR\}(70)=\backslash frac\{1500\backslash times0.02498\backslash times(7499)^2\backslash times(0.03331)^2\backslash times0.5\}\; \{(4\backslash pi)^3\backslash times(7\backslash times10^4)^4\backslash times7.079\backslash times6.638\backslash times10^\{-21\}\}\; =5.21\backslash times10^2=27.17\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}.$$ SNR(70)=(4π)3×(7×104)4×7.079×6.638×10−211500×0.02498×(7499)2×(0.03331)2×0.5=5.21×102=27.17 dB.

用搜索方程核对所需平均功率：
$$Pav\; =\; 4\pi \times 0.2177\times (7\times 104)4\times 7.079\times 6.638\times 10-21\times 188.40.662\times 0.5\times 11\times 0.295\; =542\; W.\; P\_\{av\}=\backslash frac\{4\backslash pi\backslash times0.2177\backslash times(7\backslash times10^4)^4\backslash times7.079\backslash times6.638\backslash times10^\{-21\}\backslash times188.4\}\; \{0.662\backslash times0.5\backslash times11\backslash times0.295\}=542\backslash \; \backslash mathrm\{W\}.$$ Pav=0.662×0.5×11×0.2954π×0.2177×(7×104)4×7.079×6.638×10−21×188.4=542 W.

设计值 1.5 kW 是 542 W 的 2.77 倍，即 4.42 dB；与逐项预算完全一致。这个三方核对（逐项 dB 账本、正向 SNR、搜索方程）是案例 A 最重要的自检：三个数字必须同时成立，任何一个差 0.1 dB 以上都要查参考面。

逐脉冲核对 ：70 km 处接收功率 $Pr=-118.6\; dBm\; P\_r=-118.6\backslash \; \backslash mathrm\{dBm\}$ Pr=−118.6 dBm；噪声谱密度 $N0=kT0F=-171.8\; dBm/Hz\; N\_0=kT\_0F=-171.8\backslash \; \backslash mathrm\{dBm/Hz\}$ N0=kT0F=−171.8 dBm/Hz；脉冲宽度 66.7 µs 的能量 $PrTp\; P\_rT\_p$ PrTp 对应单脉冲匹配滤波信噪比
$$SNR1\; =-118.6+10\; log10\; (66.7\times 10-6)+171.8=11.4\; dB.\; \backslash mathrm\{SNR\}$$1=-118.6+10\log{10}(66.7\times10^{-6})+171.8=11.4\ \mathrm{dB}. SNR1=−118.6+10log10(66.7×10−6)+171.8=11.4 dB.

37 个脉冲相参积累增益 $10\; log10\; 37=15.68\; dB\; 10\backslash log\_\{10\}37=15.68\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ 10log1037=15.68 dB，总信噪比 $11.4+15.68=27.1\; dB11.4+15.68=27.1\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ 11.4+15.68=27.1 dB，与能量法的 27.17 dB 差 0.07 dB（来自 $Td\; T\_d$ Td 的 24.98 ms 与 37 个脉冲 24.67 ms 的取整）。这 0.07 dB 就是"驻留时间取整损失"，在预算表里应写明，而不是悄悄四舍五入。

敏感度（工具输出，参数 +1 dB 时距离变化）：

参数	距离变化（dB）	工程含义
$Pav\; P\_\{av\}$ Pav	+0.50	功率翻倍（+3 dB）只换 +1.5 dB 距离
$GG$ G	+0.50	增益 +1 dB 换 +0.5 dB 距离
$\lambda \backslash lambda$ λ	+1.00	固定增益时，波长 +1 dB 换 +1 dB 距离
$\sigma \backslash sigma$ σ	+0.50	RCS 减半（-3 dB）距离降到 58.9 km
$Td\; T\_d$ Td	+0.50	驻留翻倍（+3 dB）换 +1.5 dB 距离
$LL$ L	-0.50	损耗 +1 dB 距离降到 66.1 km
$FF$ F	-0.50	噪声 +1 dB 距离降到 66.1 km
$SNRreq\; \backslash mathrm\{SNR\}\_\{\backslash mathrm\{req\}\}$ SNRreq	-0.50	检测要求 +1 dB 距离降到 66.1 km
$\Omega \backslash Omega$ Ω	-0.50	搜索空域翻倍（+3 dB）距离降到 58.9 km
$\eta b\; \backslash eta\_b$ ηb	+0.50	波位效率 +1 dB 换 +0.5 dB 距离

这张表最有用的读法是"1 dB 值多少公里"：在 70 km 工作点，1 dB 损耗/噪声/检测要求约等于 3.9 km 距离；1 dB 功率/增益/驻留也约等于 3.9 km 距离，但前者通常更容易通过设计改善。RCS 减半则直接把距离拉到 58.9 km，说明"目标比预期小 3 dB"比"损耗多 1 dB"严重得多。

2.10.3 案例 A 与第 1 章案例的对照

第 1 章的边境扇区案例是 12 km、0.05 m²、120°×20°、5 s、500 W 平均功率、600 个波位、8.33 ms 驻留、83 个脉冲；本案例是 70 km、0.5 m²、360°×2°、11 s、1.5 kW、440 个波位、25 ms、37 个脉冲。表 2-15 把两者放在一起。

表 2-15　两个 X 波段搜索案例的对照

项目	第 1 章边境扇区	本章地面搜索
作用距离	12 km	70 km
目标 RCS	0.05 m²	0.5 m²
搜索空域	120°×20°（0.716 sr）	360°×2°（0.2177 sr）
帧时间	5 s	11 s
平均功率	500 W	1.5 kW
天线增益	39.5 dB	38.75 dB
波位数	600	440
每波位驻留	8.33 ms	25 ms
每波位脉冲	83	37
距离分辨率	15 m（10 MHz）	75 m（2 MHz）
主要难点	小 RCS、宽俯仰、短帧	低仰角多径、杂波、雨衰

两者的结论不能直接用"距离谁更远"比较，因为任务完全不同。把本章的资源（1.5 kW、38.75 dB、11 s）直接套到第 1 章的任务（120°×20°、0.05 m²），仅立体角增大 3.29 倍（5.17 dB）、RCS 降低 10 dB，两项合计 15.17 dB 能量损失，距离按 $10-15.17/40=0.41810^\{-15.17/40\}=0.418$ 10−15.17/40=0.418 缩到 $70\times 0.418=29.3\; km70\backslash times0.418=29.3\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ 70×0.418=29.3 km。这还没有算俯仰波束展宽、低仰角杂波和 15 m 分辨率带来的带宽/噪声增加。同一个"70 km"在另一个搜索屏和另一个目标下会变成 29 km，这不是雷达变差，而是任务变了。

反过来，第 1 章的 12 km 案例在 0.05 m²、120°×20° 下能用 500 W 做到，说明它的能量效率并不低；它的难点在"宽俯仰 + 小目标 + 5 s 帧"三者的乘积。本章案例的 4.4 dB 裕量看起来比第 1 章的 2.5 dB 宽，但本章的 8.5 dB 损耗里已经包含 2.2 dB 雨衰和 1.5 dB 扫描损失；晴天时实际裕量约 6.6 dB，雨天时才是 4.4 dB。第 1 章的 8 dB 损耗没有明确雨天假设，两者的"裕量"也不是同一口径。跨案例比较裕量之前，先比较损耗清单和检测口径。

2.10.4 案例 B：S 波段宽带 SAR 的 NESZ 预算

任务假设：

• 载频 3.2 GHz，波长 0.0937 m；
• 带宽 120 MHz，脉冲宽度 33.3 µs，PRF 3000 Hz，占空比 10%，峰值功率 10 kW，平均功率 1 kW；
• 天线增益 35 dB（3162），方位孔径 6 m；
• 平台速度 7500 m/s，作用距离 250 km，入射角 40°；
• 噪声系数 2.5 dB，系统损耗 3.5 dB；
• 单视、全孔径、条带模式，方位分辨率取 $Laz\; /2=3.0\; m\; L\_\{az\}/2=3.0\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$ Laz/2=3.0 m。

由 2.6.5 的推导，单视 NESZ 为
$$NESZ=\; 256\pi 3R3L\hspace{0.17em}kT0F\hspace{0.17em}B\hspace{0.17em}vsin\theta \; Pav\; G2\lambda 3c\; .\; \backslash mathrm\{NESZ\}=\backslash frac\{256\backslash pi^3R^3L\backslash ,kT\_0F\backslash ,B\backslash ,v\backslash sin\backslash theta\}\; \{P\_\{av\}G^2\backslash lambda^3c\}.$$ NESZ=PavG2λ3c256π3R3LkT0FBvsinθ.

把参数代入，得到 $-33.3\; dB\; -33.3\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ −33.3 dB。表 2-16 是同一结果的 dB 账本，分子项为正、分母项为负。

表 2-16　S 波段 SAR 的 NESZ dB 账本

项目	数值（dB）	说明
$256\pi 3256\backslash pi^3$ 256π3	+39.00	常数
$R3R^3$ R3	+161.94	$R=250R=250$ R=250 km
$LL$ L	+3.50	系统损耗
$kT0F\; kT\_0F$ kT0F	-201.48	$N0=7.112\times 10-21\; N\_0=7.112\backslash times10^\{-21\}$ N0=7.112×10−21 W/Hz
$BB$ B	+80.79	120 MHz
$vv$ v	+38.75	7500 m/s
$sin\theta \backslash sin\backslash theta$ sinθ	-1.92	40°
分子合计	+120.58
$Pav\; P\_\{av\}$ Pav	-30.00	1 kW
$G2G^2$ G2	-70.00	35 dB
$\lambda 3\backslash lambda^3$ λ3	+30.85	$10\; log10\; \lambda 3=-30.85\; 10\backslash log\_\{10\}\backslash lambda^3=-30.85$ 10log10λ3=−30.85，作为分母项取正
$cc$ c	-84.77	$3\times 1083\backslash times10^8$ 3×108 m/s
分母合计	-153.92
NESZ	-33.34	分子减分母

用几何形式核对：
$$\delta Rg=\; c2Bsin\theta \; =1.94\; m,\delta x=3.0\; m,\; Apix\; =5.82\; m2,\; \backslash delta\; R\_g=\backslash frac\{c\}\{2B\backslash sin\backslash theta\}=1.94\backslash \; \backslash mathrm\{m\},\backslash qquad\; \backslash delta\; x=3.0\backslash \; \backslash mathrm\{m\},\backslash qquad\; A\_\{\backslash mathrm\{pix\}\}=5.82\backslash \; \backslash mathrm\{m^2\},$$ δRg=2Bsinθc=1.94 m,δx=3.0 m,Apix=5.82 m2,
$$Tobs\; =\; \lambda R2v\delta x\; =0.521\; s,\; T\_\{\backslash mathrm\{obs\}\}=\backslash frac\{\backslash lambda\; R\}\{2v\backslash delta\; x\}=0.521\backslash \; \backslash mathrm\{s\},$$ Tobs=2vδxλR=0.521 s,
$$NESZ=\; (4\pi )3R4L\hspace{0.17em}kT0F\; Pav\; Tobs\; G2\lambda 2\; Apix\; =4.64\times 10-4=-33.3\; dB.\; \backslash mathrm\{NESZ\}=\backslash frac\{(4\backslash pi)^3R^4L\backslash ,kT\_0F\}\; \{P\_\{av\}T\_\{\backslash mathrm\{obs\}\}G^2\backslash lambda^2A\_\{\backslash mathrm\{pix\}\}\}\; =4.64\backslash times10^\{-4\}=-33.3\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}.$$ NESZ=PavTobsG2λ2Apix(4π)3R4LkT0F=4.64×10−4=−33.3 dB.

两个形式相差 0.04 dB，来自 $G=35\; dB\; G=35\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ G=35 dB 的取整（3162 而非 3162.3）和 $\lambda \backslash lambda$ λ 的舍入。

点目标核对：同一几何下，1 m² 点目标的匹配滤波信噪比为
$$SNR=\; Pav\; Tobs\; G2\lambda 2\sigma \; (4\pi )3R4L\hspace{0.17em}kT0F\; =370=25.7\; dB.\; \backslash mathrm\{SNR\}=\backslash frac\{P\_\{av\}T\_\{\backslash mathrm\{obs\}\}G^2\backslash lambda^2\backslash sigma\}\; \{(4\backslash pi)^3R^4L\backslash ,kT\_0F\}=370=25.7\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}.$$ SNR=(4π)3R4LkT0FPavTobsG2λ2σ=370=25.7 dB.

像素 RCS 为 $\sigma 0\; Apix\; =4.64\times 10-4\times 5.82=2.70\times 10-3\; m2\; \backslash sigma^0A\_\{\backslash mathrm\{pix\}\}=4.64\backslash times10^\{-4\}\backslash times5.82=2.70\backslash times10^\{-3\}\backslash \; \backslash mathrm\{m^2\}$ σ0Apix=4.64×10−4×5.82=2.70×10−3 m2，比 1 m² 低 25.7 dB，正好把像素信噪比降到 0 dB。这就是 NESZ 的定义： $\sigma 0=NESZ\; \backslash sigma^0=\backslash mathrm\{NESZ\}$ σ0=NESZ 时，一个分辨单元的 SNR 为 1。

分辨率与多视 ：距离分辨率 1.94 m，方位分辨率 3.0 m，像素面积 5.82 m²。若做 4 视非相干平均，斑点噪声标准差降为 1/2，图像强度的相对起伏减半，但按平均功率定义的 NESZ 仍为 $-33.3\; dB\; -33.3\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ −33.3 dB；只有把 NESZ 定义为"均值信号等于噪声标准差"时，表观 NESZ 才改善 3 dB。16 视的相对起伏降为 1/4，表观 NESZ 改善 6 dB。多视的代价是方位分辨率变粗到约 6 m（或像素间距变大），单视 NESZ 与方位分辨率无关的结论不变。

2.10.5 为什么 SAR 的预算不能套搜索方程：一个 3 dB 的判据

如果把案例 B 硬套搜索方程，会得到两个错误。第一，搜索方程用 $R4R^4$ R4，而 NESZ 用 $R3R^3$ R3。距离从 250 km 翻到 500 km 时，搜索方程预测像素信噪比下降 $40\; log10\; 2=12.0\; dB\; 40\backslash log\_\{10\}2=12.0\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ 40log102=12.0 dB，NESZ 预测恶化 $30\; log10\; 2=9.0\; dB\; 30\backslash log\_\{10\}2=9.0\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ 30log102=9.0 dB，差 3.0 dB。第二，搜索方程用点目标 $\sigma \backslash sigma$ σ，而 SAR 的像素 RCS 随 $R2R^2$ R2 增长（距离向地面投影和方位向合成孔径都随 $RR$ R 变长），正好抵消一个 $RR$ R。把这两个错误叠加，远距离 SAR 的灵敏度会被低估 3 dB 以上。

更根本的区别在"能量怎么分"：

• 搜索雷达把一帧能量分给 $Nb\; N\_b$ Nb 个波位，每个波位只照一个分辨单元； $Td=Tf/Nb\; T\_d=T\_f/N\_b$ Td=Tf/Nb 是硬约束。
• SAR 的波束足印内同时有成千上万个分辨单元，距离/多普勒正交分离，所有单元共享同一段照射时间； $Tobs\; T\_\{\backslash mathrm\{obs\}\}$ Tobs 由波束宽度和平台速度决定，不是由"波位数"除出来的。
• 搜索方程的 $\Omega \backslash Omega$ Ω 是"要扫多大空域"；SAR 的 NESZ 没有 $\Omega \backslash Omega$ Ω，只有分辨单元面积 $Apix\; A\_\{\backslash mathrm\{pix\}\}$ Apix 和照射时间 $Tobs\; T\_\{\backslash mathrm\{obs\}\}$ Tobs。
• 搜索方程的检测对象是"未知是否存在的点目标"；SAR 的检测对象是"已知有散射的地面分辨单元"，NESZ 是灵敏度指标，不是检测概率。

因此，SAR 的预算可以借用雷达方程的能量形式，但不能借用搜索方程的时间/空域归一化。把 2.6.5 的几何形式记住，比记简化公式更有用：只要 $RR$ R、 $Apix\; A\_\{\backslash mathrm\{pix\}\}$ Apix、 $Tobs\; T\_\{\backslash mathrm\{obs\}\}$ Tobs、 $GG$ G、 $Pav\; P\_\{av\}$ Pav 定义清楚，任何 SAR 几何（条带、聚束、滑动聚束、双基地）都能从同一个能量式出发，再乘各自的几何因子。

2.11 常见误区、评审清单、小结与习题

2.11.1 十个最常见的预算错误

表 2-17　雷达预算的十个高频错误

#	错误	典型后果	正确做法
1	峰值功率当平均功率，或反过来	距离差 3--10 dB	先算 $Pav\; =PtDc\; P\_\{av\}=P\_tD\_c$ Pav=PtDc，能量形式只用 $Pav\; Td\; P\_\{av\}T\_d$ PavTd
2	天线罩/大气/雨衰只算单程	距离高估 0.5--2 dB	路径上的损耗乘 2，端口内的乘 1
3	扫描损失既进 $GG$ G 又进 $LL$ L	重复扣 1.5--3 dB	$GG$ G 用法向值，扫描损失只在 $LL$ L 出现一次
4	距离 dB 与功率 dB 混用	敏感度差一倍	距离用 $20\; log10\; 20\backslash log\_\{10\}$ 20log10，功率用 $10\; log10\; 10\backslash log\_\{10\}$ 10log10，表头注明
5	外部噪声/天线温度漏算	噪声高估 0.5--3 dB	$Tsys\; =Ta+Tr\; T\_\{\backslash mathrm\{sys\}\}=T\_a+T\_r$ Tsys=Ta+Tr，再算 $FF$ F
6	积累增益与驻留时间重复	距离高估 1.5--8 dB	能量形式已含积累，不再加 $10logN10\backslash log\; N$ 10logN
7	搜索方程用 $G2G^2$ G2，忘波位数	距离高估 3--6 dB	搜索方程中 $GG$ G 只出现一次，或改用 $Ae\; A\_e$ Ae
8	跟踪距离直接等于搜索距离	跟踪距离低估 1.5--6 dB	用 $Td,t\; /\; Td,s\; T\_\{d,t\}/T\_\{d,s\}$ Td,t/Td,s 的 $1/41/4$ 1/4 次方
9	SAR 套搜索方程	NESZ 差 3--10 dB	用 $R3R^3$ R3、 $\sigma 0\backslash sigma^0$ σ0、 $Apix\; A\_\{\backslash mathrm\{pix\}\}$ Apix、 $Tobs\; T\_\{\backslash mathrm\{obs\}\}$ Tobs
10	裕量重复叠加	资源浪费 3--6 dB	建"裕量---变量"矩阵，同源只取一次

这十条里有七条不是数学错误，而是口径错误：每个数字单看都对，合在一起不成立。审计链的价值就在于把口径写在表头，让第二个人能复算。

2.11.2 评审清单

表 2-18　第 2 章预算评审清单

#	检查项	合格标准
1	参考面	表头写明 $G,L,FG,L,F$ G,L,F 的端口；折算只做一次
2	功率口径	$Pt,\; Pav\; ,Tp,Td\; P\_t,P\_\{av\},T\_p,T\_d$ Pt,Pav,Tp,Td 的关系自洽；占空比与 PRF 对得上
3	单/双程	每个损耗标注程数；路径项乘 2
4	噪声	$Ta,Tr,F\; T\_a,T\_r,F$ Ta,Tr,F 不重复； $Bn\; B\_n$ Bn 与波形匹配
5	检测	写明 $Pd,\; Pfa\; P\_d,P\_\{fa\}$ Pd,Pfa、Swerling 模型、积累方式；不混用曲线
6	搜索几何	$\Omega \backslash Omega$ Ω 由积分给出； $Nb,Td,Tf\; N\_b,T\_d,T\_f$ Nb,Td,Tf 三者乘积闭合
7	时间	净搜索时间与帧周期分开；TWS/TAS 占用已计
8	距离模糊	PRF 与最大不模糊距离匹配；折叠杂波有抑制措施
9	跟踪	跟踪驻留、更新率、跟踪容量与搜索时间不冲突
10	双基地	$Rt2Rr2\; R\_t^2R\_r^2$ Rt2Rr2、同步误差、 $\sigma b\; \backslash sigma\_b$ σb 三项都有依据
11	SAR	NESZ 用 $R3R^3$ R3 形式；脉压/方位压缩不重复
12	敏感度	每个参数有 dB/dB 系数；最大贡献项已识别
13	不确定度	给出 1σ、90%/95% 分位或最坏值；注明分布
14	裕量	设计/统计/任务裕量分开；不重复计算
15	复算	第二个人能用表内数字复算出同一结果

2.11.3 本章小结

本章把雷达方程从"一个公式"拆成五条可审计的链：

1. 传播与散射 ： $Pr=PtG2\lambda 2\sigma /$(4π)3R4L P_r=P_tG^2\lambda^2\sigma/(4\\pi)\^3R\^4L Pr=PtG2λ2σ/(4π)3R4L；峰值、平均、能量、信噪比、距离、搜索六种形式必须选一种，不能混用。
2. 噪声 ： $N0=kT0F\; N\_0=kT\_0F$ N0=kT0F 或 $Pn=kT0FBn\; P\_n=kT\_0FB\_n$ Pn=kT0FBn； $FF$ F 的参考面决定它和 $LL$ L 的边界；外部噪声在低噪声前端不可忽略。
3. 损耗：路径项双程、端口项单程；8.5 dB 的损耗树必须能逐行对上物理位置。
4. 搜索/跟踪/成像 ：搜索方程 $R4\propto \; Pav\; TfAe\sigma /(\Omega LFSNR)\; R^4\backslash propto\; P\_\{av\}T\_fA\_e\backslash sigma/(\backslash Omega\; LF\backslash mathrm\{SNR\})$ R4∝PavTfAeσ/(ΩLFSNR)；跟踪距离按驻留比 $1/41/4$ 1/4 次方；SAR NESZ 按 $R3R^3$ R3、 $\sigma 0\backslash sigma^0$ σ0、 $Apix\; A\_\{\backslash mathrm\{pix\}\}$ Apix，不能套搜索方程。
5. 不确定度 ： $\partial lnR/\partial lnx=\alpha \backslash partial\backslash ln\; R/\backslash partial\backslash ln\; x=\backslash alpha$ ∂lnR/∂lnx=α；距离 dB 敏感度 $2\alpha 2\backslash alpha$ 2α；RSS/最坏值/蒙特卡罗三选一，裕量按变量分配。

如果只能记住一句话：雷达预算的可靠性不取决于公式的精度，而取决于每个数字的参考面、程数和不确定度是否写清楚。

2.11.4 与第 3 章的衔接

第 2 章默认了三件事：匹配滤波能达到 $E/N0\; E/N\_0$ E/N0、噪声带宽 $Bn\; B\_n$ Bn 与波形匹配、脉压增益 $BTp\; BT\_p$ BTp 可以单独计算。这三件事在第 3 章才会被严格证明：解析信号与复包络、采样定理、FFT、匹配滤波、LFM 的时宽带宽积、加窗与旁瓣。带着本章的三个数进入第 3 章------脉冲宽度 $Tp\; T\_p$ Tp、带宽 $BB$ B、PRF------第 3 章会告诉你它们如何决定采样率、数据量、距离分辨率和多普勒模糊。本章的 $Bn\; B\_n$ Bn 是一个"黑箱"，第 3 章会把它打开。

2.11.5 参考文献定位

• ITU-R P.676：大气气体衰减；ITU-R P.837/P.838：降雨模型与比衰减。用于 2.4.6 的大气/雨衰量级，具体工程值应按当地气候查表。

2.11.6 习题

1. 方位 $90\circ 90^\backslash circ$ 90∘、俯仰 $0\circ 0^\backslash circ$ 0∘-- $10\circ 10^\backslash circ$ 10∘ 的搜索屏， $\Omega \backslash Omega$ Ω 是多少？若 $G=1000G=1000$ G=1000、 $\eta b=0.3\; \backslash eta\_b=0.3$ ηb=0.3，波位数是多少？
2. 搜索雷达 $R=50\; km\; R=50\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ R=50 km、 $\Omega =0.1\; sr\; \backslash Omega=0.1\backslash \; \backslash mathrm\{sr\}$ Ω=0.1 sr、 $Tf=5\; s\; T\_f=5\backslash \; \backslash mathrm\{s\}$ Tf=5 s、 $Ae=0.5\; m2\; A\_e=0.5\backslash \; \backslash mathrm\{m^2\}$ Ae=0.5 m2、 $\sigma =0.1\; m2\backslash sigma=0.1\backslash \; \backslash mathrm\{m^2\}$ σ=0.1 m2、 $L=6\; dB\; L=6\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ L=6 dB、 $F=3\; dB\; F=3\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ F=3 dB、 $SNRreq\; =13\; dB\; \backslash mathrm\{SNR\}${\mathrm{req}}=13\ \mathrm{dB} SNRreq=13 dB，求所需 $Pav\; P${av} Pav。
3. 上题若跟踪驻留为 100 ms、搜索驻留为 10 ms、跟踪 SNR 要求低 2 dB，求跟踪/搜索距离比。
4. 双基地 $Rt=80\; km\; R\_t=80\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ Rt=80 km、 $Rr=20\; km\; R\_r=20\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ Rr=20 km、单基地 $Rm=60\; km\; R\_m=60\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ Rm=60 km、 $\sigma b/\sigma m=-6\; dB\; \backslash sigma\_b/\backslash sigma\_m=-6\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ σb/σm=−6 dB、额外损耗 3 dB，求净增益；是否值得？
5. 双基地时间同步误差 20 ns，距离和误差是多少？若要求小于 1 m，允许误差是多少？
6. 某参数使距离的敏感度为 0.5 dB/dB；若该参数改善 2 dB，距离提高多少 dB？折合百分之多少？
7. 六个独立误差分别为 0.5、0.3、0.4、0.2、0.6、0.3 dB，指数绝对值 0.25，求距离误差的 1σ（用 dB 和百分比表示）。
8. S 波段 SAR： $R=200\; km\; R=200\backslash \; \backslash mathrm\{km\}$ R=200 km、 $B=60\; MHz\; B=60\backslash \; \backslash mathrm\{MHz\}$ B=60 MHz、 $Pav\; =800\; W\; P\_\{av\}=800\backslash \; \backslash mathrm\{W\}$ Pav=800 W、 $G=34\; dB\; G=34\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ G=34 dB、 $\lambda =0.1\; m\backslash lambda=0.1\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$ λ=0.1 m、 $v=7000\; m/s\; v=7000\backslash \; \backslash mathrm\{m/s\}$ v=7000 m/s、 $\theta =35\circ \backslash theta=35^\backslash circ$ θ=35∘、 $L=3\; dB\; L=3\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ L=3 dB、 $F=2.5\; dB\; F=2.5\backslash \; \backslash mathrm\{dB\}$ F=2.5 dB，用简化 NESZ 公式估算；若 $BB$ B 翻倍，NESZ 变多少？
9. 用 2.9 节工具把 $Tf\; T\_f$ Tf 从 11 s 改为 22 s，预测 $Rmax\; R\_\{\backslash max\}$ Rmax 和 70 km 处裕量，并运行验证。
10. 给出一份包含"峰值功率、双程天线罩、单程 CFAR、距离用 10log"的预算表，找出至少三处口径错误并改正。