目录
几种常见的数制
关键术语
数制：以一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法
进位计数制：按一定数值大小进位计数，表示数的方式
数制
任何一种进位计数制包含两个基本的要素：基数和位权
基数
基数是进位计数制中所采用数码的个数
如果是R进制计数，进位规则是"逢R进一"，则要有R个数码，R就是进制计数的基数
例如，十进制计数，有0、1、2、...、9十个不同的数码，基数R为10，六进制计数，有0、1、2、...、5六个不同的数码，基数R为6
位权
在表征数的大小时，由不同的数码组合排列表示，处在不同数位的数码，代表不同的数值，每一个数位的数值大小由该位数码的值乘以处于该位的一个固定值，这个固定值就是该位的"权值"，称为"位权"
如十进制数456的值为4×100+5×10+6×1，其中最高位数码代表数值400，十位上的数码代表数值是50，最低位数码代表数值是6常见的四种数制
十进制数
基数R=10的数制称为十进制，有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数码，计数规则为"逢十进一"和"借一当十"
二进制数
基数R=2的数制称为二进制，有0、1两个数码，对于相邻两位来说，高位的权值是低位权值的2倍，计数时为"逢二进一"和"借一当二"
八进制数
基数R=8的数制称为八进制，有0、1、2、3、4、5、6、7八个数码，对于相邻两位来说，高位的权值是低位权值的8倍，计数时为"逢八进一"和"借一当八"
十六进制数
基数R=16的数制称为十六进制，有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F十六个数码，其中A、B、C、D、E、F分别代表10、11、12、13、14、15，对于相邻两位来说，高位的权值是低位权值的16倍，计数时为"逢十六进一"和"借一当十六"
|-----|------|-----|------|
| 十进制 | 二进制 | 八进制 | 十六进制 |
| 0 | 0000 | 0 | 0 |
| 1 | 0001 | 1 | 1 |
| 2 | 0010 | 2 | 2 |
| 3 | 0011 | 3 | 3 |
| 4 | 0100 | 4 | 4 |
| 5 | 0101 | 5 | 5 |
| 6 | 0110 | 6 | 6 |
| 7 | 0111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
[常见四种进位计数制之间的对照表]
不同进制数的相互转换
同一个数，可以用不同的进位计数制表示，所以，不同数制间的转换，其实质就是不同数制间的基数转换，转换的原则为：如果两个有理数相等，则两个数的整数和小数部分分别相等
R进制转换成十进制数的方法为：将被转换的数按权展开例如
1.将二进制数1010.11转换成十进制数
2.将八进制数27.2转换成十进制数
3.将十六进制A6.4转换成十进制数
解：
对于第一题
|------|------|------|------|---|---------|---------|
| 1 | 0 | 1 | 0 | . | 1 | 1 |
| 第三位 | 第二位 | 第二位 | 第一位 | | 小数点后第一位 | 小数点后第二位 |
| 2^3 | 2^2 | 2^1 | 2^0 | | 2^-1 | 2^-2 |以下数都为十进制
1*2^3+0*2^2+1*2^1+0*2^0+1*2^-1+1*2^-2=8+2+0.5+0.25=10.75
对于第二题
|------|------|---|---------|
| 2 | 7 | . | 2 |
| 第二位 | 第一位 | | 小数点后第一位 |
| 8^1 | 8^0 | | 8^-1 |以下数都为十进制
2*8^1+7*8^0+2*8^-1=16+7+0.25=23.25
对于第三位
|-------|-------|---|---------|
| A | 6 | . | 4 |
| 第二位 | 第一位 | | 小数点后第一位 |
| 16^1 | 16^0 | | 16^-1 |以下数都为十进制
10*16^1+6*16^0+4*16^-1=160+6+0.25=166.25
十进制数转化成R进制数十进制数转换成R进制数时，整数部分和小数部分需要分别进行转换
对于整数部分，除R取余法，逆序排列，其中R为基数
对于小数部分，乘R取整法，顺序排列
例如
十进制11.375转换成相应的二进制数
解：
整数转换:采用除2取余法(R=2)
11的十进制=1011的二进制
小数转换：采用乘2取整数(R=2)，运算时，式中的整数不参加连乘
0.375的十进制=0.011的二进制
所以
11.375的十进制=1011.011的二进制
编码
关键术语
编码：按一定的方式将0、1数码进行编排，使其表示特定的信息
一般，如有N个特定信息需代码表示，则所需的二进制代码位数n(称为码长)与N项信息之间应当满足2^n≥N二-十进制码
用4位二进制数表示1位十进制数的代码，称为二-十进制码，又称BCD码，其有很多种不同的编码方式其特征分为有权码和无权码两种类型
8421BCD码该代码的编码方式为：选择4位自热二进制数的前10组代码，对其0~9进行编码。在一组代码中，每一位二值代表一个固定数值，即有一定的权值，如果将每一位的1所代表的权值按十进制数加起来，其结果是该代码所表示的十进制数，代码从左到右每一位的权值分别为8、4、2、1，这种代码称为8421BCD码，它属于有权码
2421BCD码
2421BCD码是一种有权码，代码中从左到右每一位的权值分别为2、4、2、1，其中代码特点为0和9，1和8，2和7，3和6，4和5互为反码，该特性称为互补性，2421BCD码的编码方案有多种，如十进制数的4，可以有0100和1010两种编码
5211BCD码
5211BCD码是一种有权码，代码从左到右每一位的权值分别为5、2、1、1，5211BCD码的编码方案也有多种，如十进制数的3，有0110和0101两种编码
例如
将698.54十进制转换成8421BCD码
即十进制的每一位由8421BCD码代替
一位用四位表示
6对应0110
9对应1001
8对应1000
5对应0101
4对应0100
698.54的十进制=0110 1001 1000 . 0101 0100 8421BCD码
将76十进制转换成8421BCD码
7对应0111
6对应0110
76的十进制=0111 0110 8421BCD码
将76.34转换成1215BCD码
7对应1011
6对应0011
3对应0110
4对应1110
76.34的十进制=1011 0011 . 0110 1110 1215BCD码
余三码余3码的编码方式为：在8421BCD基础上，对每一组代码加3 ，故将这种代码叫作余3码，如果将余3码每个代码视为二进制数，使它等效的十进制数与所表示的代码相等，其代码中每一位1所代表的权值在各组代码中不是固定的，所以余3码表示不像8421BCD码那样直观，各位没有固定的权值，所以余3码是一种无权码
移存码
移存码的编码方式是按移位寄存器中数码移位的规律进行编码，如果移存码为4位二进制数，根据移存过程，可以采用移存码代表0~9十个数码，所以该移存码也是属于二-十进制(BCD)码中的一种
|------------|-----|-----|
| 十进制数\编码种类 | 有权码 | 无权码 ||---|-------|-------|-------|-------|-------|------|------|
| | 8421码 | 2421码 | 5421码 | 5211码 | 1215码 | 余3码 | 移存码 |
| 0 | 0000 | 0000 | 0000 | 0000 | 0000 | 0011 | 0001 |
| 1 | 0001 | 0001 | 0001 | 0001 | 0010 | 0100 | 0010 |
| 2 | 0010 | 0010 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0100 |
| 3 | 0011 | 0011 | 0011 | 0110 | 0110 | 0110 | 1001 |
| 4 | 0100 | 0100 | 0100 | 0111 | 1110 | 0111 | 0011 |
| 5 | 0101 | 1011 | 1000 | 1000 | 0001 | 1000 | 0111 |
| 6 | 0110 | 1100 | 1001 | 1001 | 0011 | 1001 | 1111 |
| 7 | 0111 | 1101 | 1010 | 1100 | 1011 | 1010 | 1110 |
| 8 | 1000 | 1110 | 1011 | 1110 | 1101 | 1011 | 1100 |
| 9 | 1001 | 1111 | 1100 | 1111 | 1111 | 1100 | 1000 |
格雷码
格雷码是无权码，又叫循环码，在编码形式上有多种不同方式，但都有一个共同的特点，就是任意两个相邻的代码之间仅有1位不同，其余各位均相同，并具有循环码的特点
|-----|------|------|
| 十进制 | 二进制数 | 格雷码 |
| 0 | 0000 | 0000 |
| 1 | 0001 | 0001 |
| 2 | 0010 | 0011 |
| 3 | 0011 | 0010 |
| 4 | 0100 | 0110 |
| 5 | 0101 | 0111 |
| 6 | 0110 | 0101 |
| 7 | 0111 | 0100 |
| 8 | 1000 | 1100 |
| 9 | 1001 | 1101 |
| 10 | 1010 | 1111 |
| 11 | 1011 | 1110 |
| 12 | 1100 | 1010 |
| 13 | 1101 | 1011 |
| 14 | 1110 | 1001 |
| 15 | 1111 | 1000 |
特点
相邻项或对称项只有一位不同
将二进制转换为格雷码(1)格雷码的最高位(最左边)与二进制数的最高位相同
(2)从左到右，逐一将二进制数相邻两位异或，作为格雷码的下一位
例如
二进制数1011转换成格雷码
从左到右
第一位二进制数写下来为1
第二位，看二进制数，第一位跟第二位异或，为1异或0为1
第三位，看二进制数，第二位跟第三位异或，为0异或1为1
第四位，看二进制数，第三位和第四位异或，为1异或1为0
格雷码为1110
格雷码1110转换成二进制数
从左到右
第一位写下来为1
第二位，看格雷码，将写下来的第一位与格雷码第二位异或，1异或1为0
第三位，看格雷码，将写下来第二位与格雷码第三位异或，0异或1为1
第四位，看格雷码，将写下来第三位与格雷码第四位异或，1异或0为1
所以二进制数为1011
奇偶校验码在编码时，根据信息位中1的个数决定添加的校验位是1还是0，这样，使整个代码中1的个数按预先规定称为奇数或偶数
当信息位和校验位中1的个数为奇数时，称为奇校验码，而1的个数为偶数时，称为偶校验码
|-------|---------------|---------------|
| 十进制数码 | 带奇校验的8421BCD码 | 带偶校验的8421BCD码 ||-------|------|-----|------|-----|
| 十进制数码 | 信息码 | 校验码 | 信息码 | 校验码 |
| 0 | 0000 | 1 | 0000 | 0 |
| 1 | 0001 | 0 | 0001 | 1 |
| 2 | 0010 | 0 | 0010 | 1 |
| 3 | 0011 | 1 | 0011 | 0 |
| 4 | 0100 | 0 | 0100 | 1 |
| 5 | 0101 | 1 | 0101 | 0 |
| 6 | 0110 | 1 | 0110 | 0 |
| 7 | 0111 | 0 | 0111 | 1 |
| 8 | 1000 | 0 | 1000 | 1 |
| 9 | 1001 | 1 | 1001 | 0 |
原码、反码和补码
关键术语
原码：数字的符号以0、1表示，数位部分与原值相同
反码：负数在原码基础上数位部分按位取反，正数与原码相同
补码：整数与原码相同，负数在反码基础上数位部分的末位加1构成
为了简化减法运算，一般转换为加法运算来进行，因此提出了有符号数的三种表示形式，分别为原码、反码和补码
原码原码的编码规律为，正数的符号位用0表示，负数的符号位用1表示，数位部分则和真值完全一样
反码又称为"对1的补数"，用反码表示时，数值的形式与它的符号位有关，左边第1位是符号位，符号位为0代表正数，符号位为1代表负数，对于负数，反码是将原码数位部分按位取反，而对于正数，反码和原码相同。
补码具有许多特点，是数字系统中使用的一种编码，补码又称为"对2的补数"，在补码表示中，正数的表示与原码相同，而负数的补码符号位为1，数值位是将原码按位取反后末位加1
即正数的原码，反码和补码都相同负数的反码为二进制每位取反
补码为取反后+1
例如-10110的二进制原码，反码和补码
原码：110110
反码：101001
补码：101010