二叉查找树
二叉查找树是一棵有点权的二叉树，具有以下几个特征：
- 左孩子的权值小于父亲的权值
- 右孩子的权值大于父亲的权值
- 中序遍历及从小到大排序
二叉查找树支持以下几个操作：
- 插入一个数
- 删除一个数
- 找一个数的前驱
- 找一个数的后继
- 询问一个数的排名
- 询问排第几名的数
二叉查找树一棵二叉查找树，所以在最优的情况下单一操作的时间复杂度应该是 \(\text{O}(\log n)\) 级别的。但是在进行操作时，如果输入的点权单调递增或递减，那么整个数据结构就将由树退化成为链。所以单次操作的时间复杂度最坏为 \(\text{O}(n)\) 级别。
普通平衡树
为了使这个数据结构平衡，平衡树就应运而生了。Treap 就是平衡树的一种，这个算法就是将树 (Tree) 与堆 (Heap) 相结合了起来。Treap 给每一个节点在维护原来的数值的同时，还添加了一个随机值。但看权值，这是一颗二叉搜索树，但是但看随机值这又是一个堆。
储存
首先我们应该了解一下如何储存一颗平衡树。
因为平衡树的结构是会改变的，所以我们需要储存每一个节点的左孩子与右孩子。因为一个节点可能会多次添加，所以应该使用 cnt 记录以下这个节点出现的个数。为了后面的操作，我们应该还需要定义一个 size 变量记录这个节点及子树的大小。
所以在我们定义的结构体应该是下面这样的：
cpp
struct node{
int l,r,k,val,cnt,size;
}a[N];updata
在进行修改操作之后，节点的子树大小会发行变化。updata 函数的功能是更新节点的 size 值。
cpp
void updata(int u){
a[u].size=a[a[u].l].size+a[a[u].r].size+a[u].cnt;
}make
在进行操作时，为了节省空间复杂度，平衡树使用了动态开点。动态开点就是你需要使用一个新节点时就现马上申请一个空间，而不是全部预留好。
cpp
int make(int k){
a[++tot].k=k,a[tot].val=rand(); //tot 记录节点个数
a[tot].cnt=a[tot].size=1;
return tot;
}zig && zag
既然需要再维护二叉查找树的同时维护平衡树，就需要在不改变平衡树的性质的情况下完成堆所需要的 swap 的操作。所以我们就迎来了平衡树最重要的操作 zig 与 zag。
这是一棵平衡树，其中 1 2 3 为节点 A B C 为子树。
它们满足以下性质：\(1>A>2>C>3>D\)
那么如果需要交换 2 3 的位置，那么在不违背其性质的情况下将其改为：
这个过程就是 zig 操作，反之即是 zag 操作。代码实现就是将将操作进行模拟，方法如下：
cpp
void zig(int &p){
int q=a[p].l;
a[p].l=a[q].r,a[q].r=p,p=q;
updata(a[p].r),updata(p);
}
void zag(int &p){
int q=a[p].r;
a[p].r=a[q].l,a[q].l=p,p=q;
updata(a[p].l),updata(p);
}build
因为在平衡树中有旋转操作，所以根节点有可能会在旋转操作中改变位置。为了让根节点的位置保持不变，可以建立两个虚点，并令其优先级远远高于其他的点,永远停留在根节点的位置。
cpp
void build(){
make(-INF),make(INF);
root=1,a[1].r=2,updata(root);
if(a[1].val<a[2].val) zag(root);
}insert
在插入操作中，一共有三种操作。反复执行操作三，直至满足操作一或操作二。
-
操作一 ：需要处理的节点为 \(0\)，意味着这个节点不存在，所以直接新建。
-
操作二 ：已经找到车要添加的节点，
cnt加一。 -
操作三：需要添加的节点小于或大于这个节点，那么分别访问左节点或右节点。
cpp
void insert(int &p,int k){
if(p==0) p=make(k);
else{
if(a[p].k==k) a[p].cnt++;
if(a[p].k>k){
insert(a[p].l,k);
if(a[a[p].l].val>a[p].val) zig(p);
}if(a[p].k<k){
insert(a[p].r,k);
if(a[a[p].r].val>a[p].val) zag(p);
}
}updata(p);
}del
在删除操作中，同样分为三种操作：
-
操作一：没有找到这个点就直接返回，不进行修改操作。
-
操作二：如果这个节点的值大于或者小于要删除的值，那么就继续访问左孩子或者右孩子。
-
操作三 ：找到了这个值，如果
cnt大于 \(1\)，那么直接cnt--否则寻找比这个节点大的集合中的最小值。
cpp
void del(int &p,int k){
if(p==0) return ;
if(a[p].k==k){
if(a[p].cnt>1){
a[p].cnt--;
updata(p);
return;
}if(a[p].l||a[p].r){
if(!a[p].r||a[a[p].l].val) zig(p),del(a[p].r,k);
else zag(p),del(a[p].l,k);
}else p=0;
updata(p);
return;
}if(a[p].k>k) del(a[p].l,k);
else del(a[p].r,k);
updata(p);
}get_rank
get_rank 函数可以获得某个点的排名。在寻找时如果节点在左子树，则这个节点在左子树的排名就是这个节点在这棵子树上的排名。反之，如果这个节点在右子树，那么他的排名就是左子树的大小+根节点的大小+自己在右子树的排名。
cpp
int get_rank(int p,int k){
if(p==0) return 0;
if(a[p].k==k) return a[a[p].l].size+1;
if(a[p].k>k) return get_rank(a[p].l,k);
return a[a[p].l].size+a[p].cnt+get_rank(a[p].r,k);
}因为查询的数可能不在树中存在，所以但是 get_rank 的返回值又是默认其存在的，所以将答案设为了函数值\(-1\)。为了避免发生这样的错误，需要在定义一个 find 函数检查是否存在这个节点。
cpp
bool find(int p,int x){
if(a[p].k==x) return 0;
if(a[p].val==0) return 1;
if(a[p].k>x) return find(a[p].l,x);
return find(a[p].r,x);
}get_key
get_key 函数可以获取某个排名的数。当访问到一个节点时，如果这个节点的左子树的大小大于它的排名，那么这个节点就应该在左子树。如果这个排名大于这个节点的大小 + 左子树的大小，那么这个节点就应该在右子树。其他的情况就应该就在这个节点。
cpp
int get_key(int p,int rank){
if(p==0) return INF;
if(a[a[p].l].size>=rank) return get_key(a[p].l,rank);
if(a[a[p].l].size+a[p].cnt>=rank) return a[p].k;
return get_key(a[p].r,rank-a[a[p].l].size-a[p].cnt);
}get_pr
get_pr 函数可以找到一个数的前驱，及比他大的数中最小的一个。因为平衡树满足左孩子 \(<\) 根节点 \(<\) 右孩子，所以只需要先走到左孩子，再一直向右走就可以了。
cpp
int get_pr(int p,int k){
if(p==0) return-INF;
if(a[p].k>=k) return get_pr(a[p].l,k);
return max(get_pr(a[p].r,k),a[p].k);
}get_ne
get_ne 函数可以找到一个数的后驱，及比他小的数中最大的一个。因为平衡树满足左孩子 \(<\) 根节点 \(<\) 右孩子，所以只需要先走到右孩子，再一直向左走就可以了。
cpp
int get_ne(int p,int k){
if(p==0) return INF;
if(a[p].k<=k) return get_ne(a[p].r,k);
return min(get_ne(a[p].l,k),a[p].k);
}P3369 普通平衡树
这一题就是一道模板题，只需要将前面的操作整合在一起就可以了。
cpp
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010,INF=1e8;
int n;
struct Node{int l,r,k,val,cnt,size;}a[N];
int root,tot;
void updata(int u){a[u].size=a[a[u].l].size+a[a[u].r].size+a[u].cnt;}
int make(int k){
a[++tot].k=k,a[tot].val=rand();
a[tot].cnt=a[tot].size=1;
return tot;
}
void zig(int &p){
int q=a[p].l;
a[p].l=a[q].r,a[q].r=p,p=q;
updata(a[p].r),updata(p);
}
void zag(int &p){
int q=a[p].r;
a[p].r=a[q].l,a[q].l=p,p=q;
updata(a[p].l),updata(p);
}
void build(){
make(-INF),make(INF);
root=1,a[1].r=2,updata(root);
if(a[1].val<a[2].val) zag(root);
}
void insert(int &p,int k){
if(p==0) p=make(k);
else{
if(a[p].k==k) a[p].cnt++;
if(a[p].k>k){
insert(a[p].l,k);
if(a[a[p].l].val>a[p].val) zig(p);
}if(a[p].k<k){
insert(a[p].r,k);
if(a[a[p].r].val>a[p].val) zag(p);
}
}updata(p);
}
void del(int &p,int k){
if(p==0) return ;
if(a[p].k==k){
if(a[p].cnt>1){
a[p].cnt--;
updata(p);
return;
}if(a[p].l||a[p].r){
if(!a[p].r||a[a[p].l].val) zig(p),del(a[p].r,k);
else zag(p),del(a[p].l,k);
}else p=0;
updata(p);
return;
}if(a[p].k>k) del(a[p].l,k);
else del(a[p].r,k);
updata(p);
}
int get_rank(int p,int k){
if(p==0) return 0;
if(a[p].k==k) return a[a[p].l].size+1;
if(a[p].k>k) return get_rank(a[p].l,k);
return a[a[p].l].size+a[p].cnt+get_rank(a[p].r,k);
}
int get_key(int p,int rank){
if(p==0) return INF;
if(a[a[p].l].size>=rank) return get_key(a[p].l,rank);
if(a[a[p].l].size+a[p].cnt>=rank) return a[p].k;
return get_key(a[p].r,rank-a[a[p].l].size-a[p].cnt);
}
int get_pr(int p,int k){
if(p==0) return-INF;
if(a[p].k>=k) return get_pr(a[p].l,k);
return max(get_pr(a[p].r,k),a[p].k);
}
int get_ne(int p,int k){
if(p==0) return INF;
if(a[p].k<=k) return get_ne(a[p].r,k);
return min(get_ne(a[p].l,k),a[p].k);
}
bool find(int p,int x){
if(a[p].k==x) return 0;
if(a[p].val==0) return 1;
if(a[p].k>x) return find(a[p].l,x);
return find(a[p].r,x);
}
int main(){
build();
cin>>n;
for(int i=1,op,x;i<=n;i++){
cin>>op>>x;
if(op==1) insert(root,x);
if(op==2) del(root,x);
if(op==3) cout<<get_rank(root,x)+find(root,x)-1;
if(op==4) cout<<get_key(root,x+1);
if(op==5) cout<<get_pr(root,x);
if(op==6) cout<<get_ne(root,x);
if(op!=1&&op!=2)cout<<endl;
}return 0;
}