排序算法的分析及实现

风向山吹2023-11-08 18:48

目录​​​​​​​

[1. 排序](#1. 排序)

[1.1. 排序的概念](#1.1. 排序的概念)

[1.2. 排序的稳定性](#1.2. 排序的稳定性)

[1.3. 内部排序和外部排序](#1.3. 内部排序和外部排序)

[2. 直接插入排序](#2. 直接插入排序)

[2.1. 直接插入排序](#2.1. 直接插入排序)

[2.2. 直接插入排序的两种情况](#2.2. 直接插入排序的两种情况)

[1. 情况一](#1. 情况一)

[2. 情况二](#2. 情况二)

[2.3. 直接插入排序的单趟排序](#2.3. 直接插入排序的单趟排序)

[2.4. 直接插入排序的完整实现](#2.4. 直接插入排序的完整实现)

[2.5. 直接插入排序的时间复杂度分析](#2.5. 直接插入排序的时间复杂度分析)

[3. 希尔排序](#3. 希尔排序)

[3.1. 希尔排序的实现](#3.1. 希尔排序的实现)

[1. 预排序的单趟排序：](#1. 预排序的单趟排序：)

[2. 希尔排序的完整实现](#2. 希尔排序的完整实现)

[3.2. 希尔排序的时间复杂度的分析](#3.2. 希尔排序的时间复杂度的分析)

[4. 直接选择排序](#4. 直接选择排序)

[4.1. 直接选择排序的实现](#4.1. 直接选择排序的实现)

[4.2. 直接选择排序的单趟排序](#4.2. 直接选择排序的单趟排序)

[4.3. 直接选择排序的完整实现](#4.3. 直接选择排序的完整实现)

[4.4. 直接选择排序的正确实现(最终版)](#4.4. 直接选择排序的正确实现(最终版))

[4.5. 直接选择排序的时间复杂度](#4.5. 直接选择排序的时间复杂度)

[5. 堆排序](#5. 堆排序)

[6. 冒泡排序](#6. 冒泡排序)

[6.1. 冒泡排序的单趟排序](#6.1. 冒泡排序的单趟排序)

[6.2. 冒泡排序的完整实现](#6.2. 冒泡排序的完整实现)

[6.3. 冒泡排序的时间复杂度](#6.3. 冒泡排序的时间复杂度)

[7. 快速排序](#7. 快速排序)

[7.1. 快速排序](#7.1. 快速排序)

[7.2. 快速排序实现三种递归方式](#7.2. 快速排序实现三种递归方式)

[7.2.1. hoare版本的快速排序(递归实现)](#7.2.1. hoare版本的快速排序(递归实现))

[7.2.1.1. hoare版本的单趟排序](#7.2.1.1. hoare版本的单趟排序)

[1. 分析](#1. 分析)

[2. 单趟排序的完整实现：](#2. 单趟排序的完整实现：)

[7.2.1.2 hoare版本的完整实现](#7.2.1.2 hoare版本的完整实现)

[7.2.2. 挖法坑](#7.2.2. 挖法坑)

[7.2.2.1. 挖坑法的单趟排序](#7.2.2.1. 挖坑法的单趟排序)

1.分析

[2. 单趟排序的完整实现](#2. 单趟排序的完整实现)

[7.2.2.2. 挖坑法的完整实现：](#7.2.2.2. 挖坑法的完整实现：)

[7.2.3. 前后指针法](#7.2.3. 前后指针法)

[7.2.3.1. 前后指针法的单趟排序](#7.2.3.1. 前后指针法的单趟排序)

[1. 分析](#1. 分析)

[2. 单趟排序的完整实现](#2. 单趟排序的完整实现)

[7.2.3.2. 前后指针法的完整实现](#7.2.3.2. 前后指针法的完整实现)

[7.3. 快速排序的优化：](#7.3. 快速排序的优化：)

[1. 三数取中](#1. 三数取中)

[2. 小区间优化](#2. 小区间优化)

[7.4. 快速排序的非递归](#7.4. 快速排序的非递归)

[7.4.1. 用栈实现快速排序的非递归](#7.4.1. 用栈实现快速排序的非递归)

[7.4.2. 用队列实现快速排序的非递归](#7.4.2. 用队列实现快速排序的非递归)

[7.5. 快速排序的性能](#7.5. 快速排序的性能)

[8. 归并排序](#8. 归并排序)

[8.1. 归并排序的递归实现](#8.1. 归并排序的递归实现)

[8.2. 归并排序的非递归实现](#8.2. 归并排序的非递归实现)

[1. 分析](#1. 分析)

[2. 归并排序的非递归的完整实现](#2. 归并排序的非递归的完整实现)

[3. 归并排序的总结](#3. 归并排序的总结)

[9. 计数排序](#9. 计数排序)

[9.1. 统计次数](#9.1. 统计次数)

[9.2. 排序](#9.2. 排序)

[9.3. 计数排序的完整实现](#9.3. 计数排序的完整实现)

[10. 排序性能的总结](#10. 排序性能的总结)

1. 排序

1.1. 排序的概念

排序是一种将一组元素按照特定规则重新排列的操作。排序常用于整理和组织数据，使数据能够更容易地被搜索、访问和比较。

排序算法通常根据元素的键或值来确定它们的顺序。

常见的排序算法包括冒泡排序、插入排序、选择排序、快速排序、归并排序等。每个算法都有其特定的优缺点，包括时间复杂度、空间复杂度和稳定性等方面的差异。

1.2. 排序的稳定性

排序的稳定性 是指相同的键值在排序前后的相对位置不会发生改变，如果排序算法保证输入序列中相同元素的相对位置在输出序列中仍然保持不变，则被称为稳定排序。

常见的稳定排序算法包括归并排序、插入排序、基数排序等。而常见的不稳定排序算法包括快速排序、堆排序等。

1.3. 内部排序和外部排序

内部排序：数据元素全部放在内存中的排序。
外部排序：数据元素太多不能同时放在内存中，根据排序过程的要求不能在内外存
（外存就是磁盘） 之间移动数据的排序。

2. 直接插入排序

2.1. 直接插入排序

直接插入排序的思想：当插入第i(i>=1)个元素时，前面的元素已经排好序了，此时用这个新插入的元素与前面的元素进行比较，找到合适的位置，将这个新插入的元素插入即可。

2.2. 直接插入排序的两种情况

注意，我们在这里以升序为例：

1. 情况一

假设现在的数据如下图所示：

从最后一个元素开始,让a[cur_pos] 与obj_val一一进行比较,寻找obj_val的合适位置；

当obj_val >= a[cur_pos] 时，此时obj_val的位置就在cur_pos + 1，循环结束；

当obj_val < a[cur_pos] 时，将当前的a[cur_pos]向后移一位，减减cur_pos，循环继续。

如果cur_pos走到了-1，那么此时obj_val的位置就是在a[0] ，也就是首元素 ，也就是说，**如果cur_pos < 0，那么obj_val 就在cur_pos + 1的位置上，**那么结果如下：

2. 情况二

从最后一个元素开始,让a[cur_pos] 与obj_val一一进行比较,寻找obj_val的合适位置；

当obj_val >= a[cur_pos] 时，此时obj_val的位置就在cur_pos + 1，循环结束；

当obj_val < a[cur_pos] 时，将当前的a[cur_pos]向后移一位，减减cur_pos，循环继续。

可以看到，不论是情况一，还是情况二，当找到合适位置时，这个位置就是cur_pos + 1 ；而cur_pos最小可能为-1。因此单趟的循环条件就是 cur_pos >= 0；

2.3. 直接插入排序的单趟排序

在这里我们的前提是：插入之前的原始数据是有序的。

cpp 复制代码 
void insert_sort(int* arr)
{
	int cur_pos; // 代表最后一个位置
	int obj_val = arr[cur_pos + 1]; // 目标值
	// 单趟的循环条件: cur_pos >= 0
	while (cur_pos >= 0)
	{
		// 如果obj_val < a[cur_pos],将当前的arr[cur_pos]向后移一位，--cur_pos，循环继续
		if (obj_val < arr[cur_pos])
		{
			arr[cur_pos + 1] = arr[cur_pos];
			--cur_pos; 
		}
		//当obj_val >= a[cur_pos] 时, 循环结束
		else
		{
			break;
		}
	}
	arr[cur_pos + 1] = obj_val;
}

2.4. 直接插入排序的完整实现

上面的单趟的插入排序有一个大前提 是：插入之前的数据是有序的。

那么如何确保是有序的呢？一个元素对于它自身来说，是有序的，那么从第一个元素开始，就可以了，因此我们的代码如下：

cpp 复制代码 
void insert_sort(int* arr,int n)
{
	// 注意,如果有n个数据,那么只需要排n-1次
	// 因为最后一次,当i == n时, obj_val 就是一个随机值,就非法访问了
    // 从第一个元素开始
	for (int i = 0; i < n - 1; ++i)
	{
		int cur_pos = i; // 代表最后一个位置

		int obj_val = arr[cur_pos + 1]; // 目标值

		// 单趟的循环条件: cur_pos >= 0
		while (cur_pos >= 0)
		{
			// 如果obj_val < a[cur_pos],将当前的arr[cur_pos]向后移一位，--cur_pos，循环继续
			if (obj_val < arr[cur_pos])
			{
				arr[cur_pos + 1] = arr[cur_pos];
				--cur_pos;
			}
			//当obj_val >= a[cur_pos] 时, 循环结束
			else
			{
				break;
			}
		}
		// 只要循环结束,合适的位置就是 cur_pos + 1
		arr[cur_pos + 1] = obj_val;
	}
}

2.5. 直接插入排序的时间复杂度分析

最差情况：

如果一个数组是逆序 ，那么此时的时间复杂度为O(N^2)，第一趟单趟排序，要比较一次，第二趟单趟排序，要比较两次，第三趟单趟排序，要比较三次，......，当最后一次排序的时候，要比较n -1 次，这是一个等差数列的求和，Sn = ｎ＊ｎ／２，也就是说，当数据为逆序时，此时的时间复杂度为Ｏ(N^2)；

最优情况：

如果一个数组接近有序或者有序 的情况下，那么此时的时间复杂度就是O(N)，基本上就是遍历一遍，就找到了合适的位置，故时间复杂度为O(N)；

因此，插入排序的时间复杂度为O(N^2)；

直接插入排序的稳定性： 稳定

直接插入排序的空间复杂度：O(1)

3. 希尔排序

希尔排序是对直接插入排序的一种优化，它可以被分为多次预排序 + 一次直接插入排序，多次预排序的目的是：让数据接近有序。

同样：我们以升序举例：

3.1. 希尔排序的实现

预排序如何实现呢？在直接插入排序中，每次都是相邻的两个数据进行比较；但在预排序中，并不是相邻的两个数据进行比较，而是比较当前位置的数据和当前位置 + gap的数据，也就是a[cur_pos]和a[cur_pos + gap]进行比较。这样做的一个目的：

当gap越大，大的数可以更快的到后面，小的数可以更快的到前面，但是越不接近有序。

当gap越小，越接近有序，当gap == 1时，就是直接插入排序。

即gap > 1，就是预排序

gap == 1，直接插入排序
假设现在的数据如下图所示：

假设当前的gap == 3，那么我们可以做出如下图：

1. 预排序的单趟排序：

从最后一个元素开始,让a[cur_pos] 与obj_val一一进行比较,寻找obj_val的合适位置；

当obj_val >= a[cur_pos] 或者当 cur_pos < 0 时，此时obj_val的位置就在cur_pos + gap，循环结束；

当obj_val < a[cur_pos] 时，将当前的a[cur_pos]向后移gap个位置，cur_pos -= gap，循环继续。
第一次循环：

第二次循环：

第三次循环：

综上所述：

当**obj_val < a[cur_pos]**时，将当前的a[cur_pos]向后移gap个位置，cur_pos -= gap，循环继续。

当obj_val >= a[cur_pos] 或者当 cur_pos < 0 时，此时obj_val的位置就在cur_pos + gap，循环结束；

代码如下：

cpp 复制代码 
void shell_sort(int* a, int n)
{
	int gap = 3; // 假设当前gap == 3

	int cur_pos;  // 最后一个元素的位置

	int obj_val = a[cur_pos + gap];  //目标值,该值等于最后一个元素的位置 + gap 所在的元素

	// 当cur_pos < 0 就结束
	while (cur_pos >= 0)
	{
		if (obj_val < a[cur_pos])
		{
			a[cur_pos + gap] = a[cur_pos];
			cur_pos -= gap;
		}
		else
		{
			// 不管是 obj_val >= a[cur_pos] 或者 cur_pos < 0了,都结束,在循环外赋值
			break;
		}
	}

	// 此时obj_val 就在 cur_pos + gap这个位置上
	a[cur_pos + gap] = obj_val;
}

上面的代码已经排了其中一趟中的一个数据，那么如何控制图中红色的那一趟数据呢？可以看到，cur_pos在第一次循环的起始位置是从0开始的，最后以此循环的起始位置是从n-gap开始的，那么我们可以利用一个变量控制，这个变量代表着每次循环中cur_pos的起始位置，那么我们的单趟排序如下：

cpp 复制代码 
void shell_sort(int* a, int n)
{
	int gap = 3; // 假设当前gap == 3

	// 这个i代表着每次循环中cur_pos的起始位置
	for (int i = 0; i < n - gap; i += gap)
	{
		int cur_pos = i;  // 最后一个元素的位置

		int obj_val = a[cur_pos + gap];  //目标值,该值等于最后一个元素的位置 + gap 所在的元素

		// 当cur_pos < 0 就结束
		while (cur_pos >= 0)
		{
			if (obj_val < a[cur_pos])
			{
				a[cur_pos + gap] = a[cur_pos];
				cur_pos -= gap;
			}
			else
			{
				// 不管是 obj_val >= a[cur_pos] 或者 cur_pos < 0了,都结束,在循环外赋值
				break;
			}
		}

		// 此时obj_val 就在 cur_pos + gap这个位置上
		a[cur_pos + gap] = obj_val;
	}
}

2. 希尔排序的完整实现

上面的代码只代表了一次的预排序，而一般情况下，我们要进行多次预排序 ，每次的gap的变化：gap = gap / 3 + 1(如果不+1，会导致可能最后一次gap == 0)；为了保证最终一次的gap == 1(即保证最后一次是直接插入排序)。有的实现是：gap /= 2；(这种方式可以保证最后一次的gap == 1)

cpp 复制代码 
void shell_sort(int* a, int n)
{
	int gap = n; // gap的初始值为n,n代表元素个数

	while (gap > 1)
	{
        //gap /= 2;
		gap = gap / 3 + 1;   // gap每次除3,并且+1(保证最后一次gap == 1)

		// 这个i代表着每次循环中cur_pos的起始位置
		for (int i = 0; i < n - gap; i += gap)
		{
			int cur_pos = i;  // 最后一个元素的位置

			int obj_val = a[cur_pos + gap];  //目标值,该值等于最后一个元素的位置 + gap 所在的元素

			// 当cur_pos < 0 就结束
			while (cur_pos >= 0)
			{
				if (obj_val < a[cur_pos])
				{
					a[cur_pos + gap] = a[cur_pos];
					cur_pos -= gap;
				}
				else
				{
					// 不管是 obj_val >= a[cur_pos] 或者 cur_pos < 0了,都结束,在循环外赋值
					break;
				}
			}

			// 此时obj_val 就在 cur_pos + gap这个位置上
			a[cur_pos + gap] = obj_val;
		}
	}
}

还有一种写法就是不分多少趟，直接一个一个的来，例如：

cpp 复制代码 
void shell_sort(int* a, int n)
{
	int gap = n; // gap的初始值为n,n代表元素个数

	while (gap > 1)
	{
		gap = gap / 3 + 1;   // gap每次除3,并且+1(保证最后一次gap == 1)

		// 这个i代表着每次循环中cur_pos的起始位置,一个一个的来,不分几趟
		for (int i = 0; i < n - gap; i++)
		{
			int cur_pos = i;  // 最后一个元素的位置

			int obj_val = a[cur_pos + gap];  //目标值,该值等于最后一个元素的位置 + gap 所在的元素

			// 当cur_pos < 0 就结束
			while (cur_pos >= 0)
			{
				if (obj_val < a[cur_pos])
				{
					a[cur_pos + gap] = a[cur_pos];
					cur_pos -= gap;
				}
				else
				{
					// 不管是 obj_val >= a[cur_pos] 或者 cur_pos < 0了,都结束,在循环外赋值
					break;
				}
			}

			// 此时obj_val 就在 cur_pos + gap这个位置上
			a[cur_pos + gap] = obj_val;
		}
	}
}

上面实现的总结：

希尔排序分为 多次预排序(gap > 1) + 最后一次的直接插入排序(当gap == 1)。

预排序的作用：让数据接近有序，以减少直接插入排序的工作量。

预排序中的gap如果越大，那么大的数据可以更快的到达后面，小的数据可以更快的到前面。但越不接近有序。

预排序中的gap如果越小，那么越接近有序。

3.2. 希尔排序的时间复杂度的分析

参考了如下资料：

如《数据结构(C语言版)》--严蔚敏


《数据结构-用面相对象方法与C++描述》--- 殷人昆

总结：希尔排序的时间复杂度为O(n^(1.3-2)) ， 认为平均复杂度为O(logN^1.3)

希尔排序的稳定性： 不稳定，预排的时候，相同的数据可能会被分到不同组里面 。

希尔排序的空间复杂度：O(1)。

4. 直接选择排序

4.1. 直接选择排序的实现

直接选择排序是一个时间复杂度为O(N^2)的排序，而且任何情况下都是为O(N^2)，实现它是很简单的，我在这里实现的是一个较为优化的版本，但是治标不治本，时间复杂度仍未O(N^2)。
初始数据如下，我们在这里以升序为例 ：

实现思路为，每一趟排序cur_pos从begin到end这个区间中找一个最大数据的下标，我们记为max_index，找一个最小数据的下标，我们记为min_index，将min_index位置的数据和begin所在位置的数据进行交换，将max_index位置的数据和end所在位置的数据进行交换。

注意：begin、end、max_index、min_index、cur_pos都代表数据的下标。
如果当前的min_index位置的值大于cur_pos位置的值，那么min_index = cur_pos；

如果当前的max_index位置的值小于cur_pos位置的值，那么max_index = cur_pos；

第一趟排序如下：

交换：

将begin所在的值和min_index所在的值进行交换。

将end所在的值和max_index所在的值进行交换。

4.2. 直接选择排序的单趟排序

cpp 复制代码 
void select_sort(int* a, int n)
{
	int begin = 0;     // begin从0开始
	int end = n - 1;   // end从最后一个元素开始

	int min_index = begin;   // min_index 从 begin开始
	int max_index = end;     // max_index 从 end开始

	// cur_pos 在[begin,end]这个区间找最小数据的下标和最大数据的下标
	for (int cur_pos = begin; cur_pos <= end; ++cur_pos)
	{
		if (a[cur_pos] > a[max_index])
			max_index = cur_pos;
		if (a[cur_pos] < a[min_index])
			min_index = cur_pos;
	}
	// begin位置的数据 和 最小数据 进行交换
	// end位置的数据 和 最大数据 进行交换
	swap(&a[begin], &a[min_index]);
	swap(&a[end], &a[max_index]);
}

4.3. 直接选择排序的完整实现

上面是直接选择排序的单趟实现，我们如何实现完整的直接选择排序呢？其实只要不断缩短begin和end之间的区间即可。在每一个区间找一个最小值及一个最大值。当begin >= end时，循环结束，此时也就排好序了，例如：

cpp 复制代码 
void select_sort(int* a, int n)
{
	int begin = 0;     // begin从0开始
	int end = n - 1;   // end从最后一个元素开始
	int min_index = 0;  
	int max_index = 0;

	while (begin < end)
	{
		// 每次循环,min_index的初始值就是begin
		// max_index的初始值为end
		min_index = begin;  
		max_index = end;

		// 找最小值和最大值的下标
		for (int cur_pos = begin; cur_pos <= end; ++cur_pos)
		{
			if (a[cur_pos] > a[max_index])
				max_index = cur_pos;
			if (a[cur_pos] < a[min_index])
				min_index = cur_pos;
		}
		 // begin位置的数据 和 最小数据 进行交换
		 // end位置的数据 和 最大数据 进行交换
		swap(&a[begin], &a[min_index]);
		swap(&a[end], &a[max_index]);
		// 一次循环结束, ++begin , --end 缩短区间,继续下一次循环
		++begin;
		--end; 
	}
}

上面这个排序可以将我们的数据排序好，看似没有任何毛病，但是，如果此时的初始数据为如下所示：

假如我们还用上面的排序，那么结果就会变成如下的样子：

很显然，这是一个非有序的数据，那么说明我们的代码是有问题的。为了查找出这个问题，我们需要分析一下画图分析这个过程：

第一趟排序：

第二趟排序：

第三趟排序：

cpp 复制代码 
swap(&a[begin], &a[min_index]);
swap(&a[end], &a[max_index]);
++begin;
--end;

问题就出现在第三趟排序，如果此时调用上面的代码，3 和 8 先交换，此时就导致max_index所在的数据变成了3 而不是 8 ，这就导致了最后不符合我们预期的结果。如果此时继续交换，就会得到如下结果：

为了演示完这个结果，我们继续：

第四趟排序：

第五趟排序：

这个结果与我们在监视窗口看到的结果如出一辙，造成错误的原因就是因为第三次排序，也就是说第一次交换可能会导致max_index所指向的不再是最大值(当begin指向的就是最大值时)，因此我们做出如下改变：当begin和max_index一样的时候，我们需要更新max_index的值，即将min_index的值赋予max_index，让max_index重新指向最大值。具体如下：

cpp 复制代码 
// begin位置的数据 和 最小数据 进行交换
// end位置的数据 和 最大数据 进行交换
swap(&a[begin], &a[min_index]);
// 如果 begin和max_index相等
if (begin == max_index)
{
	// 那么此时最大值就是min_index位置的值
	// 那么修正max_index的值
	max_index = min_index;
}
swap(&a[end], &a[max_index]);

4.4. 直接选择排序的正确实现(最终版)

cpp 复制代码 
void swap(int* p1, int* p2)
{
	int tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}
void Select_sort(int* a, int n)
{
	int begin = 0;     // begin从0开始
	int end = n - 1;   // end从最后一个元素开始
	int min_index = 0;  
	int max_index = 0;

	while (begin < end)
	{
		// 每次循环,min_index的初始值就是begin
		// max_index的初始值为end
		min_index = begin;  
		max_index = end;

		// 找最小值和最大值的下标
		for (int i = begin; i <= end; ++i)
		{
			if (a[i] > a[max_index])
				max_index = i;
			if (a[i] < a[min_index])
				min_index = i;
		}
		// begin位置的数据 和 最小数据 进行交换
		// end位置的数据 和 最大数据 进行交换
		swap(&a[begin], &a[min_index]);
		// 如果 begin和max_index相等
		if (begin == max_index)
		{
			// 那么此时最大值就是min_index位置的值
			// 那么修正max_index的值
			max_index = min_index;
		}
		swap(&a[end], &a[max_index]);
		// 一次循环结束, ++begin , --end 缩短区间,继续下一次循环
		++begin;
		--end; 
	}
}

4.5. 直接选择排序的时间复杂度

  1. 直接选择排序思考非常好理解，但是效率不是很好。实际中很少使用
  2. 时间复杂度：O(N^2)
  3. 空间复杂度：O(1)
  4. 稳定性：不稳定

5. 堆排序

堆排序以前已经具体实现过，在这里就不过多介绍了。如想查看，可转下面的链接：

堆排序的具体实现：

https://xqforever-young.blog.csdn.net/article/details/132819241

6. 冒泡排序

冒泡排序是一种简单的排序算法，它通过比较相邻元素并交换位置来按照升序或降序排列数组中的元素。它的原理如下(以升序为例)：

  1. 从数组的第一个元素开始，依次比较相邻的两个元素。
  2. 如果前一个元素大于后一个元素，则交换它们的位置。
  3. 继续向后遍历，重复上述比较和交换的过程，直到到达数组的最后一个元素。
  4. 重复执行上述步骤，每次遍历都会将当前最大的元素移动到数组的末尾。
  5. 重复执行n-1次，其中n是数组的长度，直到所有元素都排好序。

6.1. 冒泡排序的单趟排序

cpp 复制代码 
void bubble_sort(int* a, int n)
{
	// 第一趟冒泡: 从第一个数据开始
	// i < n - 1 防止 a[i + 1] 越界
	for (size_t i = 0; i < n - 1; ++i)
	{
		if (a[i] > a[i + 1])
		{
			swap(&a[i], &a[i + 1]);
		}
	}
}

6.2. 冒泡排序的完整实现

cpp 复制代码 
void bubble_sort(int* a, int n)
{
	// n个数据,要比较n - 1趟
	for (size_t j = 0; j < n - 1; j++)
	{
		// 第一趟冒泡: 从第一个数据开始
		// i < n - 1 - j 防止 a[i + 1] 越界
		for (size_t i = j; i < n - 1 - j; ++i)
		{
			if (a[i] > a[i + 1])
			{
				swap(&a[i], &a[i + 1]);
			}
		}
	}
}

冒泡排序的小优化：

如果某一趟的冒泡排序没有发生交换，那么说明已经有序了，此时终止循环。例如：

cpp 复制代码 
void bubble_sort(int* a, int n)
{
	// 标志位
	int flag = 0;

	// n个数据,要比较n - 1趟
	for (size_t j = 0; j < n - 1; j++)
	{
		flag = 0;
		// 第一趟冒泡: 从第一个数据开始
		// i < n - 1 - j 防止 a[i + 1] 越界
		for (size_t i = j; i < n - 1 - j; ++i)
		{
			if (a[i] > a[i + 1])
			{
				flag = 1;
				swap(&a[i], &a[i + 1]);
			}
		}
		// 如果flag == 0,说明已经有序了,终止循环
		if (!flag)
			break;
	}
}

6.3. 冒泡排序的时间复杂度

冒泡排序的最好时间复杂度(有序的情况下)： O(N)

冒泡排序的最坏时间复杂度：O(N^2)

冒泡排序的时间复杂度： O(N^2)

冒泡排序的空间复杂度: O(1)
冒泡排序的稳定性：稳定

7. 快速排序

7.1. 快速排序

快速排序是Hoare于1962年提出的一种二叉树结构的交换排序方法，其基本思想为：任取待排序元素序列中的某元素作为基准值，按照该排序码将待排序集合分割成两子序列，左子序列中所有元素均小于基准值，右子序列中所有元素均大于基准值，然后最左右子序列重复该过程，直到所有元素都排列在相应位置上为止。

7.2. 快速排序实现三种递归方式

7.2.1. hoare版本的快速排序(递归实现)

7.2.1.1. hoare版本的单趟排序
1. 分析

hoare版本的单趟排序的目的是：排完后，要求左边的数据比key要小,右边的数据比key要大。

cpp 复制代码 
void quick_sort(int* a,int n)
{
	// 选出一个key_index,一般为最左边和最右边的下标
	int key_index = 0;
	// 如果key_index在最左边,右边先走
	// 如果key_index在最右边,左边先走
	int left = 0;
	int right = n - 1;

	while (left < right)
	{
		// 右边找小
		while (a[key_index] < a[right])
			--right;
		//左边找大
		while (a[key_index] > a[left])
		{
			++left;
		}
		// 交换 左 右 的值
		swap(&a[right], &a[left]);
	}
}

上面的代码是有问题的，例如下面的情况：

此时进程就会陷入死循环。解决问题的关键在于：

left的目的是找比key_index位置大的数据，小于等于的key_index位置数据都跳过；

right的目的是找比key_index位置小的数据，大于等于key_index位置的数据都跳过；

因此有：

cpp 复制代码 
void quick_sort(int* a, int n)
{
	// 选出一个key_index,一般为最左边和最右边的下标
	int key_index = 0;

	int left = 0;
	int right = n - 1;

	while (left < right)
	{
		// 右边找小,大于等于的数据都跳过
		while (a[key_index] <= a[right])
			--right;
		//左边找大,小于等于的数据都跳过
		while (a[key_index] >= a[left])
		{
			++left;
		}
		// 交换 左 右 的值,让左边大的值去右边,让右边小的值去左边
		swap(&a[right], &a[left]);
	}
}

上面的代码依旧存在问题，有没有一种可能，右边的值都大于key_index的值，或者左边的值都小于key_index的值，例如：

右边的值都大于key_index的值：

right会一直--，造成非法访问。

左边的值都小于key_index的值：

left会一直++，导致非法访问
因此，我们在这里提出：每次找小或者找大的过程，都要保证left < right的，例如如下：

cpp 复制代码 
void quick_sort(int* a, int n)
{
	// 选出一个key_index,一般为最左边和最右边的下标
	int key_index = 0;

	int left = 0;
	int right = n - 1;

	while (left < right)
	{
		// 右边找小,大于等于的数据都跳过
		// left < right: 当left == right,即相遇就代表循环结束
		while (left < right && a[key_index] <= a[right])
			--right;
		//左边找大,小于等于的数据都跳过
		// left < right: 当left == right,即相遇就代表循环结束
		while (left < right && a[key_index] >= a[left])
		{
			++left;
		}
		// 交换 左 右 的值,让左边大的值去右边,让右边小的值去左边
		swap(&a[right], &a[left]);
	}
}

为什么key_index在左边，要求右边先走？

因为要保证左边和右边相遇的值比key小。

当key_index在左边，right先走，当right停下来(找到小了)，left再去遇到right

相遇位置就是right停下来的位置，而这个位置就是比key要小的位置。

当key_index在左边，right先走，right没有找到小，right遇到了left

相遇位置是L上一轮停下来的位置，要么就是key的位置，要么比key要小。

2. 单趟排序的完整实现：

当left和right相遇了，这个相遇的值和key_index所在的值进行交换，此时原来这个key_index的值就到了正确的位置。例如这组数据：

单趟排序的第一次循环：

单趟排序的第二次循环：

根据上图，我们的单趟排序的代码如下：

cpp 复制代码 
void quick_sort(int* a, int n)
{
	// 选出一个key_index,一般为最左边和最右边的下标
	int key_index = 0;

	int left = 0;
	int right = n - 1;

	while (left < right)
	{
		// 右边找小,大于等于的数据都跳过
		// left < right: 当left == right,即相遇就代表循环结束
		while (left < right && a[key_index] <= a[right])
			--right;
		//左边找大,小于等于的数据都跳过
		// left < right: 当left == right,即相遇就代表循环结束
		while (left < right && a[key_index] >= a[left])
		{
			++left;
		}
		// 交换 左 右 的值,让左边大的值去右边,让右边小的值去左边
		swap(&a[right], &a[left]);
	}
	// 将 key_index的值 和 相遇位置的值 进行交换
	// 此时这个 原key_index位置的值 就到了 正确位置
	swap(&a[right], &a[key_index]);
}

我们用上面的数据对code进行测试：

单趟排序之前：

单趟排序之后：

符合预期，这就是我们的hoare版本的单趟排序。

7.2.1.2 hoare版本的完整实现

我们还是以这组数据为例，具体如下：

当经历第一次单趟排序后，我们得到如下结果：

此时这个5已经到达了正确的位置，因此当我们要将所有数据达到有序的目的的时候：此时上面的数据可以被分为三部分：

可以看到，我将5的下标又更新为了key_index，因此当我们的单趟排序结束后，需要将key_index也更新一下。

此时我们只需要用单趟排序递归 [begin，key_index-1] 和 [key_index + 1，end - 1] 这两个区间即可。

为了更好地理解，我们对上图的左区间进行分析：
递归左区间：

第一次循环：

第二次循环：

值进行交换，以至于这个3到达了正确的位置和更新key_index的位置 。

将上图分为三段区间，3这个数据已经是处于正确的位置上。

我们继续递归左区间： 如图说是：

把上面数据分为三段区间：

递归左：

begin == key_index - 1，代表着只有一个数据，当前栈帧结束。

递归右：

begin是key_index + 1，end也在key_index + 1，即begin == end，此时说明这段空间没有任何数据，即区间非法，当前栈帧结束。

cpp 复制代码 
void quick_sort(int* a, int begin, int end)
{
	// 当区间只有一个数据(begin == end - 1) 或者 
    // 区间非法(begin > end - 1)  当前栈帧结束
	if (begin >= end - 1)
		return;
	// 选出一个key_index,一般为最左边和最右边的下标
	int key_index = begin;

	int left = begin;
    // right是最后一个数据的位置 
    // 那么 end 就是最后一个数据的下一个位置
	int right = end - 1;

    // 左边和右边没有相遇就继续
	while (left < right)
	{
		// 右边找小,大于等于的数据都跳过
		// left < right: 当left == right,即相遇就代表循环结束
		while (left < right && a[key_index] <= a[right])
			--right;
		//左边找大,小于等于的数据都跳过
		// left < right: 当left == right,即相遇就代表循环结束
		while (left < right && a[key_index] >= a[left])
		{
			++left;
		}
		// 交换 左 右 的值,让左边大的值去右边,让右边小的值去左边
		swap(&a[right], &a[left]);
	}
	// 将 key_index的值 和 相遇位置的值 进行交换
	// 此时这个 原key_index位置的值 就到了 正确位置
	swap(&a[right], &a[key_index]);

	// 更新 key_index的值
	key_index = right;  
	
	// 处理 [begin，key_index-1] 这个区间的数据
	// end 是最后一个数据的下一个位置   左闭右开
	quick_sort(a, begin, key_index);
	// 处理 [key_index + 1，end - 1]  这个区间的数据
	// end 是最后一个数据的下一个位置  左闭右开
	quick_sort(a, key_index + 1, end);
}

上面就是hoared版本的递归完整实现。

7.2.2. 挖法坑

7.2.2.1. 挖坑法的单趟排序
1.分析

挖坑法的单趟排序的目的是：单趟排完后，要求左边的数据比key要小，右边的数据比key要大。

其实现思路是：

首先将左边的第一个数据保存起来，称之为为key，第一个位置称之为坑位；left和right分别为区间的左右两端，进入循环，right先走，找小(比key小的数据)，找到了就将该数据填入坑内，并且right成为新的坑位；left后走，找大(比key大的数据)，找到了就将该数据填入坑内，并且left成为新的坑位；left和right相遇循环结束，此时将key填入相遇的位置。例如：我们以如下数据举例：

画图分析上面的单趟过程，初始情况如下：

第一次循环：

第二次循环：

a[right] = key; 将关键值赋值给相遇位置的值，如下：

2. 单趟排序的完整实现

根据上述过程，我们的挖坑法的单趟排序具体如下：

cpp 复制代码 
void quick_sort(int* a, int n)
{
	// 关键值
	int key = a[0];

	int hole = 0;  // 坑位

	int left = 0;
	int right = n - 1;

	while (left < right)
	{
		// 右边找小,并且防止越界
		while (left < right && a[right] >= key)
		{
			--right;
		}
		// 找到小的数据,就将该数据填入坑内
		a[hole] = a[right];
		// 并且当前right的位置更新为新坑
		hole = right;

		// 左边找大,并且防止越界
		while (left < right && a[left] <= key)
		{
			++left;
		}
		// 找到大的数据,就将该数据填入坑内
		a[hole] = a[left];
		// 并且当前left的位置更新为新坑
		hole = left;
	}
	// 循环结束, 将right和left相遇位置的值置为key
	// 单趟结束
	a[right] = key;
}

代码测试如下：

经过挖坑法的单趟排序，我们达到了一个目的：关键值key到达了正确的位置上，左边的数据比key小，右边的数据比key大。

7.2.2.2. 挖坑法的完整实现：

同hoare版本一样，经过一次单趟的排序，此时原区间可被分为三段区间，我们利用递归思想，分别递归左右区间，就可以达到排序的目的。

cpp 复制代码 
// 区间[begin,end) 是一个左闭右开的区间
void quick_sort(int* a, int begin,int end)
{
	// 由于是一个左闭右开的区间
	// begin == end - 1 意味着 只有一个数据,返回当前栈帧
	// begin > end - 1 意味着 一段非法空间,返回当前栈帧
	if (begin >= end - 1)
		return;

	int key = a[begin];  // 关键值
	int hole = begin;  // 坑位

	int left = begin;  // 合法区间的起始位置
	int right = end - 1;   // 合法区间的最后一个元素的位置
	while (left < right)
	{
		// 右边找小,并且防止越界
		while (left < right && a[right] >= key)
		{
			--right;
		}
		// 找到小的数据,就将该数据填入坑内
		a[hole] = a[right];
		// 并且当前right的位置更新为新坑
		hole = right;

		// 左边找大,并且防止越界
		while (left < right && a[left] <= key)
		{
			++left;
		}
		// 找到大的数据,就将该数据填入坑内
		a[hole] = a[left];
		// 并且当前left的位置更新为新坑
		hole = left;
	}
	// 循环结束, 将key置为right和left相遇的位置
	// 单趟结束
	a[right] = key;

	// 同理,我们可以将经过单趟排序后的数据分为三部分:
	// right 和 left 在同一个位置上
	// [begin,right) right [right + 1, end) 这三个区间
	quick_sort(a, begin, right);  // 递归左区间
	quick_sort(a, right + 1, end);  // 递归右区间
}

7.2.3. 前后指针法

7.2.3.1. 前后指针法的单趟排序
1. 分析

初始时，prev指向区间的第一个位置，cur指向prev的下一个位置；区间的第一个位置的值为key。每次循环时，cur都会往后走；但是如果，cur的值小于key，那么会先++prev，并且交换cur和prev的值。我们同样需要考虑，如果prev++，此时cur和prev位于同一位置，那么就不需要交换了，当cur走完区间就结束，即cur > 最后一个元素的位置。

我们还是以下面的数据举例：

初始情况如下：

第一次循环：

第二次循环：

第三次循环：

第四次循环：

第五次循环：

end代表这个区间的最后一个元素的下一个位置，当cur走到end的时候即cur == end循环结束，此时我们将key所在的位置的数据和prev所在位置的数据进行交换。具体如下：

2. 单趟排序的完整实现

此时我们同样达到一个目的：这个5此时回到了正确的位置，prev左边的数据都小于5，prev右边的数据都大于5

根据上面的分析，我们的代码如下：

cpp 复制代码 
// 前后指针法的单趟排序

void quick_sort(int* a, int n)
{
	int prev = 0;
	int cur = prev + 1;
	int key_index = 0;   //key_index 就是 key的下标
	int end = n; // 最后一个元素的下一个位置

	// 当cur == end 循环结束
	while (cur < end)
	{
		// 如果当前cur位置的值小于key_index位置的值,那么
		// ++prev, 交换 cur 和 prev 位置的值
		// 当然,如果 ++prev后和cur是相等的,那就没必要在进行交换了
		if (a[cur] < a[key_index] && cur != ++prev)
		{
			swap(&a[cur], &a[prev]);
		}
		// 无论任何情况,cur都要往后走
		++cur;
	}
    // 交换key_index和prev所在位置的数据
	swap(&a[key_index], &a[prev]);
}

测试上面的代码，结果如下：

与我们的分析结果一致。

7.2.3.2. 前后指针法的完整实现

思路：与前面的实现大同小异，当我们经过一次单趟排序可以将原区间分为三块区间，分别递归左右区间，即可达到排序的目的

cpp 复制代码 
void quick_sort(int* a, int begin_index,int end_index)
{
	// 同理: 我们的区间是一个左闭右开的 [begin_index,end_index)
	// 当 begin_index == end_index-1 ，那么代表只有一个数据
	// 当 begin_index > end_index-1 ,非法区间
	// 上述两种情况,都不用再进行递归了,结束当前栈帧

	if (begin_index >= end_index - 1)
		return;

	int prev = begin_index;
	int cur = prev + 1;

	int key_index = begin_index;   //key_index 就是 key的下标

	int end = end_index; // 最后一个元素的下一个位置

	// 当cur == end 循环结束
	while (cur < end)
	{
		// 如果当前cur位置的值小于key_index位置的值,那么
		// ++prev, 交换 cur 和 prev 位置的值
		// 当然,如果 ++prev后和cur是相等的,那就没必要在进行交换了

		if (a[cur] < a[key_index] && cur != ++prev)
		{
			swap(&a[cur], &a[prev]);
		}

		// 无论任何情况,cur都要往后走
		++cur;
	}

	swap(&a[key_index], &a[prev]);

	// 将上面的区间分为三段空间
	// [begin_index, prev)  prev [prev + 1, end_index)
	// 递归左右区间

	quick_sort(a, begin_index, prev);
	quick_sort(a, prev + 1, end_index);
}

7.3. 快速排序的优化：

1. 三数取中

我们上面实现的快排的一个巨大的隐患就是我们的key都是取的第一个位置。那这会带来什么问题呢？ 当数据有序或者接近有序的情况下，会导致效率急剧下降，甚至，当数据量一大，就会导致栈溢出。

此时快排的时间复杂度就是一个等差数列，即O(N^2)，并且一旦数据量变大，那么会导致栈溢，进程崩溃。
各位可以用下面的代码进行测试：

cpp 复制代码 
void swap(int* p1, int *p2)
{
	int tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

void shell_sort(int* a, int n)
{
	int gap = n; // gap的初始值为n,n代表元素个数

	while (gap > 1)
	{
		gap = gap / 3 + 1;   // gap每次除3,并且+1(保证最后一次gap == 1)

		// 这个i代表着每次循环中cur_pos的起始位置,一个一个的来,不分几趟
		for (int i = 0; i < n - gap; i++)
		{
			int cur_pos = i;  // 最后一个元素的位置

			int obj_val = a[cur_pos + gap];  //目标值,该值等于最后一个元素的位置 + gap 所在的元素

			// 当cur_pos < 0 就结束
			while (cur_pos >= 0)
			{
				if (obj_val < a[cur_pos])
				{
					a[cur_pos + gap] = a[cur_pos];
					cur_pos -= gap;
				}
				else
				{
					// 不管是 obj_val >= a[cur_pos] 或者 cur_pos < 0了,都结束,在循环外赋值
					break;
				}
			}

			// 此时obj_val 就在 cur_pos + gap这个位置上
			a[cur_pos + gap] = obj_val;
		}
	}
}

void quick_sort(int* a, int begin_index,int end_index)
{
	// 同理: 我们的区间是一个左闭右开的 [begin_index,end_index)
	// 当 begin_index == end_index-1 ，那么代表只有一个数据
	// 当 begin_index > end_index-1 ,非法区间
	// 上述两种情况,都不用再进行递归了,结束当前栈帧

	if (begin_index >= end_index - 1)
		return;

	int prev = begin_index;
	int cur = prev + 1;

	int key_index = begin_index;   //key_index 就是 key的下标

	int end = end_index; // 最后一个元素的下一个位置

	// 当cur == end 循环结束
	while (cur < end)
	{
		// 如果当前cur位置的值小于key_index位置的值,那么
		// ++prev, 交换 cur 和 prev 位置的值
		// 当然,如果 ++prev后和cur是相等的,那就没必要在进行交换了

		if (a[cur] < a[key_index] && cur != ++prev)
		{
			swap(&a[cur], &a[prev]);
		}

		// 无论任何情况,cur都要往后走
		++cur;
	}

	swap(&a[key_index], &a[prev]);

	// 将上面的区间分为三段空间
	// [begin_index, prev)  prev [prev + 1, end_index)
	// 递归左右区间

	quick_sort(a, begin_index, prev);
	quick_sort(a, prev + 1, end_index);
}

void Test2(void)
{
	int N = 100000;

	int* ptr1 = (int*)malloc(sizeof(int)* N);
	assert(ptr1);
	int* ptr2 = (int*)malloc(sizeof(int)* N);
	assert(ptr2);

	for (int i = 0; i < N; ++i)
	{
		ptr1[i] = i;
		ptr2[i] = i;
	}

	int begin1 = clock();
	quick_sort(ptr1, 0, N);
	int end1 = clock();

	int begin2 = clock();
	shell_sort(ptr1, N);
	int end2 = clock();

	printf("quick_sort time: %d\n", end1 - begin1);
	printf("shell_sort time: %d\n", end2 - begin2);
}

当数据N为100000时，在Release模式下，其结果如下：

当数据N为3900时，在Debug模式下，其结果如下：

此时我们去查看当前调用栈帧，发现都爆满了：

因此我们的快速排序如果不采用优化，且数据类似于上面的场景，那是一种灾难。

因此人们提出了解决方案：

第一种：key去取区间中的随机值，这样一定程度上减少了每次都是最大值或者最小值的概率，但不太稳定。

第二种：三数取中，三个数分别为：区间中起始位置的数据、中间位置的数据、最后一个有效位置的数据，取出既不是最大的，也不是最小的那个数据，这样就几乎确保了key即不会是最大值也不会是最小值。

在这里我们以三数取中为例，实现思路如下：
a[begin] < a[mid]

a[begin] >= a[mid]

代码如下：

cpp 复制代码 
int get_mid_val_index(int *a, int begin, int end)
{
	int mid = (begin + end) >> 1;

	if (a[begin] < a[mid])
	{
		if (a[mid] < a[end])
		{
			return mid;   // a[begin] < a[mid] < a[end]
		}
		else if (a[end] > a[begin])
		{
			return end;   // a[begin] < a[end] < a[mid]
		}
		else
		{
			return begin;     // a[end] < a[begin] < a[mid]
		}
	}
	else
	{
		if (a[begin] < a[end])
		{
			return begin;  //a[mid] < a[begin] < a[end]
		}
		else if (a[end] > a[mid])
		{
			return end;  // a[mid] < a[end] < a[begin]
		}
		else
		{
			return mid;   // a[end] < a[mid] < a[begin]
		}
	}
}

加上三数取中的快速排序：

cpp 复制代码 
void quick_sort(int* a, int begin_index,int end_index)
{
	// 同理: 我们的区间是一个左闭右开的 [begin_index,end_index)
	// 当 begin_index == end_index-1 ，那么代表只有一个数据
	// 当 begin_index > end_index-1 ,非法区间
	// 上述两种情况,都不用再进行递归了,结束当前栈帧

	if (begin_index >= end_index - 1)
		return;

	int prev = begin_index;
	int cur = prev + 1;

	int key_index = begin_index;   //key_index 就是 key的下标

	int mid = get_mid_val_index(a, begin_index, end_index - 1);  // 三数取"中",结果为"中"的下标

	swap(&a[key_index], &a[mid]);  // 交换key_index位置的值 和 mid 位置的值

	int end = end_index; // 最后一个元素的下一个位置

	// 当cur == end 循环结束
	while (cur < end)
	{
		// 如果当前cur位置的值小于key_index位置的值,那么
		// ++prev, 交换 cur 和 prev 位置的值
		// 当然,如果 ++prev后和cur是相等的,那就没必要在进行交换了

		if (a[cur] < a[key_index] && cur != ++prev)
		{
			swap(&a[cur], &a[prev]);
		}

		// 无论任何情况,cur都要往后走
		++cur;
	}

	swap(&a[key_index], &a[prev]);

	// 将上面的区间分为三段空间
	// [begin_index, prev)  prev [prev + 1, end_index)
	// 递归左右区间

	quick_sort(a, begin_index, prev);
	quick_sort(a, prev + 1, end_index);
}

有了三数取中，几乎保证了没有最坏的情况。

2. 小区间优化

当一个区间中的数据量很小时，比如10个数据以内的区间，如果我们此时还利用快排的递归写法，可能会导致大量的递归调用，进而导致效率的降低，也有栈溢出的风险。而我们提出的解决方案：对于小区间，我们用直接插入排序进行处理，避免了递归的大量调用。

从上图我们也可以看出，如果一个初始数据是有序或者接近有序情况下，每次都是二分递归的话，最后一两次几乎占据了一大半以上的递归次数。如果我们将最后一两次的递归处理改为直接插入排序，可以大量的减少递归次数，进而一定程度上提高了效率，有效地避免了栈溢出的可能。

小区间优化的代码如下：

cpp 复制代码 
// 直接插入排序
void insert_sort(int* a, int n)
{
	int i = 0;
	for (i = 0; i < n - 1; i++)
	{
		int end = i;
		int tmp = a[end + 1];

		while (end >= 0)
		{
			if (a[end] > tmp)
			{
				a[end + 1] = a[end];
				end--;
			}
			else
			{
				break;
			}
		}
		a[end + 1] = tmp;
	}
}

// 前后指针法的整体实现
void quick_sort(int* a, int begin_index, int end_index)
{
	// 同理: 我们的区间是一个左闭右开的 [begin_index,end_index)
	// 当 begin_index == end_index-1 ，那么代表只有一个数据
	// 当 begin_index > end_index-1 ,非法区间
	// 上述两种情况,都不用再进行递归了,结束当前栈帧

	if (begin_index >= end_index - 1)
		return;

	int prev = begin_index;
	int cur = prev + 1;

	int key_index = begin_index;   //key_index 就是 key的下标

	int mid = get_mid_val_index(a, begin_index, end_index - 1);  // 三数取"中",结果为"中"的下标

	//swap(&a[key_index], &a[mid]);  // 交换key_index位置的值 和 mid 位置的值

	int end = end_index; // 最后一个元素的下一个位置

	// 当cur == end 循环结束
	while (cur < end)
	{
		// 如果当前cur位置的值小于key_index位置的值,那么
		// ++prev, 交换 cur 和 prev 位置的值
		// 当然,如果 ++prev后和cur是相等的,那就没必要在进行交换了

		if (a[cur] < a[key_index] && cur != ++prev)
		{
			swap(&a[cur], &a[prev]);
		}

		// 无论任何情况,cur都要往后走
		++cur;
	}

	swap(&a[key_index], &a[prev]);

	// 将上面的区间分为三段空间
	// [begin_index, prev)  prev [prev + 1, end_index)

    // 小区间优化:    

	// 如果区间有10个数据以上的话 递归左右区间
	if (end_index - begin_index > 10)
	{
		quick_sort(a, begin_index, prev);
		quick_sort(a, prev + 1, end_index);
	}
	// 如果当前区间只剩下了10个以内的数据,直接插入排序处理
	else
	{
		insert_sort(a + begin_index,end_index - begin_index);
	}
}

7.4. 快速排序的非递归

快速排序的递归的问题：某些极端场景，例如递归深度太深，会导致栈溢出。因此人们提出了非递归处理，而非递归处理我们需要借助栈或者队列这两种数据结构。

7.4.1. 用栈实现快速排序的非递归

用栈实现快速排序非递归的思路：将原区间进行入栈，入栈后，经过单趟排序处理，将原区间分为左右区间，再将左右区间入栈(先入右区间，后入左区间，以达到模拟递归的过程：先处理左区间，后处理右区间) ，重复上述的过程，直至栈为空。代码如下：

cpp 复制代码 
// 单趟排序
// 区间为 [left,right) 左闭右开
// left 为第一个元素的位置
// right 为 最后一个元素的下一个位置
int single_quick_sort(int* a, int left, int right)
{
	// left == right - 1 代表只有一个数据 
	// left > right - 1  代表是一个非法区间
	// 结束当前栈帧,并返回-1
	if (left >= right - 1)
		return -1;

	// prev 区间的第一个数据的下标
	int prev = left;
	// cur  第一个数据的下一个数据的下标
	int cur = prev + 1;
	// 关键值key的下标
	int key_index = prev;
	// 三数取中
	int mid = get_mid_val_index(a, left, right - 1);
	swap(&a[key_index], &a[mid]);

	// cur == right 就结束
	while (cur < right)
	{
		if (a[cur] < a[key_index] && ++prev != cur)
			swap(&a[cur], &a[prev]);
		++cur;
	}

	swap(&a[prev], &a[key_index]);

	// 返回单趟排序后key的正确位置
	return prev;
}

// 用栈实现快排的非递归
// left    第一个元素的位置
// right  最后一个元素的下一个位置
void non_recursion_quick_sort(int* a, int left, int right)
{
	// 这个栈存放的就是每个区间的左右位置
	std::stack<std::pair<int,int>> st; 
	st.push(std::make_pair(left, right));

	while (!st.empty())
	{
		int begin = st.top().first;   //  区间中第一个元素的位置
		int end = st.top().second;  //  区间中最后一个元素的下一个位置
		st.pop();

		// 根据mid判断,当前区间是否合法,如果合法(mid != -1),继续入左右区间
		// 如果不合法,即 mid == -1,那么继续下一趟循环,直至栈为NULL
		int mid = single_quick_sort(a, begin, end);

		// 原区间就被分为: 
		// [begin,mid) mid [mid+1,end)
		// 将左右区间入栈
		// 如果mid == -1 说明,该区间只有一个数据,或者是一个非法区间,不要再入栈了
		if (mid != -1)
		{
			st.push(std::make_pair(mid + 1, end));  // 先入右区间,后处理
			st.push(std::make_pair(begin, mid));  // 后入左区间,先处理
		}
	}
}

7.4.2. 用队列实现快速排序的非递归

用队列实现快速排序的非递归和使用栈的思路几乎没有区别，将原区间进行入队列，入队列后，经过单趟排序处理，将原区间分为左右区间，再将左右区间入队列(先入左区间，后入右区间 )，重复上述的过程，直至队列为空。代码如下：

cpp 复制代码 
// 区间为 [left,right) 左闭右开
// left 为第一个元素的位置
// right 为 最后一个元素的下一个位置
int single_quick_sort(int* a, int left, int right)
{
	// left == right - 1 代表只有一个数据 
	// left > right - 1  代表是一个非法区间
	// 结束当前栈帧,并返回-1
	if (left >= right - 1)
		return -1;

	// prev 区间的第一个数据的下标
	int prev = left;
	// cur  第一个数据的下一个数据的下标
	int cur = prev + 1;
	// 关键值key的下标
	int key_index = prev;
	// 三数取中
	int mid = get_mid_val_index(a, left, right - 1);
	swap(&a[key_index], &a[mid]);

	// cur == right 就结束
	while (cur < right)
	{
		if (a[cur] < a[key_index] && ++prev != cur)
			swap(&a[cur], &a[prev]);
		++cur;
	}

	swap(&a[prev], &a[key_index]);

	// 返回单趟排序后key的正确位置
	return prev;
}


// left    第一个元素的位置
// right  最后一个元素的下一个位置
void non_recursion_quick_sort(int* a, int left, int right)
{
	// 这个队列存放的就是每个区间的左右位置
	std::queue<std::pair<int, int>> qu;
	qu.push(std::make_pair(left, right));

	while (!qu.empty())
	{
		int begin = qu.front().first;   //  区间中第一个元素的位置
		int end = qu.front().second;  //  区间中最后一个元素的下一个位置
		qu.pop();
		//根据mid判断,当前区间是否合法,如果合法(mid != -1),继续入左右区间
		// 如果不合法,即 mid == -1,那么继续下一趟循环,直至队列为NULL
		int mid = single_quick_sort(a, begin, end);

		// 原区间就被分为: 
		// [begin,mid) mid [mid+1,end)
		// 将左右区间入队列
		// 如果mid == -1 说明,该区间只有一个数据,或者是一个非法区间,不要再入队列了

		if (mid != -1)
		{
			qu.push(std::make_pair(begin, mid));  // 先入左区间,先处理左区间
			qu.push(std::make_pair(mid+1, end));  // 后入右区间,后处理右区间
		}
	}
}

7.5. 快速排序的性能

时间复杂度：O(N*logN) ，如果实现了三数取中，那么我们认为时间复杂度是O(N*logN)，如果没有实现三数取中，那么会存在**O(N^2)**的情况。

空间复杂度：O(logN) ~ O(N)

稳定性：不稳定

8. 归并排序

归并排序是一种常见的排序算法，采用分治策略（Divide and Conquer）的思想实现，它的基本思路是将待排序的数据序列分成若干个子序列，每个子序列都是有序的，然后再把有序的子序列合并成一个有序的序列，从而完成排序。

具体实现过程如下：首先将待排序的序列不断地进行两两分组，使得每个组的元素个数不超过1个；接着将相邻的两个组合并成一个大组，并且在合并的过程中对组内的元素进行排序；循环执行以上操作，直到整个序列全部有序，即所有的子序列合并成一个有序的序列。

归并排序的时间复杂度是 O(nlogn)，其中n为待排序序列的长度，它比较适合用于处理大数据量的排序问题。
我们以下面的数据举例：

分治过程：

归并过程：

8.1. 归并排序的递归实现

根据上图，我们的代码如下：

cpp 复制代码 
/*
*  a: 原数组
*  tmp_arr: 中间数组,用于处理数据 
*  begin : 区间中第一个数据的下标
*  end : 区间最后一个数据的下一个位置
*  区间为左闭右开 [begin,end)
*/
void _merge_sort(int* a, int begin, int end, int* tmp_arr)
{
	// 如果区间只有一个数据或者没有数据(区间非法),那么返回上级栈帧
	if (begin >= end - 1)
		return;
    
    // 将区间分为 [begin,mid+1) [mid+1,end)
	int mid = (begin + end - 1) >> 1; 

	//  分治
	_merge_sort(a, begin, mid + 1, tmp_arr);
	_merge_sort(a, mid + 1, end, tmp_arr);


	// 归并处理 [begin,mid+1] [mid+1,end) 这两段区间

	// 左区间
	int begin1 = begin;  
	int end1 = mid + 1;
	// 右区间
	int begin2 = mid + 1;
	int end2 = end;
	// i就是tmp_arr这个数组的下标
	int i = begin1;
	// 排升序
	while (begin1 < end1 && begin2 < end2)
	{
		if (a[begin1] < a[begin2])
		{
			tmp_arr[i++] = a[begin1++];
		}
		else
		{
			tmp_arr[i++] = a[begin2++];
		}
	}
	// 出循环,说明左右区间有一个走完了
	// 此时需要把另一个区间也添加到tmp_arr这个数组里
	while (begin1 < end1)
	{
		tmp_arr[i++] = a[begin1++];
	}
	while (begin2 < end2)
	{
		tmp_arr[i++] = a[begin2++];
	}

	// 当归并完,需要把数据拷回原数组
	memcpy(a + begin, tmp_arr + begin, (end - begin)*sizeof(int));
}


void merge_sort(int* a, int n)
{
	int* tmp_arr = (int*)malloc(sizeof(int)*n);
	assert(tmp_arr);

	_merge_sort(a, 0, n, tmp_arr);

	free(tmp_arr);
}

8.2. 归并排序的非递归实现

1. 分析

归并排序的非递归实现可以通过迭代的方式来完成，主要思路如下：

  1. 首先，将待排序的序列划分为多个长度为1的区间（每个区间只有一个元素），将这些区间视为有序的。

  2. 然后，将相邻的区间两两合并成一个区间，并在合并的过程中对区间内的元素进行排序。

  3. 重复上述过程，直到整个序列全部有序，即最后只剩下一个有序的区间，这个区间就是排序完成的序列。​​​​​​​

具体实现过程如下：

  1. 初始化一个大小与待排序序列相同的辅助数组。

  2. 初始时，将待排序序列中的每个元素视为一个有序的区间。

  3. 通过循环，不断地将相邻的小区间两两合并成大区间，合并的过程中进行排序，并将合并后的大区间存储到辅助数组中。具体合并的步骤是：比较两个小区间的第一个元素，将较小的元素存入辅助数组，并将对应小区间的指针向后移动一位。

  4. 重复上述步骤，直到完成最后一次合并，得到一个有序的大区间。

  5. 将辅助数组复制回原始的待排序序列。

通过以上步骤，可以用非递归的方式实现归并排序。这种实现方式相对于递归实现来说，需要用辅助数组来存储合并的中间结果，但是可以避免递归带来的函数调用开销，更加节省内存空间。
我们还是以下面的数据举例：

gap == 1，代表着，每次归并的区间距离为gap，即左右区间的长度都是1。例如下面：a[0]和a[1]归并，a[2]和a[3]归并，a[4]和a[5]归并，a[6]和a[7]归并，具体如下：

gap == 2，代表着，每次归并的区间距离为gap，即左右区间的长度都是2。例如下面：a[0]，a[1]和a[2]，a[3]，归并，a[4]，a[5]和a[6]，a[7]归并，具体如下：

​​​​​​​​​​​​​​

gap == 4，代表着，每次归并的区间距离为gap，即左右区间的长度都是4。例如下面：a[0]，a[1]，a[2]，a[3]和a[4]，a[5]，a[6]，a[7]归并，具体如下：

根据上面的图，我们可以写出下面的代码：

cpp 复制代码 
void non_recursion_merge_sort(int* a, int n, int* tmp_arr)
{
	int gap = 1;

	while (gap < n)
	{
        //printf("gap = %d:>", gap);
		for (size_t i = 0; i < n; i += gap * 2)
		{
			// 注意,这里的区间都是左闭右闭
			// 每一次循环的区间: [i,i+gap-1] 和 [i+gap,i+2*gap-1] 
            // 左区间
			int begin1 = i;
			int end1 = i + gap - 1;
            // 右区间
			int begin2 = i + gap;
			int end2 = i + 2 * gap - 1;

            //printf("{%d , %d}  ", begin1, end1);  // { xxx } 代表左区间
			//printf("[%d , %d]  ", begin2, end2);  // [ xxx ] 代表右区间

			int first = begin1;
			int last = end2;

			// tmp_arr数组的下标
			int j = begin1;

			// 排升序
			// 有一个区间结束就结束
			while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
			{
				if (a[begin1] < a[begin2])
				{
					tmp_arr[j++] = a[begin1++];
				}
				else
				{
					tmp_arr[j++] = a[begin2++];
				}
			}

			// 当一个区间结束,那么把另一个区间的数据添加到tmp_arr数组里

			while (begin1 <= end1)
			{
				tmp_arr[j++] = a[begin1++];
			}
			while (begin2 <= end2)
			{
				tmp_arr[j++] = a[begin2++];
			}
            // 如果在这里拷贝,那么每次循环都要拷贝一次
			memcpy(a + first, tmp_arr + first, (last - first + 1)*sizeof(int));
		}
        // 如果在这里拷贝,那么一次gap拷贝一次数据
		//memcpy(a, tmp_arr, n*sizeof(int)); 
        //printf("\n");
		gap *= 2;
	}
}

我们看看我们的结果如何：

排序前：

排序后：

可以看到，结果貌似没有任何问题。但是，上面的代码实际上是存在巨大的问题的。因为我们上面的循环，已经把区间给些死了。万一数据多了呢？或者少了呢？例如下面的情况：

此时有9个数据， 如果按照我们上面的代码的思路，那么其过程应该如下：

可以看到，如果按照我们上面代码的思路处理这9个数据，那么一定会存在越界行为；我们也可以借助打印查看一下每次循环的区间：

注意: {} 代表左区间 ；[] 代表右区间

此时进程已经崩溃了，如下：

此时我们也就知道原因了，就是因为循环边界问题。因此，解决问题的关键就是，处理好边界。那么我们就要分析一下了，什么情况会导致越界了？我们就拿上面的越界分析： ​​​​​​​

因为只有9个数据，那么上面的图越界的区间有：

注意: {} 代表左区间 ；[] 代表右区间

可以看到，越界的下标可以总结为三种情况：

情况一：右区间的起始下标越界了

情况二：左区间的结尾下标越界了

情况三：右区间的结尾下表越界了

而我们的解决方案就是，对越界下标进行修正。

如果是情况一：将右区间修正为一个不存在的区间

如果是情况二：将左区间的结尾下标设置为最后一个数据的下标，并且将右区间修正为一个不能存在的空间

如果是情况三：将右区间的结尾下标设置为最后一个数据的下标

修正逻辑具体如下：

cpp 复制代码 
// 修正区间
// case 1:右区间的起始下标越界了
if (begin2 > n - 1)
{
	// Solution:
	// 将右区间修正为一个不存在的区间
	begin2 = n;
	end2 = n - 1;
}
// case 2:左区间的结尾下标越界了
if (end1 > n - 1)
{
	// Solution:
	// 将左区间的结尾下标设置为最后一个数据的下标
	// 并且将右区间修正为一个不能存在的空间
	end1 = n - 1;
	begin2 = n;
	end2 = n - 1;

}
// case 3:右区间的结尾下表越界了
if (end2 > n - 1)
{
	// Solution:
	// 将右区间的结尾下标设置为最后一个数据的下标
	end2 = n - 1;
}

修正后的区间如下：

2. 归并排序的非递归的完整实现

cpp 复制代码 
void non_recursion_merge_sort(int* a, int n, int* tmp_arr)
{
	int gap = 1;

	while (gap < n)
	{
		printf("gap = %d:>", gap);

		for (size_t i = 0; i < n; i += gap * 2)
		{
			// 注意,这里的区间都是左闭右闭
			// 每一次循环的区间: [i,i+gap-1] 和 [i+gap,i+2*gap-1] 
			// 左区间
			int begin1 = i;
			int end1 = i + gap - 1;
			// 右区间
			int begin2 = i + gap;
			int end2 = i + 2 * gap - 1;


			// 修正区间
			// case 1:右区间的起始下标越界了
			if (begin2 > n - 1)
			{
				// Solution:
				// 将右区间修正为一个不存在的区间
				begin2 = n;
				end2 = n - 1;
			}
			// case 2:左区间的结尾下标越界了
			if (end1 > n - 1)
			{
				// Solution:
				// 将左区间的结尾下标设置为最后一个数据的下标
				// 并且将右区间修正为一个不能存在的空间
				end1 = n - 1;
				begin2 = n;
				end2 = n - 1;

			}
			// case 3:右区间的结尾下表越界了
			if (end2 > n - 1)
			{
				// Solution:
				// 将右区间的结尾下标设置为最后一个数据的下标
				end2 = n - 1;
			}

			printf("{%d , %d}  ", begin1, end1);  // { xxx } 代表左区间
			printf("[%d , %d]  ", begin2, end2);  // [ xxx ] 代表右区间


			int first = begin1;
			int last = end2;

			// tmp_arr数组的下标
			int j = begin1;

			// 排升序
			// 有一个区间结束就结束
			while (begin1 <= end1 && begin2 <= end2)
			{
				if (a[begin1] < a[begin2])
				{
					tmp_arr[j++] = a[begin1++];
				}
				else
				{
					tmp_arr[j++] = a[begin2++];
				}
			}

			// 当一个区间结束,那么把另一个区间的数据添加到tmp_arr数组里

			while (begin1 <= end1)
			{
				tmp_arr[j++] = a[begin1++];
			}
			while (begin2 <= end2)
			{
				tmp_arr[j++] = a[begin2++];
			}
			//memcpy(a + first, tmp_arr + first, (last - first + 1)*sizeof(int));
		}
		memcpy(a, tmp_arr, n*sizeof(int)); 
		printf("\n");
		gap *= 2;
	}
}

3. 归并排序的总结

  1. 归并的缺点在于需要O(N)的空间复杂度，归并排序更多的是解决在磁盘中的外排序问题。
  2. 时间复杂度：O(N*logN)
  3. 空间复杂度：O(N)
  4. 稳定性：稳定

9. 计数排序

计数排序是一种非比较排序算法，它通过统计待排序序列中每个元素出现的次数来实现排序。该算法假设待排序序列的元素都是非负整数，并且已知待排序序列的最大值max，最小值min。

具体实现过程如下：

  1. 创建一个长度为max-min+1的辅助数组tmp，用于统计每个元素出现的次数。

  2. 遍历待排序序列，统计每个元素出现的次数，并将结果存储到tmp数组中。例如，如果待排序序列中有一个元素的值为k，则tmp[k-min]的值加1。

  3. 根据tmp数组中的统计结果，重新构造排序后的序列。具体步骤是从tmp数组中按顺序取出元素，循环取出tmp[i]次，将对应的元素值（i+min）添加到排序后的序列中。

  4. 最后，得到的排序后的序列就是计数排序的结果。

我们以下面的数据举例：

计数排序的过程：

1、 统计每个数据出现的次数。

2、 排序按照元素的大小顺序写回原数组

9.1. 统计次数

用一个数组，按元素大小依次记录每个元素出现的次数，这个数组的大小为最大元素-最小元素 + 1，例如上面的最大元素为5，最小元素为0，那么我们需要开6个空间。具体如下：

用于统计次数的数组：

下标意味着 原始数据的值

数组的值：代表着原始数据出现的次数

cpp 复制代码 
// 统计次数
// a数组代表原始数据数组
// tmp代表统计次数的数组
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
	tmp[a[i] - ret.first]++;
}

9.2. 排序

根据统计次数的数组意义：

下标意味着原始数据的值

数组的值：代表着原始数据出现的次数

如果数组的值 > 0 就继续，否则就去找下一个。

cpp 复制代码 
// j 代表原始数组的下标
int j = 0;

for (int i = 0; i < size; ++i)
{
    // 如果统计次数数组的值 > 0 就继续赋值
    // 否则,去找下一个,直至走到统计次数数组的结尾
	while (tmp[i] > 0)
	{
		a[j++] = i + ret.first;
		tmp[i]--;
	}
}

9.3. 计数排序的完整实现

cpp 复制代码 
std::pair<int,int> get_array_size(int* a, int n)
{
	int min_val = a[0];
	int max_val = a[0];

	for (int i = 1; i < n; ++i)
	{
		if (a[i] < min_val)
			min_val = a[i];
		if (a[i] > max_val)
			max_val = a[i];
	}

	return std::make_pair(min_val, max_val);
}


void count_sort(int* a, int n)
{
	// 计算统计次数的数组的大小
	
	// ret.first : 原数据的最小值
	// ret.second: 原数据的最大值
	std::pair<int,int> ret = get_array_size(a, n);
	int size = ret.second - ret.first + 1;
	int* tmp = (int*)calloc(size, sizeof(int));
	assert(tmp);

	// 统计次数
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		tmp[a[i] - ret.first]++;
	}

	// 排序

	// j 代表原始数组的下标
	int j = 0;

	for (int i = 0; i < size; ++i)
	{
		while (tmp[i] > 0)
		{
			a[j++] = i + ret.first;
			tmp[i]--;
		}
	}
	free(tmp);
	tmp = NULL;
}
  1. 计数排序在数据范围集中时，效率很高，但是适用范围及场景有限。
  2. 时间复杂度：O(MAX(N,范围))
  3. 空间复杂度：O(范围)
  4. 稳定性：稳定
    局限性：

1、如果是浮点型、字符串，就无法排序了

2、如果数据范围很大，那么空间复杂度就会很大，那么就不适合了。基数排序，适合数据比较集中，重复数据多。

10. 排序性能的总结

|------------|---------------------|-----------|----------|---------------|---------|
| 排序方法 | 平均情况 | 最好情况 | 最坏情况 | 辅助空间 | 稳定性 |
| 冒泡排序 | O(N^2) | O(N) | O(N^2) | O(1) | 稳定 |
| 选择排序 | O(N^2) | O(N^2) | O(N^2) | O(1) | 不稳定 |
| 直接插入排序 | O(N^2) | O(N) | O(N^2) | O(1) | 稳定 |
| 希尔排序 | O(NlogN) ~ O(N^2) | O(N^1.3) | O(N^2) | O(1) | 不稳定 |
| 堆排序 | O(NlogN) | O(NlogN) | O(NlogN) | O(1) | 不稳定 |
| 归并排序 | O(NlogN) | O(NlogN) | O(NlogN) | O(N) | 稳定 |
| 快速排序 | O(NlogN) | O(NlogN) | O(N^2) | O(logN)~O(N) | 不稳定 |

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