函数式编程的数学基础（五）lambda演算

我们前面的丘奇数推导中，已经掌握了一定的lambda演算技巧。接下来，是时候正式了解一下lambda演算了。

lambda的多种记法

因为时代原因，一些资料采用的lambda记法跟我们文章所写有一定区别，此处列出常见的记法。方便大家在查阅不同来源的资料时不至于混淆。

单字母命名lambda

在一些风格较为古老的资料中，只支持单字母参数名，这样，就会省略空格和点， $\lambda \; \backslash lambda$λ符号后第一个字母为参数名，其后为表达式内容：
$$(\; \lambda \; x\; \lambda \; y\; x\; y\; )\; z\; (\backslash lambda\; x\backslash lambda\; yxy)z$$(λxλyxy)z

以我们本系列的语法表示为：
$$(\; \lambda \; x\; .\; \lambda \; y\; .\; x\; y\; )\; z\; (\backslash lambda\; x.\backslash lambda\; y.x\backslash \; y)\backslash \; z$$(λx.λy.x y) z

支持多参数

一些资料中，同样仅支持单字母作为lambda的参数名，但保留以点分割，这样可以支持柯里化的多参数记法，例如：
$$\lambda \; x\; y\; .\; (\; x\; y\; )\; \backslash lambda\; xy.(x\backslash \; y)$$λxy.(x y)

以我们本系列的语法表示为：
$$\lambda \; x\; .\; \lambda \; y\; .\; (\; x\; y\; )\; \backslash lambda\; x.\backslash lambda\; y.(x\backslash \; y)$$λx.λy.(x y)

二者完全等价，尽管书写形式上是多参数，lambda只支持柯里化的多参数。

符号替换记法

一些资料中，会用一些记法来表示lambda替换的过程。
$$$$ x : = y ( x z ) x:=y(x\ z) x:=y(x z)

表示在后面的表达式中，把x替换为y。

另外一些资料中，也会用斜杠来表示：
$$$$ y / x ( x z ) y/x(x\ z) y/x(x z)

转换与归约规则

接下来我们来正式地介绍一下lambda演算的规则。

• α转换：换元变换，直觉上，可以理解为当我们改变一个参数名时，只要用到此参数的部分都跟着改名，那么函数跟原来的函数等价。记为：

$$M\; \twoheadrightarrow \; \alpha \; N\; M\backslash \; \{\backslash twoheadrightarrow\}$${\alpha}\ N \\ M ↠α N
$$\lambda \; x\; .\; x\; \twoheadrightarrow \; \alpha \; \lambda \; y\; .\; y\; \backslash lambda\; x.x\backslash \; \{\backslash twoheadrightarrow\}$${\alpha}\ \lambda y.y λx.x ↠α λy.y

• β归约：代入归约，直觉上，可以理解为我们调用一个函数时，把所有形参代换为实参进行化简。记为：

$$M\; \twoheadrightarrow \; \beta \; N\; M\backslash \; \{\backslash twoheadrightarrow\}$${\beta}\ N \\ M ↠β N
$$(\; \lambda \; x\; .\; x\; z\; )\; y\; \twoheadrightarrow \; \beta \; (\; y\; z\; )\; (\backslash lambda\; x.x\backslash \; z)\backslash \; y\backslash \; \{\backslash twoheadrightarrow\}$${\beta}\ (y\ z) (λx.x z) y ↠β (y z)

• η归约：调用归约，直觉上，可以理解为当一个函数内仅有另一个函数的调用，并透传参数时，实际上它们是同一个函数。记为：

$$M\; \twoheadrightarrow \; \eta \; N\; M\backslash \; \{\backslash twoheadrightarrow\}$${\eta}\ N \\ M ↠η N
$$\lambda \; x\; .\; y\; x\; \twoheadrightarrow \; \eta \; y\; \backslash lambda\; x.y\backslash \; x\backslash \; \{\backslash twoheadrightarrow\}$${\eta}\ y λx.y x ↠η y

Church-Rosser定理

有时，一个lambda表达式存在多个不同的归约方式，

Church-Rosser定理的形式化定义：
$$\forall \; M\; ,\; N\; 1\; ,\; N\; 2\; \in \; \Lambda \; :\; 若有\; M\; \twoheadrightarrow \; \beta \; N\; 1\; 且\; M\; \twoheadrightarrow \; \beta \; N\; 2\; 则\; \exists \; X\; \in \; \Lambda \; :\; N\; 1\; \twoheadrightarrow \; \beta \; X\; 且\; N\; 2\; \twoheadrightarrow \; \beta \; X\; \backslash forall\; M,\; N\_1,\; N\_2\; \backslash in\; \backslash Lambda:\; \backslash text\{若有\}\backslash \; M\backslash twoheadrightarrow\_\backslash beta\; N\_1\; \backslash \; \backslash text\{且\}\backslash \; M\backslash twoheadrightarrow\_\backslash beta\; N\_2\; \backslash \; \backslash text\{则\}\backslash \; \backslash exists\; X\backslash in\; \backslash Lambda:\; N\_1\backslash twoheadrightarrow\_\backslash beta\; X\; \backslash \; \backslash text\{且\}\backslash \; N\_2\backslash twoheadrightarrow\_\backslash beta\; X$$∀M,N1,N2∈Λ:若有 M↠βN1 且 M↠βN2 则 ∃X∈Λ:N1↠βX 且 N2↠βX

我们把它画成图：
M↓βN2β β N1↓βX

我们对照图来解释，就是如果 $N\; 1\; N\_1$N1和 $N\; 2\; N\_2$N2存在，那么一定能找到一个 $X\; X$X。

直觉上，可以Church-Rosser定理理解为β归约的"殊途同归"，即无论以何种顺序对lambda函数进行归约，最终可以得到一个一致的结果。

从直觉上来看，Church-Rosser定理的成立是显然的：对于一个"算式"来说，不论我们先计算它的哪个部分，最终都能得到同样的结果。

Lambda演算的Church-Rosser定理有几种不同的形式化证明方法，考虑到证明过程较为枯燥冗长，本篇就不在这里给出了，对数学有兴趣的的同学可以自行查阅相关资料。

Lambda演算的Church-Rosser定理还可以推广到 $\eta \; \backslash eta$η归约，进而可以证明 $\beta \; \eta \; \backslash beta\backslash eta$βη归约混合运算也符合Church-Rosser定理。

Church-Rosser定理揭示了lambda演算的重要性质：

• 并行特性，具有多个归约方向lambda演算可以依据其结构进行并行运算，以lambda为基础理论的计算机语言也有此性质。
• 推导一致性，不论如何进行归约，lambda演算不会得到自相矛盾的结果。

从Church-Rosser定理，我们很容易想到lambda表达式可以通过β归约，达到无法β归约的形式，这个形式被称为β正规形式。由Church-Rosser定理可知，若β正规形式存在，它必定是唯一的。

β正规形式可以被视为lambda演算的最终计算结果。

那么，是否每一个lambda函数都存在β正规形式呢？

不动点

我们来研究一个特殊的函数。
$$\Omega \; =\; (\; \lambda \; x\; .\; x\; x\; )\; (\; \lambda \; x\; .\; x\; x\; )\; \Omega \; =\; (\lambda x.\; x\backslash \; x)\backslash \; (\lambda x.\; x\backslash \; x)$$Ω=(λx.x x) (λx.x x)

当我们尝试对Ω做β归约时，可以发现，Ω的β归约是它自身。因此，Ω被称作β归约的不动点(fix point)。显然，不动点Ω不存在β正规形式。

当我们加入一次函数调用，Ω函数就变成了Y组合子，它能够用于实现函数递归。
$$Y\; =\; \lambda \; f\; .\; (\; \lambda \; x\; .\; f\; (\; x\; x\; )\; )\; (\; \lambda \; x\; .\; f\; (\; x\; x\; )\; )\; Y\; =\; \lambda f.(\lambda x.f\backslash \; (x\backslash \; x))\backslash \; (\lambda x.f\backslash \; (x\backslash \; x))$$Y=λf.(λx.f (x x)) (λx.f (x x))

我们也可以稍作变通，少写一个 $f\; f$f，把它写作： $Y\; =\; \lambda \; f\; .\; (\; \lambda \; x\; .\; x\; x\; )\; (\; \lambda \; x\; .\; f\; (\; x\; x\; )\; )\; Y\; =\; \lambda f.(\lambda x.x\backslash \; x)\backslash \; (\lambda x.f\backslash \; (x\backslash \; x))$Y=λf.(λx.x x) (λx.f (x x))，。

这个形式与我们在除法一节推导出的Y组合子一致。经过一次β归约，就可以得到上面的形式。

具体到编程语言层面，考虑到Y组合子可能导致死循环，我们可以对 $f\; f$f的参数部分做逆η归约 ，形成 $Z\; Z$Z组合子。
$$Z\; =\; \lambda \; f\; .\; (\; \lambda \; x\; .\; f\; (\; \lambda \; z\; .\; x\; x\; z\; )\; )\; (\; \lambda \; x\; .\; f\; (\; \lambda \; z\; .\; x\; x\; z\; )\; )\; Z\; =\; \lambda f.(\lambda x.f\backslash \; (\lambda z.x\backslash \; x\backslash \; z))\backslash \; (\lambda x.f\backslash \; (\lambda z.x\backslash \; x\backslash \; z))$$Z=λf.(λx.f (λz.x x z)) (λx.f (λz.x x z))

实际上，Y组合子的变体非常丰富，例如Haskell Curry本人发现的 $\Theta \; \Theta$Θ组合子。
$$\Theta \; =\; \lambda \; f\; .\; (\; \lambda \; x\; .\; \lambda \; y\; .\; f\; (\; y\; x\; )\; )\; (\; \lambda \; x\; .\; \lambda \; y\; .\; f\; (\; y\; x\; )\; )\; \Theta \; =\; \lambda f.(\lambda x.\lambda y.f\backslash \; (y\backslash \; x))\backslash \; (\lambda x.\lambda y.f\backslash \; (y\backslash \; x))$$Θ=λf.(λx.λy.f (y x)) (λx.λy.f (y x))

尽管这些含有不动点的组合子破坏了β正规形式，但它们又是表达复杂计算逻辑的必备。

这也从侧面说明，我们无法通过机械进行β归约，去解决复杂的计算问题。

判定相等

既然β正规形式这条路走不通，那么是否有一种通用的方案，能够判定lambda表达式相等呢？

在一些情况下，这个问题非常简单，比如，如果两个lambda函数包含的符号完全一致，那它们两个必定等价，能够用三种规则互相转换的lambda表达式页总是互相等价的。

但对于含有不动点的lambda函数，可就没那么简单了。

此处我们不做严格证明，从感性的角度来思考一下这个问题的难度。

我们前面教程已经构造了分支逻辑和丘奇数基本运算，并且通过Y组合子可以实现递归，此处我们就使用大家更熟悉的符号系统来构造一个函数：
f=λx.⎩ ⎨ ⎧1f(x∗3+1)f(x/2)if x==1if x%2 != 0,if x%2==0.

我们来判断它是否与 $\lambda \; x\; .\; 1\; \backslash lambda\; x.1$λx.1 等价。所以问题就转化成：对所有自然数x，如果它是奇数，就把它乘以三加一，如果它是偶数，则把它除以2，一直这样做下去，是否每个自然数都能变成1？

这个问题实质上等价于一个著名的未能解决的数学猜想：角谷静夫猜想（Collatz猜想）。

只要你愿意，还可以构造出歌德巴赫猜想等数学上的未决问题。

所以，我们可以得出结论：判定lambda表达式相等，其难度是大于或等于解决这些数学上的未决问题的。

对于一个lambda函数，其归约的结果可能是具有β正规形式的lambda函数，亦可能是无限递归的含有不动点的函数。

某些形式上含有不动点的函数，尽管形式上无法归约到具有β正规形式的函数，但又能用某些数学方法论证其等价于具有β正规形式的lambda函数。

判定两个lambda函数是否相等，实际上就是lambda版本的图灵停机问题。

正因为停机问题无法通过图灵机解决，lambda函数等价问题无法通过lambda函数归约求解，程序员才有机会不断发现更好的算法。