线性代数 第三章 向量

一、运算

加法、数乘、内积

施密特正交化

二、线性表出

概念:如果,则称可由线性表出(k不要求不全为0)

判定:

  • 非齐次线性方程组有解
  • 无关,相关

如果两个向量组可以互相线性表出,则称这两个向量组等价。向量组等价,向量组的秩相等(反过来不成立,秩相等向量组未必等价)。经过初等变换向量组的秩不变。

三、线性相关

概念:若存在不全为0的使

充要条件:

  • 齐次线性方程组有非零解
  • 某个可由线性表出

n个n维向量线性相关的充分必要条件是行列式

充分条件:

  • n+1个n维向量
  • 多数向量能用少数向量表示

部分组相关整体组相关;整体组无关部分组无关。多数向量能用少数向量线性表出,则多数向量一定线性相关。

四、线性无关

概念:如果,则必有

充要条件:

  • 只有零解
  • 不能由其余的向量表示

充分条件:

  • 阶梯型向量组

五、极大线性无关组

在向量组中,若存在r个向量线性相关,再加进任何一个向量,向量组线性相关,则称向量组是向量组的一个极大线性无关组。(小向量组是大向量组的极大线性无关组)

六、向量组的秩

向量组的极大线性无关组中所含向量的个数r,称为这个向量组的

七、施密特正交化

设向量组线性无关,其正交规范化方法步骤如下:

两两正交。再将单位化,取

是正交规范向量组(即两两正交且均是单位向量)。

八、向量空间(仅数学一要求)

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