线性代数

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线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章矩阵代数 2.1 矩阵运算(2)。解答：列关系：设 BBB 的最后一列为 bpb_pbp，则 Abp=0Ab_p = \mathbf{0}Abp=0。由 bp≠0b_p \neq \mathbf{0}bp=0，说明 AAA 的列向量线性相关（存在非零组合使结果为零）。

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线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章线性代数中的线性方程组 1.8 线性变换介绍(1)解答：对于线性变换 T:Rn→RmT: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^mT:Rn→Rm，若 T(x)=AxT(x) = AxT(x)=Ax，则矩阵 AAA 必须是 m×nm \times nm×n 矩阵。这里定义域是 R5\mathbb{R}^5R5，所以 n=5n = 5n=5；余定义域是 R2\mathbb{R}^2R2，所以 m=2m = 2m=2。 AAA 必须有 5 列，才能与 R5\mathbb{R}^5R5 中的向量 xxx 相乘； AAA 必须有 2 行，才能

11.2 范数和条件数我们要如何衡量一个矩阵的大小呢？对于一个向量 x\boldsymbol xx，它的长度是 ∣∣x∣∣||\boldsymbol x||∣∣x∣∣，对于一个矩阵 AAA，它的范数（norm）是 ∣∣A∣∣||A||∣∣A∣∣. “范数” 有时也会用在向量上，此时表示的就是向量的长度；对于矩阵，使用的就是范数来衡量矩阵的大小，而矩阵的范数 ∣∣A∣∣||A||∣∣A∣∣ 有很多不同的定义。下面举一些例子，这里选用一种方式来表示矩阵范数。弗罗贝尼乌斯（Frobenius\textrm{Frobenius}F

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线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章线性代数中的线性方程组 1.8 线性变换介绍(2)解答：根据线性变换的定义： T(x)=x1v1+x2v2=[v1v2][x1x2]T(x) = x_1v_1 + x_2v_2 = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}T(x)=x1v1+x2v2=[v1v2][x1x2] 将 v1v_1v1 和 v2v_2v2 作为矩阵 AAA 的列向量： A=[v1v2]=[−275−3]A = \begin{bmatrix} v_1 & v_2

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线性代数及其应用习题答案(中文版)第二章矩阵代数 2.1 矩阵运算(1)解答：计算 AxAxAx： Ax=[1−3−24][53]=[1⋅5+(−3)⋅3(−2)⋅5+4⋅3]=[−42] Ax = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 5 + (-3) \cdot 3 \\ (-2) \cdot 5 + 4 \cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \

线代第二章矩阵第三课：矩阵乘法矩阵乘法是矩阵运算中最核心且规则特殊的运算，与普通数的乘法差异较大，其结果是一个新矩阵，且有严格的运算前提。

线性代数第一章—向量空间及其性质高中学过，有大小，有方向的量称为向量，比如力、速度、加速度等，可用有向线段来表示向量。相对于高中课程，线性代数中向量的定义会更加严格：我们会尽量使用列向量来表示向量，这样更符合线性代数的习惯。我们可以通过画图来表示二维向量/三维向量的几何意义是什么。当然三维向量也是一样：对于零向量：

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线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章线性代数中的线性方程组 1.9 线性变换的矩阵您说得对，我应该按照约定的格式提供完整详细的解答。请允许我重新整理这两道题目：解答：首先，确定剪切变换 SSS 的标准矩阵：

不穿格子的程序员

从零开始写算法——矩阵类题：图像旋转 + 搜索二维矩阵 II在力扣（LeetCode）等算法平台上，矩阵操作是考察频率极高的一类题目。这类题目往往不依赖复杂的高级数据结构，而是考验我们对数组下标变换的数学敏感度以及逻辑剪枝的能力。

伟大的跨越：从超距作用到时空运动——牛顿与张祥前引力场方程的终极对比引力，这个宇宙中最古老、最普遍的力量，其本质到底是什么？在人类科学史上，两个看似相似的方程，却承载着完全不同的宇宙观：

线代第一章行列式第八课：克莱姆法则（Cramer法则）克莱姆法则是求解 n 阶线性方程组的重要方法，核心是通过行列式判断方程组解的存在性、唯一性，并直接用行列式表示解。以下是完整且步骤清晰的证明过程：

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线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章线性代数中的线性方程组 1.7线性无关(2)解答：齐次方程 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 总是有平凡解（即 x=0\mathbf{x} = \mathbf{0}x=0），但矩阵各列线性无关当且仅当方程只有平凡解。命题中“有平凡解”这一条件不排除存在非平凡解的可能性，因此不能推出各列线性无关。例如，考虑矩阵 A=[1224]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}A=[1224]，方程 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 有平凡

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线性代数及其应用习题答案(中文版)第一章线性代数中的线性方程组 1.7 线性无关(1)解答： a. 两个向量线性无关当且仅当它们不成比例（即不存在标量 kkk 使得一个向量是另一个的 kkk 倍）。

Arduino UNO Q 矩阵绘画器本示例是一个基于Arduino UNO Q和Web界面的LED矩阵绘画应用，支持通过浏览器实时绘制图案并在Arduino硬件上显示。将Arduino UNO Q的内置13×8 LED矩阵变成一个可编程的画板，为用户提供位图编码工具方便开发。

深度学习预备知识：数据操作、线性代数与微积分基础作为入门深度学习的第一步，扎实的数学和数据操作基础必不可少。这篇笔记整理了深度学习核心的预备知识，涵盖数据结构、线性代数、降维方法和微积分等内容，是入门的“打底”内容。

【线性代数\矩阵论】最小二乘估计详解：普通最小二乘与加权最小二乘最小二乘估计是参数估计和系统辨识中最基础且广泛应用的方法。其核心思想是通过最小化预测误差的平方和来估计模型参数。根据噪声特性和应用需求，主要分为普通最小二乘(OLS)和加权最小二乘(WLS)。

phoenix@Capricornus

矩阵前乘&矩阵后乘在2000年前，矩阵乘法的规范是行向量表示（矩阵后乘），其实这种表示更符合信号变换的基向量展开公式，但是2000年后，规范就改为了列向量表示（矩阵前乘），在两年前MATLAB将最后没改部分也改成了列向量表示。虽然我不知道为什么改成列向量表示，我也无所谓规范是矩阵后乘还是矩阵前乘，但是规范才能让我们更方便交流，就像洗衣机的高度都是一样的，方便装修的道理是一样的。然而，python中矩阵向量乘积用的是行向量表示方式，又带回了2000年前，那些数学基础不好的，又表达不清楚的，就会让这个世界很混乱。

kingmax54212008

高中数学教师资格面试试讲稿：《直线的位置关系（例2）》师：同学们，大家好！请坐。在上节课中，我们已经学习了直线的一般式方程 ( Ax + By + C = 0 )，并且知道两条直线在平面上有三种位置关系：相交、平行、重合。那么，如何通过直线的方程来判断它们的位置关系呢？今天，我们就通过一个具体的例题来探讨这个问题——《直线的位置关系（例2）》。

洛谷 U311289 矩阵距离给定一个 N 行 M 列的 01 矩阵 A，A[i][j] 与 A[k][l] 之间的曼哈顿距离定义为：

不穿格子的程序员

从零开始写算法——矩阵类题：矩阵置零 + 螺旋矩阵在算法面试和日常练习中，矩阵（二维数组）类的题目出现频率非常高。这类题目通常不涉及特别复杂的数据结构，考察的重点往往是空间优化技巧和逻辑模拟能力。