本质就是利用取整分数值的块状分布。
UVA11526 H(n)
题意： 求 ∑ i = 1 n n i \sum_{i=1}^{n} \frac {n}{i} ∑i=1nin。
解析：
⌊ n i ⌋ \lfloor \frac{n}{i} \rfloor ⌊in⌋ 只有 O ( n ) O(\sqrt n) O(n ) 种取值，考虑将相同值同时处理。时间复杂度 O ( T n ) O(T\sqrt n) O(Tn )。
对于 i i i，其块右端点 j j j 满足： j = ⌊ n ⌊ n i ⌋ ⌋ j = \lfloor \dfrac{n}{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} \rfloor j=⌊⌊in⌋n⌋。
证明：对所有 ⌊ n i ⌋ = k \lfloor \frac{n}{i} \rfloor=k ⌊in⌋=k 的 i i i：由 k ≤ n i k \le \frac{n}{i} k≤in，有 ⌊ n k ⌋ ≥ ⌊ n n i ⌋ = ⌊ i ⌋ = i \lfloor\frac{n}{k}\rfloor \ge \lfloor {\frac{n}{\frac n i}} \rfloor= \lfloor i \rfloor = i ⌊kn⌋≥⌊inn⌋=⌊i⌋=i。
故 ⌊ n k ⌋ \lfloor\frac{n}{k}\rfloor ⌊kn⌋ 即 ⌊ n ⌊ n i ⌋ ⌋ \lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} \rfloor ⌊⌊in⌋n⌋ 即为该块所在右端点。
[AHOI2005] 约数研究
考虑约数 i i i 在 1 ∼ n 1 \sim n 1∼n 中出现次数，即 i i i 的倍数个数，为 n i \frac{n}{i} in。答案即为 ∑ i = 1 n ⌊ n i ⌋ \sum_{i=1}^{n} \lfloor{\frac{n}{i}}\rfloor ∑i=1n⌊in⌋。
时间复杂度 O ( n ) O(\sqrt n) O(n )。
约数和
同样考虑约数的贡献，即求 ∑ i = 1 n i × ⌊ n i ⌋ \sum_{i=1}^{n} i \times \lfloor\frac{n}{i}\rfloor ∑i=1ni×⌊in⌋。
考虑到原式子 < ∑ i = 1 n n < \sum_{i=1}^n n <∑i=1nn，long long 即可。
时间复杂度 O ( n ) O(\sqrt n) O(n )。
[CQOI2007] 余数求和
∑ i = 1 n k m o d i = ∑ i = 1 n ( k − ⌊ k i ⌋ i ) = n k − ∑ i = 1 n ⌊ k i ⌋ i \sum_{i=1}^n k \bmod i \\ =\sum_{i=1}^n (k - \lfloor{\frac{k}{i}}\rfloor i) \\ =nk-\sum_{i=1}^n \lfloor{\frac{k}{i}}\rfloor i i=1∑nkmodi=i=1∑n(k−⌊ik⌋i)=nk−i=1∑n⌊ik⌋i
枚举到 k k k 即可， n , k n,k n,k 同阶时时间复杂度 O ( n ) O(\sqrt n) O(n )。
CF1485C Floor and Mod
妙。
法一：
⌊ a b ⌋ = a m o d b \lfloor \frac{a}{b} \rfloor = a\bmod b ⌊ba⌋=amodb
⌊ a b ⌋ = a − ⌊ a b ⌋ b \lfloor \frac{a}{b} \rfloor = a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor b ⌊ba⌋=a−⌊ba⌋b
⌊ a b ⌋ = a b + 1 \lfloor \frac{a}{b} \rfloor = \frac{a}{b+1} ⌊ba⌋=b+1a
有 b + 1 ∣ a b+1 \mid a b+1∣a。
由 ⌊ a b ⌋ < b \lfloor \frac{a}{b} \rfloor < b ⌊ba⌋<b，得 a < b 2 + b a < b^2+b a<b2+b。
而 b + 1 ∣ a b+1 \mid a b+1∣a，由 a < b 2 + b a < b^2+b a<b2+b，得 b ∤ a b \nmid a b∤a，故 ⌊ a b ⌋ = a b + 1 \lfloor \frac{a}{b} \rfloor = \frac{a}{b+1} ⌊ba⌋=b+1a。
综上， b + 1 ∣ a b+1 \mid a b+1∣a 且 a < b 2 + b a < b^2 + b a<b2+b 是原命题的一个充要条件。
答案即为
∑ b = 1 y min ( x , b 2 + b − 1 ) b + 1 \sum_{b=1}^{y} \dfrac{\min(x,b^2+b-1)}{b+1} b=1∑yb+1min(x,b2+b−1)。
分段整除分块即可。
总结：根据整除关系、范围得到一些性质，从而找出充要条件。
法二（官方做法）
记 ⌊ a b ⌋ = a m o d b = k \lfloor \frac{a}{b} \rfloor = a\bmod b = k ⌊ba⌋=amodb=k。
a = k b + k a = kb + k a=kb+k
b + 1 = a k b+1=\frac{a}{k} b+1=ka
由 k < b k < b k<b，得 k + 1 < a k k+1<\frac a k k+1<ka，故 k k k 为根号级别。
枚举 k k k，考虑 b b b 的数量。可得 b ≤ x k − 1 b \le \frac x k - 1 b≤kx−1，且 k < b ≤ y k < b \le y k<b≤y。
总结 ：观察 + 放缩 k k k 的范围。