三维向量旋转
- 问题描述
- 问题分析
- [v ⃗ ∣ ∣ \vec{v}{||} v ∣∣的旋转](#v ⃗ ∣ ∣ \vec{v}{||} v ∣∣的旋转)
- [v ⃗ ⊥ \vec{v}{\bot} v ⊥的旋转](#v ⃗ ⊥ \vec{v}{\bot} v ⊥的旋转)
- [v ⃗ \vec{v} v 的旋转](#v ⃗ \vec{v} v 的旋转)
- 结论
- 致谢
问题描述
如图1所示，设一个向量 v ⃗ \vec{v} v 绕另一个向量 u ⃗ = [ x , y , z ] T \vec{u}=[x,y,z]^{T} u =[x,y,z]T旋转 θ 度，变换到 v ⃗ ′ \vec{v}^{'} v ′。
求旋转后得到的向量 v ⃗ ′ \vec{v}^{'} v ′的表示形式。
图1 三维向量旋转示意图
问题分析
由于转轴 u ⃗ \vec{u} u 的模长 ∣ ∣ u ⃗ ∣ ∣ ||\vec{u}|| ∣∣u ∣∣对旋转结果没有影响，所以可以假设 ∣ ∣ u ⃗ ∣ ∣ = 1 ||\vec{u}||=1 ∣∣u ∣∣=1。
可以将 v ⃗ \vec{v} v 分解为平行于旋转轴 u ⃗ \vec{u} u 以及正交（垂直）于 u ⃗ \vec{u} u 的两个分量， v ⃗ ∣ ∣ \vec{v}{||} v ∣∣和 v ⃗ ⊥ \vec{v}{\bot} v ⊥，即 v ⃗ = v ⃗ ∣ ∣ + v ⃗ ⊥ \vec{v}=\vec{v}{||}+\vec{v}{\bot} v =v ∣∣+v ⊥
可以分别旋转这两个分向量，再将它们旋转的结果相加获得旋转后的向量
v ⃗ ′ = v ⃗ ∣ ∣ ′ + v ⃗ ⊥ ′ \vec{v}^{'}=\vec{v}{||}^{'}+\vec{v}{\bot}^{'} v ′=v ∣∣′+v ⊥′
图2 将 v ⃗ \vec{v} v 分解为平行于旋转轴 u ⃗ \vec{u} u 以及正交（垂直）于 u ⃗ \vec{u} u 的两个分量
可以看到， v ⃗ ∣ ∣ \vec{v}{||} v ∣∣其实就是 v ⃗ \vec{v} v 在 u ⃗ \vec{u} u 上的正交投影，根据正交投影的公式，可以得出：
v ⃗ ∣ ∣ = u ⃗ ⋅ v ⃗ u ⃗ ⋅ u ⃗ u ⃗ = u ⃗ ⋅ v ⃗ ∣ ∣ u ⃗ ∣ ∣ 2 u ⃗ \vec{v}{||} = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{u}\cdot\vec{u}}\vec{u}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{||\vec{u}||^{2}}\vec{u} v ∣∣=u ⋅u u ⋅v u =∣∣u ∣∣2u ⋅v u
根据 ∣ ∣ u ⃗ ∣ ∣ = 1 ||\vec{u}||=1 ∣∣u ∣∣=1，可得： v ⃗ ∣ ∣ = ( u ⃗ ⋅ v ⃗ ) u ⃗ \vec{v}{||} = (\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{u} v ∣∣=(u ⋅v )u
因为 v ⃗ = v ⃗ ∣ ∣ + v ⃗ ⊥ \vec{v}=\vec{v}{||}+\vec{v}{\bot} v =v ∣∣+v ⊥，所以： v ⃗ ⊥ = v ⃗ − v ⃗ ∣ ∣ = v ⃗ − ( u ⃗ ⋅ v ⃗ ) u ⃗ \vec{v}{\bot} =\vec{v}-\vec{v}{||} =\vec{v}-(\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{u} v ⊥=v −v ∣∣=v −(u ⋅v )u
分别求 v ⃗ ∣ ∣ \vec{v}{||} v ∣∣和 v ⃗ ⊥ \vec{v}_{\bot} v ⊥的旋转结果就能得到 v ⃗ \vec{v} v 的旋转结果。
v ⃗ ∣ ∣ \vec{v}_{||} v ∣∣的旋转
这种情况其实非常简单，从图2中就可以看到， v ⃗ ∣ ∣ \vec{v}_{||} v ∣∣其实根本就没有被旋转，仍然与旋转轴 u ⃗ \vec{u} u 重合，所以：
当 v ⃗ ∣ ∣ \vec{v}{||} v ∣∣平行于旋转轴 u ⃗ \vec{u} u 时，旋转 θ 角度之后的 v ⃗ ∣ ∣ ′ \vec{v}{||}^{'} v ∣∣′为： v ⃗ ∣ ∣ ′ = v ⃗ ∣ ∣ \vec{v}{||}^{'}=\vec{v}{||} v ∣∣′=v ∣∣
v ⃗ ⊥ \vec{v}_{\bot} v ⊥的旋转
因为 v ⃗ ⊥ \vec{v}{\bot} v ⊥与 u ⃗ \vec{u} u 的是正交的，这个旋转可以看做是平面内的一个旋转。因为旋转不改变 v ⃗ ⊥ \vec{v}{\bot} v ⊥的长度，所以旋转路径是一个圆。下面是这个旋转的示意图，右侧的为俯视图：
图3 v ⃗ \vec{v} v 绕轴 u ⃗ \vec{u} u 旋转的俯视图
现在，3D 的旋转被转化为了 2D 平面上的旋转．由于在这个平面上们只有一个向量 v ⃗ ⊥ \vec{v}{\bot} v ⊥，用它来表示一个旋转是不够的，还需要构造一个同时正交于 u ⃗ \vec{u} u 和 v ⃗ ⊥ \vec{v}{\bot} v ⊥的向量 w ⃗ \vec{w} w ，这个可以通过叉乘来获得：
w ⃗ = u ⃗ × v ⃗ ⊥ \vec{w}=\vec{u}×\vec{v}{\bot} w =u ×v ⊥
注意叉乘的顺序，因为使用的是右手坐标系统，按照右手定则可以发现这个新的向量 w ⃗ \vec{w} w 指向 v ⃗ ⊥ \vec{v}{\bot} v ⊥逆时针旋转 𝜋/2 后的方向，并且和 v ⃗ ⊥ \vec{v}{\bot} v ⊥一样也处于正交于 u ⃗ \vec{u} u 的平面内．因为 ∣ ∣ u ⃗ ∣ ∣ = 1 ||\vec{u}||=1 ∣∣u ∣∣=1，可以发现 ∣ ∣ w ⃗ ∣ ∣ = ∣ ∣ u ⃗ × v ⃗ ⊥ ∣ ∣ = ∣ ∣ u ⃗ ∣ ∣ ⋅ ∣ ∣ v ⃗ ⊥ ∣ ∣ ⋅ s i n ( π / 2 ) = ∣ ∣ v ⃗ ⊥ ∣ ∣ ||\vec{w}||=||\vec{u}×\vec{v}{\bot}||=||\vec{u}||\cdot||\vec{v}{\bot}||\cdot sin(\pi/2)=||\vec{v}{\bot}|| ∣∣w ∣∣=∣∣u ×v ⊥∣∣=∣∣u ∣∣⋅∣∣v ⊥∣∣⋅sin(π/2)=∣∣v ⊥∣∣
也就是说， w ⃗ \vec{w} w 和 v ⃗ ⊥ \vec{v}{\bot} v ⊥的模长是相同的，所以， w ⃗ \vec{w} w 也位于圆上．有了这个新的向量 w ⃗ \vec{w} w ，就相当于在平面内有了两个坐标轴．我们现在可以把 v ⃗ ⊥ ′ \vec{v}{\bot}^{'} v ⊥′投影到 w ⃗ \vec{w} w 和 v ⃗ ⊥ \vec{v}{\bot} v ⊥上，将其分解为 v ⃗ v ′ \vec{v}{v}^{'} v v′和 v ⃗ w ′ \vec{v}{w}^{'} v w′。使用三角学的知识就能得到： v ⃗ ⊥ ′ = v ⃗ v ′ + v ⃗ w ′ = c o s ( θ ) v ⃗ ⊥ + s i n ( θ ) w ⃗ = c o s ( θ ) v ⃗ ⊥ + s i n ( θ ) ( u ⃗ × v ⃗ ⊥ ) \vec{v}{\bot}^{'}=\vec{v}{v}^{'}+\vec{v}{w}^{'}=cos(\theta)\vec{v}{\bot}+sin(\theta)\vec{w}=cos(\theta)\vec{v}{\bot}+sin(\theta)(\vec{u}×\vec{v}{\bot}) v ⊥′=v v′+v w′=cos(θ)v ⊥+sin(θ)w =cos(θ)v ⊥+sin(θ)(u ×v ⊥)
这也就完成了旋转的第二步，可以得到这样一个定理：
当 v ⃗ ⊥ \vec{v}{\bot} v ⊥正交于旋转轴 u ⃗ \vec{u} u 时，旋转 θ 角度之后的 v ⃗ ⊥ ′ \vec{v}{\bot}^{'} v ⊥′为： v ⃗ ⊥ ′ = c o s ( θ ) v ⃗ ⊥ + s i n ( θ ) ( u ⃗ × v ⃗ ⊥ ) \vec{v}{\bot}^{'}=cos(\theta)\vec{v}{\bot}+sin(\theta)(\vec{u}×\vec{v}{\bot}) v ⊥′=cos(θ)v ⊥+sin(θ)(u ×v ⊥)
v ⃗ \vec{v} v 的旋转
将上面的两个结果组合就可以获得 v ⃗ ′ = v ⃗ ∣ ∣ ′ + v ⃗ ⊥ ′ = v ⃗ ∣ ∣ + c o s ( θ ) v ⃗ ⊥ + s i n ( θ ) ( u ⃗ × v ⃗ ⊥ ) \vec{v}^{'}=\vec{v}{||}^{'}+\vec{v}{\bot}^{'}=\vec{v}{||}+cos(\theta)\vec{v}{\bot}+sin(\theta)(\vec{u}×\vec{v}_{\bot}) v ′=v ∣∣′+v ⊥′=v ∣∣+cos(θ)v ⊥+sin(θ)(u ×v ⊥)
因为叉乘遵守分配律，
u ⃗ × v ⃗ ⊥ = u ⃗ × ( v ⃗ − v ⃗ ∥ ∣ ) = u ⃗ × v ⃗ − u ⃗ × v ⃗ ∥ ∣ = u ⃗ × v ⃗ \vec{u}×\vec{v}{\bot}= \vec{u}×(\vec{v}-\vec{v}{\||})= \vec{u}×\vec{v}-\vec{u}×\vec{v}_{\||}= \vec{u}×\vec{v} u ×v ⊥=u ×(v −v ∥∣)=u ×v −u ×v ∥∣=u ×v
最后，将 v ⃗ ∣ ∣ = ( u ⃗ ⋅ v ⃗ ) u ⃗ \vec{v}{||} = (\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{u} v ∣∣=(u ⋅v )u 与 v ⃗ ⊥ = v ⃗ − ( u ⃗ ⋅ v ⃗ ) u ⃗ \vec{v}{\bot} =\vec{v}-(\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{u} v ⊥=v −(u ⋅v )u 代入 v ⃗ ′ = ( u ⃗ ⋅ v ⃗ ) u ⃗ + c o s ( θ ) ( v ⃗ − ( u ⃗ ⋅ v ⃗ ) u ⃗ ) + s i n ( θ ) ( u ⃗ × v ⃗ ) = c o s ( θ ) v ⃗ + ( 1 − c o s ( θ ) ) ( u ⃗ ⋅ v ⃗ ) u ⃗ + s i n ( θ ) ( u ⃗ × v ⃗ ) \vec{v}^{'}= (\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{u}+cos(\theta)(\vec{v}-(\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{u})+sin(\theta)(\vec{u}×\vec{v}) \\=cos(\theta)\vec{v}+(1-cos(\theta))(\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{u}+sin(\theta)(\vec{u}×\vec{v}) v ′=(u ⋅v )u +cos(θ)(v −(u ⋅v )u )+sin(θ)(u ×v )=cos(θ)v +(1−cos(θ))(u ⋅v )u +sin(θ)(u ×v )
结论
3D 向量旋转公式（向量型，一般情况，也叫做「Rodrigues' Rotation Formula」）
3D 空间中任意一个向量 v ⃗ \vec{v} v 沿着单位向量 u ⃗ \vec{u} u 旋转 θ 角度之后得到的向量 v ⃗ ′ \vec{v}^{'} v ′为：
v ⃗ ′ = c o s ( θ ) v ⃗ + ( 1 − c o s ( θ ) ) ( u ⃗ ⋅ v ⃗ ) u ⃗ + s i n ( θ ) ( u ⃗ × v ⃗ ) \vec{v}^{'}=cos(\theta)\vec{v}+(1-cos(\theta))(\vec{u}\cdot\vec{v})\vec{u}+sin(\theta)(\vec{u}×\vec{v}) v ′=cos(θ)v +(1−cos(θ))(u ⋅v )u +sin(θ)(u ×v )