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前言
回归分析研究的主要对象是客观事物变量间的统计关系。它是建立在对客观事物进行大量实验和观察的基础上，用来寻找隐藏在看起来不确定的现象中的统计规律的统计方法。它与相关分析的主要区别为：
一是在回归分析中，解释变量称为自变量，被解释变量称为因变量，处于被解释的特殊地位；而在相关分析中，并不区分自变量和因变量，各变量处于平等地位。
二是在相关分析中所涉及的变量全是随机变量；而在回归分析中，只有因变量是随机变量，自变量可以是随机变量，也可以是非随机变量。
三是相关分析研究主要是为刻画两类变量间的线性相关的密切程度；而回归分析不仅可以揭示自变量对因变量的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制。
一、多元线性回归
1.多元线性回归模型的建立
1.一般形式：
当得到n组数据时，
2.线性回归模型的基本假设
3.多元回归参数的最小二乘估计
例.财政收入多元分析
r
> yX=read.table("clipboard",header=T)
> plot(yX,gap=0)
r
> (fm=lm(y~x1+x2+x3+x4,data=yX))#显示多元线性回归模型
Call:
lm(formula = y ~ x1 + x2 + x3 + x4, data = yX)
Coefficients:
(Intercept) x1 x2 x3 x4
23.5321088 -0.0033866 1.1641150 0.0002919 -0.0437416 4.标准化偏回归系数
标准化偏回归系数：
r
> coef.sd(fm)#标准化偏回归系数结果
$coef.sd
x1 x2 x3 x4
-0.0174513678 1.0423522972 0.0009628564 -0.0371053994 2.多元线性回归模型的检验
1.回归方程的假设检验
2.回归系数的假设检验
r
> anova(fm)#多元线性回归模型方差分析
Analysis of Variance Table
Response: y
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
x1 1 694627 694627 89259.0016 < 2.2e-16 ***
x2 1 17803 17803 2287.6286 < 2.2e-16 ***
x3 1 24 24 3.0569 0.0922 .
x4 1 174 174 22.2954 7.005e-05 ***
Residuals 26 202 8
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1P<0.0001 则本例回归模型有意义
接下来进行参数估计及检验：
r
> summary(fm)#多元线性回归系数t检验
Call:
lm(formula = y ~ x1 + x2 + x3 + x4, data = yX)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-5.0229 -2.1354 0.3297 1.2639 6.9690
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 23.5321088 4.5990714 5.117 2.47e-05 ***
x1 -0.0033866 0.0080749 -0.419 0.678
x2 1.1641150 0.0404889 28.751 < 2e-16 ***
x3 0.0002919 0.0085527 0.034 0.973
x4 -0.0437416 0.0092638 -4.722 7.00e-05 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 2.79 on 26 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9997, Adjusted R-squared: 0.9997
F-statistic: 2.289e+04 on 4 and 26 DF, p-value: < 2.2e-16由t检验结果可见，偏回归系数b2、b4的P值都小于0.01，可认为解释变量税收x2和经济活动人口x4显著；b1、b3的P值大于0.50，不能否定B1=0、B3=0的假设，可认为国内生产总
值x,和进出口贸易总额x3对财政收人y没有显著的影响。我们可以看到，国内生产总值、经济活动人口所对应的偏回归系数都为负，这与经济现实是不相符的。出现这种结果的可能原因是这些解释变量之间存在高度的共线性。
二、多元线性相关分析
在相关分析中，研究较多的是两个变量之间的关系，称为简单相关。当涉及的变量为三个或三个以上时，称为偏相关或复相关。实际上，偏相关（复相关）是对简单相关的一种推广。
在有些情况下，我们只想了解两变量之间有无线性相关关系，并不需要建立它们之间的回归模型，也不需要区分自变量和因变量，这时，就可用较为方便的相关分析方法。
1.矩阵相关分析
计算两两间的相关系数：
r
> cor(yX)#多元数据相关系数矩阵
y x1 x2 x3 x4
y 1.0000000 0.9871498 0.9994718 0.9912053 0.6956619
x1 0.9871498 1.0000000 0.9907018 0.9867664 0.7818066
x2 0.9994718 0.9907018 1.0000000 0.9917094 0.7154297
x3 0.9912053 0.9867664 0.9917094 1.0000000 0.7073820
x4 0.6956619 0.7818066 0.7154297 0.7073820 1.0000000给出两两间的矩阵散点图：
pairs(x,...)
x为数值矩阵或数据框
r
> pairs(yX)#多元数据散点
假设检验：
r
> corr.test(yX)#多元数据相关系数检验
corr test:
y x1 x2 x3 x4
y 0.000 0.000 0.000 0.000 0
x1 33.267 0.000 0.000 0.000 0
x2 165.614 39.214 0.000 0.000 0
x3 40.336 32.772 41.560 0.000 0
x4 5.215 6.752 5.514 5.389 0
lower is t value，upper is p value2.复相关分析
1.复相关系数的计算
2.决定系数
r
> (R2=summary(fm)$r.sq)#显示多元线性回归模型决定系数
[1] 0.9997
> (R=sqrt(R2))#显示多元数据复相关系数
[1] 0.9999三、回归变量的选择方法
1.变量选择准则
一、全局择优法
r
> install.packages("leaps")
--- 在此連線階段时请选用CRAN的鏡子 ---
试开URL'https://cloud.r-project.org/bin/windows/contrib/4.3/leaps_3.1.zip'
Content type 'application/zip' length 86995 bytes (84 KB)
downloaded 84 KB
程序包'leaps'打开成功，MD5和检查也通过
下载的二进制程序包在
C:\Users\86187\AppData\Local\Temp;\RtmpCeDQI1\downloaded_packages里
> library(leaps)#加载leaps包
Warning message:
程辑包'leaps'是用R版本4.3.3 来建造的
> varsel=regsubsets(y~x1+x2+x3+x4,data=yX)#多元数据线性回归变量选择模型
> result=summary(varsel)#变量选择方法结果
> data.frame(result$outmat,RSS=result$rss,R2=result$rsq)#RSS和决定系数准则结果展示
x1 x2 x3 x4 RSS R2
1 ( 1 ) * 752.9 0.9989
2 ( 1 ) * * 203.9 0.9997
3 ( 1 ) * * * 202.3 0.9997
4 ( 1 ) * * * * 202.3 0.99972.变量选择的常用准则
r
> data.frame(result$outmat,adjR2=result$adjr2,Cp=result$cp,BIC=result$bic)
x1 x2 x3 x4 adjR2 Cp BIC
1 ( 1 ) * 0.9989 69.745 -205.6
2 ( 1 ) * * 0.9997 1.199 -242.6
3 ( 1 ) * * * 0.9997 3.001 -239.4
4 ( 1 ) * * * * 0.9997 5.000 -236.03.逐步回归分析
1.向前引入法
2.向后剔除法
3.逐步筛选法
r
> fm.step=step(fm,direction="forward")#向前引入法变量选择结果
Start: AIC=68.15
y ~ x1 + x2 + x3 + x4
> fm.step=step(fm,direction="backward")#向后剔除法变量选择结果
Start: AIC=68.15
y ~ x1 + x2 + x3 + x4
Df Sum of Sq RSS AIC
- x3 1 0 202 66.2
- x1 1 1 204 66.4
<none> 202 68.2
- x4 1 174 376 85.4
- x2 1 6433 6635 174.4
Step: AIC=66.16
y ~ x1 + x2 + x4
Df Sum of Sq RSS AIC
- x1 1 2 204 64.4
<none> 202 66.2
- x4 1 197 400 85.3
- x2 1 7382 7585 176.5
Step: AIC=64.39
y ~ x2 + x4
Df Sum of Sq RSS AIC
<none> 204 64.4
- x4 1 549 753 102.9
- x2 1 367655 367859 294.8
> fm.step=step(fm,direction="both")#逐步筛选法变量选择结果
Start: AIC=68.15
y ~ x1 + x2 + x3 + x4
Df Sum of Sq RSS AIC
- x3 1 0 202 66.2
- x1 1 1 204 66.4
<none> 202 68.2
- x4 1 174 376 85.4
- x2 1 6433 6635 174.4
Step: AIC=66.16
y ~ x1 + x2 + x4
Df Sum of Sq RSS AIC
- x1 1 2 204 64.4
<none> 202 66.2
+ x3 1 0 202 68.2
- x4 1 197 400 85.3
- x2 1 7382 7585 176.5
Step: AIC=64.39
y ~ x2 + x4
Df Sum of Sq RSS AIC
<none> 204 64.4
+ x1 1 2 202 66.2
+ x3 1 0 204 66.4
- x4 1 549 753 102.9
- x2 1 367655 367859 294.8总结
本节学习了多元回归分析以及逐步回归分析的基本解决步骤及方法，学到了很多，继续加油！