KMP 算法 + 详细笔记

给两个字符串,T="AAAAAAAAB",P="AAAAB";

可以暴力匹配 ,但是太费时和效率不太好。于是KMP问世,我们一起来探究一下吧!!!

(一)最长公共前后缀

  • D[i] = p[0]~p[i] 区间 **(前i+1个字母)**所拥有的最大......的长度
  • D[0]=0,表示 p[0]~p[0]区间(前1个字母)->也就是A 所拥有的最长公共前后缀长度为0.
  • D[1]=1,表示 p[0]~p[1]区间(前2个字母)->也就是AA 所拥有的最长公共前后缀长度为1.
  • D[2]=2,表示 p[0]~p[2]区间(前3个字母)->也就是AAA 所拥有的最长公共前后缀长度为2.
  • D[3]=3,表示 p[0]~p[3]区间(前4个字母)->也就是AAAA 所拥有的最长公共前后缀长度为3.
  • D[4]=0,表示 p[0]~p[4]区间(前5个字母)->也就是AAAAB 所拥有的最长公共前后缀长度为0.

我们先手算好了P="AAAAB"的D[i]数组(记录最长公共前后缀),继续挖掘,看看有没有好东西!

(1)举个栗子,T = "AAAAAAAAB",P="AAAAB" ,D[i]数组上文已经求出

i = 4,j = 4 时,T串P串 发生不匹配,此时我们就发现 T[0-3]P[0-3] 是完全匹配的,那就会思考:是否可以用一些方法来跳过已经判断是能匹配的范围呢?

在 j = 4时,j-1=3,D[3] = 3,也就是意味着P**[0]~** P**[3]** 区间 **(前4个字母)**所拥有的最大公共前后缀长度为3.

于是从图中我们可以看到标注为① ② ③ ④ 条红色的线,表示 T 和 P的前后缀相同


着重看②和③这两条,我们可以让 j = 3,即进行操作是:**j = D[4-1];**再让T[i] 和 P[j] 去判断是否匹配。


此时 i = 4 , j = 3时,T[4] = P[3],是匹配的,那么让 i++, j++,可得到下图:


此时 i = 5 , j = 4时,T[5] ≠ P[4],是不匹配的,此时跟前面的操作一样。进行操作是:**j = D[4-1];**再让T[i] 和 P[j] 去判断是否匹配。可得到下图:


此时 i = 5 , j = 3时,T[5] = P[3],是匹配的,那么让 i++, j++,可得到下图:


此时 i = 6 , j = 4时,T[6] ≠ P[4],是不匹配的,此时跟前面的操作一样。进行操作是:**j = D[4-1];**再让T[i] 和 P[j] 去判断是否匹配。可得到下图:


此时 i = 6 , j = 3时,T[6] = P[3],是匹配的,那么让 i++, j++,可得到下图:


此时 i = 7 , j = 4时,T[7] ≠ P[4],是不匹配的,此时跟前面的操作一样。进行操作是:**j = D[4-1];**再让T[i] 和 P[j] 去判断是否匹配。可得到下图:


此时 i = 7 , j = 3时,T[7] = P[3],是匹配的,那么让 i++, j++,可得到下图:


此时 i = 8 , j = 4时,T[8] = P[4],是匹配的,那么让 i++, j++,可得到下图:


此时 i = 9(越界), j = 5(越界),终止!


总结:发现已经匹配成功的部分,它所拥有的最大公共前后缀就不用重复进行比较了,不用再花费无效的时间进行比较了,最大公共前后缀越长,那它所省略的就越多,效率也就越高。相对于暴力匹配来说,效率提升也就越高。

kmp核心思路的关键所在:

  • 1.必须理解 D[j] 的意义:P串的前 j+1个字母,即 P[0]~P[j] 所拥有的最大公共前后缀
  • 2.匹配到T[i] != P[j]失败时 ,想一想P[j]是不是P串的第j+1个字母, 是不是也意味着:P[0]~P[j-1]的这前j个字母已经匹配成功了
  • 3.P[0]~P[j-1]的这前 j 个字母的最大公共前后缀 = D[j-1]

----来自B站Up邋遢大王233的评论区回复

(二)KMP Code

  • D[i] = P[0]至P[i],P串前 i+1 个字母拥有的最大公共前后缀的长度

D[k] 表示 P[0]~P[k] 时,前 k+1 个 字母拥有的最大公共前后缀的长度

同理,D[j-1]: P[0]~P[j-1]前 j 个 字母拥有的最大公共前后缀的长度


结合上图,D[j-1]:P[0]~P[j-1]前 j 个 字母拥有的最大公共前后缀的长度

在上图我们知道,在 i 位置的 x 和 j 位置的 y 匹配失败。此时该怎么办呢?为了更好的观察规律,我们不妨设D[j-1] = 3,也就是说P[0]~P[j-1]前 j 个 字母拥有的**最大公共前后缀的长度为3。**此时如下图:


那么让 j = D[j-1] = 3,此时 j 的位置 更新到下标为3这个位置,再从j = 3这个位置与 T 串的 x进行匹配判断

若 j = 0时,匹配失败。 此时再让 **j = D[j-1]**是无意义的。已经越界了。那怎么办呢?

若 j = 0时,匹配失败。让 j 不变,i++

j == np (视频中没有介绍后续如何继续匹配,所以一旦匹配成功一次就结束算法了)。而匹配失败时j只可能减少不可能增加第一次匹配成功后,后续想要继续的话,继续j = D[j-1] 就可以了(此时必然j = np ,所以写成 j=D[np-1] 也对) ----来自B站Up邋遢大王233的评论区回复

未完待续,明天继续编辑~

参考和推荐视频: kmp_5_最大公共前后缀代码实现_哔哩哔哩_bilibilihttps://www.bilibili.com/video/BV1iJ411a7Kb?p=5&vd_source=a934d7fc6f47698a29dac90a922ba5a3

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