动态规划算法
动态规划是解决复杂问题的一种高效策略，它通过将问题分解为更小、更易管理的子问题来提高效率。这种方法不仅适用于特定类型的问题，而且对于提高算法设计能力和代码性能都有重要意义。
第一部分：动态规划简介
动态规划是一种算法设计技巧，用于解决具有重叠子问题和最优子结构特征的问题。通过存储子问题的解决结果，避免了重复计算，从而提高了算法的效率。动态规划通常用于求解最优化问题。
解决问题的一般方法是：
- 识别子问题。
- 定义问题状态和状态转移方程。
- 利用递归或迭代填充动态规划表。
- 根据动态规划表构建最终解决方案。
第二部分：动态规划的关键要素
1. 最优子结构
最优子结构意味着问题的最优解包含了其子问题的最优解。例如，在计算斐波那契数列时，每一个数都是前两个数的和，这里每个数的最优解（即其值）依赖于其前两个数的最优解。
2. 重叠子问题
重叠子问题是指在递归过程中反复出现的同一问题。动态规划通过存储这些子问题的解来避免重复计算，从而提高效率。
3. 状态定义
状态定义是动态规划设计中的关键步骤，它描述了问题解决过程中的各种情况。例如，在背包问题中，状态可以定义为考虑到当前物品时不同容量下的最大价值。
4. 转移方程
转移方程定义了状态之间的关系，是动态规划算法中的核心。它描述了如何从一个或多个较小的子问题的解得到当前问题的解。
第三部分：动态规划的步骤
解决动态规划问题的步骤通常包括：
- 定义状态：明确状态的含义，确定问题的参数。
- 建立状态转移方程：找出不同状态之间的关系。
- 设定初始条件：确定递归或迭代的基准情况。
- 实施算法：根据状态转移方程和初始条件，填充动态规划表。
每一步都可以通过简单的例子进行说明，如使用斐波那契数列展示状态定义和转移。
第四部分：动态规划示例解析
让我们通过一个经典的动态规划问题来说明状态转移方程的推理过程：0-1背包问题。
0-1 背包问题
问题描述：给定一个背包，它的容量为 (W)。还有一系列物品，每个物品有其重量 (w_i) 和价值 (v_i)。目标是确定哪些物品应该被选入背包，以使得背包中物品的总价值最大，同时确保总重量不超过背包的容量。每个物品只有一件，可以选择放或不放。
状态定义
首先，我们定义状态 (dp[i][w]) 表示考虑前 (i) 个物品，在背包容量为 (w) 的情况下可以获得的最大价值。
状态转移方程的推理
接下来，我们推导状态转移方程。对于第 (i) 个物品，有两种选择：放入背包或不放入背包。
- 不放入背包 ：如果不把第 (i) 个物品放入背包，那么问题就变成了考虑前 (i-1) 个物品在背包容量为 (w) 的情况下的最大价值，即 (dp[i][w] = dp[i-1][w])。
- 放入背包 ：如果决定将第 (i) 个物品放入背包，前提是这个物品可以放入背包，即 (w_i \leq w)。这时，背包内可用的剩余容量减少到 (w - w_i)，问题转变为考虑前 (i-1) 个物品填充剩余容量 (w - w_i) 的背包的最大价值，加上当前物品的价值，即(dp[i][w] = dp[i-1][w-w_i] + v_i)。
结合选择
因为我们想要最大化价值，所以 (dp[i][w]) 应该是这两种选择中的较大值：
[dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w-w_i] + v_i)]
这里，(dp[i-1][w]) 表示不选择当前物品，(dp[i-1][w-w_i] + v_i) 表示选择当前物品。
初始化
- 初始化 (dp[0][w] = 0)，因为没有物品时，任何容量的背包价值都是0。
- 如果背包容量不足以装下某物品，该物品不应被考虑。
动态规划和分治算法的区别
他们的基本思想都是将待求解的问题分解为若干个子问题，先求解子问题，然后结合子问题的解得到原问题的解，分治算法的子问题相互独立，动态规划的子问题互相重叠
- 动态规划应用场景：用于解决多阶段决策问题，如背包问题、最长公共子序列、最短路径问题等。
- 分治算法应用场景：用于可以将问题划分为独立子问题的场合，如快速排序、归并排序、二分搜索等。
动态规划和贪心算法的区别
都具备最有子结构的性质。动态规划的每一步依赖于相关的所有子问题，只有解出相关子问题才能做出选择，全局最优。贪心算法则是在当前状态下做出最好的选择，即局部最优。
- 贪心应用场景：用于求解优化问题，如最小生成树（Prim和Kruskal算法）、哈夫曼编码等。不保证总能得到最优解。