[蓝桥杯学习]树上差分

Waldeinsamkeit412024-01-05 22:41

差分

前缀和 sum_i = sum_i-1 + a_i

差分 diff_i = a_i - a_i-1

差分的好处

点的差分

问题引入

解决问题

要用到差分的思想，每次从叶子向上的回溯，让父结点+=子结点的cnt值，但是仅仅这样，还不行

回溯的过程中，LCA被加了两次，要减去一，LCA的父结点原本应该没有数值的，但是因为会加上LCA 的值，所以会多1，要减去。

此上操作，便实现了，只是把s t 两个结点的值赋一，便将s到t路径上的点经过次数赋值为1

代码实现

cnt计算的代码实现，如下

cpp 复制代码

void dfs1(int x){
    for(int i=head[x];i;i=edge[i].nex){
        int u=edge[i].to;
        if(u!=fa[x][0]){
            dfs1(u);
            cnt[x]+=cnt[u];
        }
    }
    return ;
}

cnt $x$ +=cnt $u$ ，在dfs1 之后，就是从子结点回到父结点后进行cnt相加。

边的差分

问题引入

将路上每条边都权值加z

解决问题

把边塞给点，边的权值放在点上，使用差分的方法，每次修改都是O(1)的时间复杂度，将最后的结果最坏下是O(n)遍历要求的区间，就可以得到区间权值和。

解释为什么要把 dlt $lca(u,v)$ -=2x

因为根据方法，回溯时父结点会加上子结点的权值，所以LCA会加上左右两边的孩子的权值（即边的权值），根据我们给点权值的定义，意思是，会经过该边两次，但是该边没有经过两次，所以会减去2x

代码实现

与点上的差分一样的

时间复杂度分析

维护的时间复杂度是O(1)，最后dfs一遍统计答案，最坏时间复杂度是O(n)