【算法】约瑟夫环问题解析与实现

一、导言

约瑟夫环（Josephus Problem）是一个经典的数学问题，涉及一个编号为 1 到 n 的人围成一圈，从第一个人开始报数，报到某个数字 m 的人出列，然后再从下一个人开始报数，如此循环，直到所有人都出列。本篇博客将详细解析约瑟夫环问题，并使用 Python 实现算法。

二、问题分析

在约瑟夫环问题中，有两个变量需要确定：人数 n 和报数的数字 m。当给定 n 和 m 后，需要确定最后留下的人的编号。例如，当 n=7，m=3 时，约瑟夫环问题的过程如下：

1 2 3 4 5 6 7 （初始状态）
1 2 4 5 6 7（第3个人出列，报数到3）
1 2 4 5 7（第6个人出列，报数到3）
1 4 5 7（第2个人出列，报数到3）
1 4 5（第7个人出列，报数到3）
1 4（第5个人出列，报数到3）
4（第1个人出列，报数到3）

因此，最后留下的人的编号为 4。

三、解决方案

解决约瑟夫环问题的一种常见思路是使用循环链表。首先，我们可以创建一个循环链表，并将人的编号作为节点的值。然后，从第一个节点开始，依次报数，当报数到达 m 时，移除当前节点，继续下一个节点，直到只剩下一个节点为止。

下面是使用 Python 实现约瑟夫环问题的代码：

python 复制代码

"""
定义单向链表节点类
"""
class Node:
	def __init__(self, value):
		# 节点的值
		self.value = value
		# 指向下一个节点
		self.next = None

class CircularLinkedList:
	def __init__(self):
		self.head = None

	def append(self, value):
		"""
		append: 在链表末尾添加一个新节点，
		如果链表为空，则将头节点指向新节点，新节点的 next 指针指向头节点，
		否则遍历链表找到尾节点并将其 next 指向新节点，同时新节点的 next 指针指向头节点，以形成循环
		:param value:
		:return:
		"""
		new_node = Node(value)
		if not self.head:
			self.head = new_node
			self.head.next = self.head
		else:
			current = self.head
			# 循环找到最后一个节点
			while current.next != self.head:
				current = current.next
			current.next = new_node
			new_node.next = self.head

	def remove(self, value):
		"""
		从链表中移除一个值为 value 的节点
		遍历链表找到要移除的节点，并将其前一个节点的 next 指针跳过该节点，实现移除操作。
		:param value:
		:return:
		"""
		if not self.head:
			# 头节点为空执行
			# 如果链表为空，则结束方法
			return
		current = self.head
		prev = None
		while True:
			if current.value == value:
				if current == self.head:
					temp = self.head
					while temp.next != self.head:
						temp = temp.next
					temp.next = self.head.next
					self.head = self.head.next
				else:
					prev.next = current.next
				break
			prev = current
			current = current.next
			if current == self.head:
				break

	def get_survivor(self, m):
		"""
		根据约瑟夫环问题，找到最后留下的人的编号，其中参数 m 表示每次移除第 m 个人。
		使用循环遍历链表，每次移除第 m 个节点，直到只剩下一个节点为止，返回该节点的值。
		:param m:
		:return:
		"""
		current = self.head
		while current.next != current:
			count = 1
			while count != m:
				current = current.next
				count += 1
			self.remove(current.value)
			current = current.next
		return current.value

def josephus(n, m):
	linked_list = CircularLinkedList()
	for i in range(1, n+1):
		linked_list.append(i)
	return linked_list.get_survivor(m)

if __name__ == '__main__':
	n = 5
	m = 2
	survivor = josephus(n, m)
	print(f"The survivor's number is: {survivor}")