点积
这是关于3Blue1Brown "线性代数的本质"的学习笔记。
基本运算
两个维数相同的向量 2 , 7 , 1 T , 8 , 2 , 8 T 2, 7, 1^{T},8, 2, 8^{T} 2,7,1T,8,2,8T,求它们的点积，就是将对应坐标配对，求出每一对坐标的乘积，并将结果相加。
图1 点积的运算
几何解释
图2 点积的几何解释
几何解释：求两个向量 v ⃗ \vec{v} v 和 w ⃗ \vec{w} w 的点积，就是将向量 w ⃗ \vec{w} w 朝着过原点和向量 v ⃗ \vec{v} v 终点的直线上投影，将投影的长度与向量 v ⃗ \vec{v} v 的长度相乘；或者反过来，将向量 v ⃗ \vec{v} v 朝着过原点和向量 w ⃗ \vec{w} w 终点的直线上投影，将投影的长度与向量 w ⃗ \vec{w} w 的长度相乘。
如果 w ⃗ \vec{w} w 投影方向和 v ⃗ \vec{v} v 的方向相反，点积为负值。
当 v ⃗ \vec{v} v 和 w ⃗ \vec{w} w 相互垂直，点积为零。
投影运算和基本运算的联系
多维空间到一维空间的投影
将2维向量投影到一维空间（数轴）上，需要做合适的线性变换，即找出合适的变换矩阵；而我们知道，线性变换矩阵的列是基向量变换后的位置，所以，问题就转换为求二维空间基向量 i ⃗ \vec{i} i 和 j ⃗ \vec{j} j 在一维空间上的位置。
对于从二维空间变换到一维空间来说，变换矩阵就是1×2的矩阵。
为了找到这个矩阵的各列值，我们假设一维空间数轴0点和二维平面原点重合，数轴是二维平面上的这样一条线，如图3所示。
图3 数轴是二维平面上、零点和原点重合的一条线
如图3，现在假设二维平面上一个单位向量 u ⃗ \vec{u} u 碰巧落在这条数轴上。
现在，我们的目的是找到二维平面的基向量 i ⃗ \vec{i} i 和 j ⃗ \vec{j} j 在一维空间，即数轴上的位置。因为基向量变换后的位置就是线性变换矩阵的两个列。
图4 二维平面的基向量 i ⃗ \vec{i} i 和 j ⃗ \vec{j} j 在数轴上的位置
也就是说，现在要求 i ⃗ \vec{i} i 和 j ⃗ \vec{j} j 向 u ⃗ \vec{u} u 所在直线的投影。我们可以做如图5所示的对称轴来进行。
图5 利用对称性求 i ⃗ \vec{i} i 变换后在数轴上的位置
由于 i ⃗ \vec{i} i 和 u ⃗ \vec{u} u 都是单位向量，则将 i ⃗ \vec{i} i 向 u ⃗ \vec{u} u 所在直线的投影，与将 u ⃗ \vec{u} u 向 i ⃗ \vec{i} i 所在直线的投影，是完全对称的。
如果要知道 i ⃗ \vec{i} i 向 u ⃗ \vec{u} u 所在直线的投影后落在哪个数上，答案就是 u ⃗ \vec{u} u 向 x ⃗ \vec{x} x 轴投影得到的数。
而 u ⃗ \vec{u} u 向 x ⃗ \vec{x} x 轴投影得到的数就是 u ⃗ \vec{u} u 的横坐标。
因此，根据对称性，将 i ⃗ \vec{i} i 向 u ⃗ \vec{u} u 所在直线（即斜着的数轴）上投影所得到的数就是 u ⃗ \vec{u} u 的横坐标。
同理，可以得到将 j ⃗ \vec{j} j 在数轴上投影就是 u ⃗ \vec{u} u 的纵坐标。因此，可以求得 i ⃗ \vec{i} i 和 j ⃗ \vec{j} j 变换后的位置，即转换矩阵的各列，如图6所示。
图6 二维平面的基向量 i ⃗ \vec{i} i 和 j ⃗ \vec{j} j 变换后在数轴上的位置
所以，描述投影变换的1×2矩阵的两列，就分别是 u ⃗ \vec{u} u 的两个坐标。
这个二维平面内任意向量向这个数轴进行投影变换的结果，就是投影矩阵与这个向量相乘。这和这个向量与 u ⃗ \vec{u} u 的点积在计算上完全相同。
图7 投影运算与点积基本运算的关系
投影运算就是用线性变换矩阵与向量相乘，这和点积基本运算是等价的。
点积的作用
点积是理解投影的有利几何工具，可以很方便地检验两个向量的指向是否相同（指向相同，点积结果大于0）。
更深入地，两个向量点乘，就是将一个向量转化为线性变换。
图8 两个向量点乘，就是将一个向量转化为线性变换