跟我学，类型体操新姿势：斐波那契算法

引言

TypeScript 的类型系统已经从基本的类型注释，发展成为一种大型且复杂的编程语言。在上篇文章中，我们打开了类型编程的潘多拉魔盒，我们知道TS的强大之处，不仅在于其类型检查系统，还在于其具有图灵完备特性，可以实现强大的类型级编程能力。

本文继续延续类型编程这个话题，从类型编程角度，重点探讨TS中的递归，我们特别以实现计算斐波那契序列为例，展现出不同的实现算法，来感受TS类型编程的魅力。

类型编程的思维

TS编程语言可以看成两部分组成：

普通编程：在运行时体现，使用值和函数
类型编程：在编译时体型，使用类型和泛型

对于普通编程，我们经常涉及到的元素是

数据结构
函数
控制流
循环
基本代数运算（加减乘除等）

有了这些特性，大部分的编程语言都是图灵完备的，可以实现任何算法的编写，实现各种各样的复杂运算。TS的类型编程也是图灵完备的，这说明这些概念同样在类型编程的世界里也有体现。

数据结构 → 对象和元祖

typescript 复制代码

// 数组 -> 元组类型
const arr = [1,2,3]
// 获取下标为1的元素，arr[1]
const v = arr[1] // 2

type Arr = [1,2,3]
// 通过下标索引类型获取某个类型元素，Arr[1]
type t = arr[1] // 2

// 对象 -> 对象类型
const obj = {
  name: "John",
  age: 23,
};
const name = obj.name; // 'John'

interface Obj {
  name: string;
  age: number;
}

type Name = Obj["name"]; // string

函数 → 泛型类型

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const f = (num) => num;
const v1 = f(1)(); // 1
const v2 = f("str")(); // 'str'

type F<T> = T;
type T1 = F<number>; // number
type T2 = F<string>; // string

控制流 → 条件类型extends

typescript 复制代码

const ans = 2 === 1 ? true : false;
// 如果2等于1，进入true分支，否则进入false分支

type Ans = 2 extends 1 ? true : false;
// 如果2（字面量类型）是1类型的子集，进入true分支，否则进入false分支

循环 → 函数式编程的递归

typescript 复制代码

const reverse = (arr) => {
  const n = arr.length;
  for (let i = 0; i < n / 2; i++) {
    [arr[i], arr[n - i - 1]] = [arr[n - i - 1], arr[i]];
  }
  return arr;
};
const arr = [1, 2, 3, 4, 5];
const res = reverse(arr); // [5,4,3,2,1]

type Reverse<
  T extends number[],
  N = T["length"],
  U extends number[] = []
> = U["length"] extends N ? U : Reverse<T, N, [T[U["length"]], ...U]>;

type Target = [1, 2, 3, 4, 5];
type Res1 = Reverse<Target>; // [5,4,3,2,1]

基本代数运算（加减乘除等） → 通过访问元祖长度实现加减乘除

typescript 复制代码

// 类型编程的加减乘除运算
type BuildArr<
  Num extends number,
  Arr extends unknown[] = []
> = Arr["length"] extends Num ? Arr : BuildArr<Num, [1, ...Arr]>;

// 减法
type Sub<T1 extends number, T2 extends number> = BuildArr<T1> extends [
  ...arr1: BuildArr<T2>,
  ...arr2: infer Rest
]
  ? Rest["length"]
  : never;

// 加法
type Add<T1 extends number, T2 extends number> = [
  ...arr1: BuildArr<T1>,
  ...arr2: BuildArr<T2>
]["length"];

// 乘法
type Mul<
  T1 extends number,
  T2 extends number,
  Res extends number = 0
> = T2 extends 0
  ? Res
  : Mul<T1, Sub<T2, 1>, Add<Res, T1> extends number ? Add<Res, T1> : never>;

// 除法
type Div<
  T1 extends number,
  T2 extends number,
  Res extends number = 0
> = T1 extends 0
  ? Res
  : Div<Sub<T1, T2>, T2, Add<Res, 1> extends number ? Add<Res, 1> : never>;

可以看出，正是TS类型有条件分支和递归能力，才有了实现强大类型编程的基础。

斐波那契序列的递归实现

在学习一门新的编程语言时，我们通常以打印"Hello World"作为入门案例。同样，通过递归实现斐波那契数列，也可以看作是学习递归算法的一个"Hello World"级别的案例。

斐波那契序列具有这样的特点：除了前两个数字0和1之外，任意一个数字都等于前两个数字之和。数列的展开式为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...。也就是说:

实现斐波那契序列最简单的算法就是递归，下面是用JS编写的递归算法：

typescript 复制代码

const fib = (n) => {
  if (n === 0) return 0;
  if (n === 1) return 1;
  return fib(n - 1) + fib(n - 2);
};

console.log(fib(10)); // 55

可以看到递归最重要的两个特性：

base case：逃出递归的条件
调用自身

TS类型编程中的递归和JS的递归其实没什么太大区别，也具有这两个特性，只不过语法不一样。下面的代码是TS的纯类型编程版本：

typescript 复制代码

type Fib1<N extends number> = N extends 0
  ? 0
  : N extends 1
  ? 1
  : Fib1<Sub<N, 1>> extends infer t1 ? Add<t1 extends number ? t1 : never, Fib1<Sub<N, 2>> extends infer t2 ? t2 extends number ? t2 : never : never> : never

可以看到我们用两个extends条件类型给出了两种base case, 第三种情况是不断调用自身。

在进行类型编程的时候，我们思路其实就是按照算法来编写，然后按照TS提供的特性来实现。因为TS类型编程不能修改类型的状态，而且只用"表达式"，不用"语句"，这两个特点和函数式编程一样，所以进行类型编程的时候，我们采用的是函数式编程思想。

不能修改类型状态

TS可以用Infer来存储一个类型，但是该类型不能被修改，保存新的类型值。普通编程语言一般都有for循环，这是因为他们定义的变量的状态可以改变，通过可变的状态来作为计数器实现循环，但是TS的类型编程没有for循环，要实现遍历则需要使用递归，通过递归函数的参数来保存或更新状态。

只用"表达式"，不用"语句"

TS的类型编程基本上只有一个表达式，例如X extends Y ? A : B，这个表达式是一个单纯的运算过程，总有返回值。从斐波那契递归算法的例子可以看到，我们写的类型编程其实也就是一个比较长的表达式，而且表达式里可能有别的表达式。

动态规划和矩阵快速幂运算

递归方法具有很高的时间复杂度，因为有大量的重复计算。为了减少时间复杂度，斐波那契序列的计算也有很多优化算法，例如动态规划和矩阵快速幂运算。本节也用TS类型编程来实践一下。

动态规划

先讲动态规划，动态规划分两种：带有备忘录的自上而下和自下而上。下面给出了JS实现代码：

typescript 复制代码

// top down
const fibMemo = (n, memo = [0, 1]) => {
  if (memo[n] !== undefined) {
    return memo[n];
  }

  memo[n] = fibMemo(n - 1, memo) + fibMemo(n - 2, memo);
  return memo[n];
};

// bottom up
const fib = (n, arr = [0, 1]) => {
  for (let i = 2; i <= n; i++) {
    arr[i] = arr[i - 1] + arr[i - 2];
  }
  return arr[n];
};

因为TS类型编程无法修改备忘录的状态，所以目前无法实现带有备忘录机制的纯类型编程。但是可以实现自下而上的动态规划，代码如下：

typescript 复制代码

type FibBottomUp<N extends number, Arr extends any[]=[0,1]> = 
  Arr[N] extends number
    ? Arr[N]
    : FibBottomUp<N, [ ...Arr, ...[ Add<Arr[Sub<Arr['length'], 1>], Arr[Sub<Arr['length'], 2>]> ]]>;

// 测试
type res2 = FibBottomUp<10>; // 55

可以看到我们通过Arr的长度来实现循环迭代，元组Arr的每个下标index对应着fib(index)结果。每次计算计算fib(n)的时候，都会先计算fib(n-1)和fib(n-2)的值，这种思路就是自底向上的动态规划，求解最终问题之前，会从问题的子问题开始，逐步构建到最终问题。

矩阵快速幂

动态规划算法由于每个节点只会计算一次，所以时间复杂度是O(n)。矩阵快速幂比动态规划的时间复杂度更低。那么矩阵快速幂是怎么推导来的呢？

我们知道，斐波那契数列有递推公式：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> F n + 2 = F n + 1 + F n , n ∈ 0 , 1 , 2.. F_{n+2}=F_{n+1}+F_n, n ∈ 0,1,2.. </math>Fn+2=Fn+1+Fn,n∈0,1,2..

把这个公式改写成矩阵运算，可以得到下面的式子：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> [ F n + 2 F n + 1 ] = [ 1 1 1 0 ] ∗ [ F n + 1 F n ] \begin{bmatrix} F_{n+2}\\ F_{n+1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1& 1\\ 1& 0 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} F_{n+1}\\ F_{n} \end{bmatrix} </math>[Fn+2Fn+1]=[1110]∗[Fn+1Fn]

也就是说，当n=0, 1, 2的时候，我们又下列公式，
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> [ F 2 F 1 ] = [ 1 1 1 0 ] ∗ [ F 1 F 0 ] \begin{bmatrix} F_{2}\\ F_{1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1& 1\\ 1& 0 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} F_{1}\\ F_{0} \end{bmatrix} </math>[F2F1]=[1110]∗[F1F0]
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> [ F 3 F 2 ] = [ 1 1 1 0 ] ∗ [ F 2 F 1 ] = [ 1 1 1 0 ] 2 ∗ [ F 1 F 0 ] \begin{bmatrix} F_{3}\\ F_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1& 1\\ 1& 0 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} F_{2}\\ F_{1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1& 1\\ 1& 0 \end{bmatrix}^2*\begin{bmatrix} F_{1}\\ F_{0} \end{bmatrix} </math>[F3F2]=[1110]∗[F2F1]=[1110]2∗[F1F0]
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> [ F 4 F 3 ] = [ 1 1 1 0 ] ∗ [ F 3 F 2 ] = [ 1 1 1 0 ] 3 ∗ [ F 1 F 0 ] \begin{bmatrix} F_{4}\\ F_{3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1& 1\\ 1& 0 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix} F_{3}\\ F_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1& 1\\ 1& 0 \end{bmatrix}^3*\begin{bmatrix} F_{1}\\ F_{0} \end{bmatrix} </math>[F4F3]=[1110]∗[F3F2]=[1110]3∗[F1F0]

所以对于n，我们有
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> [ F n F n − 1 ] = [ 1 1 1 0 ] n − 1 ∗ [ F 1 F 0 ] \begin{bmatrix} F_{n}\\ F_{n-1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1& 1\\ 1& 0 \end{bmatrix}^{n-1}*\begin{bmatrix} F_{1}\\ F_{0} \end{bmatrix} </math>[FnFn−1]=[1110]n−1∗[F1F0]

所以只要求解出幂次部分就可以求解Fn，而幂次部分求解可以使用快速幂公式，如下
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> T n = T n / 2 ∗ T n / 2 , n 为偶数， T n = T n / 2 ∗ T n / 2 ∗ T , n 为奇数， T^{n} = T^{n/2}*T^{n/2}, n为偶数，\\ T^{n} = T^{n/2}*T^{n/2}*T, n为奇数， </math>Tn=Tn/2∗Tn/2,n为偶数，Tn=Tn/2∗Tn/2∗T,n为奇数，

这说明要求解 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> T n T^n </math>Tn只需求解 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> T n / 2 T^{n/2} </math>Tn/2即可，而求解 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> T n / 2 T^{n/2} </math>Tn/2，只需求解 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> T n / 4 T^{n/4} </math>Tn/4，依次递推，我们可以发现整个幂运算其实就是不断二分，时间复杂度就是二分法的时间复杂度，为O(lgn).

知道了什么是矩阵快速幂，我们可以很容易得写出对应的类型代码：

typescript 复制代码

type Matrix = [number, number, number, number]; // [a, b, c, d] represents the matrix [[a, b], [c, d]]
type MatrixMultiply<A extends Matrix, B extends Matrix> = [
  Add<Mul<A[0], B[0]>, Mul<A[1], B[2]>>,
  Add<Mul<A[0], B[1]>, Mul<A[1], B[3]>>,
  Add<Mul<A[2], B[0]>, Mul<A[3], B[2]>>,
  Add<Mul<A[2], B[1]>, Mul<A[3], B[3]>>
];

type MatrixPower<M extends Matrix, N extends number> = N extends 1
  ? M
  : IsOdd<N> extends true
  ? MatrixMultiply<
      Div<Sub<N, 1>, 2> extends infer R1
        ? R1 extends number
          ? MatrixPower<M, R1>
          : never
        : never,
      Div<Sub<N, 1>, 2> extends infer R1
        ? R1 extends number
          ? MatrixPower<M, R1>
          : never
        : never
    > extends infer R2
    ? R2 extends Matrix
      ? MatrixMultiply<M, R2>
      : never
    : never
  : MatrixMultiply<
      Div<N, 2> extends infer R1
        ? R1 extends number
          ? MatrixPower<M, R1>
          : never
        : never,
      Div<N, 2> extends infer R1
        ? R1 extends number
          ? MatrixPower<M, R1>
          : never
        : never
    > extends infer R2
  ? R2 extends Matrix
    ? R2
    : never
  : never;

type FibMatrix<N extends number> = N extends 0
  ? 0
  : N extends 1
  ? 1
  : MatrixPower<[1, 1, 1, 0], N> extends infer R1
  ? R1 extends Matrix
    ? R1[1]
    : never
  : never;

// Test
type MatrixResult = FibMatrix<15>; // 610

总结

本文给出了三种斐波那契序列算法的类型编程实现方式，最终的代码可以在查看这个playground。

虽然TS的类型编程很强大，但是在编写的时候，我不得不指出一些体感不好的地方，比如很难debug，使用递归会经常遇到"type instantiation is excessively deep and possibly infinite" error."报错，这个时候就得通过infer来定义一个局部类型，再给这个类型加一个条件判断来解决，这会让代码更加复杂难懂。除此之外，我觉得类型编程的性能不高，而且难以衡量，比如当你想计算更大的n的时候，上述给出的三种方法可能会算不出来，返回一个any类型。如果想要看结果，只能通过把鼠标hover到这个类型上查看，没有一个console.log之类的方法打印出来。