【C++类的继承、父子类】牛顿插值公式求近似值

/**
 * @file            
 * @author			jUicE_g2R(qq:3406291309)------------彬(bin-必应)
 *						通信与信息专业大二在读	
 * 
 * @brief			Microsoft 源代码注释语言 SAL
 * 
 * @copyright		2023.10
 * @COPYRIGHT			 原创技术笔记：转载需获得博主本人同意，且需标明转载源
 *
 * @language        C/C++
 *
 * @IDE			   Base on Microsoft Visual Studio 2022
 */

数据

i i i	x i x_i xi	F x i Fx_i Fxi	一阶	二阶	三阶
0	121	11
1	144	12	1 23 \frac{1}{23} 231
2	169	13	1 25 \frac{1}{25} 251	− 1 13800 -\frac{1}{13800} −138001
3	196	14	1 27 \frac{1}{27} 271	− 1 17550 -\frac{1}{17550} −175501	≈ 2.06449 ∗ 1 0 − 7 2.06449*10^{-7} 2.06449∗10−7

公式

一阶差商 F x i − 1 , x i = F x i − 1 − F x i x i − 1 − x i Fx_{i-1},x_i=\frac{Fx_{i-1}-Fx_i}{x_{i-1}-x_i} Fxi−1,xi=xi−1−xiFxi−1−Fxi

F x 0 , x 1 ) = F x 0 − F x 1 x 0 − x 1 = 11 − 12 121 − 144 = − 1 − 23 = 1 23 Fx_0,x_1)=\frac{Fx_0-Fx_1}{x_0-x_1}=\frac{11-12}{121-144}=\frac{-1}{-23}=\frac{1}{23} Fx0,x1)=x0−x1Fx0−Fx1=121−14411−12=−23−1=231

二阶差商 F x i − 2 , x i − 1 , x i = F x i − 2 , x i − 1 − F x i − 1 , x i x i − 2 − x i ] Fx_{i-2},x_{i-1},x_i=\frac{Fx_{i-2},x_{i-1}-Fx_{i-1},x_i}{x_{i-2}-x_i]} Fxi−2,xi−1,xi=xi−2−xi]Fxi−2,xi−1−Fxi−1,xi

F x 0 , x 1 , x 2 = F x 0 , x 1 − F x 1 , x 2 x 0 − x 2 = 1 23 − 1 25 121 − 169 = 2 575 − 48 = − 1 13800 Fx_0,x_1,x_2=\frac{Fx_0,x_1-Fx_1,x_2}{x_0-x_2}=\frac{\frac{1}{23}-\frac{1}{25}}{121-169}=\frac{\frac{2}{575}}{-48}=-\frac{1}{13800} Fx0,x1,x2=x0−x2Fx0,x1−Fx1,x2=121−169231−251=−485752=−138001

三阶差商 F x i − 3 , x i − 2 , x i − 1 , x i = F x i − 3 , x i − 2 , x i − 1 − F x i − 2 , x i − 1 , x i x i − 3 − x i ] Fx_{i-3},x_{i-2},x_{i-1},x_i=\frac{Fx_{i-3},x_{i-2},x_{i-1}-Fx_{i-2},x_{i-1},x_i}{x_{i-3}-x_i]} Fxi−3,xi−2,xi−1,xi=xi−3−xi]Fxi−3,xi−2,xi−1−Fxi−2,xi−1,xi

牛顿插值公式

C++代码实现

//牛顿插值
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define NUMSIZE 10
double FX[NUMSIZE][2] = { {121,11},{144,12},{169,13},{196,14} };						//第一个存x，第二个存y；fx=√x
bool AddFlag;
void Add(int x, int y, int loc) { FX[loc][0] = x;		FX[loc][1] = y; }

class InEquality {																		//求均差
public:
	double ValidDif[NUMSIZE];															//返回公式要用的值double Valid[NUMSIZE];
	void RetDev(int xNum) {
		_xNum = xNum;
		if (!AddFlag) {
			for (int i = 1; i < xNum; i++) {											//从一阶差商（均差）开始
				_order = i;
				GetVal();
			}
		}
		else {
			_order = xNum;
			GetVal();
		}
	}
private:
	int _xNum, _order;
	double dif[NUMSIZE][NUMSIZE];														//第一个存阶乘数。第二个存均差
	void GetVal() {
		int st_i = _order;
		if (_order == 1) {																//求一阶差商
			for (int i = st_i; i < _xNum; i++) {
				dif[_order][i] = (FX[i - 1][1] - FX[i][1]) / (FX[i - 1][0] - FX[i][0]);	//(Fx_i - Fx_i+1)/(x_i - x_i+1)
			}
		}
		else {
			for (int i = st_i; i < _xNum; i++) {										//求非一阶差商
				dif[_order][i] = (dif[_order - 1][i - 1] - dif[_order - 1][i]) / (FX[i - _order][0] - FX[i][0]);
			}
		}
		ValidDif[_order] = dif[_order][_order];
	}
};


class DeltaRide {
public:
	double DR[NUMSIZE] = {1};
	void RetRes(int xNum, int x) {
		_xNum = xNum;		_x = x;
		GetVal();
	}
private:
	int _xNum, _x;
	void GetVal(void) {
		for (int i = 1; i < _xNum; i++) {
			DR[i] = DR[i - 1] * (_x - FX[i - 1][0]);
		}
	}
};


class Newton :public InEquality, public DeltaRide {										//继承 两个父类 中 public范围 的 数据以及函数
public:
	double RetNWT(int xNum) {
		_xNum = xNum;
		return Merge();
	}
private:
	double _Nx;
	int _xNum;
	double Merge(void){
		_Nx = DR[0] * FX[0][1];
		for (int i = 1; i < _xNum; i++) {
			_Nx += DR[i] * ValidDif[i];
		}
		return _Nx;
	}
};


void Display(int n) {
	cout << "====================" << endl;
	cout << "编号	x     y" << endl;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cout << i << "     " << FX[i][0] << "     " << FX[i][1] << endl;
	}
	cout << "====================" << endl;
}

int main(int* argc, char* argv[]) {
	int n = 4;
	AddFlag = false;
	
	Display(n);

	int x;		cout << "请输入数据："; cin >> x;
	Newton Nx;
	Nx.RetDev(n);
	Nx.RetRes(n, x);
	cout << "√" << x << "=" << Nx.RetNWT(n);

	//...AddFlag=true，向数据模型继续补充，使误差更小
	return 0;
}

结果展示

分析

这样数据已经非常逼近了，可以继续Add数据，使模型更贴合√x函数曲线，减小计算得到值的误差