树与二叉树（考研版）

文章目录

• 树与二叉树
• • 树的基本概念
  • • 结点、树属性的描述
    • 树的性质
  • 二叉树的概念
  • • 二叉树的性质
    • 二叉树的构建
    • 二叉树的遍历
    • • 先序遍历
      • 中序遍历
      • 后序遍历
      • 层次遍历
    • 递归算法和非递归算法的转换
    • • 源代码
  • 线索二叉树
  • • 二叉树的线索化
    • [线索二叉树 找前驱/后继](#线索二叉树 找前驱/后继)
  • 树和森林
  • • 树的存储
  • 树与二叉树的应用
  • • 哈夫曼树和哈夫曼编码
    • 并查集
  • 习题总结

树与二叉树

树的基本概念

树的定义是递归的，即在树的定义中又用到了其自身，树是一种递归的数据结构。同时是一种分层结构，具有以下两个特点：

• 树的根节点没有前驱，除根节点外所有结点有且只有一个前驱。
• 树中所有结点都可以有零个或多个后继。

特点：树适合于表示具有层次结构的数据。

结点、树属性的描述

1. 树中一个结点的孩子个数称为该结点的度，树中结点的最大度数称为树的度。

   • 结点的度：有几个孩子（分支）
   • 树的度：各结点的度的最大值

   如结点B的度为 2，结点D的度为 3，树的度为 3，剩余结点的度数都小于3，因此这颗树的度为3。

2. 结点的深度、高度和层次

   结点的深度：从上往下数（默认从 1 开始）

   结点的高度：从下往上数

   树的层次：总共多少层

树的性质

树具有如下最基本的性质：

1. 结点数 = 总度数 + 1

   结点的度：结点有几个孩子（分支）

   eg:【2010统考真题】在一棵度为4的树 T T T中，若有20个度为4的结点，10个度为3的结点，1个度为2的结点，10个度为1的结点，则树 T T T的叶子结点个数是（ B B B ）

   A . 41 A.41 A.41 B . 82 B.82 B.82 C . 113 C.113 C.113 D . 122 D.122 D.122

   结点数：20 + 10 + 1 + 10 + X 叶子 X_{叶子} X叶子 = 41 + X 叶子 X_{叶子} X叶子

   总度数：20*4 + 10*3 + 1*2 + 10*1 = 122

   结点数 = 总度数 + 1 => 41 + X 叶子 X_{叶子} X叶子 = 122 + 1 => X 叶子 X_{叶子} X叶子 = 122 + 1 - 41 = 82

2. 度为m的树和m叉树的区别

   • 树的度：各结点的度的最大值
   • m叉树：每个结点最多只能有m个孩子的树

   度为m的树	m叉树
   任意结点的度≤m（最多m个孩子）	任意结点的度≤m（最多m个孩子）
   至少有一个结点度=m（有m个孩子）	允许所有结点的度都＜m
   一定是非空树，至少有m+1个结点	可以是空树

   

3. 度为 m m m的树第 i i i层至多有 m i − 1 m^{i -1} mi−1个结点， m m m叉树第 i i i层至多有 m i − 1 m^{i - 1} mi−1个结点

   

4. 高度为 h h h的 m m m叉树至多有 m h − 1 m − 1 \frac {m^{h} - 1}{m -1} m−1mh−1个结点

   等比数列求和公式：
   a + a q + a q 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a q n − 1 = a ( 1 − q n ) 1 − q a + aq + aq^2 + ··· + aq^{n - 1} = \frac{a(1-q^n)}{1-q} a+aq+aq2+⋅⋅⋅+aqn−1=1−qa(1−qn)

   每层的结点求和即 m 0 + m 1 + m 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + m h − 1 m^0 + m^1 + m^2 + ····+ m^{h-1} m0+m1+m2+⋅⋅⋅⋅+mh−1，利用等比数列求和即可。

5. 高度为 h h h的 m m m叉树至少有 h h h个结点，高度为 h h h、度为 m m m的树至少有 h + m − 1 h+m-1 h+m−1个结点。

   

6. 具有n个结点的m叉树的最小高度为 ⌈ l o g m ( n ( m − 1 ) + 1 ) ⌉ \lceil log_m(n(m -1) + 1) \rceil ⌈logm(n(m−1)+1)⌉

   高度最小的情况：所有结点都有 m m m个孩子

   证明过程如下：前 h − 1 h-1 h−1层最多有\\frac {m\^{h -1} - 1}{m - 1} 个结点，前 h 层最多有 个结点，前h层最多有 个结点，前h层最多有\\frac {m\^{h} - 1}{m - 1} 个结点
   m h − 1 − 1 m − 1 < n ≤ m h − 1 m − 1 m h − 1 < n ( m − 1 ) + 1 ≤ m h h − 1 < l o g m ( n ( m − 1 ) + 1 ) ≤ h h m i n = ⌈ l o g m ( n ( m − 1 ) + 1 ) ⌉ \frac {m^{h -1} - 1}{m - 1} < n ≤ \frac {m^{h} - 1}{m - 1}\\ m^{h-1} < n(m -1) + 1 ≤ mh\\ h - 1 < log_m(n(m - 1) + 1) ≤ h\\ h_{min} =\lceil log_m(n(m -1) + 1) \rceil m−1mh−1−1<n≤m−1mh−1mh−1<n(m−1)+1≤mhh−1<logm(n(m−1)+1)≤hhmin=⌈logm(n(m−1)+1)⌉

二叉树的概念

本章需要着重讨论的是二叉树（Binary Tree）。

二叉树是一种特殊的树形结构，其特点是每个节点至多只有两棵子树（即二叉树中不存在度大于2的结点），并且二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。一棵二叉树大概长这样：

并且二叉树任何结点的子树是有左右之分的，不能颠倒顺序，比如A结点左边的子树，称为左子树，右边的子树称为右子树。

二叉树有 5 中基本形态，分别是：

几种特殊的二叉树

1. 满二叉树：在一棵二叉树中，所有分支结点都存在左子树和右子树，且叶子结点都在同一层。

2. 完全二叉树：只有最后一层有空缺，并且所有的叶子结点是按照从左往右的顺序排列的。所以，一棵满二叉树，一定是一棵完全二叉树。

3. 二叉排序树：可用于元素的排序、搜索

   左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字

   右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字

   左子树和右子树又各是一颗二叉排序树

4. 平衡二叉树：能更高的搜索效率

   树上任意一个结点的左子树和右子树的深度之差不超过 1。

   

二叉树的性质

假设一棵二叉树中结点总数为 n n n，度为0、1、2的结点数量分别为 n 0 n_0 n0、 n 1 n_1 n1、 n 2 n_2 n2，结点的边数为 E E E.

性质一 ：非空二叉树上的叶子节点数等于度为2的结点树加1，即 n 0 = n 2 + 1 n_0 = n_2 + 1 n0=n2+1。

由于一棵二叉树中只有这三种类型的结点，那么可以直接得到结点总数：
n = n 0 + n 1 + n 2 n = n_0 + n_1 + n_2 n=n0+n1+n2

接下来换一个思路，从边的数量上考虑。因为每个结点有且仅有一条边与其父结点相连，那么边数之和就可以表示为：
E = n 1 + 2 n 2 E = n_1 + 2n_2 E=n1+2n2

度为 1 的结点有一条边，度为 2 的结点有两条边，度为 0 的结点没有边。

根据前面树的基本性质可知，结点的边数为 E = n − 1 E = n - 1 E=n−1。因此，可以得到另一个计算结点总数的方式（结合公式 (3)(4)）得：
E = n − 1 = n 1 + 2 n 2 ( 公式 4 ) n = n 1 + 2 n 2 + 1 n = n 1 + 2 n 2 + 1 = n 0 + n 1 + n 2 ( 公式 3 ) n 0 = n 2 + 1 E = n - 1 = n_1 + 2n_2(公式 4)\\ n = n_1 + 2n_2 + 1\\ n = n_1 + 2n_2 + 1 = n_0 + n_1 + n_2(公式 3)\\ n_0 = n_2 +1 E=n−1=n1+2n2(公式4)n=n1+2n2+1n=n1+2n2+1=n0+n1+n2(公式3)n0=n2+1

性质二 ：非空二叉树上第k层上至多有 2 k − 1 ( k ≥ 1 ) 2^{k - 1}(k≥1) 2k−1(k≥1)个结点。

第一层至多有 2 1 − 1 2^{1-1} 21−1个结点，第二层至多有 2 2 − 1 = 2 2^{2-1} = 2 22−1=2个结点，以此类推，可以证明其为一个公比为 2 的等比数列 2 k − 1 2^{k-1} 2k−1。

性质三 ：高度为k的二叉树至多有 2 k − 1 2^k - 1 2k−1个结点 ( h ≥ 1 ) (h≥1) (h≥1)

对于一棵深度为k的二叉树，可以具有的最大结点数量为：
n = 2 0 + 2 1 + 2 2 + . . . + 2 k − 1 n = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ...+ 2^{k - 1} n=20+21+22+...+2k−1

实际上每一层结点数量构成了一个以公比q = 2的等比数列，结合等比数列求和公式得：
S n = a 1 × ( 1 − q n ) 1 − q = 1 × ( 1 − 2 k ) 1 − 2 = − ( 1 − 2 k ) = 2 k − 1 S_n = \frac {a_1 × (1 - q_n)}{1 - q} = \frac{1×(1 - 2^k)}{1 - 2} = -(1 - 2^k) = 2^k - 1 Sn=1−qa1×(1−qn)=1−21×(1−2k)=−(1−2k)=2k−1

性质四：

对一棵有n个结点、深度为k的完全二叉树按从上到下、从左到右的顺序依次编号 1,2，···，n，现在对于任意一个结点i有以下关系：

1. 对于一个拥有左右孩子的结点i来说，其左孩子为2i，右孩子为2i+1。
2. 如果i = 1，那么此结点为二叉树的根节点；如果i > 1，那么其父结点就是 ⌊ i / 2 ⌋ \lfloor i/2 \rfloor ⌊i/2⌋，比如第三个结点的父节点为第1个结点，也就是根节点。
3. 如果2i > n，则结点i没有左孩子，比如下图中的二叉树，n为5，假设此时i = 3，那么2i = 6 > n = 5，说明第三个结点没有左孩子。
4. 如果2i + 1 > n，则结点i没有右孩子。

性质五 ：一棵具有n个结点的**完全二叉树**深度为 k = ⌊ l o g 2 n + 1 ⌋ k = \lfloor log_2n + 1 \rfloor k=⌊log2n+1⌋。

完全二叉树除了最后一层有空缺外，其他层数都是饱满的。假设这棵二叉树为满二叉树，那么根据我们前面得到的性质，假设层数为k层，那么总结点数量为 n = 2 k − 1 n = 2^k - 1 n=2k−1；根据完全二叉树性质，最后一层可满可不满(1～k-1层为满二叉树的情况下，总结点数 2 k − 1 − 1 2^{k - 1} - 1 2k−1−1)，那么一棵完全二叉树结点的总结点数n满足：
2 k − 1 − 1 < n ≤ 2 k − 1 2^{k - 1} - 1 < n ≤ 2^k - 1 2k−1−1<n≤2k−1

因为n是一个整数，那么可以写成：
2 k − 1 ≤ n ≤ 2 k − 1 2^{k - 1} ≤ n ≤ 2^k - 1 2k−1≤n≤2k−1

这里左边可以取等号的情况如上图所示，该树为完全二叉树的极端情况。

现在只看左边的不等式，两边取对数得：
k − 1 ≤ l o g 2 n k - 1 ≤ log_2n k−1≤log2n

综上所述，一棵具有n个结点的完全二叉树深度为 k = ⌊ l o g 2 n + 1 ⌋ k = \lfloor log_2n + 1\rfloor k=⌊log2n+1⌋。

⚠️：性质五推导比较复杂，推荐直接记忆✌️。

二叉树练习题

1. 由三个结点可以构造出多少种不同的二叉树？

   手画直接的到结果，一共是五种。但是，如果要求N个结点的话如何求解呢？可以利用动态规划，接下来我们分析一下：

   • 假设现在没有结点或者一个结点，那么只有一种情况 h ( 0 ) = h ( 1 ) = 1 h(0) = h(1) = 1 h(0)=h(1)=1

   • 假设现在有两个结点，其中一个为根节点，剩下的一个结点可以为左结点或右结点。如果为左结点，那么右边 0 个结点；如果为右结点，那么左边 0 个结点，则 h ( 2 ) = h ( 1 ) × h ( 0 ) + h ( 0 ) × h ( 1 ) = 2 h(2) = h(1)×h(0) + h(0)×h(1) = 2 h(2)=h(1)×h(0)+h(0)×h(1)=2

   • 假设现在有三个结点，其中一个为根节点，剩下的两个结点情况就有三种情况，两个都在左边或者右边，或者一边一个，则 h ( 3 ) = h ( 2 ) × h ( 0 ) + h ( 1 ) × h ( 1 ) + h ( 0 ) × h ( 0 ) = 2 + 1 + 2 = 5 h(3) = h(2) × h(0) + h(1) × h(1) + h(0) × h(0) = 2 + 1 + 2 = 5 h(3)=h(2)×h(0)+h(1)×h(1)+h(0)×h(0)=2+1+2=5

   • 总结：N每次加一，项数就会多一项，所以只需要按照规律把所有情况的结果相加即可。

   #include <stdio.h>
   
   int main() {
       int n;
       scanf("%d", &n);
       int dp[n + 1];
       dp[0] = dp[1] = 1;
       for (int i = 2; i <= n; ++i) {
           dp[i] = 0;
           for (int j = 0; j < i; ++j) {
               dp[i] += dp[i - j - 1] * dp[j];
           }
       }
       printf("%d",dp[n]);
   }

   

【2009年统考真题】已知一棵完全二叉树的第6层（设根为第1层）有8个叶结点，则该完全二叉树的结点个数最多是（C）

A . 39 A.39 A.39 B . 53 B.53 B.53 C . 111 C.111 C.111 D . 119 D.119 D.119

解：第6层最多 2 6 − 1 = 32 2^{6-1} = 32 26−1=32个结点，8个叶结点，则剩下的24个结点均有左右孩子（满足最多结点个数），即第7层有24*2=48个结点，前6层一共有 2 6 − 1 = 63 2^{6} - 1 = 63 26−1=63个结点，所有最多有 63 + 48 = 111 63 + 48 = 111 63+48=111个结点。

二叉树的构建

定义结构体

typedef char E;

typedef struct TreeNode {
    E element;
    struct TreeNode *left, *right;
} TreeNode, *Node;

假设我们要构建这个二叉树，首先我们要创建好这几个结点：

int main() {
    Node a = malloc(sizeof(TreeNode));
    Node b = malloc(sizeof(TreeNode));
    Node c = malloc(sizeof(TreeNode));
    Node d = malloc(sizeof(TreeNode));
    Node e = malloc(sizeof(TreeNode));
    a->element = 'A';
    b->element = 'B';
    c->element = 'C';
    d->element = 'D';
    e->element = 'E';
}

然后从上往下，依次连接每一个结点，并且测试是否连接成功：

int main() {
  	//创建结点代码....
    a->left = b;
    a->right = c;
    b->left = d;
    b->right = e;
    c->left = c->right = NULL;
    d->left = d->right = NULL;
    e->left = e->right = NULL;

    printf("%c", a->left->left->element);
}

注意：这里需要将叶子结点或者其他只有一个结点的另一个空结点设置为NULL。

与此同时，我们在printf函数部分设置断点debug：

二叉树的遍历

前面通过使用链式结构，成功构建出了一棵二叉树，接着我们来看看如何遍历一棵二叉树，也就是说想要访问二叉树的每一个结点。由于树形结构特殊，遍历顺序并不唯一，所以一共有四种访问方式：**先序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历。**不同的访问方式输出都结点顺序也不同。

首先需要将这棵二叉树组装好，这一步比较繁琐，无可避免🥺🥺🥺

int main() {
    Node a = malloc(sizeof(TreeNode));
    Node b = malloc(sizeof(TreeNode));
    Node c = malloc(sizeof(TreeNode));
    Node d = malloc(sizeof(TreeNode));
    Node e = malloc(sizeof(TreeNode));
    Node f = malloc(sizeof(TreeNode));
    a->element = 'A';
    b->element = 'B';
    c->element = 'C';
    d->element = 'D';
    e->element = 'E';
    f->element = 'F';

    a->left = b;
    a->right = c;
    b->left = d;
    b->right = e;
    c->right = f;
    c->left = NULL;
    d->left = d->right = NULL;
    e->left = e->right = NULL;
    f->left = f->right = NULL;
}

先序遍历

先序遍历是一种勇往直前的态度，走到哪就遍历到那里，先走左边再走右边，比如上面的这个图，首先会从根节点开始：从A开始，先左后右，那么下一个就是 B，然后继续走左边，左边为 D；现在 ABD 走完之后，B 的左边结束了，那么就要从 B 的右边开始了，因此下一个是 E；E 结束之后，现在 A 的左子树已经完全遍历完成了。然后就是 A 的右边，接着就是 C，C 没有左子树，直接走右边，最后输出 F；所以上面这个二叉树的前序遍历结果为：ABDECF。

先序遍历（preOrder）的操作过程如下：若二叉树为空，则什么也不做；否则

1. 打印根节点
2. 先序遍历左子树
3. 先序遍历右子树

接下来就是编写实现先序遍历的函数了。我们传入的是根节点，根据先序遍历的特点，不难发现先序遍历中，根节点一直都是先沿着左子树"勇往直前"，直到走到了尽头，再走右子树，如此循环往复，递归函数就具有这个特点。当走到一个结点的时候，我们就打印对应的元素。那么如何结束这个递归函数呢？之前说过，递归函数有递归入口和终止条件，入口已经有了，那么终止条件是什么呢？二叉树走到尽头，即结点的左右孩子都为NULL，那就表示已经到头了，直接返回即可。

因此有了下面的函数：

void perOrder(Node root) {   //传入二叉树根节点
    if (root == NULL) return;	//终止条件
    printf("%c", root->element);
    perOrder(root->left);
    perOrder(root->right);
}

最后在main函数中调用即可

int main() {
  	//组装二叉树函数
  	//...
    perOrder(a);
}

那么先序遍历我们了解完了，接着就是中序遍历了，中序遍历在顺序上与先序遍历不同，先序遍历是走到哪就打印到哪，而中序遍历需要先完成整个左子树的遍历后再打印，然后再遍历其右子树。

中序遍历

还是以上面的二叉树为例，首先需要先不断遍历左子树，走到最底部，但是沿途并不进行打印，而是到底之后，再打印，所以第一个打印的是D，接着由于没有右子树，所以我们回到B，此时再打印B，然后再去看B的右结点E，由于没有左子树和右子树了，所以直接打印E；左边遍历完成，接着回到A，打印A，然后对A的右子树重复上述操作。所以说遍历的基本规则还是一样的，只是打印值的时机发生了改变。

中序遍历（inOrder）的操作过程如下：若二叉树为空，则什么也不做；否则，

1. 中序遍历左子树
2. 打印结点
3. 中序遍历右子树

所以这棵二叉树的中序遍历结果为：DBEACF，我们可以发现一个规律，就是在某个结点的左子树中所有结点，其中序遍历结果也是按照这样的规律排列 的，比如A的左子树中所有结点，中序遍历结果中全部都在A的左边，右子树中所有的结点，全部都在A的右边（这个规律很关键，后面在做一些算法题时会用到）。对应的递归算法如下：

void inOrder(Node root) {
    if (root == NULL) return;
    inOrder(root->left);
    printf("%c", root->element);
    inOrder(root->right);
}

后序遍历

接着我们来看一下后序遍历，后序遍历继续将打印的时机延后，需要等待左右子树全部遍历完成，才会去进行打印。

首先还是一路向左，到达结点D，此时结点D没有左子树了，接着看结点D还有没有右子树，发现也没有，左右子树全部遍历完成，那么此时再打印D，同样的，D完事之后就回到B了，此时接着看B的右子树，发现有结点E，重复上述操作，E结点没有左子树，也没有右子树，E也打印出来了；接着B的左右子树全部OK，那么再打印B，接着A的左子树就完事了，现在回到A，看到A的右子树，继续重复上述步骤，当A的右子树也遍历结束后，最后再打印A结点。

后序遍历（postOrder）的操作过程如下：若二叉树为空，则什么也不做；否则，

1. 后序遍历左子树
2. 后序遍历右子树
3. 打印结点

所以最后的遍历顺序为：DEBFCA，不难发现，整棵二叉树（包括子树）根结点一定是在后面的，比如A在所有的结点的后面，B在其子节点D、E的后面，这一点恰恰和前序遍历相反（注意不是得到的结果相反，是规律相反）

void postOrder(Node root) {
    if (root == NULL) return;
    postOrder(root->left);
    postOrder(root->right);
    printf("%c", root->element);
}

三种遍历算法中，递归遍历左、右子树的顺序都是固定的，只是访问根节点的顺序不同。不管采用哪种遍历算法，每个结点都访问一次，且仅访问一次，故时间复杂度都是 O ( n ) O(n) O(n)。在递归遍历中，递归工作栈的栈深恰好为树的深度，所以在最坏的情况下，二叉树是有 n n n个结点且深度为 n n n的单支树，遍历算法的空间复杂度为 O ( n ) O(n) O(n)。

层次遍历

  层次遍历如左图所示，即按照箭头所指方向，按照1,2,3,4 的层次顺序，对二叉树中的各个结点进行访问。
   要进行层次遍历，需要借助一个 队列。首先将二叉树根节点入队，然后出队，访问出队结点。若它右左子树，则将左子树根节点入队；若它有右子树，则将右子树根节点入队。完成入队后出队，访问出队结点......如此反复，直到队列为空。

二叉树的层次遍历算法如下：

void levelOrder(TNode root) {
    Queue queue;
    initQueue(&queue);
    EnQueue(&queue, root);  //根节点入队
    while (!isEmpty(&queue)) {      //不断重复，直到队列为空为止
        TNode node = DeQueue(&queue);//出队元素，并打印
        printf("%c", node->element);
        if (node->left)             //如果存在左还在，入队
            EnQueue(&queue, node->left);
        if (node->right)            //如果存在右孩子，入队
            EnQueue(&queue, node->right);
    }
}

温故而知新，这里顺带复习了一下队列的相关内容，建议自己手写（或手敲）下列的所有内容，加以巩固练习。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>

typedef char E;
typedef struct TreeNode {
    E element;
    struct TreeNode *left, *right;
} TreeNode, *TNode;

typedef TNode T;
typedef struct QueueNode {
    T element;
    struct QueueNode *next;
} QueueNode, *QNode;

typedef struct Queue {
    QNode front, rear;
} Queue, *LinkedQueue;

bool initQueue(LinkedQueue queue) {
    QNode node = malloc(sizeof(QueueNode));
    if (node == NULL) return 0;
    queue->front = queue->rear = node;
    return 1;
}

bool EnQueue(LinkedQueue queue, T element) {
    QNode node = malloc(sizeof(QueueNode));
    if (node == NULL) return 0;
    node->element = element;
    queue->rear->next = node;
    queue->rear = node;
    return 1;
}

bool isEmpty(LinkedQueue queue) {
    return queue->front == queue->rear;
}

T DeQueue(LinkedQueue queue) {
    T e = queue->front->next->element;
    QNode node = queue->front->next;
    queue->front->next = queue->front->next->next;
    if (queue->rear == node)
        queue->rear = queue->front;
    free(node);
    return e;
}

void levelOrder(TNode root) {
    Queue queue;
    initQueue(&queue);
    EnQueue(&queue, root);  //根节点入队
    while (!isEmpty(&queue)) {      //不断重复，直到队列为空为止
        TNode node = DeQueue(&queue);//出队元素，并打印
        printf("%c", node->element);
        if (node->left)             //如果存在左还在，入队
            EnQueue(&queue, node->left);
        if (node->right)            //如果存在右孩子，入队
            EnQueue(&queue, node->right);
    }
}

int main() {
    TNode a = malloc(sizeof(TreeNode));
    TNode b = malloc(sizeof(TreeNode));
    TNode c = malloc(sizeof(TreeNode));
    TNode d = malloc(sizeof(TreeNode));
    TNode e = malloc(sizeof(TreeNode));
    TNode f = malloc(sizeof(TreeNode));
    a->element = 'A';
    b->element = 'B';
    c->element = 'C';
    d->element = 'D';
    e->element = 'E';
    f->element = 'F';

    a->left = b;
    a->right = c;
    b->left = d;
    b->right = e;
    c->right = f;
    c->left = NULL;
    d->left = d->right = NULL;
    e->left = e->right = NULL;
    f->left = f->right = NULL;

    levelOrder(a);
}

递归算法和非递归算法的转换

非递归的写法，需要使用循环，但是就比较麻烦了。我们需要使用栈来帮助我们完成（实际上递归写法本质上也是在利用栈），我们依然是从第一个结点开始，先走左边，每向下走一步，先输出节点的值，然后将对应的结点丢到栈中，当走到尽头时，表示左子树已经遍历完成，接着就是从栈中依次取出栈顶节点，如果栈顶结点有右子树，那么再按照同样的方式遍历其右子树，重复执行上述操作，直到栈清空为止。

• 一路向左，不断入栈，直到尽头
• 到达尽头后，出栈，看看有没有右子树，如果没有就继续出栈，直到遇到有右子树的为止
• 拿到右子树后，从右子树开始，重复上述步骤，直到栈清空

比如我们还是以上面的这棵树为例：

首先我们需要自己创建栈和相对应的数据结构：

typedef char E;
typedef struct TreeNode {
    E element;
    struct TreeNode *left, *right;
} TreeNode, *TNode;

typedef TNode T;        //这里栈内元素类型定义为上面Node，也是二叉树结点指针
typedef struct StackNode {
    T element;
    struct StackNode *next;
} StackNode, *SNode;

//非递归操作
void initStack(SNode head) {
    head->next = NULL;
}

bool pushStack(SNode head, T element) {
    SNode node = malloc(sizeof(StackNode));
    if (node == NULL) return 0;
    node->element = element;
    node->next = head->next;
    head->next = node;
    return 1;
}

bool isEmpty(SNode head) {
    return head->next == NULL;
}

T popStack(SNode head) {
    SNode top = head->next;
    T e = head->next->element;
    head->next = head->next->next;
    free(top);
    return e;
}

创建完栈以后，接下来我们实现先序遍历的函数：

void perOrder(TNode root) {
    StackNode stack;
    initStack(&stack);
    while (root || !isEmpty(&stack)) {//栈为空且结点为 NULL 终止循环条件
        while (root) {//先不断遍历左子树，直到没有为止
            printf("%c", root->element);//打印当前结点元素值
            pushStack(&stack, root);//每经过一个结点，就将接待你放入栈中
            root = root->left;//继续遍历下一个左孩子结点
        }
        TNode node = popStack(&stack);//经过前面循环，左子树全部走完，接着走右子树
        root = node->right; //得到右孩子，重复上面的操作。
        // 如果没有右孩子，这里的 root 就被赋值为 NULL，下一轮循环直接跳过上面的 while，继续出站下一个结点找右子树
    }
}

注：在第一层 while 循环中调用isEmpty函数是因为防止到叶子结点的时候，其左右孩子都为空。当叶子结点的右孩子为空时，内层循环已经结束了，会调用外层的 while 循环，但是栈中可能还有其他元素，处于非空的状态。如果依然使用 root 判断，则会出错。

那么前序遍历我们了解完了，接着就是中序遍历了，中序遍历在顺序上与前序遍历不同，前序遍历是走到哪就打印到哪，而中序遍历需要先完成整个左子树的遍历后再打印，然后再遍历其右子树。

我们还是以上面的二叉树为例：首先需要先不断遍历左子树，走到最底部，但是沿途并不进行打印，而是到底之后，再打印，所以第一个打印的是D，接着由于没有右子树，所以我们回到B，此时再打印B，然后再去看B的右结点E，由于没有左子树和右子树了，所以直接打印E，左边遍历完成，接着回到A，打印A，然后对A的右子树重复上述操作。所以说遍历的基本规则还是一样的，只是打印值的时机发生了改变。

1. 中序遍历左子树
2. 打印结点
3. 中序遍历右子树

所以这棵二叉树的中序遍历结果为：DBEACF，我们可以发现一个规律，就是在某个结点的左子树中所有结点，其中序遍历结果也是按照这样的规律排列的，比如A的左子树中所有结点，中序遍历结果中全部都在A的左边，右子树中所有的结点，全部都在A的右边（这个规律很关键，后面在做一些算法题时会用到）

void inOrder(TNode root){
    StackNode stack;
    initStack(&stack);
    while (root || !isEmpty(&stack)) {       //栈为空且结点为 NULL 终止循环条件
        while (root) {//先不断遍历左子树，直到没有为止
            pushStack(&stack, root);//每经过一个结点，就将接待你放入栈中
            root = root->left;//继续遍历下一个左孩子结点
        }
        TNode node = popStack(&stack);//经过前面循环，左子树全部走完，接着走右子树
        printf("%c", node->element);//打印当前结点元素值
        root = node->right; //得到右孩子，重复上面的操作。
        // 如果没有右孩子，这里的 root 就被赋值为 NULL，下一轮循环直接跳过上面的 while，继续出站下一个结点找右子树
    }
}

---

源代码

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdbool.h>

typedef char E;
typedef struct TreeNode {
    E element;
    struct TreeNode *left, *right;
} TreeNode, *TNode;

typedef TNode T;        //这里栈内元素类型定义为上面Node，也是二叉树结点指针
typedef struct StackNode {
    T element;
    struct StackNode *next;
} StackNode, *SNode;

//非递归操作
void initStack(SNode head) {
    head->next = NULL;
}

bool pushStack(SNode head, T element) {
    SNode node = malloc(sizeof(StackNode));
    if (node == NULL) return 0;
    node->element = element;
    node->next = head->next;
    head->next = node;
    return 1;
}

bool isEmpty(SNode head) {
    return head->next == NULL;
}

T popStack(SNode head) {
    SNode top = head->next;
    T e = head->next->element;
    head->next = head->next->next;
    free(top);
    return e;
}

void perOrder(TNode root) {
    StackNode stack;
    initStack(&stack);
    while (root || !isEmpty(&stack)) {       //栈为空且结点为 NULL 终止循环条件
        while (root) {          //先不断遍历左子树，直到没有为止
            printf("%c", root->element);    //打印当前结点元素值
            pushStack(&stack, root);    //每经过一个结点，就将接待你放入栈中
            root = root->left;      //继续遍历下一个左孩子结点
        }
        TNode node = popStack(&stack);    //经过前面循环，左子树全部走完，接着走右子树
        root = node->right; //得到右孩子，重复上面的操作。
        // 如果没有右孩子，这里的 root 就被赋值为 NULL，下一轮循环直接跳过上面的 while，继续出站下一个结点找右子树
    }
}

void inOrder(TNode root){
    StackNode stack;
    initStack(&stack);
    while (root || !isEmpty(&stack)) {//栈为空且结点为 NULL 终止循环条件
        while (root) {//先不断遍历左子树，直到没有为止
            pushStack(&stack, root);//每经过一个结点，就将接待你放入栈中
            root = root->left;//继续遍历下一个左孩子结点
        }
        TNode node = popStack(&stack);//经过前面循环，左子树全部走完，接着走右子树
        printf("%c", node->element);//打印当前结点元素值
        root = node->right; //得到右孩子，重复上面的操作。
        // 如果没有右孩子，这里的 root 就被赋值为 NULL，下一轮循环直接跳过上面的 while，继续出站下一个结点找右子树
    }
}

int main() {
    TNode a = malloc(sizeof(TreeNode));
    TNode b = malloc(sizeof(TreeNode));
    TNode c = malloc(sizeof(TreeNode));
    TNode d = malloc(sizeof(TreeNode));
    TNode e = malloc(sizeof(TreeNode));
    TNode f = malloc(sizeof(TreeNode));
    a->element = 'A';
    b->element = 'B';
    c->element = 'C';
    d->element = 'D';
    e->element = 'E';
    f->element = 'F';

    a->left = b;
    a->right = c;
    b->left = d;
    b->right = e;
    c->right = f;
    c->left = NULL;
    d->left = d->right = NULL;
    e->left = e->right = NULL;
    f->left = f->right = NULL;

    perOrder(a);
    printf("\n");
    inOrder(a);
}

注：源代码部分均可以运行，复制粘贴即可。

线索二叉树

目的：引入线索二叉树正是为了加快查找结点前驱和后继的速度。

普通二叉树如何查找前驱和后继结点呢？

1. 确定需要找到的结点p。
2. 申请两个结点q和pre，首先q指向第一个结点，而pre指向null，然后遍历二叉树，q指向下一个结点（根据先序、中序和后续的顺序），pre指向q刚刚指向的结点。如此循环往复，直到q指向p
3. 当p和q指针重合时，pre指向p的前驱结点。当pre和p指针重合时，q指向p的后继结点。

实质上还是二叉树的遍历。当一个操作中需要反复寻找某个结点的前驱或者后继时，这样的操作明显效率比较低。因此我们需要一种可以加快查找结点前驱和后继的速度的方法，从而引入了线索二叉树。

二叉链表

typedef int Element;
//二叉树的结点（链式存储）
typedef struct BiTNode {
    Element data;
    struct BiTNode *lchild, *rchild;
} BiTNode, *BiTNode;

线索链表

typedef int Element;
//线索二叉树结点
typedef struct ThreadNode {
    Element data;
    struct BiTNode *lchild, *rchild;
    int ltag, rtag;     //左、右线索标志
} ThreadNode, *ThreadTree;

tag == 0：表示指针指向孩子

Tag == 1：表示指针是"线索"

中序线索二叉树的存储

二叉树的线索化

王道教材版本

//中序线索化
void InThread(ThreadTree p, ThreadTree &pre){
    if(p != NULL){
        InThread(p->lchild, pre);     //递归，线索化左子树
        if(p->lchild == NULL){
            p->lchild = pre;
            p->ltag = 1;
        }
        if(pre != NULL && pre->rchild == NULL){
            pre->rchild = p;
            pre->rtag = 1;
        }
        pre = p;
        InThread(p->rchild, pre);
    }
}

//中序线索化二叉树T
void CreateInThread(ThreadTree T){
    ThreadTree pre = NULL;
    if(T != NULL){          //非空二叉树，线索化
        InThread(T, pre);     //线索二叉树
        pre->rchild = NULL; //处理遍历的最后一个结点
        pre->rtag = 1;
    }
}

课程版本

//中序线索化

typedef char Element;
//线索二叉树结点
typedef struct ThreadNode {
    Element data;
    struct ThreadNode *lchild, *rchild;
    int ltag, rtag;
} ThreadNode, *ThreadTree;

//全局变量 pre，指向当前访问结点的前驱
ThreadNode *pre = NULL;

void visit(ThreadNode *q) {
    if (q->lchild == NULL) { //左子树为空，建立前驱线索
        q->lchild = pre;
        q->ltag = 1;
    }
    if (pre != NULL && pre->rchild == NULL) {
        pre->rchild = q;    //建立前驱结点的后继线索
        pre->rtag = 1;
    }
    pre = q;
}

void  InThread(ThreadTree T){
    if(T != NULL){
        InThread(T->lchild);        //中序遍历左子树
        visit(T);                   //访问根结点
        InThread(T->rchild);        //中序遍历右子树
    }
}

void CreateInThread(ThreadTree T){
    pre = NULL;                 //pre初始为NULL
    if(T != NULL){              //非空二叉树才能线索化
        InThread(T);            //中序线索化二叉树
        if (pre->rchild == NULL){
            pre->rtag = 1;      //处理遍历的最后一个结点
        }
    }
}

线索二叉树 找前驱/后继

树和森林

树的存储

1. 双亲表示法

   这种结构采用一组连续空间来存储每个结点，同时在每个结点中增设一个伪指针，指示其双亲结点在数组中的位置。

   

   双亲表示法的存储结构描述如下：

   #define MAX_TREE_SIZE 100      //树中最多结点数
   typedef int element;
   
   typedef struct {        //树的结点定义
       element data;       //数据元素
       int parent;         //双亲位置域
   } PTNode;
   
   typedef struct {        //树的类型定义
       PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];    //双亲表示
       int n;                          //结点数
   } PTree;

   优点：可以很快地得每个结点的双亲结点。

   缺点：求结点的孩子时则需要遍历整个结构。

2. 孩子表示法

   将每个结点的孩子结点都用单链表连接起来形成一个线性结构。

   

   优点：寻找子女的操作非常直接。

   缺点：寻找双亲的操作需要遍历n个结点中孩子链表指针域所指向的n个孩子链表。

3. 孩子兄弟表示法

   即以二叉链表作为树的存储结构

树与二叉树的应用

哈夫曼树和哈夫曼编码

定义：树中结点常常被赋予一个表示某种意义的数值，称为该结点的权。从树到热一结点的路径长度与该结点上权值的乘积，称为该结点的带权路径长度。树中所有叶结点的带权路径长度之和称为该树的带权路径长度，记为
W P L = ∑ i = 1 n w i l i WPL= \sum_{i=1}^{n} w_i l_i WPL=i=1∑nwili

其中， w i w_i wi表示第 i i i个叶结点所带的权值， l i l_i li是该叶结点到根结点的路径长度。

哈夫曼树构造的特点：

1. 每个初始结点最终都成为叶结点，且权值越小的结点到根结点的路径长度越大。
2. 构造过程中共新建了 n − 1 n-1 n−1个结点（双分支结点），因此哈夫曼树的结点总数为 2 n − 1 2n-1 2n−1。
3. 每次构造都选择 2 2 2棵树作为新结点的孩子，因此哈夫曼树中不存在度为 1 1 1的结点。

并查集

习题总结

⚠️判断完全二叉树 n 1 n_1 n1的值 ⇔ n \Leftrightarrow n ⇔n
n 0 + n 1 + n 2 = 总结点 n n 1 = 0 / 1 n 0 = n 2 + 1 n_0 + n_1 + n_2 = 总结点n\\ n_1 = 0/1\\ n_0 = n_2 + 1 n0+n1+n2=总结点nn1=0/1n0=n2+1

由完全二叉树的性质可知，度为 1 的结点要么只有一个，要么就没有。

结合 n 0 = n 2 + 1 n_0 = n_2 + 1 n0=n2+1公式可知：如果 n 0 n_0 n0为偶数 ⇒ n 2 \Rightarrow n_2 ⇒n2为奇数；如果 n 0 n_0 n0为奇数 ⇒ n 2 \Rightarrow n_2 ⇒n2为偶数；所以 n 0 + n 2 n_0 + n_2 n0+n2一定为奇数。

用上面解释可知： n = n 0 + n 1 + n 2 n = n_0 + n_1 + n_2 n=n0+n1+n2的奇偶性与 n 1 n_1 n1有关。然而 n 1 = 0 / 1 n_1 = 0/1 n1=0/1。

如果 n 1 = 0 n_1 = 0 n1=0，那么 n n n为奇数；如果 n 1 = 1 n_1 = 1 n1=1，那么 n n n为偶数；反之如果 n n n为偶数，那么 n 1 = 1 n_1 = 1 n1=1；如果 n n n为奇数，那么 n 1 = 0 n_1 = 0 n1=0。

e g : eg: eg:一棵完全二叉树上有 1001 个结点，其中叶结点的个数是 ( D ) (D) (D)

A . 250 A.250 A.250 B . 500 B.500 B.500 C . 254 C.254 C.254 D . 501 D.501 D.501

解： n = 1001 n = 1001 n=1001为奇数，则 n 1 = 0 n_1 = 0 n1=0，那么 n = n 0 + n 1 + n 2 = n 0 + n 2 = n 0 + ( n 0 − 1 ) = 2 n 0 − 1 = 1001 n = n_0 + n_1 + n_2 = n_0 + n_2 = n_0 + (n_0 - 1) = 2n_0 - 1 = 1001 n=n0+n1+n2=n0+n2=n0+(n0−1)=2n0−1=1001，解得 n = 501 n = 501 n=501。

e g : eg: eg:【2016年全国试题】若森林F有15条边、25个结点，则F包含树的个数是 （ C ） （C） （C）

A . 8 A.8 A.8 B . 9 B.9 B.9 C . 10 C.10 C.10 D . 11 D.11 D.11

解：树的结点数n，边数（分支数）B有确定的关系 n = B + 1 n = B + 1 n=B+1，森林是不相交的树的集合，则森林的结点数 F n = ∑ T i = ∑ ( B i + 1 ) F_n = \sum T_i = \sum(B_i + 1) Fn=∑Ti=∑(Bi+1)，其中 T i T_i Ti就是森林中第 i i i棵树的结点数， B I B_I BI是森林中第 i i i棵树的分支。设森林中有 m m m棵树，则 F n = ∑ B i + m F_n = \sum B_i + m Fn=∑Bi+m，即 25 = 15 + m 25 = 15 + m 25=15+m，即森林中有10棵树。