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Day45
爬楼梯
题目
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?
注意:给定 n 是一个正整数。
示例 1: 输入: 2 输出: 2 解释: 有两种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶
- 2 阶
示例 2: 输入: 3 输出: 3 解释: 有三种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
- 1 阶 + 2 阶
- 2 阶 + 1 阶
思路
动规五部曲分析如下:
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i]:爬到有i个台阶的楼顶,有dp[i]种方法。
- 确定递推公式
在动态规划:494.目标和 (opens new window)、 动态规划:518.零钱兑换II (opens new window)、动态规划:377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)中我们都讲过了,求装满背包有几种方法,递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];
本题呢,dp[i]有几种来源,dp[i - 1],dp[i - 2],dp[i - 3] 等等,即:dp[i - j]
那么递推公式为:dp[i] += dp[i - j]
- dp数组如何初始化
既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j],那么dp[0] 一定为1,dp[0]是递归中一切数值的基础所在,如果dp[0]是0的话,其他数值都是0了。
下标非0的dp[i]初始化为0,因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的,dp[i]本身为0这样才不会影响结果
- 确定遍历顺序
这是背包里求排列问题,即:1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶,但是这两种方法不一样!
所以需将target放在外循环,将nums放在内循环。
每一步可以走多次,这是完全背包,内循环需要从前向后遍历。
- 举例来推导dp数组
介于本题和动态规划:377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)几乎是一样的,这里我就不再重复举例了。
代码
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
int dp[] = new int[n + 1];
int step[] = new int[]{1,2};
dp[0] = 1;
for(int i = 0; i < n + 1; i++){
for(int j = 0; j < step.length; j++){
if(i >= step[j]){
dp[i] += dp[i - step[j]];
}
}
}
return dp[n];
}
}
零钱兑换
题目
给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额,返回 -1。
你可以认为每种硬币的数量是无限的。
示例 1:
- 输入:coins = [1, 2, 5], amount = 11
- 输出:3
- 解释:11 = 5 + 5 + 1
示例 2:
- 输入:coins = [2], amount = 3
- 输出:-1
示例 3:
- 输入:coins = [1], amount = 0
- 输出:0
示例 4:
- 输入:coins = [1], amount = 1
- 输出:1
示例 5:
- 输入:coins = [1], amount = 2
- 输出:2
提示:
- 1 <= coins.length <= 12
- 1 <= coins[i] <= 2^31 - 1
- 0 <= amount <= 10^4
思路
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[j]: 凑出 j 元最少需要 dp[j] 枚硬币
- 确定递推公式
凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]],那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j](考虑coins[i])
所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。
递推公式:dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
- dp数组如何初始化
首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0,那么dp[0] = 0;
其他下标对应的数值呢?
考虑到递推公式的特性,dp[j]必须初始化为一个最大的数,否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
所以下标非0的元素都是应该是最大值。
- 确定遍历顺序
本题求钱币最小个数,那么钱币有顺序和没有顺序都可以,都不影响钱币的最小个数。
所以本题并不强调集合是组合还是排列。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品。
在动态规划专题我们讲过了求组合数是动态规划:518.零钱兑换II (opens new window),求排列数是动态规划:377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)。
所以本题的两个for循环的关系是:外层for循环遍历物品,内层for遍历背包或者外层for遍历背包,内层for循环遍历物品都是可以的!
那么我采用coins放在外循环,target在内循环的方式。
本题钱币数量可以无限使用,那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序
- 举例推导dp数组
以输入:coins = [1, 2, 5], amount = 5为例
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-nOwSZb9p-1690615913100)(https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210201111833906.jpg "322.零钱兑换")]
代码
class Solution {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
int dp[] = new int[amount + 1];
Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
dp[0] = 0;
for(int i = 0; i < amount + 1; i++){
for(int j = 0; j < coins.length; j++){
if(i >= coins[j] && dp[i - coins[j]] != Integer.MAX_VALUE){
dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coins[j]] + 1);
}
}
}
return dp[amount] == Integer.MAX_VALUE ? -1 : dp[amount];
}
}
完全平方数
题目
给定正整数 n,找到若干个完全平方数(比如 1, 4, 9, 16, ...)使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。
给你一个整数 n ,返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。
完全平方数 是一个整数,其值等于另一个整数的平方;换句话说,其值等于一个整数自乘的积。例如,1、4、9 和 16 都是完全平方数,而 3 和 11 不是。
示例 1:
- 输入:n = 12
- 输出:3
- 解释:12 = 4 + 4 + 4
示例 2:
- 输入:n = 13
- 输出:2
- 解释:13 = 4 + 9
提示:
- 1 <= n <= 10^4
思路
可能刚看这种题感觉没啥思路,又平方和的,又最小数的。
我来把题目翻译一下:完全平方数就是物品(可以无限件使用),凑个正整数n就是背包,问凑满这个背包最少有多少物品?
感受出来了没,这么浓厚的完全背包氛围
- 确定dp数组(dp table)以及下标的含义
dp[j]:和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]
- 确定递推公式
dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出, dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。
此时我们要选择最小的dp[j],所以递推公式:dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
- dp数组如何初始化
dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量,那么dp[0]一定是0。
有同学问题,那0 * 0 也算是一种啊,为啥dp[0] 就是 0呢?
看题目描述,找到若干个完全平方数(比如 1, 4, 9, 16, ...),题目描述中可没说要从0开始,dp[0]=0完全是为了递推公式。
非0下标的dp[j]应该是多少呢?
从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的,所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值,这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。
- 确定遍历顺序
我们知道这是完全背包,
如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品。
在动态规划:322. 零钱兑换 (opens new window)中我们就深入探讨了这个问题,本题也是一样的,是求最小数!
所以本题外层for遍历背包,内层for遍历物品,还是外层for遍历物品,内层for遍历背包,都是可以的!
- 举例推导dp数组
已输入n为5例,dp状态图如下:
[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-IoGWI7QK-1690615913101)(https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210202112617341.jpg "279.完全平方数")]
代码
class Solution {
public int numSquares(int n) {
int dp[] = new int[n + 1];
Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
dp[0] = 0;
for(int i = 1; i < n + 1; i++){
for(int j = 1; j * j <= i; j++){
dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);
}
}
return dp[n];
}
}