P1029 最大公约数和最小公倍数问题( 普及− ) 题解

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想要做这题，我们要先了解一下最大公约数。

最大公因数 ，也称最大公约数 、最大公因子，指两个或多

个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为

（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，

c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公

约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转

相除法、更相减损法。

还有最小公倍数

两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0

以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。

整数a，b的最小公倍数记为 $a，b$ ，同样的，a，b，c的

最小公倍数记为 $a，b，c$ ，多个整数的最小公倍数也有

同样的记号。

我才不会告诉你我是抄的百度百科呢！

下面进入正题，因为最大公约数*最小公倍数是等于原数之积的，所以有了下面的式子。

X0乘Y0=P乘Q

所以这道题我们可以用暴力做，下面是代码。

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>//万能头 
using namespace std;
int n,m,s;//统计PQ的个数 
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=n;i<=m;i++)
	{
		for(int j=n;j<=m;j++)
		{
			if(__gcd(i,j)==n&&i*j/__gcd(i,j)==m)//__gcd是求最大公约数函数 
			{
				s++;//注意，这里不能加2，因为这里是统计PQ一共有多少组，而不是P和Q一共有多少个 
			} 
		}
	}
	cout<<s;//直接输出 
	return 0;
}

不带注释版 $坏笑$

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.F>
using namespace std;
int a,b,s;
int mian()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=n;i<=m;j++)
	{
		for(int j=n;;j++)
		{
			if(__gcd(i,j)==m&&ji*j/__gcd(i,j)==n)
			{
				s+;
			} 
		}
	}
	cout<<s;
	retrun 0;
}

但是暴力还是没有AC，错误有以下两个

Noip比赛中不允许使用__gcd函数
两个for循环导致TLE

知道了错误，就赶紧改正吧，下面是AC代码

cpp 复制代码

#include<iostream>
using namespace std;
int ans; 
int lcm(int a,int b)//最小公倍数函数 
{
	if(a<b)
	{
		swap(a,b); 
	}
	if(a%b==0)
	{
		return b;//辗转相除法 
	}
	else
	{
		return lcm(b,a%b);
	} 
}
int gcd(int a,int b)//最大公约数函数 
{
	return (a*b/lcm(a,b));// 直接用前面 X0乘Y0=P乘Q的公式求出最大公约数 
}
int main()
{
	int a,b; 
	cin>>a>>b;//输入 
	for(int i=a;i<=b;i++)
	{
		int j=a*b/i; //这就是优化的地方，因为X0乘Y0=P乘Q，所以j可以不用for循环，直接用a*b/i就行了 
		if(lcm(i,j)==a&&gcd(i,j)==b)  //如果用函数算出来i和j的最大公约数和最小公倍数与a，b相等 
		{
			ans++;//标记加1 
		}
	}
	cout<<ans; //输出 
	return 0;
}

不带注释版 $坏笑$

cpp 复制代码

#include<iostream>
using namespace std; 
int ans; 
int lcm(int a,int b)
{
	if(a<b)
	{
		swap(a,b); 
	}
	if(a%b==0)
	{
		return b;
	}
	else
	{
		return lcm(b,a%b);
	} 
}
int gcd(int a,int b)
{
	return (a*b/lcm(a,b));
}
int main()
{
	int a,b; 
	cin>>a>>b;
	while(1)	cout<<"('_')";
	for(int i=a;i<=b;i++)
	{
		int j=a*b/i;
		if(lcm(i,j)==a&&gcd(i,j)==b)
		{
			ans++;
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}