凑零钱问题是一个经典的动态规划问题,其目标是找到最少的硬币数量来凑成给定的总金额。下面是一个使用Java实现的解决方案,该方案将详细描述问题的建模、动态规划算法的设计以及代码实现。
问题建模
首先,我们需要理解问题的基本结构和约束条件:
- 输入是一个整数数组
coins
,表示不同面额的硬币。 - 另一个输入是一个整数
amount
,表示需要凑成的总金额。 - 输出是最少的硬币数量,或者在没有解决方案时返回 -1。
动态规划算法设计
我们可以定义一个一维数组 dp
,其中 dp[i]
表示凑成金额 i
所需的最少硬币数量。数组的长度为 amount + 1
,因为我们需要考虑从 0 到 amount
的所有金额。
初始化时,我们将 dp[0]
设置为 0,因为凑成金额 0 所需的硬币数量为 0。对于其他金额 i
(1 <= i <= amount
),我们将其初始化为一个较大的值(比如 amount + 1
),表示当前还没有找到凑成该金额的有效方案。
接下来,我们使用一个循环来遍历从 1 到 amount
的所有金额。对于每个金额 i
,我们再使用一个循环来遍历所有的硬币面额 coin
。如果 coin
小于等于 i
,则我们可以选择使用一枚面额为 coin
的硬币,此时凑成金额 i
所需的硬币数量至少为 dp[i - coin] + 1
(dp[i - coin]
表示凑成金额 i - coin
所需的最少硬币数量,加 1 表示当前使用的这枚硬币)。我们更新 dp[i]
为 dp[i - coin] + 1
和 dp[i]
之间的较小值,以确保我们总是选择最优解。
最后,如果 dp[amount]
的值仍然是初始化时的大值(比如 amount + 1
),则表示没有有效的解决方案,我们返回 -1;否则,返回 dp[amount]
作为结果。
Java代码实现
java
public class CoinChange {
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
int[] dp = new int[amount + 1];
// 初始化dp数组,默认值为amount+1,表示不可达状态
Arrays.fill(dp, amount + 1);
// 凑成金额为0不需要硬币,所以dp[0] = 0
dp[0] = 0;
// 遍历所有金额
for (int i = 1; i <= amount; i++) {
// 遍历所有硬币面额
for (int coin : coins) {
// 如果硬币面额小于等于当前金额,则更新dp[i]
if (coin <= i) {
dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
}
}
}
// 如果dp[amount]的值仍然是初始值,说明没有有效解
return dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount];
}
public static void main(String[] args) {
CoinChange solution = new CoinChange();
int[] coins = {1, 2, 5};
int amount = 11;
int minCoins = solution.coinChange(coins, amount);
System.out.println("最少的硬币数量是: " + minCoins);
}
}
复杂度分析
- 时间复杂度:O(amount * n),其中 n 是硬币面额的数量。我们需要遍历从 1 到 amount 的所有金额,并对每个金额遍历所有的硬币面额。
- 空间复杂度:O(amount)。我们使用了一个长度为 amount + 1 的数组 dp 来保存中间结果。
总结
凑零钱问题是一个典型的动态规划问题,通过上述的动态规划算法,我们可以高效地计算出凑成给定总金额所需的最少硬币数量。在实际应用中,这种算法可以应用于许多类似的优化问题,如背包问题、资源分配问题等。