定义

拓扑排序

在一个 DAG（有向无环图）中，我们将图中的顶点以线性方式进行排序，使得对于任何的顶点 \({u}\) 到 \({v}\) 的有向边 \({(u,v)}\), 都可以有 \({u}\) 在 \({v}\) 的前面。

还有给定一个 DAG，如果从 \({i}\) 到 \({j}\) 有边，则认为 \({j}\) 依赖于 \({i}\)。如果 \({i}\) 到 \({j}\) 有路径（\({i}\) 可达 \({j}\)），则称 \({j}\) 间接依赖于 \({i}\)。

拓扑排序的目标是将所有节点排序，使得排在前面的节点不能依赖于排在后面的节点。

补充

\({\large 关于AOV网}\)

在日常生活中，一项大的工程可以看作是由若干个子工程（这些子

工程称为"活动" ）组成的集合，这些子工程（活动）之间必定存在

一些先后关系，即某些子工程（活动）必须在其它一些子工程（活动）

完成之后才能开始，我们可以用有向图来形象地表示这些子工程（活动）

之间的先后关系，子工程（活动）为顶点，子工程（活动）之间的先后

关系为有向边，这种有向图称为"顶点活动网络"

，又称"AOV网"。

在AOV网中，有向边代表子工程（活动）的先后关系，我们把一

条有向边起点的活动成为终点活动的前驱活动，同理终点的活动称

为起点活动的后继活动。而只有当一个活动全部的前驱全部都完成

之后，这个活动才能进行。例如在上图中，只有当工程1完成之后，

工程2、3、4、5、6才能开始进行。只有当2、3、4全部完成之后，7

才能开始进行。

一个AOV网必定是一个有向无环图，即不应该带有回路。否则，

会出现先后关系的自相矛盾。

上图就是一个出现环产生自相矛盾的情况。4是1的前驱，想完

成1，必须先完成4。3是4的前驱，而2是3的前驱，1又是2的前驱。

最后造成想完成1，必须先完成1本身，这显然出现了矛盾。

板板

int n, m; //结点数和边数
vector<int> G[MAXN]; //存图
int in[MAXN]; // 存储每个结点的入度

//拓扑排序
bool toposort() {
    vector<int> ans;
    queue<int> q;
    //入度为0的点入队
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        if(in[i]==0){
            q.push(i);
        }    
    }
    while (!q.empty()) {
        int u=q.front();
        q.pop();
        ans.push_back(u);
        for (auto v:G[u]) { //所有邻接点入度减1
            in[v]--;            
            if(in[v]==0) { //入度变为0，则入队
                q.push(v);
            }
        }
    }
    if(ans.size()==n){ //不存在环，输出序列
        for (auto i:ans){
            cout<<i<<' ';
        }
        return true;
    }
    else{ //存在环
        return false;
    }
}

例题

家谱树

问题描述

有个人的家族很大，辈分关系很混乱，请你帮整理一下这种关系。

给出每个人的孩子的信息。

输出一个序列，使得每个人的后辈都比那个人后列出。

输入格式:

第1行一个整数N（1<=N<=100），表示家族的人数。

接下来N行，第I行描述第I个人的儿子。

每行最后是0表示描述完毕。

输出格式:

输出一个序列，使得每个人的后辈都比那个人后列出。

如果有多解输出任意一解。

样例输入:

4 5 1 0

1 0

5 3 0

3 0

样例输出:

2 4 5 3 1

思路

纯纯板子题

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1010
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define Elaina 0
int a[N][N],ans[N];
queue <int> q;
int n,m;
void toposort(){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!ans[i]){
			q.push(i);
		}
	}
	while(!q.empty()){
		int k=q.front();
		q.pop();
		cout<<k<<" ";
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(a[k][i]){
				ans[i]--;
				a[k][i]=0;
				if(!ans[i]){
					q.push(i);
				}
			}
		}
	}
	return ;
}
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(1){
			cin>>m;
			if(!m){
				break;
			}
			a[i][m]=1;
			ans[m]++;
		}
	}
	toposort();
	return Elaina;
}

AC代码

int main(){}

这个真的可以过（在HZOI题库里）我没骗你

都看到这了，真的不点个赞吗(>ω<*)

关于拓扑排序

定义