我们前面的丘奇数推导中，已经掌握了一定的lambda演算技巧。接下来，是时候正式了解一下lambda演算了。
lambda的多种记法
因为时代原因，一些资料采用的lambda记法跟我们文章所写有一定区别，此处列出常见的记法。方便大家在查阅不同来源的资料时不至于混淆。
单字母命名lambda
在一些风格较为古老的资料中，只支持单字母参数名，这样，就会省略空格和点， <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> λ \lambda </math>λ符号后第一个字母为参数名，其后为表达式内容：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> ( λ x λ y x y ) z (\lambda x\lambda yxy)z </math>(λxλyxy)z
以我们本系列的语法表示为：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> ( λ x . λ y . x y ) z (\lambda x.\lambda y.x\ y)\ z </math>(λx.λy.x y) z
支持多参数
一些资料中，同样仅支持单字母作为lambda的参数名，但保留以点分割，这样可以支持柯里化的多参数记法，例如：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> λ x y . ( x y ) \lambda xy.(x\ y) </math>λxy.(x y)
以我们本系列的语法表示为：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> λ x . λ y . ( x y ) \lambda x.\lambda y.(x\ y) </math>λx.λy.(x y)
二者完全等价，尽管书写形式上是多参数，lambda只支持柯里化的多参数。
符号替换记法
一些资料中，会用一些记法来表示lambda替换的过程。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> [ x : = y ] ( x z ) [x:=y](x\ z) </math>[x:=y](x z)
表示在后面的表达式中，把x替换为y。
另外一些资料中，也会用斜杠来表示：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> [ y / x ] ( x z ) [y/x](x\ z) </math>[y/x](x z)
转换与归约规则
接下来我们来正式地介绍一下lambda演算的规则。
- α转换：换元变换，直觉上，可以理解为当我们改变一个参数名时，只要用到此参数的部分都跟着改名，那么函数跟原来的函数等价。记为：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> M ↠ α N M\ {\twoheadrightarrow}{\alpha}\ N \\ </math>M ↠α N
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> λ x . x ↠ α λ y . y \lambda x.x\ {\twoheadrightarrow}{\alpha}\ \lambda y.y </math>λx.x ↠α λy.y
- β归约：代入归约，直觉上，可以理解为我们调用一个函数时，把所有形参代换为实参进行化简。记为：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> M ↠ β N M\ {\twoheadrightarrow}{\beta}\ N \\ </math>M ↠β N
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> ( λ x . x z ) y ↠ β ( y z ) (\lambda x.x\ z)\ y\ {\twoheadrightarrow}{\beta}\ (y\ z) </math>(λx.x z) y ↠β (y z)
- η归约：调用归约，直觉上，可以理解为当一个函数内仅有另一个函数的调用，并透传参数时，实际上它们是同一个函数。记为：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> M ↠ η N M\ {\twoheadrightarrow}{\eta}\ N \\ </math>M ↠η N
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> λ x . y x ↠ η y \lambda x.y\ x\ {\twoheadrightarrow}{\eta}\ y </math>λx.y x ↠η y
Church-Rosser定理
有时，一个lambda表达式存在多个不同的归约方式，
Church-Rosser定理的形式化定义：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> ∀ M , N 1 , N 2 ∈ Λ : 若有 M ↠ β N 1 且 M ↠ β N 2 则 ∃ X ∈ Λ : N 1 ↠ β X 且 N 2 ↠ β X \forall M, N_1, N_2 \in \Lambda: \text{若有}\ M\twoheadrightarrow_\beta N_1 \ \text{且}\ M\twoheadrightarrow_\beta N_2 \ \text{则}\ \exists X\in \Lambda: N_1\twoheadrightarrow_\beta X \ \text{且}\ N_2\twoheadrightarrow_\beta X </math>∀M,N1,N2∈Λ:若有 M↠βN1 且 M↠βN2 则 ∃X∈Λ:N1↠βX 且 N2↠βX
我们把它画成图：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> M → β N 1 ↓ β ↓ β N 2 → β X \begin{array}{ccc} M & \xrightarrow{\text{β}} & N_1 \\ \downarrow \scriptstyle{β} & & \downarrow \scriptstyle{β} \\ N_2 & \xrightarrow{\text{β}} & X\\ \end{array} </math>M↓βN2β β N1↓βX
我们对照图来解释，就是如果 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> N 1 N_1 </math>N1和 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> N 2 N_2 </math>N2存在，那么一定能找到一个 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> X X </math>X。
直觉上，可以Church-Rosser定理理解为β归约的"殊途同归"，即无论以何种顺序对lambda函数进行归约，最终可以得到一个一致的结果。
从直觉上来看，Church-Rosser定理的成立是显然的：对于一个"算式"来说，不论我们先计算它的哪个部分，最终都能得到同样的结果。
Lambda演算的Church-Rosser定理有几种不同的形式化证明方法，考虑到证明过程较为枯燥冗长，本篇就不在这里给出了，对数学有兴趣的的同学可以自行查阅相关资料。
Lambda演算的Church-Rosser定理还可以推广到 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> η \eta </math>η归约，进而可以证明 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> β η \beta\eta </math>βη归约混合运算也符合Church-Rosser定理。
Church-Rosser定理揭示了lambda演算的重要性质：
- 并行特性，具有多个归约方向lambda演算可以依据其结构进行并行运算，以lambda为基础理论的计算机语言也有此性质。
- 推导一致性，不论如何进行归约，lambda演算不会得到自相矛盾的结果。
从Church-Rosser定理，我们很容易想到lambda表达式可以通过β归约，达到无法β归约的形式，这个形式被称为β正规形式。由Church-Rosser定理可知，若β正规形式存在，它必定是唯一的。
β正规形式可以被视为lambda演算的最终计算结果。
那么，是否每一个lambda函数都存在β正规形式呢？
不动点
我们来研究一个特殊的函数。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> Ω = ( λ x . x x ) ( λ x . x x ) Ω = (λx. x\ x)\ (λx. x\ x) </math>Ω=(λx.x x) (λx.x x)
当我们尝试对Ω做β归约时，可以发现，Ω的β归约是它自身。因此，Ω被称作β归约的不动点(fix point)。显然，不动点Ω不存在β正规形式。
当我们加入一次函数调用，Ω函数就变成了Y组合子，它能够用于实现函数递归。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> Y = λ f . ( λ x . f ( x x ) ) ( λ x . f ( x x ) ) Y = λf.(λx.f\ (x\ x))\ (λx.f\ (x\ x)) </math>Y=λf.(λx.f (x x)) (λx.f (x x))
我们也可以稍作变通，少写一个 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f f </math>f，把它写作： <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> Y = λ f . ( λ x . x x ) ( λ x . f ( x x ) ) Y = λf.(λx.x\ x)\ (λx.f\ (x\ x)) </math>Y=λf.(λx.x x) (λx.f (x x))，。
这个形式与我们在除法一节推导出的Y组合子一致。经过一次β归约，就可以得到上面的形式。
具体到编程语言层面，考虑到Y组合子可能导致死循环，我们可以对 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> f f </math>f的参数部分做逆η归约 ，形成 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> Z Z </math>Z组合子。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> Z = λ f . ( λ x . f ( λ z . x x z ) ) ( λ x . f ( λ z . x x z ) ) Z = λf.(λx.f\ (λz.x\ x\ z))\ (λx.f\ (λz.x\ x\ z)) </math>Z=λf.(λx.f (λz.x x z)) (λx.f (λz.x x z))
实际上，Y组合子的变体非常丰富，例如Haskell Curry本人发现的 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> Θ Θ </math>Θ组合子。
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> Θ = λ f . ( λ x . λ y . f ( y x ) ) ( λ x . λ y . f ( y x ) ) Θ = λf.(λx.λy.f\ (y\ x))\ (λx.λy.f\ (y\ x)) </math>Θ=λf.(λx.λy.f (y x)) (λx.λy.f (y x))
尽管这些含有不动点的组合子破坏了β正规形式，但它们又是表达复杂计算逻辑的必备。
这也从侧面说明，我们无法通过机械进行β归约，去解决复杂的计算问题。
判定相等
既然β正规形式这条路走不通，那么是否有一种通用的方案，能够判定lambda表达式相等呢？
在一些情况下，这个问题非常简单，比如，如果两个lambda函数包含的符号完全一致，那它们两个必定等价，能够用三种规则互相转换的lambda表达式页总是互相等价的。
但对于含有不动点的lambda函数，可就没那么简单了。
此处我们不做严格证明，从感性的角度来思考一下这个问题的难度。
我们前面教程已经构造了分支逻辑和丘奇数基本运算，并且通过Y组合子可以实现递归，此处我们就使用大家更熟悉的符号系统来构造一个函数：
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> f = λ x . { 1 if x = = 1 f ( x ∗ 3 + 1 ) if x % 2 ! = 0 , f ( x / 2 ) if x % 2 = = 0. f = \lambda x. \left\{ \begin{array}{lll} 1 & \text{if } x == 1 \\ f(x * 3 + 1) & \text{if } x\%2\ !=\ 0, \\ f(x / 2) & \text{if } x\%2 == 0. \\ \end{array} \right. </math>f=λx.⎩ ⎨ ⎧1f(x∗3+1)f(x/2)if x==1if x%2 != 0,if x%2==0.
我们来判断它是否与 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> λ x . 1 \lambda x.1 </math>λx.1 等价。所以问题就转化成：对所有自然数x，如果它是奇数，就把它乘以三加一，如果它是偶数，则把它除以2，一直这样做下去，是否每个自然数都能变成1？
这个问题实质上等价于一个著名的未能解决的数学猜想：角谷静夫猜想（Collatz猜想）。
只要你愿意，还可以构造出歌德巴赫猜想等数学上的未决问题。
所以，我们可以得出结论：判定lambda表达式相等，其难度是大于或等于解决这些数学上的未决问题的。
对于一个lambda函数，其归约的结果可能是具有β正规形式的lambda函数，亦可能是无限递归的含有不动点的函数。
某些形式上含有不动点的函数，尽管形式上无法归约到具有β正规形式的函数，但又能用某些数学方法论证其等价于具有β正规形式的lambda函数。
判定两个lambda函数是否相等，实际上就是lambda版本的图灵停机问题。
正因为停机问题无法通过图灵机解决，lambda函数等价问题无法通过lambda函数归约求解，程序员才有机会不断发现更好的算法。