计算机网络：物理层 - 信道极限容量

实际信道中的数字信号

信号在传输过程中会受到各种因素的影响，如图所示：

这是一个数字信号，当它通过实际的信道后，波形会产生失真，当失真不严重时，在输出端还可根据已失真的波形还原出发送的码元。但当失真严重时，在接收端就很难判断这个信号在什么时候是 1 ，在什么时候是 0 ：

信号波形失去了码元之间的清晰界限，这种现象叫做码间串扰。

产生失真的原因主要有码元传输速率、信号传输距离、噪声干扰、传输媒体质量等。

奈式准则

早在 1924 年，奈奎斯特就推导出了著名的奈氏准则，他给出了在假定的理想条件下，为了避免码间串扰，码元传输速率的上限。

理想低通信道的最高码元传输速率：
理想低通信道的最高码元传输速率 = 2 W Baud = 2 W 码元/秒 \text { 理想低通信道的最高码元传输速率 }=2 \mathrm{~W} \text { Baud }=2 \mathrm{~W} \text { 码元/秒 } 理想低通信道的最高码元传输速率 =2 W Baud =2 W 码元/秒

理想带通信道的最高码元传输速率：
理想带通信道的最高码元传输速率 = W Baud = W 码元/秒 \text { 理想带通信道的最高码元传输速率}= \mathrm{~W} \text { Baud }= \mathrm{~W} \text { 码元/秒 } 理想带通信道的最高码元传输速率= W Baud = W 码元/秒

低通信道：信号的所有低频分量只要其频率不超过某个上限值，都能不失真地通过此信道；而所有频率超过该上限值的高频分量都不能通过该信道。（如果题目没有规定上下限，或者没有指明信道，都默认是低通信道）
带通信道：只允许上下限之间的频率的信号不失真地通过，其余所有频率都不能通过该信道
W：信道带宽，单位为Hz
Baud的意思是波特，也就是码元每秒。

码元传输速率，又称为波特率、调制速率、波形速率或符号速率。它与比特率有一定的关系。

当一个码元只携带1比特的信息量时，1 码元每秒 = 1 比特每秒，也就是波特率和比特率在数值上是相等的。
当一个码元携带n比特的信息量时，1 码元每秒 = n 比特每秒，则波特率转换成比特率时，数值要乘以n。

需要说明的是，实际的信道所能传输的最高码元速率要明显低于奈氏准则给出的这个上限值。这是因为奈氏准则是在假定的理想条件下推导出来的，不考虑其他因素，例如传输距离、噪声干扰、传输媒体质量等。

仅从公式来看，只要采用更好的调制方法，让码元可以携带更多的比特，岂不是可以无限制的提高信息的传入速率吗？

在解决这个问题之前，我们要先了解信噪比这个概念：

实际的信道都是有噪声的，但是噪声的影响是相对的，如果信道较强，那么噪声的影响相对就小，于是用信噪比来评估噪声对信道的影响。信噪比就是信道的平均功率S和噪声的平均功率N之比，记为 S / N 。但是信噪比有一个比较容易混淆的问题，那就是信噪比有两种表示形式：没有单位的形式以及以dB为单位的形式。它们满足以下公式：

信噪比 ( d B ) = 10 log ⁡ 10 S N ( d B ) 信噪比 \left ( dB \right ) = 10 \log_{10}{\frac{S}{N}} \left ( dB \right ) 信噪比(dB)=10log10NS(dB)

左侧的信噪比是以分贝dB为单位的信噪比，而右侧的 S N \frac{S}{N} NS则是无单位的信噪比。

信道的极限信息传输速率还要受限于实际的信号在信道中传输时的信噪比，因为信道中的噪声也会影响接收端对码元的识别，并且噪声功率相对信号功率越大，影响就越大。后来的香农公式中，就量化了信噪比对传输速率的影响：

香农公式

1948 年，香农用信息论的理论推导出了带宽受限且有高斯白噪声干扰的信道的极限信息传输速率。具体公式如下所示：

c = W ⋅ log ⁡ 2 ( 1 + S N ) ( b i t / s ) c = W \cdot \log_{2}{\left ( 1 + \frac{S}{N} \right ) } \left ( bit/s \right ) c=W⋅log2(1+NS)(bit/s)

c：信道的极限信息传输速率，单位是bit/s，

W：信道带宽，单位为Hz。

S ：信道内所传送信号的平均功率

N ：信道内的高斯噪声功率
S N \frac{S}{N} NS ：信噪比，此时这个分式整体是没有单位的信噪比

如下所示，从相同公式可以看出，信道带宽或信道中信噪比越大，信息的极限传入速率就越大。

需要说明的是，在实际信道上能够达到的信息传输速率要比该公式的极限传输速率低不少，这是因为在实际信道中，信号还要受到其他一些损伤，例如各种脉冲干扰、信号在传输中的衰减和失真等。这些因素在相同公式中并未考虑。综合来看，耐试准则和相同公式在信道带宽一定的情况下，要想提高信息的传入速率，就必须采用多元制，并努力提高信道中的信噪比。自从相同公式发表以后，各种新的信号处理和调制方法就不断出现，其目的都是为了尽可能的接近相同公式所给出的传输速率极限。

练习

接下来我们来做几个与这两个公式有关的练习题。

答案是D

从香农公式 c = W ⋅ log ⁡ 2 ( 1 + S N ) ( b i t / s ) {\color{Red}c = W \cdot \log_{2}{\left ( 1 + \frac{S}{N} \right ) } \left ( bit/s \right ) } c=W⋅log2(1+NS)(bit/s) 可知，信噪比和频率带宽都会影响信道数据传输速率。

从奈氏准则理想低通信道的最高码元传输速率 = 2 W Baud = 2 W 码元/秒 {\color{Red}\text { 理想低通信道的最高码元传输速率 }=2 \mathrm{~W} \text { Baud }=2 \mathrm{~W} \text { 码元/秒 }} 理想低通信道的最高码元传输速率 =2 W Baud =2 W 码元/秒可知，调制速度，也就是码元传入速度和码元所携带的比特数量都会影响信道数据传输速率。

从奈氏准则理想低通信道的最高码元传输速率 = 2 W Baud = 2 W 码元/秒 {\color{Red}\text { 理想低通信道的最高码元传输速率 }=2 \mathrm{~W} \text { Baud }=2 \mathrm{~W} \text { 码元/秒 }} 理想低通信道的最高码元传输速率 =2 W Baud =2 W 码元/秒可知，该通信链路的最高码元传播速率为 2 × 3 k = 6 k ( B a u d ) {\color{Red} 2\times 3k = 6k\left ( Baud \right ) } 2×3k=6k(Baud)，也就是 6 k ( 码元每秒 ) {\color{Red}6k\left ( 码元每秒 \right ) } 6k(码元每秒)

采用四个相位、每个相位四种振幅的 QM 调制技术，可以调制出 4 × 4 = 16 {\color{Red} 4\times 4=16} 4×4=16 个不同的基本波形，也就是 16 个不同的码元。采用二进制对这 16 个不同的码元进行编码，需要使用 log ⁡ 2 16 = 4 {\color{Red} \log_{2}{16} = 4 } log216=4 个比特，换句话说，每个码源可以携带的信息量为 4 比特。

综合前两段可知，该通信链路的最大数据传输速率等于 6 k ( 码元每秒 ) {\color{Red}6k\left ( 码元每秒 \right ) } 6k(码元每秒)，一个码元 4 比特，理想低通信道的最高码元传输速率 = 6 k ( B a u d ) = 6 k × 4 = 24 k b i t / s {\color{Red}\text { 理想低通信道的最高码元传输速率 } = 6k\left ( Baud \right ) = 6k \times 4 = 24k bit/s} 理想低通信道的最高码元传输速率 =6k(Baud)=6k×4=24kbit/s

因此，本题的正确答案是B。

实际上，对于这种类型的题目，不管题目给出的调制技术多么复杂，或者对于我们而言多么陌生，这都不会影响我们解题。我们只需关心这种调制技术可以调制出多少个不同的基本波形即可。

采用四相位调制，可以调制出四种相位不同的基本波形，采用二进制对这四种不同的波形进行编码，需要使用 log ⁡ 2 4 = 2 {\color{Red} \log_{2}{4} = 2 } log24=2个比特。换句话说，每个码元可以携带的信息量为两个比特。

数据传输速率等于波特率乘以每个码元所携带的信息量：

波特率 = 数据传输速率码元信息量 {\color{Red}波特率 = \frac{数据传输速率}{ 码元信息量 }} 波特率=码元信息量数据传输速率

带入本题的相关数值：
波特率 = 2400 ( b i t / s ) 2 = 1200 ( B a u d ) {\color{Red}波特率 = \frac{2400(bit/s)}{ 2 } = 1200(Baud)} 波特率=22400(bit/s)=1200(Baud)

因此，本题的正确答案是B。

本题中，信噪比是以分贝为单位的，我们要先通过公式信噪比 ( d B ) = 10 log ⁡ 10 S N ( d B ) {\color{Red}信噪比 \left ( dB \right ) = 10 \log_{10}{\frac{S}{N}} \left ( dB \right )} 信噪比(dB)=10log10NS(dB)把它转化为没有单位的S / N：

公式变形得到：
S N = 1 0 信噪比 10 {\color{Red}\frac{S}{N} = 10^{\frac{信噪比}{10} } } NS=1010信噪比

带入数据信噪比 = 30 dB：

S N = 1 0 30 10 = 1000 {\color{Red}\frac{S}{N} = 10^{\frac{30}{10} } = 1000 } NS=101030=1000

根据香农公式 c = W ⋅ log ⁡ 2 ( 1 + S N ) ( b i t / s ) {\color{Red}c = W \cdot \log_{2}{\left ( 1 + \frac{S}{N} \right ) } \left ( bit/s \right ) } c=W⋅log2(1+NS)(bit/s) ，带入带宽W = 8k Hz，S / N = 1000，得到W = 80k bit/s，由于取用理论最大数据理论值的50%，计算结果为40 bit/s。

因此，本题的正确答案是C。