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题目描述
给定 L , R L,R L,R，问 L ≤ x ≤ R L \leq x \leq R L≤x≤R 有多少个 x x x 满足存在整数 y , z y,z y,z 使得 x = y 2 − z 2 x = y^2 - z^2 x=y2−z2。
输入格式
输入一行包含两个整数 L , R L,R L,R，用一个空格分隔。
输出格式
输出一行包含一个整数满足题目给定条件的 x x x 的数量。
输入输出样例
输入
1 5
输出
4
说明/提示
- 1 = 1 2 − 0 2 1 = 1^2 - 0^2 1=12−02
- 3 = 2 2 − 1 2 3 = 2^2 - 1^2 3=22−12
- 4 = 2 2 − 0 2 4 = 2^2 - 0^2 4=22−02
- 5 = 3 2 − 2 2 5 = 3^2 - 2^2 5=32−22
数据范围
- 1 ≤ L , R ≤ 1 0 9 1 \leq L,R \leq 10^9 1≤L,R≤109
解法：数学 + 找规律
对于原式 x = y 2 − z 2 x = y^2 - z^2 x=y2−z2，可以转换为 x = ( y + z ) ( y − z ) x = (y + z)(y-z) x=(y+z)(y−z)，令 a = y + z , b = y − z a = y + z, b = y - z a=y+z,b=y−z，即 x = a × b x = a \times b x=a×b。
因为 a − b = ( y + z ) − ( y − z ) = 2 z a - b = (y + z) - (y - z) = 2z a−b=(y+z)−(y−z)=2z。
所以 a a a 和 b b b 之差一定是偶数，所以 a , b a ,b a,b 只能是 奇数和奇数 或者 偶数和偶数。
-
a , b a,b a,b 都是 奇数 的情况：
a , b a,b a,b 都是奇数，那么 a × b a \times b a×b 也是奇数，所以 x x x 也是奇数，那么 [ L , R ] [L,R] [L,R] 范围内的奇数都满足条件。 -
a , b a,b a,b 都是 偶数 的情况：
a , b a,b a,b 都是偶数，那么 a × b a \times b a×b 也是偶数并且是 4 4 4 的倍数 ，所以 x x x 也是 4 4 4 的倍数，那么 [ L , R ] [L,R] [L,R] 范围内的 4 4 4 的倍数都满足条件。
如果要求 [ 1 , n ] [1,n] [1,n] 范围内的 奇数 个数，那就是 ⌈ n 2 ⌉ \lceil \frac{n}{2} \rceil ⌈2n⌉。
举例，有 n u m s [ 9 ] = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } nums[9] = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \} nums[9]={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，那么奇数个数就为 ⌈ 9 2 ⌉ = 5 \lceil \frac{9}{2} \rceil = 5 ⌈29⌉=5。
如果要求 [ 1 , n ] [1,n] [1,n] 范围内的 4的倍数 个数，那就是 ⌊ n 4 ⌋ \lfloor \frac{n}{4} \rfloor ⌊4n⌋。
举例，有 n u m s [ 9 ] = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } nums[9] = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \} nums[9]={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，那么4的倍数个数就为 ⌊ 9 4 ⌋ = 2 \lfloor \frac{9}{4} \rfloor = 2 ⌊49⌋=2。
如此我们就可以定义一个函数 f u n ( i ) fun(i) fun(i)，求出 [ 1 , i ] [1,i] [1,i] 区间内所有满足条件的 x x x 的数量 ，最终返回的答案就是 f u n ( R ) − f u n ( L − 1 ) fun(R) - fun(L-1) fun(R)−fun(L−1)。
时间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)
C++代码：
cpp
#include <iostream>
using namespace std;
int fun(int x){
return (x + 1) / 2 + x / 4;
}
int main(){
int l, r;
cin>>l>>r;
int ans = fun(r) - fun(l - 1);
cout<<ans<<'\n';
}Java代码：
java
import java.util.*;
import java.io.*;
public class Main {
static BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
static int n;
public static int fun(int x) {
return (x + 1) / 2 + x / 4;
}
public static void main(String[] args) throws Exception
{
int l;
int r;
String[] str = in.readLine().split(" ");
l = Integer.parseInt(str[0]);
r = Integer.parseInt(str[1]);
int ans = fun(r) - fun(l - 1);
System.out.println(ans);
}
}