【笔记】树(Tree)

一、树的基本概念

1、树的简介

之前我们都是在谈论一对一的线性数据结构，可现实中也有很多一对多的情况需要处理，所以我们就需要一种能实现一对多的数据结构--"树"。

2、树的定义

树（Tree）是一种非线性的数据结构，它是n(n >= 0)个结点组成的一个具有层次关系的有限集。之所以把它叫做树是因为它看起来像一颗倒挂的树，也就是它的根是朝上，而叶子是朝上的。

在n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：

有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点；
当n>1时，其余结点可分为m(m > 0)个互不相交的有限集T1、T2、...... 、Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树(SubTree)。

注意：在树型结构中，子树之间不能有交集，否则就不能是树形结构。 如果相交了，那就是图。

3、树的一些基本术语

就拿这张图来举例子

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

二、树的存储结构

提及存储结构，那必然会想到两种常用的存储结构。一个是顺序存储结构，另一个则是链式存储结构。这两个存储结构在我们之前学习其他的数据结构中也学习过。

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系 。实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解双亲表示法，孩子表示法以及孩子兄弟表示法。

1、双亲表示法

我们人可能因为种种原因，没有孩子，但无论是谁都不可能是从石头里蹦出来的（孙悟空除外，它显然不算是人），所以人一定就会有父母。树这种结构也不例外，除了根结点外，其余的每个结点不一定有孩子，但一定有且一个双亲。

#define MAX_TREE_SIZE 100

typedef int TElemType;              //树结点的数据类型，目前暂定为整形

typedef struct PTNode
{
    TElemType data;                //结点数据
    int parent;                    //双亲位置
}PTNode;

typedef struct
{
    PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];    //结点数组    
    int r,n;                        //根的位置和结点数
}

这样的存储结构，我们根据结点的 parent指针很容易找到它的双亲结点，所用的时间复杂度为O(1)。但麻烦的是如果想要知道结点的孩纸是谁，不好意思，请遍历整个结构才行。

2、孩子表示法

把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作为存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中。

为此，需要设计两种结点结构，一个是孩子链表的孩子结点，如下表所示

其中，child是数据域，用来存储某个结点在表头数组中的下标；next是指针域，用来存储指向某个结点的下一个孩子结点的指针。

另一个是表头数组的表头结点，如下表所示

其中，data是数据域，存储某个结点的数据信息；firstchild是头指针域，存储该结点的孩子链表的头指针。

#define max_TREE_SIZE 100

typedef int TElemType;                //树结点的数据类型，目前暂定为整形

typedef struct CTNode                 //孩子结点
{
    int child;
    struct CTNode* next;    
} *ChildPtr;

typedef strucct                        //表头结构
{
    TElemType data;
    ChildPTr firstchild;
}CTBox;

typedef struct                         //树结构
{
    CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE];        //结点数组
    int r,n;                           //结点位置和结点数
}CTree;

这样的数据结构对于我们要查找某个结点的孩子，或者找某个结点的兄弟，只需要查找这个结点的孩子单链表即可。对于遍历整棵树也是很方便的，对头结点的数组循环即可。

但是如果想知道某个结点的双亲是谁？就需要遍历整棵树。所以就衍生出了将二者合二为一的方法：孩子兄弟表示法。

3、孩子兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};

这种表示法，给查找某个结点的某个孩子带来了方便，只需要通过firstchild找到此结点的长子，然后通过长子结点的nextbrother找到它的二弟，接着一直下去，直到找到具体的孩子。

三、树在实际中的运用(表示文件系统的目录树结构)

以上就是关于树的基本概念和存储结构的知识点。有关二叉树的内容会在下一个章节中再详细描述。