线性代数

齐次变换矩阵运算例子，

线性代数-3Blue1Brown《线性代数的本质》行列式（7）传统教材对“行列式”缺乏直观解释，我们往往只是机械地计算行列式的值，对它的真实含义却一无所知。本文在理解3Blue1Brown《线性代数的本质》行列式后，记录学习笔记，总结行列式的本质。

人工智能之数学基础线性代数：第一章向量与矩阵第一章向量与矩阵线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于机器学习、计算机图形学、物理学、工程等领域。本文将系统介绍向量与矩阵的基本概念、运算规则，并提供 Python（NumPy）实现代码。

simon_skywalker

线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章矩阵代数 2.3 可逆矩阵的特征(2)定理 8（可逆矩阵定理）设 AAA 为 n×nn \times nn×n 矩阵，则下列命题是等价的，即对某一特定的 AAA，它们同时为真或同时为假.

simon_skywalker

线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章矩阵代数 2.4 分块矩阵(1)[!CAUTION]定理 10（ABABAB 的行展开）若 AAA 是 m×nm \times nm×n 矩阵，BBB 是 n×pn \times pn×p 矩阵，则 AB=[col1(A)col2(A)⋯coln(A)][row1(B)row2(B)⋮rown(B)](1) AB = \begin{bmatrix} \mathrm{col}_1(A) & \mathrm{col}_2(A) & \cdots & \mathrm{col}_n(A) \end{bmatrix} \begin{bmatri

simon_skywalker

线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章矩阵代数 2.3 可逆矩阵的特征(1)[!CAUTION]定理 8（可逆矩阵定理）设 AAA 为 n×nn \times nn×n 矩阵，则下列命题是等价的，即对某一特定的 AAA，它们同时为真或同时为假.

黑色的山岗在沉睡

滤波算法数学前置——线性化线性系统：应符合叠加原理。若对于系统 x ˙ = f ( x ) \dot x = f(x) x˙=f(x)，有：

线性代数核心概念：正定矩阵、合同矩阵与正交矩阵在线性代数中，正定矩阵、合同矩阵和正交矩阵是三个关键概念，它们在数学理论和应用领域中扮演着重要角色。本文将系统性地总结这些概念的定义、性质以及相互关系，并探讨实对称矩阵的特殊性质。

勇气要爆发

【第一阶段—数学基础】第六章：AI数学入门：线性代数基础—变形金刚的骨架生活类比：向量就像是"带方向的箭头"为什么AI需要向量？公式：计算步骤：几何意义：向量夹角的余弦值为什么"苹果"和"香蕉"相似？

simon_skywalker

线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章矩阵代数 2.2 矩阵的逆(1)解答： a. 计算行列式： det⁡[3−926]=3×6−(−9)×2=18+18=36 \det\begin{bmatrix} 3 & -9 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} = 3 \times 6 - (-9) \times 2 = 18 + 18 = 36 det[32−96]=3×6−(−9)×2=18+18=36 行列式不等于零，故矩阵可逆。

simon_skywalker

线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章矩阵代数 2.2 矩阵的逆(2)定理 5：若 $ n \times n $ 矩阵 $ A $ 可逆，则齐次线性方程组 $ A\mathbf{x} = \mathbf{0} $ 仅有零解。

simon_skywalker

线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章矩阵代数 2.4 分块矩阵(2)解答： G k G_k Gk 的列行展开为： G k = X k X k T = ∑ i = 1 k col i ( X k ) row i ( X k T ) = ∑ i = 1 k x i x i T G_k = X_k X_k^T = \sum_{i=1}^k \text{col}_i(X_k) \text{row}_i(X_k^T) = \sum_{i=1}^k x_i x_i^T Gk=XkXkT=i=1∑kcoli(Xk)rowi(XkT)=i=1∑kxixiT

乐观甜甜圈

线性代数入门讲解：第一部分：向量与矩阵运算定义：向量是一组有序的数，可以表示空间中的方向和大小。列向量：行向量：1. 向量加法对应分量相加：示例：

simon_skywalker

线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章矩阵代数 2.1 矩阵运算(2)。解答：列关系：设 BBB 的最后一列为 bpb_pbp，则 Abp=0Ab_p = \mathbf{0}Abp=0。由 bp≠0b_p \neq \mathbf{0}bp=0，说明 AAA 的列向量线性相关（存在非零组合使结果为零）。

simon_skywalker

线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章线性代数中的线性方程组 1.8 线性变换介绍(1)解答：对于线性变换 T:Rn→RmT: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^mT:Rn→Rm，若 T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax，则矩阵 AAA 必须是 m×nm \times nm×n 矩阵。这里定义域是 R5\mathbb{R}^5R5，所以 n=5n = 5n=5；余定义域是 R2\mathbb{R}^2R2，所以 m=2m = 2m=2。 AAA 必须有 5 列，才能与 R5\mathbb{R}^5R5 中的向量 xxx 相乘； AAA 必须有 2 行，才能

11.2 范数和条件数我们要如何衡量一个矩阵的大小呢？对于一个向量 x\boldsymbol xx，它的长度是 ∣∣x∣∣||\boldsymbol x||∣∣x∣∣，对于一个矩阵 AAA，它的范数（norm）是 ∣∣A∣∣||A||∣∣A∣∣. “范数” 有时也会用在向量上，此时表示的就是向量的长度；对于矩阵，使用的就是范数来衡量矩阵的大小，而矩阵的范数 ∣∣A∣∣||A||∣∣A∣∣ 有很多不同的定义。下面举一些例子，这里选用一种方式来表示矩阵范数。弗罗贝尼乌斯（Frobenius\textrm{Frobenius}F

simon_skywalker

线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章线性代数中的线性方程组 1.8 线性变换介绍(2)解答：根据线性变换的定义： T(x)=x1v1+x2v2=[v1v2][x1x2]T(x) = x_1v_1 + x_2v_2 = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}T(x)=x1v1+x2v2=[v1v2][x1x2] 将 v1v_1v1 和 v2v_2v2 作为矩阵 AAA 的列向量： A=[v1v2]=[−275−3]A = \begin{bmatrix} v_1 & v_2

simon_skywalker

线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章矩阵代数 2.1 矩阵运算(1)解答：计算 AxAxAx： Ax=[1−3−24][53]=[1⋅5+(−3)⋅3(−2)⋅5+4⋅3]=[−42] Ax = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + (-3) \cdot 3 \\ (-2) \cdot 5 + 4 \cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \

线代第二章矩阵第三课：矩阵乘法矩阵乘法是矩阵运算中最核心且规则特殊的运算，与普通数的乘法差异较大，其结果是一个新矩阵，且有严格的运算前提。

线性代数第一章—向量空间及其性质高中学过，有大小，有方向的量称为向量，比如力、速度、加速度等，可用有向线段来表示向量。相对于高中课程，线性代数中向量的定义会更加严格：我们会尽量使用列向量来表示向量，这样更符合线性代数的习惯。我们可以通过画图来表示二维向量/三维向量的几何意义是什么。当然三维向量也是一样：对于零向量：