贪心题目：重构 2 行二进制矩阵

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题目
解法

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标题和出处

标题：重构 2 行二进制矩阵

出处：1253. 重构 2 行二进制矩阵

难度

6 级

题目描述

要求

给定一个 2 \texttt{2} 2 行 n \texttt{n} n 列的矩阵的以下信息：

矩阵是一个二进制矩阵，这意味着矩阵中的每个元素都是 0 \texttt{0} 0 或 1 \texttt{1} 1。
第 0 \texttt{0} 0 行的元素之和为 upper \texttt{upper} upper。
第 1 \texttt{1} 1 行的元素之和为 lower \texttt{lower} lower。
第 i \texttt{i} i 列（下标从 0 \texttt{0} 0 开始）的元素之和为 colsum $i$ \texttt{colsum $i$ } colsum $i$ ，其中 colsum \texttt{colsum} colsum 是一个长度为 n \texttt{n} n 的整数数组。

要求利用 upper \texttt{upper} upper、 lower \texttt{lower} lower 和 colsum \texttt{colsum} colsum 重构这个矩阵。

以二维整数数组的形式返回。

如果有多个不同的答案，则返回任意一个。

如果不存在符合要求的答案，则返回一个空的二维数组。

示例

示例 1：

输入： upper = 2, lower = 1, colsum = $1,1,1$ \texttt{upper = 2, lower = 1, colsum = $1,1,1$ } upper = 2, lower = 1, colsum = $1,1,1$

输出： $\[1,1,0$ , $0,0,1$ ] \texttt{ $\[1,1,0$ , $0,0,1$ ]} $\[1,1,0$ , $0,0,1$ ]

解释： $\[1,0,1$ , $0,1,0$ ] \texttt{ $\[1,0,1$ , $0,1,0$ ]} $\[1,0,1$ , $0,1,0$ ] 和 $\[0,1,1$ , $1,0,0$ ] \texttt{ $\[0,1,1$ , $1,0,0$ ]} $\[0,1,1$ , $1,0,0$ ] 也是正确答案。

示例 2：

输入： upper = 2, lower = 3, colsum = $2,2,1,1$ \texttt{upper = 2, lower = 3, colsum = $2,2,1,1$ } upper = 2, lower = 3, colsum = $2,2,1,1$

输出： \[\] \texttt{\[\]} \[\]

示例 3：

输入： upper = 5, lower = 5, colsum = $2,1,2,0,1,0,1,2,0,1$ \texttt{upper = 5, lower = 5, colsum = $2,1,2,0,1,0,1,2,0,1$ } upper = 5, lower = 5, colsum = $2,1,2,0,1,0,1,2,0,1$

输出： $\[1,1,1,0,1,0,0,1,0,0$ , $1,0,1,0,0,0,1,1,0,1$ ] \texttt{ $\[1,1,1,0,1,0,0,1,0,0$ , $1,0,1,0,0,0,1,1,0,1$ ]} $\[1,1,1,0,1,0,0,1,0,0$ , $1,0,1,0,0,0,1,1,0,1$ ]

数据范围

1 ≤ colsum.length ≤ 10 5 \texttt{1} \le \texttt{colsum.length} \le \texttt{10}^\texttt{5} 1≤colsum.length≤105
0 ≤ upper, lower ≤ colsum.length \texttt{0} \le \texttt{upper, lower} \le \texttt{colsum.length} 0≤upper, lower≤colsum.length
0 ≤ colsum $i$ ≤ 2 \texttt{0} \le \texttt{colsum $i$ } \le \texttt{2} 0≤colsum $i$ ≤2

解法

思路和算法

如果存在符合要求的矩阵，则 upper + lower \textit{upper} + \textit{lower} upper+lower 必须等于数组 colsum \textit{colsum} colsum 的元素之和。如果 upper + lower \textit{upper} + \textit{lower} upper+lower 不等于 colsum \textit{colsum} colsum 的元素之和，则一定不存在符合要求的矩阵，返回空二维数组。

当 upper + lower \textit{upper} + \textit{lower} upper+lower 等于 colsum \textit{colsum} colsum 的元素之和时，根据给定的 upper \textit{upper} upper、 lower \textit{lower} lower 和 colsum \textit{colsum} colsum 构造矩阵，构造的过程中判断是否存在符合要求的矩阵。

用 matrix \textit{matrix} matrix 表示构造的矩阵。对于 0 ≤ i < n 0 \le i < n 0≤i<n，存在如下结论。

当 colsum $i$ = 0 \textit{colsum} $i$ = 0 colsum $i$ =0 时，一定有 matrix $0$ $i$ = matrix $1$ $i$ = 0 \textit{matrix} $0$ $i$ = \textit{matrix} $1$ $i$ = 0 matrix $0$ $i$ =matrix $1$ $i$ =0。
当 colsum $i$ = 2 \textit{colsum} $i$ = 2 colsum $i$ =2 时，一定有 matrix $0$ $i$ = matrix $1$ $i$ = 1 \textit{matrix} $0$ $i$ = \textit{matrix} $1$ $i$ = 1 matrix $0$ $i$ =matrix $1$ $i$ =1。
当 colsum $i$ = 1 \textit{colsum} $i$ = 1 colsum $i$ =1 时， matrix $0$ $i$ \textit{matrix} $0$ $i$ matrix $0$ $i$ 和 matrix $1$ $i$ \textit{matrix} $1$ $i$ matrix $1$ $i$ 中存在一个 0 0 0 和一个 1 1 1。

由于当 colsum $i$ = 0 \textit{colsum} $i$ = 0 colsum $i$ =0 或 colsum $i$ = 2 \textit{colsum} $i$ = 2 colsum $i$ =2 时的构造矩阵方案唯一，当 colsum $i$ = 1 \textit{colsum} $i$ = 1 colsum $i$ =1 时的构造矩阵方案不唯一，因此需要考虑 colsum $i$ = 1 \textit{colsum} $i$ = 1 colsum $i$ =1 的构造矩阵方案。

对于 colsum \textit{colsum} colsum 中的等于 0 0 0 或 2 2 2 的值，其所在列对应的矩阵中的两行的值相同，只有 colsum \textit{colsum} colsum 中的等于 1 1 1 的值所在列对应的矩阵中的两行的值不同。记 diff = upper − lower \textit{diff} = \textit{upper} - \textit{lower} diff=upper−lower，则矩阵第 0 0 0 行的 1 1 1 的个数与矩阵第 1 1 1 行的 1 1 1 的个数之差为 diff \textit{diff} diff，假设有 x x x 个下标 i i i 满足 matrix $i$ $0$ = 1 \textit{matrix} $i$ $0$ = 1 matrix $i$ $0$ =1 且 matrix $i$ $1$ = 0 \textit{matrix} $i$ $1$ = 0 matrix $i$ $1$ =0，有 y y y 个下标 i i i 满足 matrix $i$ $0$ = 0 \textit{matrix} $i$ $0$ = 0 matrix $i$ $0$ =0 且 matrix $i$ $1$ = 1 \textit{matrix} $i$ $1$ = 1 matrix $i$ $1$ =1，则 x − y = diff x - y = \textit{diff} x−y=diff， x + y x + y x+y 等于 colsum \textit{colsum} colsum 中的 1 1 1 的个数。

由于 upper \textit{upper} upper 与 lower \textit{lower} lower 之差的产生原因是矩阵同一列的两行的值不同，即 colsum \textit{colsum} colsum 中的元素 1 1 1 所在列对应的矩阵中的两行的值不同，遍历 colsum \textit{colsum} colsum 的过程中每次遇到一个 1 1 1 之后剩余的 1 1 1 的个数更少，因此应在遍历过程中减少 upper \textit{upper} upper 与 lower \textit{lower} lower 之差的绝对值。

构造矩阵的具体做法是，对于每个 0 ≤ i < n 0 \le i < n 0≤i<n，根据 colsum $i$ \textit{colsum} $i$ colsum $i$ 的值，执行如下操作。

如果 colsum $i$ = 0 \textit{colsum} $i$ = 0 colsum $i$ =0，则将 matrix $0$ $i$ \textit{matrix} $0$ $i$ matrix $0$ $i$ 和 matrix $1$ $i$ \textit{matrix} $1$ $i$ matrix $1$ $i$ 的值都设为 0 0 0。
如果 colsum $i$ = 2 \textit{colsum} $i$ = 2 colsum $i$ =2，则将 matrix $0$ $i$ \textit{matrix} $0$ $i$ matrix $0$ $i$ 和 matrix $1$ $i$ \textit{matrix} $1$ $i$ matrix $1$ $i$ 的值都设为 1 1 1，并将 upper \textit{upper} upper 和 lower \textit{lower} lower 的值都减 1 1 1。
如果 colsum $i$ = 1 \textit{colsum} $i$ = 1 colsum $i$ =1，则比较 upper \textit{upper} upper 和 lower \textit{lower} lower，执行如下操作。
- 如果 upper > lower \textit{upper} > \textit{lower} upper>lower，则将 matrix $0$ $i$ \textit{matrix} $0$ $i$ matrix $0$ $i$ 的值设为 1 1 1，将 matrix $1$ $i$ \textit{matrix} $1$ $i$ matrix $1$ $i$ 的值设为 0 0 0，并将 upper \textit{upper} upper 的值减 1 1 1。
- 如果 upper < lower \textit{upper} < \textit{lower} upper<lower，则将 matrix $0$ $i$ \textit{matrix} $0$ $i$ matrix $0$ $i$ 的值设为 0 0 0，将 matrix $1$ $i$ \textit{matrix} $1$ $i$ matrix $1$ $i$ 的值设为 1 1 1，并将 lower \textit{lower} lower 的值减 1 1 1。
- 如果 upper = lower \textit{upper} = \textit{lower} upper=lower，则可以将 matrix \textit{matrix} matrix 的第 i i i 列中的任意一个值设为 1 1 1。此处将 upper = lower \textit{upper} = \textit{lower} upper=lower 与 upper > lower \textit{upper} > \textit{lower} upper>lower 归入同一种情况。

如果遍历过程中出现 upper < 0 \textit{upper} < 0 upper<0 或 lower < 0 \textit{lower} < 0 lower<0，则一定不存在符合要求的矩阵，返回空二维数组。如果遍历结束之后没有出现矛盾之处，则返回矩阵 matrix \textit{matrix} matrix。

上述做法使用贪心策略，贪心策略的正确性说明如下。

当 colsum $i$ = 1 \textit{colsum} $i$ = 1 colsum $i$ =1 且 upper ≠ lower \textit{upper} \ne \textit{lower} upper=lower 时，考虑 upper > lower \textit{upper} > \textit{lower} upper>lower 的情况，可以使用同样的方法证明 upper < lower \textit{upper} < \textit{lower} upper<lower 的情况。当 upper > lower \textit{upper} > \textit{lower} upper>lower 时，如果将第 i i i 列的值设为 matrix $0$ $i$ = 0 \textit{matrix} $0$ $i$ = 0 matrix $0$ $i$ =0 且 matrix $1$ $i$ = 1 \textit{matrix} $1$ $i$ = 1 matrix $1$ $i$ =1，则当仍存在符合要求的矩阵时，一定存在大于 i i i 的列下标 j j j 满足 colsum $j$ = 1 \textit{colsum} $j$ = 1 colsum $j$ =1，第 j j j 列的值设为 matrix $0$ $j$ = 1 \textit{matrix} $0$ $j$ = 1 matrix $0$ $j$ =1 且 matrix $1$ $j$ = 0 \textit{matrix} $1$ $j$ = 0 matrix $1$ $j$ =0，将 matrix \textit{matrix} matrix 的第 i i i 列和第 j j j 列交换之后仍符合要求。因此当 upper > lower \textit{upper} > \textit{lower} upper>lower 时，将第 i i i 列的值设为 matrix $0$ $i$ = 1 \textit{matrix} $0$ $i$ = 1 matrix $0$ $i$ =1 且 matrix $1$ $i$ = 0 \textit{matrix} $1$ $i$ = 0 matrix $1$ $i$ =0，有最大的可能得到符合要求的矩阵。
由于当 colsum $i$ = 1 \textit{colsum} $i$ = 1 colsum $i$ =1 时总是将矩阵的元素和较大行的当前元素设为 1 1 1，将 upper \textit{upper} upper 和 lower \textit{lower} lower 中的较大值减 1 1 1，因此如果遍历过程中出现 upper < 0 \textit{upper} < 0 upper<0 或 lower < 0 \textit{lower} < 0 lower<0，则一定是因为 colsum \textit{colsum} colsum 中有过多的 2 2 2，导致在遍历结束之前就出现 upper = 0 \textit{upper} = 0 upper=0 和 lower = 0 \textit{lower} = 0 lower=0 的情况，此时对于元素和为 1 1 1 的列无论如何调整都不可能得到符合要求的矩阵。

代码

java 复制代码

class Solution {
    static final List<List<Integer>> EMPTY = new ArrayList<List<Integer>>();

    public List<List<Integer>> reconstructMatrix(int upper, int lower, int[] colsum) {
        int sum = 0;
        for (int num : colsum) {
            sum += num;
        }
        if (sum != upper + lower) {
            return EMPTY;
        }
        List<Integer> row0 = new ArrayList<Integer>();
        List<Integer> row1 = new ArrayList<Integer>();
        int n = colsum.length;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (colsum[i] == 2) {
                row0.add(1);
                row1.add(1);
                upper--;
                lower--;
            } else if (colsum[i] == 0) {
                row0.add(0);
                row1.add(0);
            } else {
                if (upper >= lower) {
                    row0.add(1);
                    row1.add(0);
                    upper--;
                } else {
                    row0.add(0);
                    row1.add(1);
                    lower--;
                }
            }
            if (upper < 0 || lower < 0) {
                return EMPTY;
            }
        }
        List<List<Integer>> matrix = new ArrayList<List<Integer>>();
        matrix.add(row0);
        matrix.add(row1);
        return matrix;
    }
}

复杂度分析

时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)，其中 n n n 是数组 colsum \textit{colsum} colsum 的长度。需要构造 2 × n 2 \times n 2×n 的矩阵，填入每个元素的时间是 O ( 1 ) O(1) O(1)。
空间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)。注意返回值不计入空间复杂度。