贝尔数（组合数学）

组合数学一个知识点

贝尔数：讲n个不同数划分为任意集合组合的方法数

求解方法：贝尔三角形 O（n^2）

1

1 2

2 3 5

5 7 10 15

15 20 27 37 52

52 67 87 114 151 203

203 255 322 409 523 674 877

int A[N];
    A[0] = 1;
    B[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i++) {
        int prev = A[0];
        A[0] = A[i-1];
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            int tmp = A[j];
            A[j] = (A[j-1] + prev) % MOD;
            prev = tmp;
        }
        B[i] = A[0];
    }

大数据可用递推公式优化为O（n log（n））

例题：

E. Partition of a Binary String

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define int long long

const int N=5000+5;
const int MOD=998244353;
int n;

int f[N], B[N];

// 预处理交替子串的划分方案数 f 和贝尔数 B
void precompute() {
    f[0] = 1;
    f[1] = 0;
    f[2] = 1;
    f[3] = 1;
    for (int i = 4; i < N; i++) {
        f[i] = (f[i-2] + f[i-3]) % MOD;
    }

    int A[N];
    A[0] = 1;
    B[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i++) {
        int prev = A[0];
        A[0] = A[i-1];
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            int tmp = A[j];
            A[j] = (A[j-1] + prev) % MOD;
            prev = tmp;
        }
        B[i] = A[0];
    }
}

void solve() {
    cin>>n;char tp,pre;
    int num1=0,num0=0,ans=1,k=0,sum=0;bool flag=0;
    
    cin>>pre;
    if(n==1){
    	cout<<1<<' '<<1<<endl;return;
	}
    for(int i=1;i<n;i++){
    	cin>>tp;
    	if(tp==pre){
    		if(flag){
    			k++;
    			ans=ans*f[k]%MOD;sum+=k;
    			flag=0;k=0;
			}
			else{
				if(pre=='1')num1++;
    		    else num0++;
			}
    		
		}
    	else{
    		flag=1;k++;
		}
		
		if(i==n-1){
			if(flag){
				k++;
				ans=ans*f[k]%MOD;sum+=k;
			}
			else{
				if(tp=='1')num1++;
    		    else num0++;
			}
		}
		else pre=tp;
	}
	
	ans=ans*B[num1]%MOD;
	ans=ans*B[num0]%MOD;
	cout<<2*sum+num1+num0<<' '<<ans<<endl;
}

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    precompute();
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        solve();
    }
    return 0;
}