KMP 算法 + 详细笔记

给两个字符串，T="AAAAAAAAB"，P="AAAAB";

可以暴力匹配 ，但是太费时和效率不太好。于是KMP问世，我们一起来探究一下吧！！！

（一）最长公共前后缀

D $i$ = p $0$ ~p $i$ 区间 **（前i+1个字母）**所拥有的最大......的长度

D $0$ =0,表示 p $0$ ~p $0$ 区间（前1个字母）->也就是A 所拥有的最长公共前后缀长度为0.
D $1$ =1,表示 p $0$ ~p $1$ 区间（前2个字母）->也就是AA 所拥有的最长公共前后缀长度为1.
D $2$ =2,表示 p $0$ ~p $2$ 区间（前3个字母）->也就是AAA 所拥有的最长公共前后缀长度为2.
D $3$ =3,表示 p $0$ ~p $3$ 区间（前4个字母）->也就是AAAA 所拥有的最长公共前后缀长度为3.
D $4$ =0,表示 p $0$ ~p $4$ 区间（前5个字母）->也就是AAAAB 所拥有的最长公共前后缀长度为0.

我们先手算好了P="AAAAB"的D $i$ 数组（记录最长公共前后缀），继续挖掘，看看有没有好东西！

（1）举个栗子，T = "AAAAAAAAB"，P="AAAAB" ，D $i$ 数组上文已经求出

当i = 4,j = 4 时，T串和 P串发生不匹配，此时我们就发现 T $0-3$ 和 P $0-3$ 是完全匹配的，那就会思考：是否可以用一些方法来跳过已经判断是能匹配的范围呢？

在 j = 4时，j-1=3，D $3$ = 3,也就是意味着P** $0$ ~** P** $3$ ** 区间 **（前4个字母）**所拥有的最大公共前后缀长度为3.

于是从图中我们可以看到标注为① ② ③ ④ 条红色的线，表示 T 和 P的前后缀相同

着重看②和③这两条，我们可以让 j = 3，即进行操作是：**j = D $4-1$ ;**再让T $i$ 和 P $j$ 去判断是否匹配。

此时 i = 4 , j = 3时，T $4$ = P $3$ ,是匹配的，那么让 i++, j++，可得到下图：

此时 i = 5 , j = 4时，T $5$ ≠ P $4$ ,是不匹配的，此时跟前面的操作一样。进行操作是：**j = D $4-1$ ;**再让T $i$ 和 P $j$ 去判断是否匹配。可得到下图：

此时 i = 5 , j = 3时，T $5$ = P $3$ ,是匹配的，那么让 i++, j++，可得到下图：

此时 i = 6 , j = 4时，T $6$ ≠ P $4$ ,是不匹配的，此时跟前面的操作一样。进行操作是：**j = D $4-1$ ;**再让T $i$ 和 P $j$ 去判断是否匹配。可得到下图：

此时 i = 6 , j = 3时，T $6$ = P $3$ ,是匹配的，那么让 i++, j++，可得到下图：

此时 i = 7 , j = 4时，T $7$ ≠ P $4$ ,是不匹配的，此时跟前面的操作一样。进行操作是：**j = D $4-1$ ;**再让T $i$ 和 P $j$ 去判断是否匹配。可得到下图：

此时 i = 7 , j = 3时，T $7$ = P $3$ ,是匹配的，那么让 i++, j++，可得到下图：

此时 i = 8 , j = 4时，T $8$ = P $4$ ,是匹配的，那么让 i++, j++，可得到下图：

此时 i = 9（越界）, j = 5（越界），终止！

总结：发现已经匹配成功的部分，它所拥有的最大公共前后缀就不用重复进行比较了，不用再花费无效的时间进行比较了，最大公共前后缀越长，那它所省略的就越多，效率也就越高。相对于暴力匹配来说，效率提升也就越高。

kmp核心思路的关键所在：

1.必须理解 D $j$ 的意义:P串的前 j+1个字母,即 P $0$ ~P $j$ 所拥有的最大公共前后缀
2.匹配到T $i$ != P $j$ 失败时 ,想一想P $j$ 是不是P串的第j+1个字母, 是不是也意味着:P $0$ ~P $j-1$ 的这前j个字母已经匹配成功了
3.P $0$ ~P $j-1$ 的这前 j 个字母的最大公共前后缀 = D $j-1$

----来自B站Up邋遢大王233的评论区回复

（二）KMP Code

D $i$ = P $0$ 至P $i$ ，P串前 i+1 个字母拥有的最大公共前后缀的长度

D $k$ 表示 P $0$ ~P $k$ 时，前 k+1 个 字母拥有的最大公共前后缀的长度

同理，D $j-1$ ： P $0$ ~P $j-1$ ， 前 j 个 字母拥有的最大公共前后缀的长度

结合上图，D $j-1$ ：P $0$ ~P $j-1$ ，前 j 个 字母拥有的最大公共前后缀的长度

在上图我们知道，在 i 位置的 x 和 j 位置的 y 匹配失败。此时该怎么办呢？为了更好的观察规律，我们不妨设D $j-1$ = 3，也就是说P $0$ ~P $j-1$ ，前 j 个 字母拥有的**最大公共前后缀的长度为3。**此时如下图：

那么让 j = D $j-1$ = 3，此时 j 的位置更新到下标为3这个位置，再从j = 3这个位置与 T 串的 x进行匹配判断

若 j = 0时，匹配失败。 此时再让 **j = D $j-1$ **是无意义的。已经越界了。那怎么办呢？

若 j = 0时，匹配失败。让 j 不变，i++

j == np (视频中没有介绍后续如何继续匹配，所以一旦匹配成功一次就结束算法了)。而匹配失败时j只可能减少不可能增加第一次匹配成功后，后续想要继续的话，继续j = D $j-1$ 就可以了(此时必然j = np ,所以写成 j=D $np-1$ 也对) ----来自B站Up邋遢大王233的评论区回复

未完待续，明天继续编辑~