AM@双曲函数和反双曲函数

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双曲函数和反双曲函数得定义,图象和性质

双曲函数

双曲函数由 y 1 = e x y_1=e^{x} y1=ex和 y 2 = e − x y_2=e^{-x} y2=e−x进行基本运算产生
y 1 , y 2 y_1,y_2 y1,y2关于 y y y轴对称,且 y 1 y 2 = 1 y_1y_2=1 y1y2=1
名称由来:因为双曲函数和三角函数中的正弦,余弦,正切函数的公式和性质相似因此称为正切双曲,双曲余弦,双曲正切
还有类似的反双曲

refs

Hyperbolic functions - Wikipedia

图像预览

双曲正弦和双曲余弦	双曲正切

双曲正弦

sh ⁡ x \operatorname{sh}x shx= 1 2 ( e x − e − x ) \frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x}) 21(ex−e−x),
- x ∈ R x\in\mathbb{R} x∈R,单调递增
- 奇函数,图形过原点且关于原点对称

双曲余弦

ch ⁡ x \operatorname{ch}x chx= 1 2 ( e x + e − x ) \frac{1}{2}(e^{x}+e^{-x}) 21(ex+e−x)
- x ∈ R x\in\mathbb{R} x∈R
  - x < 0 x<0 x<0单调第减
  - x > 0 x>0 x>0单调增加
  - ch ⁡ 0 = 1 \operatorname{ch}0=1 ch0=1是函数最小值
- 偶函数,图形过 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)且关于 y y y轴对称

双曲正切

th ⁡ x \operatorname{th}x thx= sh ⁡ x c ⁡ x \frac{\operatorname{sh}x}{\operatorname{c}x} cxshx= e x − e − x e x + e − x \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} ex+e−xex−e−x
- x ∈ R x\in\mathbb{R} x∈R,单调增加
- th ⁡ x ∈ ( − 1 , 1 ) \operatorname{th}x\in(-1,1) thx∈(−1,1)
- 奇函数,图形过原点且关于原点对称

公式组1

sh ⁡ ( x + y ) \operatorname{sh}{(x+y)} sh(x+y)= sh ⁡ x ch ⁡ y \operatorname{sh}{x}\operatorname{ch}{y} shxchy+ ch ⁡ x sh ⁡ y \operatorname{ch}{x}\operatorname{sh}{y} chxshy
sh ⁡ ( x − y ) \operatorname{sh}{(x-y)} sh(x−y)= sh ⁡ x ch ⁡ y \operatorname{sh}{x}\operatorname{ch}{y} shxchy- ch ⁡ x sh ⁡ y \operatorname{ch}{x}\operatorname{sh}{y} chxshy
ch ⁡ ( x + y ) \operatorname{ch}{(x+y)} ch(x+y)= ch ⁡ x ch ⁡ y \operatorname{ch}{x}\operatorname{ch}{y} chxchy+ ch ⁡ x sh ⁡ y \operatorname{ch}{x}\operatorname{sh}{y} chxshy
ch ⁡ ( x − y ) \operatorname{ch}{(x-y)} ch(x−y)= ch ⁡ x ch ⁡ y \operatorname{ch}{x}\operatorname{ch}{y} chxchy- ch ⁡ x sh ⁡ y \operatorname{ch}{x}\operatorname{sh}{y} chxshy

将上述等式两边展开成指数形式化简即可证明
注意其中(3,4)两个方程和 cos ⁡ ( x + y ) , cos ⁡ ( x − y ) \cos(x+y),\cos(x-y) cos(x+y),cos(x−y)展开后的 cos ⁡ x cos ⁡ y − sin ⁡ x sin ⁡ y \cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y} cosxcosy−sinxsiny, cos ⁡ x cos ⁡ y + sin ⁡ x sin ⁡ y \cos{x}\cos{y}+\sin{x}\sin{y} cosxcosy+sinxsiny形式恰好相反

导出公式组2

sh ⁡ 2 x \operatorname{sh}2x sh2x= 2 sh ⁡ x ch ⁡ x 2\operatorname{sh}x\operatorname{ch}x 2shxchx
- x = y x=y x=y代入(1-1)即得
sh ⁡ 2 x \operatorname{sh}2x sh2x= ch ⁡ 2 x + sh ⁡ 2 x \operatorname{ch}^2x+\operatorname{sh}^2x ch2x+sh2x
- x = y x=y x=y代入(1-3)
ch ⁡ 2 x − sh ⁡ 2 x = 1 \operatorname{ch}^2x-\operatorname{sh}^2x=1 ch2x−sh2x=1
- x = y x=y x=y代入(1-4)即得

反双曲函数

y = sh ⁡ x y=\operatorname{sh}x y=shx,则 y = arsh ⁡ x y=\operatorname{arsh}x y=arshx为反双曲正弦
y = ch ⁡ x y=\operatorname{ch}x y=chx, ( x ⩾ 0 ) (x\geqslant{0}) (x⩾0),则 y = arch ⁡ x y=\operatorname{arch}x y=archx, ( x ⩾ 0 ) (x\geqslant{0}) (x⩾0)为反双曲余弦
y = th ⁡ x y=\operatorname{th}x y=thx,则 y = arth ⁡ x y=\operatorname{arth}x y=arthx, x ∈ ( − 1 , 1 ) x\in(-1,1) x∈(−1,1)为反双曲正切

图象预览

反双曲正弦	反双曲余弦	反双曲正切

反双曲正弦函数的自然对数表示

y = arsh ⁡ x y=\operatorname{arsh}x y=arshx,则 x = sh ⁡ y x=\operatorname{sh}{y} x=shy,即 x = 1 2 ( e y − e − y ) x=\frac{1}{2}(e^{y}-e^{-y}) x=21(ey−e−y)
令 u = e y > 0 u=e^{y}>0 u=ey>0,则 x = 1 2 ( u − u − 1 ) x=\frac{1}{2}(u-u^{-1}) x=21(u−u−1),两边同时乘以 u u u,得 u x = 1 2 ( u 2 − 1 ) ux=\frac{1}{2}(u^2-1) ux=21(u2−1);即 u 2 − 2 x u − 1 = 0 u^2-2xu-1=0 u2−2xu−1=0
可见,这是一个关于 u u u的一元二次方程,其根 u = 2 x ± 4 x 2 − ( − 4 ) 2 u=\frac{2x\pm{\sqrt{4x^2-(-4)}}}{2} u=22x±4x2−(−4) = x ± x 2 + 1 x\pm{\sqrt{x^2+1}} x±x2+1
- x 2 + 1 > x 2 = ∣ x ∣ \sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}=|x| x2+1 >x2 =∣x∣,所以 − x 2 + 1 < − ∣ x ∣ -\sqrt{x^2+1}<-|x| −x2+1 <−∣x∣即
  - x + x 2 + 1 > x + ∣ x ∣ ⩾ 0 x+\sqrt{x^2+1}>x+|x|\geqslant{0} x+x2+1 >x+∣x∣⩾0
  - x − x 2 + 1 < x − ∣ x ∣ ⩽ 0 x-\sqrt{x^2+1}<x-|x|\leqslant{0} x−x2+1 <x−∣x∣⩽0
- 因此 u = x + x 2 + 1 > 0 u=x+\sqrt{x^2+1}>0 u=x+x2+1 >0
由于 u = e y u=e^{y} u=ey,所以 y = ln ⁡ u y=\ln{u} y=lnu,所以反双曲正弦表示为 y = arsh ⁡ x y=\operatorname{arsh}x y=arshx= ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) \ln(x+\sqrt{x^2+1}) ln(x+x2+1 )

性质

ln ⁡ ( x + x 2 + 1 ) \ln(x+\sqrt{x^2+1}) ln(x+x2+1 )函数很常见,其性质如下:
- 定义域 D = R D=\mathbb{R} D=R, D D D内单调增加,且过原点的奇函数
- 值域 R \mathbb{R} R

反双曲余弦

类似反双曲正弦的分析,可得 y = y = arch ⁡ x y=y=\operatorname{arch}x y=y=archx= ln ⁡ ( x + x 2 − 1 ) \ln(x+\sqrt{x^2-1}) ln(x+x2−1 )
- 由 y = arch ⁡ x y=\operatorname{arch}x y=archx, ( y ⩾ 0 ) (y\geqslant{0}) (y⩾0),则 x = ch ⁡ y x=\operatorname{ch}{y} x=chy= 1 2 ( e y + e − y ) \frac{1}{2}(e^{y}+e^{-y}) 21(ey+e−y), ( y ⩾ 0 ) (y\geqslant{0}) (y⩾0), x ⩾ 1 x\geqslant{1} x⩾1
- 令 u = e y > 0 u=e^{y}>0 u=ey>0,则 x = 1 2 ( u + u − 1 ) x=\frac{1}{2}(u+u^{-1}) x=21(u+u−1),两边同时乘以 u u u,得 u x = 1 2 ( u 2 + 1 ) ux=\frac{1}{2}(u^2+1) ux=21(u2+1);即 u 2 − 2 x u + 1 = 0 u^2-2xu+1=0 u2−2xu+1=0
- 得 u = x ± x 2 − 1 u=x\pm{\sqrt{x^2-1}} u=x±x2−1 , ( x ⩾ 1 ) (x\geqslant{1}) (x⩾1)
- 从而 y = ln ⁡ u y=\ln{u} y=lnu,由于 y ⩾ 0 y\geqslant{0} y⩾0,则 u ⩾ 1 u\geqslant{1} u⩾1,所以 u = x + x 2 − 1 u=x+\sqrt{x^2-1} u=x+x2−1
  - 事实上, x ⩾ 1 x\geqslant{1} x⩾1时, x 2 − 1 ⩾ 0 \sqrt{x^2-1}\geqslant{0} x2−1 ⩾0,两式相加得 x + x 2 − 1 ⩾ 1 x+\sqrt{x^2-1}\geqslant{1} x+x2−1 ⩾1,因此该式满足要求
  - 而 x − x 2 − 1 ⩾ 1 x-\sqrt{x^2-1}\geqslant{1} x−x2−1 ⩾1, x − 1 ⩾ x 2 − 1 x-1\geqslant{\sqrt{x^2-1}} x−1⩾x2−1 , x 2 − 2 x + 1 ⩾ x 2 − 1 x^2-2x+1\geqslant{x^2-1} x2−2x+1⩾x2−1, − 2 x ⩾ − 2 -2x\geqslant{-2} −2x⩾−2则 x ⩽ 1 x\leqslant{1} x⩽1,和 x ⩾ 1 x\geqslant{1} x⩾1矛盾因此舍去
- 从而 y = ln ⁡ ( x + x 2 − 1 ) y=\ln (x+\sqrt{x^2-1}) y=ln(x+x2−1 )

性质

定义域: D = [ 1 , ∞ ) D=[1,\infin) D=[1,∞), D D D上单调递增,值域 [ 0 , + ∞ ) [0,+\infin) [0,+∞)

反双曲正切

y = arth ⁡ x y=\operatorname{arth}x y=arthx= 1 2 ln ⁡ 1 + x 1 − x \frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x} 21ln1−x1+x
- x = th ⁡ y x=\operatorname{th}y x=thy,即 x = e y − e − y e − y + e y x=\frac{e^{y}-e^{-y}}{e^{-y}+e^{y}} x=e−y+eyey−e−y;令 u = e y > 0 u=e^{y}>0 u=ey>0,则 x = u − u − 1 u + u − 1 x=\frac{u-u^{-1}}{u+u^{-1}} x=u+u−1u−u−1,即 x = u 2 − 1 u 2 + 1 x=\frac{u^2-1}{u^2+1} x=u2+1u2−1,得 u 2 = 1 + x 1 − x u^2=\frac{1+x}{1-x} u2=1−x1+x
- 由于 u > 0 u>0 u>0,所以 u = ± 1 + x 1 − x u=\pm{\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}} u=±1−x1+x 取正,即 u = 1 + x 1 − x u=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} u=1−x1+x
- y = ln ⁡ u y=\ln{u} y=lnu= ln ⁡ 1 + x 1 − x \ln{\sqrt\frac{1+x}{1-x}} ln1−x1+x = 1 2 ln ⁡ 1 + x 1 − x \frac{1}{2}\ln{\frac{1+x}{1-x}} 21ln1−x1+x
定义域 D = ( − 1 , 1 ) D=(-1,1) D=(−1,1), D D D内递增的奇函数