1. 简介

粒子群算法是一种解决最优化问题的通用方法，其优点是求解速度快，数值相对稳定，算法简单。粒子群算法分为连续型粒子群算法和离散型粒子群算法，分别用于解决连续型问题和离散型问题。

粒子群优化算法源自对鸟群捕食行为的研究：一群鸟在区域中随机搜索食物，搜索的策略就是搜寻目前离食物最近的鸟的周围区域。粒子群算法利用这种模型得到启示并应用于解决优化问题：

鸟类的飞行空间： 搜索空间，也可以理解为约束
鸟（粒子）： 可行解
鸟类寻找到的食物源： 最优解

在粒子群算法中，每个优化问题的潜在解都是搜索空间中的一只鸟，称之为粒子（在连续性例子群算法中，每一个粒子就代表一个可行解） 。所有的粒子都有一个由被优化的函数决定的适应度值，每个粒子还有一个速度决定它们飞翔的方向和距离。然后，粒子们就追随当前的最优粒子在解空间中搜索。

粒子群算法首先在给定的解空间中随机初始化粒子群，待优化问题的变量数决定了解空间的维数（这里表示每个粒子的维度，后面我们会用D表示维度） 。每个粒子有了初始位置与初始速度（x表示当前位置，v表示速度，粒子群算法最重要的是对速度公式的更新，因为速度决定了更新的方向，进而决定解的值） ，然后通过迭代寻优。在每一次迭代中，每个粒子通过跟踪两个"极值"来更新自己在解空间中的空间位置与飞行速度：一个极值就是单个粒子本身在迭代过程中找到的最优解粒子，这个粒子叫作个体极值；（这里的意思是，每个粒子具有记忆性，每个粒子子记得两个值，一个是全部的粒子距离目标的最优值，另一个值是这个粒子曾经历史的最优值）另一个极值是种群所有粒子在迭代过程中所找到的最优解粒子，这个粒子是全局极值。

2. 连续型粒子群优化算法

2.1 基本原理

假设在一个\(D维\)的目标搜索空间中，有\(N\)个粒子组成一个群落，其中第\(i\)个粒子表示一个\(D维\)的向量：

\[X_i=(x_{i1},x_{i2},\dots,x_{iD}),\quad{i}=1,2,\dots,N\quad\quad(1) \]

第\(i\)个粒子的"飞行"速度也是一个\(D维\)向量：

\[V_i=(v_{i1},v_{i2},\dots,v_{iD}),\quad{i}=1,2,\dots,N\quad\quad\quad(2) \]

第\(i\)个粒子迄今为止搜到的最优位置称为个体极值（比如：\((p_{11},p_{12},\dots,p_{1D})\)就是第一个粒子搜索到的最优位置），记为：

\[p_{best}=(p_{i1},p_{i2},\dots,p_{iD}),\quad{i}=1,2,\dots,N\quad\quad(3) \]

整个粒子群迄今为止搜索到的最优位置为全局极值（我的理解是\(g_{best}\)就是本次迭代的局部最优解），记为：

\[g_{best}=(g_{1},g_{2},\dots,g_{D})\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(4) \]

在找到这两个最优值时，粒子根据如下的式(5)和式(6)分别来更新自己的速度和位置:

\[v_{ij}(t+1)=v_{ij}(t)+c_1r_1[p_{ij}(t)-x_{ij}(t)]+c_2r_2[p_{gj}(t)-x_{ij}(t)]\quad(5) \]

\[x_{ij}(t+1)=x_{ij}(t)+v_{ij}(t+1)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(6) \]

式(5)和式(6)是整个粒子群算法最核心的部分，对于式(5)，其中：

\(c_1\)和\(c_2\)为学习因子，也称加速常数；
\(r_1\)和\(r_2\)为\([0，1]\)范围内的均匀随机数；\(r_1\)和\(r_2\)是介于0和1之间的随机数，增加了粒子飞行的随机性。
\(j=1，2，...，D\)；
\(v_{ij}\)是粒子的速度，\(v_{ij}∈［-v_{max}，v_{max}］\)，\(v_{max}\)是常数，由用户设定来限制粒子的速度。
式（5）右边由三部分组成：
- 第一部分为"惯性"或"动量"部分，反映了粒子的运动"习惯"，代表粒子有维持自己先前速度的趋势（就是原有的速度）；
- 第二部分为"认知"部分，反映了粒子对自身历史经验的记忆或回忆，代表粒子有向自身历史最佳位置逼近的趋势；
- 第三部分为"社会"部分，反映了粒子间协同合作与知识共享的群体历史经验，代表粒子有向群体或邻域历史最佳位置逼近的趋势（对于\(p_{gj}\)，我的理解是把\(p_{best}\)的最优值中的\(i\)下标的值记为\(g\)，或者换句话来说，\(p_{gj}(t)\)就是整个群体的历史最佳位置）。

上面的是基本粒子群算法 ，下面的标准粒子群算法 的更新是这样的，就是在速度\(v_{ij}\)的前面加一个权重系数\(w\)。使得权重系数是一个动态调整的。保证在迭代前期保证足够的全局搜索能力，迭代后期能够专注于局部最优解的搜索能力。

\[v_{ij}(t+1)=w·v_{ij}(t)+c_1r_1[p_{ij}(t)-x_{ij}(t)]+c_2r_2[p_{gj}(t)-x_{ij}(t)]\quad(7) \]

\[x_{ij}(t+1)=x_{ij}(t)+v_{ij}(t+1)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(8) \]

权重更新公式如下（这是其中一种，还有其他的更新方式）：

\[w=w_{max}-\frac{(w_{max}-w_{min})·t}{T_{max}}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(9) \]

2.2 算法流程

（1）初始化粒子群，包括群体规模\(N\)，每个粒子的位置\(x_i\)和速度\(v_i\)。

（2）计算每个粒子的适应度值\(fitness_i\)。

（3）对每个粒子，用它的适应度值\(fitness_i\)和个体极值\(p_{best}(i)\)比较。如果\(fitness_i＜p_{best}(i)\)，则用\(fitness_i\)替换掉\(p_{best}(i)\)。

（4）对每个粒子，用它的适应度值\(fitness_i\)和全局极值\(g_{best}\)比较。如果\(fitness_i＜g_{best}\)，则用\(fitness_i\)替换\(g_{best}\)。

（5）迭代更新粒子的速度\(v_i\)和位置\(x_i\)。

（6）进行边界条件处理。

（7）判断算法终止条件是否满足：若是，则结束算法并输出优化结果；否则返回步骤（2）。

2.3 算法详解

求函数\(f（x，y）=3cos（xy）+x+y^2\)的最小值，其中\(x\)的取值范围为\(［-4，4］\)，y的取值范围为\(［-4，4］\)。为了方便编程，在算法中，\(x\)用\(x[0]\)表示，\(y\)用\(x[1]\)来表示。

2.3.1 绘图

首先我们来看看\(f（x，y）=3cos（xy）+x+y^2\)函数长啥样：

python 复制代码

# 求函数f(x,y) = 3*cos(x * y) + x + y**2的最小值，其中-4 <= x <= 4, -4 <= y <= 4

# 首先绘制这个函数的三维图像
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

X = np.arange(-4 ,4 ,0.01)
Y = np.arange(-4 ,4 ,0.01)
x, y = np.meshgrid(X ,Y)
Z = 3*np.cos(x * y) + x + y**2

# 作图
fig = plt.figure(figsize=(10,15))
ax3 = plt.axes(projection = "3d")
ax3.plot_surface(x,y,Z ,cmap = "rainbow")
# ax3.contour(x ,y ,Z ,zdim = "z" ,offset=-2 ,cmap = "rainbow")
plt.show()

2.3.2 连续型粒子群算法求解