蓝桥杯2023年-砍树（dfs，树上差分）

题目描述

给定一棵由 n 个结点组成的树以及 m 个不重复的无序数对 (a1, b1), (a2, b2),

. . . , (am, bm)，其中 ai 互不相同，bi 互不相同，ai ≠ bj(1 ≤ i, j ≤ m)。

小明想知道是否能够选择一条树上的边砍断，使得对于每个 (ai , bi) 满足 ai和 bi 不连通，如果可以则输出应该断掉的边的编号（编号按输入顺序从 1 开始），否则输出 -1.

思路

朴素做法：

时间复杂度：O(n²)

由于这是一颗树，所以任意两点之间的路径唯一。如果一条边被砍断后，所有点对都不相连，则意味着被砍的边在所有点对的路径上。

所以朴素做法就是给两点之间的路径边都加1，如果存在边权值为m（所有m个点对都经过该点）。则该边为一个可取边。

代码

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100005;
#define int long long
vector<int>son[N];
map<pair<int,int>,int>mp;
int n,m;
int num[N];
bool dfs(int st,int ed,int u,int p){
    if(u==ed)return true;
    for(auto it:son[u]){
        if(it!=p&&dfs(st,ed,it,u)){
            num[mp[{u,it}]]++;
            return true;
        }
    }
    return false;
}
signed main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n-1;i++){
        int a,b;cin>>a>>b;
        son[a].push_back(b);
        son[b].push_back(a);
        mp[{a,b}]=i+1;
        mp[{b,a}]=i+1;
    }
    for(int i=0;i<m;i++){
        int a,b;cin>>a>>b;
        dfs(a,b,a,0);
    }
    int ans=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(num[i]==m){
            ans=i;
        }
    }
    cout<<ans;
}

树上差分优化：

时间复杂度：O(nlogn)

优化的关键点在于如何快速计算路径的权值。转换到一维线性结构中，我们可以联想到借助差分来实现对区间（路径）的快速修改。

在树上，我们相应也可以使用树上差分来实现对路径的权值快速修改。

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100005;
#define int long long
vector<int>son[N];
map<pair<int,int>,int>mp;
int n,m;
int num[N];
int f[N][20];
int dep[N];
void dfs(int u,int p){
    dep[u]=dep[p]+1;f[u][0]=p;
    for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++){
        f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
    }
    for(auto it:son[u]){
        if(it!=p)
        dfs(it,u);
    }
}
int lca(int a,int b){
    if(dep[a]<dep[b])swap(a,b);
    for(int i=20;i>=0;i--){
        if(dep[f[a][i]]>dep[b])a=f[a][i];
        if(a==b)return a;
    }
    for(int i=20;i>=0;i--){
        if(f[a][i]!=f[b][i])a=f[a][i],b=f[b][i];
    }
    return f[a][0];
}
int res[N];
int dd(int u,int p){
    for(auto it:son[u]){
        if(it!=p){
            num[u]+=dd(it,u);
        }
    }
    res[mp[{p,u}]]=num[u];
    return num[u];
}
signed main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n-1;i++){
        int a,b;cin>>a>>b;
        son[a].push_back(b);
        son[b].push_back(a);
        mp[{a,b}]=i+1;
        mp[{b,a}]=i+1;
    }
    for(int i=0;i<m;i++){
        int a,b;cin>>a>>b;
        num[a]++;num[b]++;
        num[lca(a,b)]-=2;
    }
    dd(1,0);
    int ans=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(res[i]==m){
            ans=i;
        }
    }
    cout<<ans;
}