【算法作业】均分卡牌,购买股票

问题描述

  1. John 有两个孩子,在 John病逝后,留下了一组价值不一定相同的魔卡, 现在要求你设计一种策略,帮John的经管人将John的这些遗产分给他的两个孩子,使得他们获得的遗产差异最小(每张魔卡不能分拆)。

  2. 假设已知某股票连续若干天的股价,并且如何时候你手上只能由一支股票,即如果你要买入就得先将手上股票卖出,设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k笔交易。也就是说,你最多可以买k 次,卖 k 次。

    输入:k = 2, prices = [3,2,7,5,1,4]
    输出:8
    
    7-2  +  4-1
    

解题思路

T1

这是一个贪心算法问题还是一个动规问题呢?

在思考这道题的时候,我犯了过于经验主义的错误。因为和之前遇见的题目有过类似的,觉得是贪心,所以没有多去求证,就框框把代码写完了,其实贪心并不能得到全局最优解(😁十分感谢看到我博客的同班同学的提醒)

贪心的思路是:

  1. 将所有的魔卡按照价值从大到小排序。
  2. 从价值最高的魔卡开始,依次分配给两个孩子中当前遗产较少的那个孩子。
  3. 重复步骤2直到所有的魔卡都被分配完毕。

这样是有问题的,直接举反例,当 N = 2 时 cards = [5, 3, 2, 2, 2, 2] 贪心求解ans = 2。然而正确的最优解应该为0,两个孩子分别[5, 3]和[2, 2, 2, 2]

因此,正确解法为动态规划

动态规划的思路是:

  1. 求取所有卡牌价值之和sum
  2. 然后转换成01背包问题,商品的价值和重量都等于卡牌的价值,背包的上限m = sum/2,尽可能的往这个背包里装商品使其价值最大,即最靠近sum/2。求得此时的最大价值dp[n][sum/2]ans
  3. 最后此问题的解为sum - 2*ans

T2

那么这道题到底是贪心还是动规呢?

我们知道动规有一道经典例题,就是非升子序列,不觉得这题有几分相似,都是必须从前往后求最优。其实要证明贪心算法不行只要举个反例就行了。

于是就根据经验按照动规的思路来思考。考虑使用二维数组dp[i][j],代表当前状态的最大利润,i代表当前是第i次买卖,j代表当前是第j天。

对于每个状态都有买和不买。为什么是买和不买呢,不是还有卖吗?其实是赚钱和不赚钱这两种选择,赚钱是卖与买之间的差值。所以这道题比一般的动态规划要更复杂些。

对于每一次买卖,必须有买才有卖,先用maxDiff包括因为买股票亏的钱,一开始由于没有股票,就等于-prices[1]。这个亏的钱也完全不是负数亏的钱,还要包括之前(上一次买卖)因为赚钱累计的成本,这个maxDiff就是代表本次买卖状态下的累计成本 (比较难理解)。所以 m a x D i f f = m a x ( m a x D i f f , d p [ i − 1 ] [ j ] − p r i c e s [ j ] ) maxDiff = max(maxDiff, dp[i-1][j] - prices[j]) maxDiff=max(maxDiff,dp[i−1][j]−prices[j])

对于每一天,都有去赚钱和不赚钱。不赚钱利润等于昨天的利润,去赚钱的利润等于累计成本maxDiff加上prices[j],因此 d p [ i ] [ j ] = m a x ( d p [ i ] [ j − 1 ] , p r i c e s [ j ] + m a x D i f f ) dp[i][j] = max(dp[i][j-1], prices[j] + maxDiff) dp[i][j]=max(dp[i][j−1],prices[j]+maxDiff)

在样例下,dp运算结果如下所示。

prices 3 2 7 5 1 4
dp[1][j] 0 0 5 5 5 5
dp[2][j] 0 0 5 5 5 8

这个dp[k][n]就是answer。

完整代码

T1

C++ 复制代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    // 输入魔卡数量
    int n;
    cout << "请输入魔卡数量:";
    cin >> n;
    // 输入每张魔卡的价值
    int cards[101],sum=0;
    cout << "请输入每张魔卡的价值:" << endl;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> cards[i];
        sum += cards[i];
    }
    
//    int middle; 
//    if(sum % 2 ==0)
//    	middle = sum/2;
//    else 
//    	middle = sum/2 + 1;
//    cout<<"middle = "<<middle<<endl;
	int dp[101][1001];
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=cards[i];j<=sum/2;j++)
			if(cards[i] <= j)// 如果装的下 
				dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-cards[i]] + cards[i]);
			else 
				dp[i][j] = dp[i-1][j];
    int ans = dp[n][sum/2];
	cout<<ans<<endl;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=sum/2;j++)
			cout<<dp[i][j]<<" ";
		cout<<endl;
	}
	cout<<"ans = "<<sum-2*ans;
    return 0;
}

/* sample input
8 
2 5 6 7 1 7 4 3

6
5 3 2 2 2 2 
*/

输出结果

请输入魔卡数量:8
请输入每张魔卡的价值:
2 5 6 7 1 7 4 3
17
0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 5 5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
0 0 0 0 0 6 7 7 7 7 11 11 13 13 13 13 13
0 0 0 0 0 0 7 7 7 7 11 11 13 14 14 14 14
1 1 1 1 1 1 7 8 8 8 11 12 13 14 15 15 15
0 0 0 0 0 0 7 8 8 8 11 12 13 14 15 15 15
0 0 0 4 4 4 7 8 8 8 11 12 13 14 15 16 17
0 0 3 4 4 4 7 8 8 10 11 12 13 14 15 16 17
ans = 1
请输入魔卡数量:6 复制代码
请输入每张魔卡的价值:
5 3 2 2 2 2
8
0 0 0 0 5 5 5 5
0 0 3 3 5 5 5 8
0 2 3 3 5 5 7 8
0 2 3 4 5 5 7 8
0 2 3 4 5 6 7 8
0 2 3 4 5 6 7 8
ans = 0

T2

C++ 复制代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int n,k,prices[100],dp[101][101]; // 动态规划数组大小修改为dp[101][101]
    cin>>n>>k;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    memset(prices,0,sizeof(prices));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>prices[i];
    for(int i=1;i<=k;i++){
        int maxDiff = -prices[1]; // 数组prices的下标从1开始
        for(int j=1;j<=n;j++){ 
            dp[i][j] = max(dp[i][j-1],prices[j] + maxDiff);
            maxDiff = max(maxDiff, dp[i-1][j] - prices[j]);
        }
    }
    cout<<dp[k][n]<<endl;

    // 打印dp数组
    cout<<"|dp|";
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cout<<i<<"|";
    cout<<endl;
    cout<<"|";
    for(int i=1;i<=n+1;i++)
        cout<<"-|";
    cout<<endl;
    for(int i=1;i<=k;i++){
        cout<<"|"<<i<<"|";
        for(int j=1;j<=n;j++)
            cout<<dp[i][j]<<"|";
        cout<<"\n";
    }
    return 0;
}

/* simple input
6 2
3 2 7 5 1 4
*/

输出结果

6 2
3 2 7 5 1 4
8
|dp|1|2|3|4|5|6|
|-|-|-|-|-|-|-|
|1|0|0|5|5|5|5|
|2|0|0|5|5|5|8|
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