70.爬楼梯
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
示例 1：
输入： n = 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶
- 2 阶
示例 2：
输入： n = 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
- 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
- 1 阶 + 2 阶
- 2 阶 + 1 阶
提示：
- 1 ≤ n ≤ 45 1 \leq n \leq 45 1≤n≤45
解法一(动态规划)
思路分析：
- 对于多个子问题，采用动态规划算法；按照动规五部曲进行求解；
- 确定dp数组以及下标含义，即
dp[i]表示第i个台阶，有多少种方法可以爬到 - 然后推导递推公式；因为一次可以爬1或2个台阶，即若要到达第i个台阶，可以由第i-1个台阶爬1个台阶到达，也可以由第i-2个台阶爬2个台阶到达，即到达第i个台阶的方法为，到达第i-1个台阶的方法和到第i-2个台阶方法的总和，即状态转移方程为：
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] - 然后确定dp数组的初始化，可以简单得出；对于到第一阶台阶，由一种方法，对于到第二阶方法，有两种方法，即
dp[1] = 1; dp[2] = 2 - 然后确定遍历顺序，即从
i=3开始遍历到i=n；因为状态转移方程需要先得到状态dp[i-1]和dp[i-2]，否则无法得到正确的当前状态dp[i] - 打印dp数组，确定是否符合思路与题意
实现代码如下：
java
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
if (n == 1 || n == 2)
return n;
int[] dp = new int[n+1];
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
for (int i = 3; i <= n; ++ i) {
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
}
return dp[n];
}
}提交结果如下：
解答成功:
执行耗时:0 ms,击败了100.00% 的Java用户
内存消耗:39.5 MB,击败了5.28% 的Java用户
复杂度分析：
- 时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
- 空间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
解法二(状态压缩)
思路分析：
- 由解法一得到的状态转移方程；得知下一个状态由可表达的两个状态得出
- 即可以对状态数组进行压缩，使用变量
ans来表示下一个需要得到的状态，使用变量a和b来表示需要的两个状态
实现代码如下：
java
class Solution {
public int climbStairs(int n) {
if (n == 1 || n == 2)
return n;
int ans = 0;
// 初始状态
int a = 1, b = 2;
for (int i = 3; i <= n; ++ i) {
ans = a + b; // 状态转移
a = b;
b = ans;
}
return ans;
}
}提交结果如下：
解答成功:
执行耗时:0 ms,击败了100.00% 的Java用户
内存消耗:39.4 MB,击败了47.08% 的Java用户
复杂度分析：
- 时间复杂度： O ( n ) O(n) O(n)
- 空间复杂度： O ( 1 ) O(1) O(1)