算法笔记：球树

1 KD树的问题

算法笔记：KD树_UQI-LIUWJ的博客-CSDN博客

• 在kd树中，导致性能下降的最核心因素是因为kd-tree中被分割的子空间是一个个的超方体，而求最近邻时使用的是欧式距离（超球）。
• 超方体与超球体相交的可能性是极高的
• 
• 如上图所示，凡是相交的子空间，都需要进行检查，大大的降低运行效率

2 球树

• 如果划分区域也是超球体，则相交的概率大大降低
• ------>ball-tree通过超球体划分空间，去掉棱角，划分超球体和搜索超球体相交的概率大大降低
  • 特别在数据维度很高时，算法效率得到大大提升

3 构建球树

def fit_ball_tree:
    input: x， 数据点
    output: node，构造好的ball tree的根节点
    
    if 只有一个数据点:
        创建一个叶子结点node包含这一单一的点：
            node.pivot = x[0]
            node.son1 = None
            node.son2 = None
            node.radius = 0 #球树半径
        return node
    else:
        让c为最宽的维度
        让p1,p2为该维度最两端的点
        让p为这个维度的中心点 = (p1+p2)/2
        让radius为p到x上最远点的距离
        让xl为左集合(距离p1更近的所有点)
        让xr为右集合(距离p2更近的所有点)

        创建带有两个孩子的node：
            node.pivot = p
            node.label = None
            node.son1 = fit_balltree(xl)
            node.son2 = fit_balltree(xr)
            node.radius = radius
        return node

4 球树K近邻搜索

def ball_tree_search：
    global:
        Q, 缓存k个最近邻点（初始时包含一个无穷远点）
        q, 与Q对应，保存Q中各点与测试点的距离
    input: 
        k, 寻找k个最近邻
        t, 测试点
        node, 当前节点
    output: 
        无

    三角不等式：若测试点到当前球的最近距离大于到Q中最远点的距离，则当前球中不可能包含待搜索的近邻点
    if distance(t, node.pivot) - node.radius ≥ max(q)：
        return


    if node为叶节点：
        将node.pivot添加到Q，并同步更新q
        若Q内超过k个近邻点，则移出与测试点距离最远的那个点，并同步更新q
    else:
        递归搜索当前节点的左儿子和右儿子
        ball_tree_search(k,t,node.son1)
        ball_tree_search(k,t,node.son2)

参考内容：KNN的核心算法kd-tree和ball-tree - 简书 (jianshu.com)