1
设 F = { A B → C , B → D , C D → E , C E → G H , G → A } F=\{AB\rightarrow C,B\rightarrow D, CD\rightarrow E, CE\rightarrow GH, G\rightarrow A \} F={AB→C,B→D,CD→E,CE→GH,G→A}，用推理的方法证明 F ∣ = A B → G F\;|=AB\rightarrow G F∣=AB→G。
① 已知 B → D B\rightarrow D B→D，则 A B → A D AB\rightarrow AD AB→AD（增广律）
② 已知 A B → A D AB\rightarrow AD AB→AD，则 A B → D AB\rightarrow D AB→D （分解规则）
③ 已知 A B → C AB\rightarrow C AB→C， A B → D AB\rightarrow D AB→D，则 A B → C D AB\rightarrow CD AB→CD （合成规则）
④ 已知 A B → C D AB\rightarrow CD AB→CD， C D → E CD\rightarrow E CD→E，则 A B → E AB\rightarrow E AB→E （传递律）
⑤ 已知 A B → E AB\rightarrow E AB→E， A B → C AB\rightarrow C AB→C，则 A B → C E AB\rightarrow CE AB→CE （合成规则）
⑥ 已知 C E → G H CE\rightarrow GH CE→GH，则 C E → G CE\rightarrow G CE→G （分解规则）
⑦ 已知 A B → C E AB\rightarrow CE AB→CE， C E → G CE\rightarrow G CE→G，则 A B → G AB\rightarrow G AB→G （传递律）
注意区别"传递律"与"传递函数依赖"。
2
设关系模式 R ( A , B , C , D ) R(A,B,C,D) R(A,B,C,D)，其函数依赖集为 F = { A → B , B → C , A → D , D → C } F=\{A\rightarrow B, B\rightarrow C, A\rightarrow D, D\rightarrow C\} F={A→B,B→C,A→D,D→C}， R R R 的一个分解 ρ = { R 1 ( A , B ) , R 2 ( A , C ) , R 3 ( A , D ) } \rho = \{R_1(A,B), R_2(A,C), R_3(A,D)\} ρ={R1(A,B),R2(A,C),R3(A,D)}。
（1）求 F F F 在 ρ \rho ρ 的每个模式上的投影
F F F 在关系模式 R 1 ( A , B ) R_1(A,B) R1(A,B) 上的投影为 { A → B } \{A\rightarrow B\} {A→B}； F F F 在关系模式 R 2 ( A , C ) R_2(A,C) R2(A,C) 上的投影为 { A → C } \{A\rightarrow C\} {A→C}； F F F 在关系模式 R 3 ( A , D ) R_3(A,D) R3(A,D) 上的投影为 { A → D } \{A\rightarrow D\} {A→D}。
（2） ρ \rho ρ 相对于 F F F 是无损连接吗？
|------|------------|------------|------------|
| A | B | C | D |
| a~1~ | a~2~ | b~13~→a~3~ | b~14~→a~4~ |
| a~1~ | b~22~→a~2~ | a~3~ | b~24~→a~4~ |
| a~1~ | b~32~→a~2~ | b~33~→a~3~ | a~4~ |
其中，红色对应 F F F 中的 A → B A\rightarrow B A→B，蓝色对应 F F F 中的 B → C B\rightarrow C B→C，绿色对应 F F F 中的 A → D A\rightarrow D A→D，此时 F F F 中的 D → C D\rightarrow C D→C 不影响表格。
由于存在某一行全为 a a a，所以 ρ \rho ρ 相对于 F F F 是无损连接。
当分解只包括两个关系模式时，可以使用定理"分解 ρ = { R 1 , R 2 } \rho=\{R_1, R_2\} ρ={R1,R2}，若 F ∣ = ( R 1 ∩ R 2 ) → ( R 1 − R 2 ) F|=(R_1\cap R_2)\rightarrow (R_1-R_2) F∣=(R1∩R2)→(R1−R2) 或者 F ∣ = ( R 1 ∩ R 2 ) → ( R 2 − R 1 ) F|=(R_1\cap R_2)\rightarrow (R_2-R_1) F∣=(R1∩R2)→(R2−R1)，则 ρ \rho ρ 具有无损连接性"判断是否为无损连接。
（3） ρ \rho ρ 保持函数依赖吗？
A + = A B C D A^+=ABCD A+=ABCD， B + = B C B^+=BC B+=BC， C + = C C^+=C C+=C， D + = C D D^+=CD D+=CD。
考察 A → B A\rightarrow B A→B， A ⊂ R 1 A\subset R_1 A⊂R1， A + ∩ R 1 − A = { B } A^+ \cap R_1-A=\{B\} A+∩R1−A={B}， G = { A → B } G = \{A\rightarrow B\} G={A→B}；同理 A ⊂ R 2 A\subset R_2 A⊂R2， G = G ∪ { A → C } G = G\cup \{A\rightarrow C\} G=G∪{A→C}， A ⊂ R 3 A\subset R_3 A⊂R3， G = G ∪ { A → D } G = G\cup \{A\rightarrow D\} G=G∪{A→D}。 G = { A → B , A → C , A → D } G = \{A\rightarrow B,A\rightarrow C,A\rightarrow D\} G={A→B,A→C,A→D}。
考察 B → C B\rightarrow C B→C， B ⊂ R 1 B\subset R_1 B⊂R1， B + ∩ R 1 − B = ϕ B^+\cap R_1 - B = \phi B+∩R1−B=ϕ， G G G 不变。
考察 A → D A\rightarrow D A→D 类似于 A → B A\rightarrow B A→B， G = G ∪ { A → B , A → C , A → D } G = G\cup \{A\rightarrow B,A\rightarrow C,A\rightarrow D\} G=G∪{A→B,A→C,A→D}， G G G 不变。
考察 D → C D\rightarrow C D→C， D ⊂ R 3 D\subset R_3 D⊂R3， D + ∩ R 1 − D = ϕ D^+\cap R_1 - D = \phi D+∩R1−D=ϕ， G G G 不变。
最终 G = { A → B , A → C , A → D } G = \{A\rightarrow B,A\rightarrow C,A\rightarrow D\} G={A→B,A→C,A→D}。
显然 G G G 不蕴含 F F F 中的函数依赖 B → C B\rightarrow C B→C 和 D → C D\rightarrow C D→C，所以 ρ \rho ρ 没有保持函数依赖。
3
1NF、2NF、3NF 和 BCNF 的定义：
1NF：如果一个关系模式 R R R 中的每个属性 A A A 的域值都是原子的，即属性值是不可再分 的，则关系模式 R R R 属于第一范式，简记为 R ∈ 1 N F R\in {\rm 1NF} R∈1NF。
2NF：如果 R ∈ 1 N F R∈{\rm 1NF} R∈1NF 且所有的非主属性完全依赖于 R R R 的每个键 ，则 R ∈ 2 N F R∈{\rm 2NF} R∈2NF。
3NF：如果 R ∈ 1 N F R\in {\rm 1NF} R∈1NF 且在 R R R 中没有非主属性传递依赖于 R R R 的键 ，则 R ∈ 3 N F R∈\rm 3NF R∈3NF。
BCNF：如果 R ∈ 1 N F R∈\rm 1NF R∈1NF 且 R R R 中没有任何属性传递依赖于 R R R 的任何一个键 ，则 R ∈ B o y c e − C o d d R∈\rm Boyce-Codd R∈Boyce−Codd 范式（BCNF）。
注意，传递依赖的定义：设关系模式 R R R， X X X、 Y Y Y、 Z Z Z 是 R R R 的属性子集，若函数依赖 X → Y X\rightarrow Y X→Y，Y ↛ X Y\nrightarrow X Y↛X ， Y → z Y\rightarrow z Y→z，则有 X → Z X\rightarrow Z X→Z。
指出下列关系模式是第几范式，并说明理由。
（1） R ( A , B , C ) R(A,B,C) R(A,B,C)，其函数依赖集为 F = { B → C , A C → B } F=\{B\rightarrow C, AC\rightarrow B\} F={B→C,AC→B}
确定 R R R 的键， A + = A A^+ = A A+=A， B + = B C B^+ = BC B+=BC， C + = C C^+=C C+=C； ( A B ) + = A B C (AB)^+=ABC (AB)+=ABC， ( A C ) + = A B C (AC)^+=ABC (AC)+=ABC，所以键为 A B AB AB 和 A C AC AC。关系模式 R R R 无非主属性，因此 R ∈ 2 N F R\in \rm 2NF R∈2NF， R ∈ 3 N F R\in 3\rm NF R∈3NF。但是由于 A C → B AC\rightarrow B AC→B， B ↛ A C B\nrightarrow AC B↛AC， B → C B\rightarrow C B→C ，存在传递依赖，故 R ∉ B C N F R\notin \rm BCNF R∈/BCNF。
（2） R ( A , B , C ) R(A,B, C) R(A,B,C)，其函数依赖集为 F = { A B → C } F=\{AB\rightarrow C\} F={AB→C}
( A B ) + = A B C (AB)^+ = ABC (AB)+=ABC，显然 R R R 的键为 A B AB AB，即 A A A 和 B B B 为主属性， C C C 为非主属性。 A B → C AB\rightarrow C AB→C， C C C 完全依赖于键 A B AB AB， R ∈ 2 N F R\in 2\rm NF R∈2NF。不存在传递依赖， R ∈ 3 N F R\in 3\rm NF R∈3NF， R ∈ B C N F R\in \rm BCNF R∈BCNF。
（3） R ( A , B , C ) R(A,B,C) R(A,B,C)，其函数依赖集为 F = { A → B , A → C } F=\{A\rightarrow B, A\rightarrow C\} F={A→B,A→C}
R R R 的键为 A A A， A A A 为主属性， B B B 和 C C C 为非主属性。 B B B 和 C C C 完全依赖于 A A A， R ∈ 2 N F R\in \rm 2NF R∈2NF。不存在传递依赖，， R ∈ 3 N F R\in 3\rm NF R∈3NF， R ∈ B C N F R\in \rm BCNF R∈BCNF。
（4） R ( A , B , C , D ) R(A,B,C,D) R(A,B,C,D)，其函数依赖集为 F = { A → C , A D → B } F=\{A\rightarrow C, AD\rightarrow B\} F={A→C,AD→B}
R R R 的键为 A D AD AD， A A A 和 D D D 为主属性， B B B 和 C C C 为非主属性。 B B B 完全依赖于键 A D AD AD，但是 C C C 部分依赖于键 A D AD AD，所以 R ∉ 2 N F R\notin 2\rm NF R∈/2NF。
（5） R ( A , B , C ) R(A,B,C) R(A,B,C)，其函数依赖集为 F = { B → C , B → A , A → B C } F=\{B\rightarrow C, B\rightarrow A, A\rightarrow BC\} F={B→C,B→A,A→BC}
A + = B + = A B C A^+=B^+=ABC A+=B+=ABC，所以键为 A A A 和 B B B， C C C 为非主属性。根据分解规则可知 A → C A\rightarrow C A→C， C C C 完全依赖于 A A A，又 B → C B\rightarrow C B→C， C C C 完全依赖于 B B B，所以 R ∈ 2 N F R\in 2\rm NF R∈2NF。因为 A → B A\rightarrow B A→B， B → A B\rightarrow A B→A，尽管 A → C A\rightarrow C A→C（或 B → C B\rightarrow C B→C），但是不满足传递依赖的定义，所以不存在传递依赖，故 R ∈ 3 N F R\in 3\rm NF R∈3NF， R ∈ B C N F R\in \rm BCNF R∈BCNF。